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第 02 讲 勾股定理的逆定理
【题型1：勾股定理的逆定理的运用】
【题型2：直角三角形的判断】
【题型3：勾股定理的逆定理应用】
【题型4：勾股数的应用】
考点1：勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三
角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否
为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的
c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐
c
角三角形，其中 为三角形的最大边.
【题型1：勾股定理的逆定理的运用】
【典例1】（2023春•怀柔区期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（
）A．3，4，6 B．2， ， C．1，2， D．6，8，10
【变式1-1】（2023春•郾城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（ ）
A． ， ， B．1，2，3
C．0.3，0.4，0.5 D． ， ，
【变式1-2】（2023春•临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的
是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17
【变式1-3】（2023春•长寿区期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角
形的是（ ）
A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝1， ，
C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝3，b＝4，c＝5
【题型2：直角三角形的判定】
【典例2】（2023春•庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝
∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：
12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（2023春•江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、
c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2
C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【变式2-2】（2023春•山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c
＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条
件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【变式2-3】（2023春•北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝
【典例3】（2023春•北京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为
1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式3-1】（2023春•良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的
三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到AB边的距离．
【变式3-2】（2023春•绵阳期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝
12，BD＝9．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求点D到AC、BC的距离之和．
【变式3-3】（2023春•泸县校级期中）如图所示，每个网格正方形的边长为 1cm，△ABC
的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
（3）求边AB上的高．【题型3：勾股定理的逆定理应用】
【典例4】（2023春•虞城县期末）如图，等腰三角形 ABD的腰长为13cm，底边BD＝
10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）如图，已知 AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝
13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春•南开区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝
7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：∠D＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式4-3】（2023春•休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝
12，CD＝3，AD＝4．（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
考点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型4：勾股数】
【典例5】（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
【变式5-1】（2023秋•福田区校级期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载
于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是
（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10
【变式5-2】（2023秋•六盘水期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．1， ， C．7，24，25 D．2，3，4
【题型5：勾股定理的应用】
【典例6】（2022秋•古县期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上．他先拉住风筝线，
垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好
接触地面．求风筝距离地面的高度AB．【变式6-1】（2023秋•肇东市校级期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯
子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【变式6-2】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民
放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了
测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②
根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为
1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【变式6-3】（2023秋•东台市期中）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个
土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
问：（1）在离A站多少km处？
（2）判定三角形DEC的形状．
一．选择题（共10小题）1．（2023秋•秦淮区期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是
（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，12，13
2．（2023秋•公主岭市期末）如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面
离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为（ ）
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
3．（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
4．（2022秋•运城期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条
件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25
5．（2022秋•古县期末）如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，
B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100m，BC
＝60m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE是（ ）
A．80m B．60m C．50m D．40m
6．（2022秋•萨尔图区期末）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯
表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米 B．7米 C．8米 D．9米
7．（2022秋•普宁市期末）如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，
打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（ ）A．2m B．3m C．3.5m D．4m
8．（2023春•益阳期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子
底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将
梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
9．（2022秋•东台市期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然
后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
10．（2023秋•法库县期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12
米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋•丰顺县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB
＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6米的
学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，
则AD＝ 米．12．（2023秋•法库县期末）如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为 4cm，3cm，
12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的长度为h cm，则
h的取值范围为 ．
13．（2023 秋•龙港区期末）如图，正方形网格中，点 A，B，C 都在格点上，则
∠CAB+∠ACB＝ ．
14．（2023•双流区开学）如图，强大的台风使一根旗杆断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4
米处，断裂前旗杆总长为8米，则旗杆在离地面 米处折断倒下．
15．（2022秋•河南期末）如图，直角△ABC中，AC＝7，AB＝25，则内部五个小直角三
角形的周长为 ．
三．解答题（共4小题）
16．（2023秋•公主岭市期末）一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积．
17．（2023春•天山区校级期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠
岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D
的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
18．（2022秋•姜堰区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交
CB于点E，AD＝3，BD＝ ，CD＝4．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求点E到AB边的距离．
19．（2023秋•衢江区期中）学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆
AB的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳
子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离 CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图
2）．
（1）若旗杆的高度AB＝x米，那么绳子的长度可以表示为 米（用含x的
代数式表示）．
（2）求旗杆AB的高度．
