文档内容
专题12 一元一次方程概念及其解法考点分类复习
考点一 一元一次方程的概念
【知识点睛】
一元一次方程：只含有 1 个未知数（元），未知数的最高次数是1 次的整式方程叫做一元一
次方程。
【类题训练】
1．已知下列方程：
（1）x﹣2＝ ；（2）0.3x＝1；（3） ＝5x+1；（4）x+2y＝0；（5）x2﹣4x＝3．其中是一元一次
方程的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．解关于x的方程：ax＝b，下列说法正确的是 .（按字母顺序填写所有正确结论的序号，如
abc）
a．方程的解为x＝ ；b．当a≠0，x＝ ；c．当a＝0，b＝0时，x为任意值；
d．当a＝0，b＝0时，原方程无解；e．当a＝0，b≠0，原方程无解．
3．在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab．根据这
个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝ ．
4．小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x
＝1，则原方程的解为 ．
5．已知下列各式：①x﹣2＝ ；②0.4x＝1；③ ＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0；⑥x+π＞3；⑦x
﹣2；⑧2+3＝5x；⑨x2﹣1＝0．其中一元一次方程有 （填正确答案的序号）
6．已知（m﹣1）x|m|﹣2022＝2025是关于x的一元一次方程，则m＝ ．
7．若x|k﹣3|+2＝0是关于x的一元一次方程，则k＝ ．
8．当a＝ 时，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程．
9．已知代数式M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）．
（1）化简M；
（2）如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求M的值．
考点二 等式的基本性质
【知识点睛】 等式的基本性质
等式的概念 表示相等关系的式子，叫做等式
性质1 如果a=b，那么 a±c=b± c
等式 性质2 如果a=b，那么 a·c=b· c ；
的性质 a b
= (c≠0)
c c
如果a=b，那么
等式的传递性 如果a=b，b=c，那么 a= c
【类题训练】
10．若a＝b，下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．ac＝bc D．
11．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若 ，则a＝b B．若 ，则3x+4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a
12．下列说法中，正确的有（ ）
A．等式两边各加上一个式子，所得的结果仍是等式
B．等式两边各乘以一个数，所得的结果仍是等式
C．等式两边都除以同一个数，所得的结果仍是等式
D．一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加，所得的结果仍是等式
13．若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（ ）
A．15 B．﹣5 C．5 D．3
14．若a＝ + ，其中a，b，c是实数，则（ ）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
考点三 方程的解
【知识点睛】
方程的解：使方程成立的未知数的值
【类题训练】
15．若方程x+2a＝﹣3的解为x＝1，则a为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
16．若不论k取什么实数，关于x的方程 （a、b是常数）的解总是x＝1，则a+b的值是（ ）
A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5
17．已知关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x＝k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．﹣1
考点四 解一元一次方程
【知识点睛】
解一元一次方程的一般步骤及注意事项：
步骤 名 称 方 法 注 意 事 项
在方程两边同时乘以所有分母的
①不含分母的项也要乘以最小公倍数；
最小公倍数（即把每个含分母的部
1 去分母 ②分子是多项式的一定要先用括号括起
分和不含分母的部分都乘以所有分
来
母的最小公倍数）
2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 注意正确的去掉括号前带负数的括号
把未知项移到议程的一边（左
3 移项 移项一定要改变符号
边），常数项移到另一边（右边）
分别将未知项的系数相加、常数
4 合并同类项 单独的一个未知数的系数为“±1”
项相加
在方程两边同时除以未知数的系
系数化为 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系
5 数（即方程两边同时乘以未知数系
“1” 数作除数——分母）
数的倒数）
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
①若左边＝右边，则x=a是方程的解；
*6 检根x=a
② 若左边≠右边，则x=a不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经
过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照
一般方法解
【类题训练】
18．方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（ ）
A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝5
19．解方程 ，去分母正确的是（ ）
A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3
C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）
20．下列方程变形不正确的是（ ）
A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3 B．3x＝2变形得：C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3
D． 变形得：4x﹣1＝3x+18
21．解方程 时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程
的解为x＝2，则方程正确的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C． D．
22．关于x的方程 ﹣x＝ +1变形正确的是（ ）
A． ﹣x＝ +1 B． ﹣x＝ +1
C． ﹣10x＝ +100 D． ﹣100x＝ +100
23．定义运算：a⊕b＝5a+4b，那么当x⊕9＝61时， ⊕x＝ ．
24．如图的框图表示了琳琳同学解方程 +1＝ 的流程，你认为琳琳同学在解这个方程的过程
中从第 步开始出现问题，正确完成这一步的依据是 ．
25．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
mx+n ﹣12 ﹣8 ﹣4 0 4
则关于x的方程﹣mx+n＝8的解为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝226．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如
max{2，﹣4}＝2．则方程max{x，﹣x}＝3x+4的解为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣2 D．1或2
27．解下列方程：
（1）4x﹣3＝7﹣x； （2）4x﹣2（3x﹣2）＝2（x﹣1）；
（3）2﹣ ＝ ． （4） ；
（5） ． （6） ．
（7） ． （8） ．
28．对于方程 ＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
29．我们知道， ，…
因此关于x的方程 ＝120的解是 ；
当于x的方程 ＝2021的解是 （用含n的式子表示）．考点五 解含绝对值的一元一次方程
【知识点睛】
若|ax|=b（b≥0）；则： { ax=b 若|ax|=|b|；则： { ①ax=b
或ax=−b ②ax=−b
【类题训练】
30．方程|2x+1|＝5的解是（ ）
A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3
31．如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ 或1 C．﹣ 或﹣2 D．﹣ 或﹣4
32．若|2x﹣3|﹣3+2x＝0，则代数式2x﹣5的绝对值等于（ ）
A．2x﹣5 B．5﹣2x C．﹣2 D．﹣5
33．先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程：|x﹣5|＝2．
解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；
当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．
所以原方程的解是x＝7或x＝3．
（1）解方程：|2x+1|＝7．
（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．
①若方程无解，则m的取值范围是 ；
②若方程只有一个解，则m的值为 ；
③若方程有两个解，则m的取值范围是 ．
考点六 一元一次方程的同解问题
【知识点睛】
一元一次方程的同解问题通常会含有另一个参数字母
此类问题分两类：
1) 给出的两个一元一次方程中，一个方程完全确定，另一个方程含参数；
解决办法：①求出完全确定的方程的解
②将解出的方程的解代入到含参数的方程，解出参数字母的值；
2) 给出的两个一元一次方程都含有参数字母；
解决办法：①分别求出两个方程的解，用含参数字母的表达式表示
②让两个方程的解的表达式相等，解出参数字母的值；【类题训练】
34．关于x的方程kx＝2x+6与2x﹣1＝3的解相同，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
35．已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．
（1）求m的值；
（2）求代数式（﹣2m）2020﹣（m﹣ ）2021的值．
36．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是 2x﹣
＝ x+1．
（1）小明猜想“ ”部分是2．请你算一算x的值；
（2）小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1﹣ ＝ 的解相同，请你算一算被污
染的常数应是多少？
