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专题1.35 数轴上两点之间距离（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，点 、 表示的数分别是 、 ，点 在0和1对应的两点（不包括这两
点）之间移动，点 在-3，-2对应的两点之间移动，下列四个代数式的值可能比2019大的
是（ ）
A． B． C． D．
2．在数轴上，点 表示1，现将点 沿 轴做如下移动：第一次点 向左移动3个单
位长度到达点 ，第二次将点 向右移动6个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动
9个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第 次移动到点 ，如果点 与原
点的距离不小于30，那么 的最小值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
3．点 （ 为正整数）都在数轴上，点 在原点 的左边，且 ；
点 在点 的右边，且 ；点 在点 的左边，且 ；点 在点 的右边，
且 ；…，依照上述规律，点 所表示的数分别为 （ ）
A．2018，－2019B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009
4．在数轴上，点M、N分别表示数m，n． 则点M，N 之间的距离为|m-n|．已知点
A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a-c|=|b-c|= |d-a|=1 (a≠b)，则线段
BD的长度为（ ）
A．3.5 B．0.5 C．3.5或0.5 D．4.5或0.5
5．已知有理数 满足： ．如图，在数轴上，点 是原点，点
所对应的数是 ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧）， ，下列结论
① ；
②当点 与点 重合时， ；
③当点 与点 重合时，若点 是线段 延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若 为线段 的中点， 为线段 的中点，则线段
的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
6．下列说法中，正确的个数是（ ）
①若 ，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝
2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则 的值为±1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，
在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度
向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，
速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡
板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25
时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值
160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
8．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|
＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．1.5 D．2
9．电子跳蚤游戏盘 如图 为 ， ， ， ，如果电子跳蚤开始
时在BC边的 点， ，第一步跳蚤从 跳到AC边上 点，且 ；第二步跳
蚤从 跳到AB边上 点，且 ；第三步跳蚤从 跳回到BC边上 点，且
； 跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为 ，则 与 之间的距离为
A．0 B．2 C．4 D．5
10．图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |
=10， | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
11．在数轴上，把表示－2的点移动2个单位长度后所得到的对应点表示的数为( )
A．0 B．－4 C．0或－4 D．无法确定
12．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的位置如图所
示，它们对应的数分别是a、b、c、d，且d﹣b+c=10，那么点A对应的数是( )
A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．正数
13．如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数 所对应的点在线段（ ）上．
A． B． C． D．
二、填空题
14．已知数轴上的点A，B表示的数分别为 ，4，P为数轴上任意一点，表示的数为
x，若点P到点A，B的距离之和为7，则x的值为 _____．
15．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是
其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．如图，已知点A、B表示的数分别
为 、1，点C为数轴上一动点．
（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为
______．
（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、
C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是______．
16．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，
A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足 ，则a＝____．对数轴上任
意一点P，点P对应数x，若存在x使 的值最小，则x的值为_________．
17．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且
b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q
从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O
运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变
为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
18．如图，数轴上线段 ，点 在数轴上表示的数是－10，点 在数轴上
表示的数是16，若线段 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当 点运动到线段 上时， 是线段 上一点，且有
关系式 成立，则线段 的长为_________．
19．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．
20．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数
轴上A、B两点之间的距离 ，若x是一个有理数，且 ，则
__________．
21．A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为 、 、 ，
点C到点E和点B的距离相等，将数轴沿着点D折叠后，点A与点E重合，那么点D所表
示的数是___________．
22．在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点P表示的数是x，
（I）若A、B两点间的距离表示为AB，则AB=_________；
（Ⅱ）若点P为线段AB的中点，点P表示的数x=__________；
（Ⅲ）若E，F，Q为数轴上的三个点，点Q表示的数为1，点F在点E的右侧，若
EF=2则EA+EB+EQ+FA+FB+FQ的最小值为________
23．已知点M、N是数轴上的两个点，M、N之间的距离为m，点M与原点O的距离
为n(n>m)，则所有满足条件的点N与原点O的距离的和为__________
24．利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ；（2）式
子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是 ；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣
2019|取最小值时，相应的x的取值范围或值是 ，最小值是 ．
25．数轴上有两点 、 ，点 到点 的距离为 ，点 到点 距离为 ，则 、
之间的距离为__________．
26．已知数轴上三点A，B，C所对应的数分别为m，n，2+n，当其中一点到另外两点
的距离相等时，则m－n的值是________．
27．数轴上A、B、C、D四点对应的数都是整数，若点A对应的数为a，点B对应的
数为b，且b-2a=7，则数轴上的原点应是点_____________．28．如图，在单位长度是1的数轴上，点 和点 所表示的两个数互为相反数，则点
表示的数是______.
29．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了 个单位长度，再向左移动 个单位长
度到达终点，可得到终点表示的数是 ，起点和终点之间的距离是 个单位长度，已知点
， 是数轴上的点，完成下列各题：
（ ）如果点 表示数 ，将点 向右移动 个单位长度到达终点，那么终点 表示
的数是__________， ， 两点间的距离是__________个单位长度．
（ ）如果点 表示数 ，将 点向左移动 个单位长度，再向右移动 个单位长度到
达终点，那么终点 表示的数是__________， ， 两点间的距离为__________个单位长
度．
（ ）一般地，如果点 表示数 ，将点 向右移动 个单位长度，再向左移动 个单
位长度到达终点，那么请你猜想终点 表示的数是__________， ， 两点间的距离是
__________个单位长度．
30．同学们都知道， 表示5与 -2之差的绝对值，实际上也可以理解为 5 与
-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，则使得 这样的整数 有____个．
31．如图，已知数轴上点 、 、 所表示的数分别为 、 、 ，点 是线段 的
中点，且 ，如果原点 的位置在线段 上，那么 ________.
三、解答题
32．如图一，已知数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 出发，
以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒(1)线段 __________．
(2)当点 运动到 的延长线时 _________．（用含 的代数式表示）
(3)如图二，当 秒时，点 是 的中点，点 是 的中点，求此时 的长度．
(4)当点 从 出发时，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线
向右运动，
①点 表示的数为：_________（用含 的代数式表示），
点 表示的数为：__________（用含 的代数式表示）．
②存在这样的 值，使 、 、 三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，
请直接写出 值．______________．
33．如图，在数轴上有A，B两点，其中点A在点B的左侧，已知点B对应的数为4，
点A对应的数为a．(1)若 ，则线段 的长为______（直接写出结果）；
(2)若点C在射线 上（不与A，B重合），且 ，求点C对应的数；
（结果用含a的式子表示）
(3)若点M在线段 之间，点N在点A的左侧（M、N均不与A、B重合），且
，当 ， 时，求a的值．
34．已知数轴上两点A，B（点B在点A的右侧），若数轴上存在一点C，使得AC＝
2BC，则称点C为点A，B的“2倍分点”，若使得AC＝3BC，则称点C为点A，B的“3
倍分点”，…，若使得AC＝kBC，则称点C为点A，B的“k倍分点（k为正整数）”．
请根据上述规定回答下列问题：
(1)如图，若点A表示数﹣1，点B表示数2．
①当点C表示数1时，则k＝ ；
②当点C为点A，B的“5倍分点”时，求点C表示的数；
(2)若点A表示数a，AB＝6，当点C为AB的“3倍分点”时，请求点C表示的数．
（用含a的代数式表示）35．如图，点A、B、C、O是在数轴上的点如图所示，其中点O表示的数是0，点
A、B、C表示的数分别为a、b、c．
(1)图中共有 条线段．
(2)若 ，O为CB的中点，且 ，求a、b、c的值．
(3)已知D为数轴上一点，当点D到点A的距离是点D到点B距离的4倍，则称点D
是（A，B）的“四倍点”；当点D到点B的距离是点D到点A距离的4倍时，D是（B，
A）的“四倍点”．若A、B表示的数为（2）中所求，且D在A的左边，是否存在使得
A、B、D中恰有一个点是其余两个点的“四倍点”的情况．若存在，求出D表示的数；若
不存在，请说明理由．
36．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧，
．
(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n
的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，
线段 的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
37．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如
图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、
c、d，已知 ， ， ．
(1)求a和b的值：
(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单
位/s，设平移时间为t（s）．
①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，求t的值；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为3个单位长度时，求t的值．
38．已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数 ，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点
A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时
间为t秒．
①当 时， 的长为__________个单位长度， 的长为__________个单位长度，
的长为____________个单位长度；
②在点 P的运动过程中，若 个单位长度，则请直接写出 t的值为
___________
参考答案
1．A
【分析】
根据数轴得出 ， ，求出 ， ，再分别求出每个式子
的范围，根据式子的范围即可得出答案.
解：A.因为 ， ，
所以 ， ，
所以 的值可能比2019大，故本选项正确；
B.由题意得： ，所以 ，故本选项错误；
C.因为 ， ，
所以
所以 ，故本选项错误；
D.因为
所以
所以
故本选项错误；
故选A【点拨】本题考查数轴以及有理数的运算，难度较大，熟练掌握数轴的相关知识点是
解题关键.
2．B
【分析】
先根据数轴的定义求出 的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点
与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可．
解：由题意得： 表示的数为 ，点 与原点的距离为
表示的数为 ，点 与原点的距离为
表示的数为 ，点 与原点的距离为
表示的数为 ，点 与原点的距离为
表示的数为 ，点 与原点的距离为
归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离 ；当移动次数为偶数
时，点与原点的距离为 （其中，n表示移动次数，n为正整数）
（1）当移动次数为奇数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
（2）当移动次数为偶数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
综上，n的最小值为故选：B．
【点拨】本题考查了数轴的应用、一元一次不等式的应用，掌握理解数轴的定义，并
归纳类推出规律是解题关键．
3．B
【分析】
先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答．
解：根据题意分析可得:点A , A ，A ， .. A 表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,...
n
依照上述规律，可得出结₁ 论₂:点的₃下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1
除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2;
即:当n为奇数时，A
n=
当n为偶数时，A
n=
所以点A 表示的数为: 2018÷2= 1009,
2018
A 表示的数为:- (2019+1) ÷2=-1010
2019
故选: B
【点拨】这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目首
先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后找到规律．
4．D
【分析】
运用两点之间的距离公式，画出数轴解答即可．
解：∵|a﹣c|=|b﹣c|=1，
∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离
为1，
∵ |d﹣a|=1，
∴|d﹣a|=2.5，
∴点D与点A之间的距离为2.5，
如图：
线段BD的长度为DA+AC+CB=2.5+1+1=4.5
如图：线段BD的长度为DA -AB=2.5-1-1=0.5故答案为D．
【点拨】本题考查了数轴和线段的和差，根据题意画出数轴并结合数轴进行解答是解
决本题的关键．
5．D
【分析】
根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算
方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，解得 ， ，故①正确；
当点 与点 重合时，
∵ ， ，
∴ ，故②错误；
设点P表示的数是 ，
当点 与点 重合时，点B表示的数是2，
， ， ，
∴ ，故③正确；
设点B表示的数是 ，则点C表示的数是 ，
∵M是OB的中点，
∴点M表示的数是 ，
∵N是AC的中点，
∴点N表示的数是 ，
则 ，故④正确．
故选：D．
【点拨】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．
6．A
【分析】
根据绝对值的性质，数轴上的两点之间的距离逐项分析即可．
解：若 ，则 ，故①不正确；
，当 时，
则 ，
，
，当 时，
则 ，
，当 时，
则 ，
， ，故②正确；
A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，
当 为 的中点时，即 ，则
当 为 的中点时，即 ，则
当 为 的中点时，即 ，则
故③不正确；
若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，；
即2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011故④不正确；
，
有1个负数，2个正数，
设 ，
，
故⑤不正确
综上所述，正确的有②，共1个．
故选A．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，分类讨论是解题的关键．
7．D
【分析】
设C点在数轴上对应的数为 ，根据题意可得 ，求得 ；根据题意分时
间段讨论 两小球的位置，分别求解即可．
解：设C点在数轴上对应的数为 ，则 ，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得 ，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当 时，N小球运动的距离为 ，刚好到达 点，
当 时，N小球运动的距离为 ，刚好到达 点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从 点向 点开始运动，此时 ，
点 表示数的为 ，②正确；当 时，N小球运动的距离为 ，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从 点向 点开始运动，M小球向 点运动
则 ， ，
，③错误；
当 时， ， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ，
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，此时 三点重合，
成立；
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
④正确
故选：D
【点拨】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，
解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
8．D
【分析】
根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假
设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
解：∵|a−d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a−b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b−d|＝4，
∴|b−c|＝2，∴c表示的数为8，
∴|c−d|＝|8−10|＝2，
故选：D．
【点拨】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出
a、b、c、d表示的数．
9．B
【分析】
根据题意可以求出前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规
律，本题得以解决．
解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 在AB上，且 ，
，
点 在AB上，且 ，，
与 之间的距离为2，
故选B．
【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变
化规律，利用数形结合的思想解答．
10．A
【分析】
根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-
r=-7，根据绝对值的性质，得出|q-r|的值．
解：观察数轴可得，p＜q＜r＜s，
∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，
∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，
∴p=r-10，p=s-12，
∴r-10=s-12，
∴s=r+2，
∴q-s=q-r-2=-9，
∴q-r=-7，
∴|q-r|=7．
故选A．
【点拨】本题主要考查绝对值性质的运用．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝
对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，将式子化简，即可
求解．
11．C
解：根据数轴的特点，可知-2的点移动，可以分为向左和向右，向左为-2-2=-4，向右
为-2+2=0.
故选C.
12．B
解：假设A点为原点，则d﹣b+c≠10，故不可能；假设B为原点，则d﹣b+c=10，因
此可知A点的数为-3.
故选B.13．A
【分析】
先由题意表示出AE、AB的长，再求出 与AB的倍数关系，即可判断数 所
对应的点在哪段线段上．
解： A点表示数为10，E点表示的数为
在AB段
故选：A
【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离以及数轴上数的表示，熟练掌握知识点并
能够运用数形结合的思想是解题的关键．
14． 或4.5
【分析】
根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意得：|x+2|+|x-4|=7，
当x＜-2时，化简得：-x-2-x+4=7，解得：x=-2.5；
当-2≤x＜4时，化简得：x+2-x+4=7，无解；
当x≥4时，化简得：x+2+x-4=7，解得：x=4.5，
综上，x的值为-2.5或4.5．
故答案为：-2.5或4.5．
【点拨】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键．15． ## ； ．
【分析】
（1）设点C表示的数为a，则 ， ，因为点A是B、C两点的“友好
点”，点C在线段AB上，所以 ，求解即可；
（2）对C运动过程分析，①当 ，C为友好点，求出m；② ，A为
友好点，求出m，③当 ，C为友好点，求出m；④当 ，A为友好点，
求出m，即可求出m的范围．
解：（1）设点C表示的数为a，由题意可知 ， ，
∵点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”，
∴ ， ，即 ，解之得： ，
（2）在C运动过程中，
∵运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，
∴①当 ，C为友好点，即： ，解之得 或
（舍）；
② ，A为友好点，由（1）可知 ；
③当 ，C为友好点，即： ，解之得 或 ；
④当 ，A为友好点，即： ，解之得 或 （舍）；
综上所述： ．
故答案为： ； ．
【点拨】本题考查数轴，要求掌握用数轴上的点表示有理数，会表示两点间的距离，
会计算带绝对值的运算，解题的关键是理解题意列出等式求解．
16． －1 1
【分析】
根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．
解：∵ ，
∴即
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴
∵ 表示x与-1，1和2022三个数的距
离之和，
∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；
故答案为：-1,1
【点拨】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，
根据绝对值的定义得出 表示x与-1，1和2022
三个数的距离之和是解题的关键．
17． 或30
【分析】
利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的
不同位置，找到对应的边长关系，列出关于 的方程，进行求解即可．
解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B
的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3
（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝ ，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B
的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q
表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝
30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为 秒或30秒，
故答案为： 或30．
【点拨】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，
进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间 的方程，并进行求解，这是解决这类问题
的主要思路．
18．5或3.5
【分析】
随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重
合时的情况．
解：设运动时间为t秒，
①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，
AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，
∴PC=1，
∴PD=PC+BD=5；
②当3＜t＜ 时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-
BC+2PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，
∴PC=1，
∴PD=PC+CD=5；
当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-
BC+4PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC= ，
∴PD=CD-PC=4- =3.5；
③当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，
∴PC= ，
∴PD=CD-PC=4- =3.5；
④当 ＜t＜ 时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-
BC+4PC，
∵ ，
∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，
∴PC= ，
∴PD=CD-PC=4- =3.5；
综上，线段 的长为5或3.5，
故答案为：5或3.5
【点拨】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方
程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．
19．
【分析】
根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案．
解：∴ ，
∴ ， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查数轴上两点间距离，掌握线段上的点与线段两端点的距离的和最小
是解题的关键．
20．4
【分析】
根据x的取值范围，分别判断x-1与x+3的正负，然后根据绝对值的性质求解即可.
解：∵ ，
∴ ， ，
∴原式
【点拨】此题主要考查了两点间距离公式的应用，解题的关键是根据绝对值的性质化
简.
21．
【分析】
设出点D所表示的数，表示出AD，进而表示点E所表示的数，根据折叠后点C到点
E和点B的距离相等，列方程求出答案．
解：设点D所表示的数为x，则AD＝x＋ ，
折叠后点A与点E重合，则AD＝DE，此时点E所表示的数为2x＋ ，
由折叠后点C到点E和点B的距离相等得，
①当点E在点C的右侧时，即CB＝CE，
−2＝2x＋ − ，
解得，x＝ ，
②当点E在点C的左侧时，CB＝CE，即点E与点B重合，不合题意，
所以点D所表示的数为 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的前提．
22． 8 1 18
【分析】
（I）根据数轴的定义即可得；
（Ⅱ）根据数轴的定义、线段中点的定义即可得；
（Ⅲ）先找出所求式子取最小值时，点E、F的位置，再根据数轴的定义求解即可得．
解：（I） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）由题意得：当点E在点A、Q之间，点F在点B、Q之间时，
取得最小值，
此时 ，
，
，
，
即 的最小值为18；
故答案为：8，1，18．
【点拨】本题考查了数轴、线段中点的定义，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
23．4n
【分析】
先用n表示M点表示的数，再由M、N两点之间的距离为a可得出N点表示的数，进
而可得出结论.
解：∵点M与原点O的距离为n，
∴点M表示数n或-n，
∵M、N之间的距离为m，
∴当点M表示n时， ，解得N=m-n或N=-m-n，
当点M表示-n时， ，解得N=-n+m或-n-m，
∵ n>m，∴所有满足条件的点N与原点O的距离的和为
=n+m+n-m+n-m+n+m=4n，
故答案为：4n.
【点拨】此题考查数轴上点的坐标，数轴上两点间的距离，绝对值的化简，整式是混
合运算，正确计算数轴上两点之间的距离是解题的关键.
24．（1）3；（2）2；（3）1010，1019090
【分析】
（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离之和与到2的距离之和最小，那
么x应在﹣1和2之间的线段上；
（2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x为中间点时有最小值，依此即可求解；
（3）找到中间点即可求得最小值．
解：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3；
（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2；
（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，
相应的x的取值范围或值是： =1010，
最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090．
故答案为：3；2；1010，1019090．
【点拨】本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝
对值．绝对值是正数的数有2个．找到中间点即可求得最小值．
25．4或8
【分析】
分类讨论：E在线段MN上，E在线段MN的反向延长线上，根据线段的差，可得答
案．
解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8．
当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4，
综上所述：MN=8或MN=4，
故答案为4或8．
【点拨】本题考查了两点间的线段，分类讨论是解题关键．
26．-2，1，或4
【分析】显然点C在点B的右边，且BC=2，对点A的位置分三种情况讨论，逐一求解即可．
解：显然点C在点B的右边，且BC=2，分三种情况讨论：
当A在B左边时，即AB=BC=2，所以m－n=-2；
当A在B与C之间时，即AB=AC=1，所以m－n=1；
当A在C右边时，即AC=BC=2，所以m－n=4；
故答案为：-2或1或4．
【点拨】考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是对点A的位置进行分类讨论．
27．C
【分析】
根据数轴可知， ，联系已知条件中的b-2a=7，即可求出a、b的值，进而找到
原点.
解：根据数轴可知， ，
∵ b-2a=7，
∴
则点B对应的实数是1
∴点C对应的实数是0，即数轴上的原点是C点
故答案为C
【点拨】本题考查了对数轴的理解，熟练掌握数轴的相关知识点是解题关键.
28．﹣2
【分析】
根据图示，点 和点 之间的距离是6，据此求出点C表示的数，即可求得点B表示
的数.
解：∵点 和点 所表示的两个数互为相反数，点 和点 之间的距离是6
∴点C表示的数是﹣3，
∵点B与点C之间的距离是1，且点B在点C右侧，
∴点B表示的数是﹣2
故答案为﹣2
【点拨】本题为考查数轴和相反数的综合题，稍有难度，根据题意认真分析，熟练掌
握数轴和相反数的相关知识点是解答本题的关键.
29．（1）4，7；（2）1，2；（3）a+b-c，|b-c|.
【分析】（1）（2）根据图形可直接的得出结论；
（3）先求出B点表示的数，然后由数轴上两点间的距离公式：两点间的距离是两点
所表示的数差的绝对值，计算即可.
解：
解：（1）由图可知，点A表示数-3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示
的数是4;A、B两点间的距离是|-3|+|4|=7；故答案为4，7；
（2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，则点A表示3-7=-4，再向
右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是-4+5=1，A、B两点间的距离是3-1=2；故答
案为1，2；
（3）点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，则点A表示a+b，再向左移
动个单位长度，那么终点B表示的数是a+b-c;A、B两点间的距离是|a+b-c-a|=|b-c|；故答案
为a+b-c，|b-c|.
【点拨】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.
30．7
【分析】
要求的整数值可以进行分段计算，令x-1=0或x+5=0时，分为3段进行计算，最后确
定的值．
解：令x-1=0或x+5=0时，则x=-5或x=1
当x＜-5时,
∴-（x-1）-（x+5）=6,
-x+1-x-5=6，
x=-5（范围内不成立）
当-5≤x＜1时,
∴-（x-1）+（x+5）=6，
-x+1+x+5=6,
6=6，
∴x=-5、-4、-3、-2、-1、0.
当x≥1时,
∴（x-1）+（x+5）=6，
x-1+x+5=6，2x=2，
x=1，
∴综上所述,符合条件的整数x有：-5、-4、-3、-2、-1、0、1，共7个.
故答案为7
【点拨】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了去绝对值的方法，去
绝对值在数轴上的运用．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
31．0
【分析】
由题意，根据数轴上点的位置得到a+b=2c，代入原式计算即可得到结果．
解：由题意及数轴上点的位置得：（a+b）÷2=c，即a+b=2c
则 0．
故答案为：0
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
32．(1) (2) (3) (4)① ； ② 秒或 秒或 秒
【分析】
（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所
对应的数的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用 点P运动路程－
可求解；
（3）当 秒时，根据路程＝速度×时间，得到 ，所以 ，再
由点 是 的中点，点 是 的中点，利用中点的定义得到 ， ，
最后由 即可得到结论．
（4）①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方
向向右运动，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合
“路程＝速度×时间”，再利用数轴上两点间距离公式，则点 所表示的数是点 的运动路
程加上点 所表示的数，点 所表示的数是点 的运动路程加上点 所表示的数即可．
②结合①的结论和点 所表示的数，分三种情况讨论即可．
(1)解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，∴ ．
故答案为：14
(2)∵在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以
个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
(3)∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒
的速度沿射线 的方向向右运动，
当 秒时， ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∴此时 的长度为 ．
(4)①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向
向右运动，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴ ， ，
∴点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
故答案为： ；
②结合①的结论和点 所表示的数，可知：
点 表示的数为 ，点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
分以下三种情况：
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 为 秒或 秒或 秒时， 、 、 三点中有一点恰好是以另外两点
为端点的线段的中点．
【点拨】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应
用，中点的定义，注意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点
Q表示的数．
33．(1)9；(2) 或（6-2a）；(3)
【分析】
（1）利用有理数混合运算的法则计算出a的值，结合数轴即可求得结论；
（2）分两种情况讨论解答：①点C在A，B之间；②点C在B点的右侧；设点C对应
的数字为x，依据已知条件列出等式后化简即可得出结论；
（3）设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，利用依据已知条件列出等式后化
简即可得出结论．
(1)解：∵
=-5，
∴AB=4-（-5）=4+5=9，
故答案为：9．
(2)解：设点C对应的数字为x，
①点C在A，B之间时，
∵2AC-3BC=6，∴2（x-a）-3（4-x）=6．
化简得：5x=18+2a．
∴x= ．
②点C在B点的右侧时，
∵2AC-3BC=6，
∴2（x-a）-3（x-4）=6．
化简得：-x=-6+2a．
∴x=6-2a．
综上，点C对应的数为 或6-2a．
(3)解：设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，
由题意得：AM=m-a，AN=a-n，BM=4-m，BN=4-n，
∵AM-BM=2，
∴（m-a）-（4-m）=2．
∴2m-a=6①．
∵当 =3时，BN=6BM，
∴ =3，4-n=6（4-m）．
∴m+3n=4a②，
6m-n=20③，
③×3+②得：19m=60+4a④，
将④代入①得：2× -a=6．
∴a= ．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，数轴，数轴上
的点对应的数字的特征，利用数轴上的点对应的数字表示出对应线段的长度是解题的关键．
34．(1)①2; ②C表示的数为 或 (2)a+ 或a+9
【分析】
（1）①根据k倍分点的对应即可求解；
②分两种情况：若点C在线段AB之间，若点C在线段AB延长线上，列出方程计算即可求解；
（2）分两种情况：若点C在线段AB之间，若点C在线段AB延长线上，进行讨论即
可求解．
解：(1)①k＝[1﹣（﹣1）]÷（2﹣1）＝2；
故答案为：2；
②设点C表示的数为x；
若点C在线段AB之间，则AC＝x+1，BC＝2﹣x，
∵AC＝5BC，
∴x+1＝5（2﹣x），
∴ ；
若点C在线段AB延长线上，则AC＝x+1，BC＝x﹣2，
∵AC＝5BC，
∴x+1＝5（x﹣2），
∴ ．
综上所述，C表示的数为 或 ．
(2)6× ＝ ，
6÷ ＝9，
故C表示的数为a+ 或a+9．
故答案为：a+ 或a+9．．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，数轴及列代数式，认真理解新定义：数轴
上两点A，B（点B在点A的右侧），若数轴上存在一点C，使得AC=kBC，则称点C为点
A，B的“k倍分点（k为正整数）．
35．(1)6(2)
(3)当 为 或 或 或 时，A、B、C中恰有一个点为其余两点的“四倍
点”．【分析】
（1）根据线段的定义直接得出答案；
（2）设AO=2x，BO=3x，根据线段中点的定义得到x的值，再根据数轴可得答案；
（3）分情况讨论，列出方程即可解决．
解：(1)图中共有6条线段：线段CA，CO，CB，AO，AB，OB，
故答案为：6；
(2)∵
∴设
∵O为CB中点
∴
∵ 且CA+AO=OC
∴
解得
∴
∴
(3)设点 表示的数为 ，
则 ， ，
①当点 是 的“四倍点”时，则 ，
则
解得： (不符合题意，舍去)
②当点 是 的“四倍点”时，则 ，
则 ，
解得：③当点 是 的“四倍点”时，则 ，
则
解得：
④当点 是 的“四倍点”时，则
则
解得：
⑤当点 是 的“四倍点”时，则
则
解得： (不符合题意，舍去)
⑥当点 是 的“四倍点”时，则
则 ，
解得：
∴综上所述，当 为 或 或 或 时，A、B、C中恰有一个点为其余
两点的“四倍点”．
【点拨】本题考查数轴上点的距离计算，一元一次方程的实际应用，解题关键是分情
况讨论．
36．(1) ， (2)不变化，理由见分析(3)① ；②
【分析】
（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；
（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ， ，再
由中点的定义，得 ， ，由 ，得出MN的定值；
（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；
②由题意， ，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.
(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，故答案为： ，
(2)解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点
∴ ，
即
(3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点
∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴ ，
∴ ，
∵
即
当 时．
∵∴ 不符合题意，舍去
当 时．
综上所述，线段 的长为 .
【点拨】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，
利用数形结合思想表示出线段长是解决问题的关键.
37．(1) ， (2)① ；② =7s或10s
【分析】
（1）根据绝对值和平方的非负性，求解即可；
（2）①求得移动前木棒m的中点，即可求解；②分两种情况，m在n后面时和m在n
前面时，分别求解．
(1)解：∵
∴ ，
∴ ， ．
(2)①移动前木棒m的中点为
所以，得
②分两种位置讨论：
第一种情况：
m在n后面时，BC的长度： ，
设t秒重叠3个单位长度，
；
第二种情况：m在n前面时，AD的长度： ，
，
，
综上 =7s或10s．
【点拨】此题考查了数轴与线段，一元一次方程的应用，掌握非负数性质是解题的关
键．
38．(1)见分析；(2)①4 ，2 ，4；② 或 或 或
【分析】
（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当 时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解
即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
(1)解：如图所示，即为所求；
(2)解：①当 时，P点表示的数为6-4=2，
∴ ， ， ，
故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动， 时，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当P从C向A运动， 时，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当P从A向C运动时，当 时，， ，
，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当P从A向C运动时，当 时，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，t的值为 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，
解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
