文档内容
专题 16 专项突破-线段和角中重难点
【思维导图】
◎类型一 线段的和与差
【例】．（2022·贵州铜仁·七年级期末）己知点M是线段AB上一点，若 ，点N是直线AB上的
一动点，且 ，则 的（ ）
A． B． C．1或 D． 或2
【答案】C
【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N在射线BA上时， ，不合题意
当N在射线AB上时， ，此时当N在线段AB上时，
由图可知
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．
【跟踪训练】．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）已知线段 ，延长 到 ，使
， 为 的中点，若 cm，则 （ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，根据中点的性质可得 ，根据 ，结合已
知条件即可求解．
【详解】解： ，
，为 的中点，
，
，
，
cm，
故选D
【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·福建福州·七年级期末）点A、B、C在同一直线上， ， ，则
（ ）．
A．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对
【答案】C
【分析】分两种情况分别计算，即可分别求得．
【详解】解：当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，
当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，
故BC的长为12cm或8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了求线段的和差，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
变式2．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段
AB＝18cm，则线段的BD长为（ ）
A．6cm B．15cm C．12cm或15cm D．12cm或6cm
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论．
【详解】解∶∵C是线段AB的中点， AB= 18cm，
∴AC=BC= AB= ×18=9cm，
点D是线段AC的三等分点，
当点D离点A较近，即AD= AC时，如图1，∵AD= AC，AC=9cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD= 18-3=15cm；
②当点D离点C较近，即CD= AC时，如图2，
∵CD= AC，AC=9cm，
∴CD=3cm，
∵BC=9cm，
∴BD= BC+CD=9+3=12cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
变式3．（2022·河南商丘·七年级期末）已知点C在直线AB上，AB4，BC6，点D是线段AC的中点，则
AD等于（ ）
A．5 B．2 C．5或1 D．5或2
【答案】C
【分析】分类讨论点C在线段AB的延长线上时，当点C在线段AB的反向延长线上时，根据线段的和差，
可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AD的长．
【详解】当点C在线段AB的延长线上时，
AB4，BC6，
，
点D是线段AC的中点，；
当点C在线段AB的反向延长线上时，
AB4，BC6，
，
点D是线段AC的中点，
；
综上，AD等于5或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，又利用了线段中点的性质，能求出符合
的所有情况是解此题的关键．
◎类型二 线段中点的有关计算
【例】．（2022·山东烟台·期中）六年级正在举办“线段争霸赛”，题板上出示第一个抢答题目是：如图，
点 为线段 上一点， ， 是线段 中点， ， 为线段 的中点，则
（ ）
A．2 B．1 C．1.5 D．3
【答案】B
【分析】首先根据题意容易得到MC、AC的长度，再结合AC-BC=4可得BC的长度；再由MB=MC+BC,结
合N为线段MB的中点可得MN的长度，再由CN=MN-MC即可解答本题．
【详解】解：∵点M为AC的中点，
∴
∴AC=12，
∵ ，
∴
∴又点N为BM的中点，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查的是线段的和差倍关系的相关知识. 解决此类问题的关键是找到各个已知量和未知
量之间的关系，用已知量表示出未知量，然后进行求解．
【跟踪训练】．（2022·山东泰安·期末）已知线段 ，点 是直线 上一点， ，
若 是 的中点， 是 的中点，则线段 的长度是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线
段中点的定义，计算即可．
【详解】解：①当点C在线段AB上时，AB=2022cm，BC=1000cm，如图，
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴AC=2022-1000=1022(cm)，
则MN=MC+CN= AC+ BC=511+500=1011 (cm)，
②当点C在线段AB的延长线上时，AC=2022+1000=3022cm，如图，
MN=MC-CN= AC- BC=1511-500=1011cm．
综上所述，线段MN的长度是1011cm．
故选：A．
【点睛】本题考查中点有关的线段计算，熟练掌握线段和差与线段中点的定义是解题的关键．
【变式训练】．
变式1（2022·全国·七年级课时练习）在数轴上，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，且 ， 满足．点 为直线 上点 右边的一点，且 ，点 为 中点，则线段 的长为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【分析】根据a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0，即可得到a、b的值，从而可以得到点A，B所表示的数；设
点P表示的数为m，先根据中点的定义表示点Q，根据数轴上两点的距离表示AP＝3PB，列方程可得结论．
【详解】解：∵|a+5|+（b﹣3）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣5，b＝3，
即点A，B所表示的数分别为﹣5，3；
设点P表示的数为m，
∵点P在直线AB上点B右边一点，
∴m＞3，
∵点Q为PB的中点，
∴BQ＝
∴点Q表示的数为：
∵AP＝3PB，
∴m－（﹣5）＝3（m﹣3），
∴m＝7，
∴AQ＝ －（﹣5）＝ +5＝10．
故选：C
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数轴上
两点的距离表示线段的长．
变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）如图，点C，D是线段AB上任意两点，点M是线段AC的中点，
点N是线段DB的中点，若 ， ，则线段CD的长等于（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由AB−MN=m−n，得AM+BN=m−n，再根据中点的性质得AC+BD=2m−2n，最后由CD=AB−
(AC+BD)即可求出结果．
【详解】解：∵AB=m，MN=n，
∴AB−MN=m−n，
∴AM+BN=m−n，
∵点M是AC的中点，点N是DB的中点，
∴AM=MC，BN=DN，
∴AC+BD=AM+MC+BN+DN=2(AM+BN)=2(m−n)=2m−2n.，
∴CD=AB−(AC+BD)=m−(2m−2n)=2n−m，
故选：D．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．
变式3．（2021·河南开封·七年级期末）已知线段 ，点C在 的延长线上，点D在直线 上，
， ，点M是线段 的中点，则 的长为（ ）
A．4或12 B．8或12 C．4或8 D．9或12
【答案】A
【分析】如图1，当D在线段AB上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段的中点的定义得到
CM= CD=8，于是得到AM=AC−CM=4；如图2，当D在ABAB的延长线上时，根据线段的和差得到
BC=AB+AC=32，根据线段中点的定义得到CM= CD=24，于是得到AM=CM−AC=24−12=12．
【详解】解：如图1，当D在线段AB上时，
∵AB=20，AC=12，
∴BC=AB+AC=32，
∵BD=16，
∴CD =BC−BD=16，∵点M是线段CD的中点，
∴CM= CD=8，
∴AM=AC−CM=4；
如图2，当D在AB的延长线上时，
∵AB=20，AC=12，
∴BC=AB+AC=32，
∵BD=16，
∴CD=BC+BD=32+16=48，
∵点M是线段CD的中点，
∴CM= CD=24，
∴AM=CM−AC=24−12=12，
综上， 的长为4或12，
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，在未画图类问题中，正确画图很重要．本
题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
◎类型三 线段n等分点的有关计算
【例】．（2022·河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三
等分点，则线段BD的长为（ ）
A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×12＝6（cm），
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝ AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+ AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝ AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+ AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键；
【跟踪训练】．（2021·江苏·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段 ，在线段 取一点 ，使
，从 处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为 ，则绳子的原长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓
住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵ ，
∴2AP= ＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+ ×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12× cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今
后解决类似的问题时，要防止漏解．
【变式训练】．
变式1．（2021·山东济宁·七年级期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段
的中点，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分两种情况分析：点C在AB的 处和点C在AB的 处，再根据中点和三等分点的定义得到线
段之间的关系求解即可.
【详解】①当点C在AB的 处时，如图所示：
因为 ，E是线段BC的中点，
所以BC=12,
又因为点C是线段AB上的三等分点，
所以AB＝18；
②当点C在AB的 处时，如图所示：
因为 ，E是线段BC的中点，
所以BC=12,又因为点C是线段AB上的三等分点，
所以AB＝36.
综合上述可得AB=18或AB=36.
故选：D.
【点睛】考查了线段有关计算，解题关键根据题意分两种情况分析，并画出图形，从而得到线段之间的关
系.
变式2．（2021·全国·七年级专题练习）如图，C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是（
）
A．AB＝4AC B．CE＝ AB C．AE＝ AB D．AD＝ CB
【答案】D
【分析】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝ AB，即可知A、B、C均正确，
则可求解
【详解】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝ AB，
选项A，AC＝ AB AB＝4AC，选项正确
⇒
选项B，CE＝2CD CE＝ AB，选项正确
⇒
选项C，AE＝3AC AE＝ AB，选项正确
⇒
选项D，因为AD＝2AC，CB＝3AC，所以 ，选项错误
故选D．
【点睛】此题考查的是线段的等分，能理解题中：C，D，E是线段AB的四等分点即为AC＝CD＝DE＝
EB＝ AB，是解此题的关键
变式3．（2020·山东·德州四中七年级期末）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、
B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；
③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.
【详解】解：（1）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝BC＝ ，
又∵AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∴结论①正确；
（2）如图2所示：
∵AC ＝1，AB＝4，
1
∴ ，
∴点C 为线段AB的四等分点
1
又∵AC ＝1，
2
∴
又∵点C 在AB的反向延长线上，
2
∴点C 不是线段AB的四等分点，
2
∴结论②错误；
（3）如图3所示：
点C为线段AB上的一动点，
∴AB＝AC+BC，
又∵AB＝4cm，
∴AC+BC＝4cm，∴结论③正确；
（4）如图4所示：
若点C在AB的延长线上时，
AC +BC ＞AB，
1 1
∵AB＝4，
∴AC +BC ＝AB+2BC ＞4cm，
1 1 1
若点在AB的反向延长线上时，
AC +BC ＞AB，
2 2
∵AB＝4，
∴AC +BC ＝AB+2AC ＞4cm，
2 2 2
∴结论④正确；
（5）如图5所示：
若点C在线段AB的延长线时，且AC ＝6cm，有
1
AC +BC ＝8cm，
1 1
若点C在线段AB的反向延长线时，且AC ＝2cm，有
2
AC +BC ＝8cm，
2 2
∴结论⑤错误．
综合所述；正确结论是①、③、④，
故选：C．
【点睛】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和
运算法则是关键.
◎类型四 线段间的数量关系
【例】．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB，延长AB至C，使AB＝mBC，反向延长AB至D，
使AD＝ BD，若AB：CD＝6：13，则m的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据已知条件易求AD＝ BC，再利用线段的和差可得CD＝ BC，由AB：CD＝6：13可
得关于m的方程，解方程可求解m值．
【详解】解：如图，
∵AD＝ BD，
∴AB＝2AD，
即AD＝ AB
∵AB＝mBC，
∴AD＝ BC，
∴CD＝AD＋AB＋BC＝ BC＋mBC＋BC＝（ m＋1）BC，
∵AB：CD＝6：13，
∴mBC：（ m＋1）BC＝6：13，9m＋6＝13m
解得m＝ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，求解CD与BC的关系是解题的关键．
【跟踪训练】．（2022·河南新乡·七年级期末）如图，若 ，M为AC的中点， ，则BM
的长度为（ ）
A．10 B．9.5 C．9 D．8
【答案】D
【分析】根据M为AC的中点， ，求出AM，AB的长度，再利用线段的和差求解即可．【详解】解：∵ ，M为AC的中点，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查中点的定义、线段之间的和差关系，属于基础题．
【变式训练】．
变式1．（2022·贵州遵义·七年级期末）如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，
EA：AB：BF＝1：2：3，若MN＝8cm，则线段EF的长为（ ）cm
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，
那么线段MN可以用x表示，而MN=8cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度．
【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，
可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，
而M、N分别为EA、BF的中点，
∴MA= EA= x，NB= BF x，
∴MN=MA+AB+BN= x+2x+ x=4x，
∵MN=16cm，
∴4x=8，
∴x=2，
∴EF=EA+AB+BF=6x=12，
∴EF的长为12cm，
故选C．
【点睛】本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化
线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
变式2．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校一模）如图，在平行四边形 中，点 为 的中点，
与 相交于点 ，若已知 ，那么 等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．3
【答案】A
【分析】根据点 为 的中点，得出DM= ，根据平行四边形 性质，得出AB∥CD，AB=CD，
可证△ABN∽△MDN，利用相似三角形性质得出AN=2MN，根据等高三角形面积比得出
即可．
【详解】解：∵点 为 的中点，
∴DM= ，
在平行四边形 中AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABN=∠MDN，∠BAN=∠DMN，
∴△ABN∽△MDN，
∴ ，
∴AN=2MN，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质，掌握以上性质是解题关键．
变式3．（2022·广西南宁·七年级期末）已知线段AB，延长AB至C，使 ，D是线段AC上一点，
且 ，则 的值是（ ）．
A．6 B．4 C．6或4 D．6或2
【答案】D
【分析】根据延长AB至C，使 ，求出AC与AB的关系，再根据点D在AB或BC上，分别求出
AD与AB的关系，再求两线段的比．
【详解】解：∵线段AB，延长AB至C，使 ，
∴AC=AB+BC=AB+2AB=3AB，
∵D是线段AC上一点，且 ，
当点D在AB上，AD=AB-BD=AB- = ，
∴ ,
当点D在BC上，
∴AD=AB+BD=AB+ ，
∴ ．
故选择D．
【点睛】本题考查线段的画法，分类考虑点D的位置，线段的和差倍分，两线段的比，掌握线段的画法，
分类考虑点D的位置，线段的和差倍分，两线段的比，利用数形结合思想再求求出AD与AB的关系是解
题关键．◎类型五 与线段有关的动点问题
【例】（2021·全国·七年级专题练习）B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以 的速度运动．C是
线段BD的中点． ．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可
求出线段EC．
【详解】设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故选：B．
【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意
是关键．
【跟踪训练】（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直
线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的
黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（ ）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中
点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段
的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．
【变式训练】．
变式1．（2021·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，
按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A 处，第2次从A 点跳动到AO的中点A 处，第3次从A 点跳
1 1 1 2 2
动到AO的中点A 处，按照这样的规律继续跳动到点A，A，A，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过
2 3 4 5 6
这样2023次跳动后的点与AA的中点的距离是（ ）
1
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳
动后的点与AA的中点的距离，本题得以解决．
1
【详解】解：由题意可得，
点A 表示的数为8× ＝4，
1
点A 表示的数为8× × ＝2，
2
点A 表示的数为8× × ＝1，
3
…，
点An表示的数为8×（ ）n，
∵AA的中点表示的数为（8+4）÷2＝6，
1
∴2023次跳动后的点与AA的中点的距离是：6﹣8×（ ）2023＝6﹣（ ）2020＝6﹣ ，
1
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．变式2．（2022·山东滨州·七年级期末）如图，线段 的长为 ，点 为 上一动点（不与 ， 重
合）， 为 中点， 为 中点，随着点 的运动，线段 的长度（ ）
A．随之变化 B．不改变，且为
C．不改变，且为 D．不改变，且为
【答案】D
【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解．
【详解】∵ 为 中点， 为 中点，
∴DC= AC，CE= BC
∴DE=DC+CE
= AC+ BC
= AB
= m
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关
键．
变式3．（2020·江苏·无锡外国语学校七年级期中）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A､C同
时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4
倍，则它们第2017次相遇在边( )
A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上
【答案】C
【分析】第一次相遇行走路程为2a,第二次路程为4a…第n次还是4a,而他们的速度和为5v，求每次甲走的
路程，甲第一次走的路程为S= ，第二次走的路程为S= ，第n次走的路程为S = ，然后求出甲
1 2 n一共走的路程被一周4a除看有多少圈，最后考虑余下的圈数乘以一周4a即可．
【详解】设正方形的边长为a，甲的速度为v,则乙的速度为4v，
第一次相遇时间为t，第二次相遇时间为t，第n次相遇时间为t，
1 2 n
甲第一次走的路程为S，第二次走的路程为S，第n次走的路程为S，
1 2 n
4vt+vt=2a，
1 1
t= ，S=v•t = ，
1 1 1
4vt+vt=4a，
2 2
t= ，S= v•t = ，
2 2 2
4vt+vt=4a，
3 3
t= ，S= v•t = ，
3 3 3
…
t= ，S= v•t = ，
n n n
S=S +S +…+S = + +…+ = ，
1 2 n
当n=2017时，
S= ，
S÷4a=403.3圈，
0.3×4a=1.2a，
第2017次相遇在CD上距离D为0.2a．
故选择：C．
【点睛】本题考查相遇地点问题，关键是以甲还是乙为考查对象，然后计算他们走的总路程，被一周4a除
看余数，掌握路程时间与速度关系，确定好每次走的路程，第一次2a，以后都是4a才能得以解决问题．
◎类型六 与方向角有关的计算题
【例】（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，小明从A处沿南偏西 方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西 方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3= 、∠1= ，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计
算即可．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿南偏西 方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西 方向行走至点E处
∴∠2=∠3= ，∠1=
∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
【跟踪训练】．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，一艘快艇向正东方向行驶至点 时，接到
指令向右转 ，航行到 处，再向左转 ，航行到 处，再向右转 继续航行，此时这艘快艇的航行
方向为（ ）A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东
【答案】C
【分析】只需要根据平行线的性质求出∠PCQ的度数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，∠BAF=70°，
∵ ，
∴∠EBH=∠BAF=70°，
∵∠CBE=100°，
∴∠CBH=30°，
∵ ，
∴∠PCG=∠CBH=30°，
又∵∠GCQ=45°，
∴∠PCQ=15°，
∴此时的航行方向为南偏东75°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了与方位角有关的计算，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
【变式训练】．
变式1．（2022·河北·景县第二中学一模）如图，已知A处在O处的南偏东30°方向上，若∠AOB＝80°，
OB在OA的左侧，则B处位于O处的方向是（ ）A．南偏西50° B．北偏西40° C．北偏东50° D．南偏东40°
【答案】A
【分析】先计算OB与正南方向的夹角大小，后用方位角描述即可．
【详解】设正南方向为OC，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝50°，
∴B处位于O处的方向是南偏西50°，
故选A．
【点睛】本题考查了方位角，正确理解方位角的意义是解题的关键．
变式2．（2022·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）如图，有 三个地点，且 ，从A地
测得B地的方位角是北偏东 ，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏西【答案】A
【分析】根据方向角的概念和平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵AF//DE，
∴∠ABE=∠FAB=43°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=47°，
∴C地在B地的北偏西47°的方向上．
∴从C地测B地的方位角是南偏东
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
变式3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图，甲从点 出发向北偏东65°方向走到点 ，乙从
点 出发向南偏西20°方向走到点 ，则 的度数是（ ）
A．85° B．135° C．105° D．150°
【答案】B
【分析】如图，先求出∠BAD= ，∠CAE=20°，∠EAD= ，根据
=∠BAD+∠EAD+∠CAE即可计算得出答案．
【详解】如图，∵∠BAD= ，∠CAE=20°，∠EAD= ，
∴ =∠BAD+∠EAD+∠CAE=135°,故选：B．
．
【点睛】此题考查方位角的计算，正确掌握方位角的表示及角度的和差计算是解题的关键．
◎类型七 三角板中角度的有关计算问题
【例】．（2022·山东威海·七年级期中）如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边平行）
的一边上，若∠1=28°，则三角板的斜边所在直线与长尺的另一边的夹角∠2= ( )
A．16° B．17° C．18° D．19°
【答案】B
【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角和定理计算即可．
【详解】如图，∵45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边平行）的一边上，∠1=28°，
∴AB∥CD，∠4=45°，
∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4-∠3，
∴∠2=17°，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角板的性质，直尺的性质，平行线的性质，三角形外角和定理，熟练掌握平行线的
性质和三角形外角和定理是解题的关键．
【跟踪训练】．（2022·山东青岛·期中）如图，将两个三角尺的直角 与 顶点O重合在一起，若 ，OE为 的平分线，则 的度数为（ ）
A．36 B．45 C．60 D．72
【答案】D
【分析】根据∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE
的度数，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．
【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝36°，
∵OE为∠BOC的平分线，
∴∠COE ∠BOC＝18°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC＝180°．
【变式训练】
变式1．（2022·河北保定·七年级阶段练习）一副直角三角板如图摆放，其中
与 交于点M．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出
∠MDB度数，在△BMD中，利用三角形外角性质可求出∠BMF的度数．
【详解】解：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°，
∴∠F＝90°−∠E＝45°，
∵BC EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
是△BMD的一个外角，
∴∠BMF＝∠B ∠MDB＝75°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查求角度问题，涉及到三角形内角和定理、平行线的性质和三角形外角性质，根据图
形，结合相关定理性质求出每个角的度数是解题关键．
变式2．（2022·江苏常州·七年级期末）把一副三角尺按如图所示放置（2个直角顶点重合），则∠1、
∠2、∠3的和是（ ）
A．60° B．90° C．105° D．120°
【答案】C
【分析】为便于描述，按图设置字母，根据△MON和△HOG是一副三角板，可得∠OMN=60°，
∠OHG=45°，∠MON=∠HOG=90°，则有∠OMH=60°-∠1，∠MHO=45°-∠3，∠MOG=90°-∠2，
∠NOH=90°-∠2，在△OMH中，根据∠OMH+∠OHM+∠MOG+∠NOH+∠2=180°即可求解．
【详解】为便于描述，按下图设置字母，∵△MON和△HOG是一副三角板，
∴根据图形可知∠OMN=60°，∠OHG=45°，∠MON=∠HOG=90°，
∵∠OMH=∠OMN-∠1，∠MHO=∠OHG-∠3，∠MOG=∠MON-∠2，∠NOH=∠HOG-∠2，
∴∠OMH=60°-∠1，∠MHO=45°-∠3，∠MOG=90°-∠2，∠NOH=90°-∠2，
∵在△OMH中，∠OMH+∠OHM+∠MOG+∠NOH+∠2=180°，
∴60°-∠1+45°-∠3+90°-∠2+90°-∠2+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠2=105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、常用三角板的特性等知识，根据△MON和△HOG是一副三角板，
得到∠OMN=60°，∠OHG=45°，∠MON=∠HOG=90°是解答本题的关键．
变式3．（2022·辽宁丹东·七年级期末）如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若
，则 的度数为（ ）
A．22.5° B．23.2° C．25.5° D．30°
【答案】A
【分析】设∠BOC＝x，根据余角的性质可得∠AOC＝90°−x，∠BOD＝90°−x，则可得出∠AOD＝∠AOC＋
∠BOC＋BOD＝90°−x＋x＋90°−x＝180°−x，根据已知∠BOC：∠AOD＝1：7，可得x：180−x＝1：7，求解
即可得出答案．
【详解】解：设∠BOC＝x，
∵∠AOC＝90°−x，∠BOD＝90°−x，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠BOC＋BOD＝90°−x＋x＋90°−x＝180°−x，∵∠BOC：∠AOD＝1：7，
∴x：180−x＝1：7，
解得：x＝22.5°，
∴∠BOC＝22.5°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角的定义及角的计算，熟练掌握余角的定义及角的计算进行求解即可得出答案．
◎类型八 几何图形中的有关角度的计算问题
【例】．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：
①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有4对互为补角的角；
③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离
之和的最小值为15．其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，
由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段CD上最小，点F和
E重合最大计算得出答案即可．
【详解】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，
故②错误；
③由∠BAE=110°，∠DAC=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=110°+110°
+110°+40°=370°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为
FB+FE+FD+FC=BE+CD=BC+CD+DE+CD=4+3+5+3=15，故④正确．故选：C．
【点睛】此题分别考查了线段、角的和与差以及角度的计算，解题时注意：互为邻补角的两个角的和为
180°．
【跟踪训练】．（2022·广西贺州·一模）已知 ， ，则∠BOC的度数为（ ）
A．78° B．42° C．78°或42° D．102°或48°
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，即①当 在 内部时，②当 在 外部时，先根据题意画
图，然后根据角的和差关系计算即可．
【详解】解：①如图，当 在 内部时，
；
②如图，当 在 外部时，
；
综上所述， 的度数为 和 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，解题的关键是注意分两种情况讨论．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏扬州·七年级期末）若∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．80° C．40°或80° D．60°
【答案】C
【分析】考虑两种情形①当OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-20°=40°，②当OC在∠AOB
外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°．【详解】解：如图
当OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-20°=40°，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°， 故答案为40°或80°．
故选C．
【点睛】本题考查角的计算，解决本题的关键是正确画出图形，熟练根据角的和差关系进行计算．
变式2．（2022·四川达州·七年级期末）已知 ， ，则 （ ）
A．15° B．105° C．15°或105° D．无法确定
【答案】C
【分析】利用分类讨论的思想方法，分射线 在 的内部和在 的外部两种情况讨论解答，画
出图形，利用角的和差计算即可得出结论．
【详解】解：当射线 在 的内部时，如图1，
则 ；
当射线 在 的外部时，如图2，
则 ．
的度数为 或 ．
故选：C．
图1 图2
【点睛】本题主要考查了角的计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．变式3．（2022·重庆渝北·七年级期末）如图，已知 平分 ， 平分
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，
即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝90°，
则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
◎类型九 实际问题中的角度计算
【例】．（2020·全国·七年级课时练习）如图，把 放置在量角器上， 与量角器的中心重合，读得
射线 、 分别经过刻度 和 ，把 绕点 逆时针方向旋转到 ，下列结论：
① ；
②若射线 经过刻度 ，则 与 互补；
③若 ，则射线 经过刻度45．
其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由 = =36°，得 ，即可判断①，由 =117°-27°-36°=54°，
=153°-27°=126°，即可判断②，由 ，得 ，进而得 ，即
可判断③．
【详解】∵射线 、 分别经过刻度 和 ， 绕点 逆时针方向旋转到 ，
∴ = =36°，
∵ ， ，
∴ ，
故①正确；
∵射线 经过刻度 ，
∴ =117°-27°-36°=54°， =153°-27°=126°，
∴ + =54°+126°=180°，即： 与 互补，
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴射线 经过刻度45．
故③正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查角的和差倍分关系以及补角的定义，掌握角的和差倍分关系，列出方程，是解题的
关键．
【跟踪训练】．（2020·宁夏大学附属中学七年级期末）下午14点20分，时钟的时针与分针夹角的度数是
（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】根据在下午14点20分，计算出分针与时针分别的旋转角度，再计算两针开始转时相差2×30°，
则即可计算这时时针与分针所成的角．
【详解】解：下午14点20分，分针从数字12开始转了20×6°=120°，时针从数字2开始转了
20×0.5°=10°，而两针开始转时相差2×30°
这时时针与分针所成的角的度数为120°-2×30°-10°=50°．
∴故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
【变式训练】．
变式1．（2018·安徽·阜阳市民族中学七年级期末）下列说法错误的是( )
A．从n边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余不相邻的各顶点,可以把这个n边形分成(n-3)个三角
形
B．当9:30时,时针和分针的小于平角的夹角是105°
C．一个圆被三条半径分成面积比为3∶4∶5的三个扇形,则最小扇形的圆心角为90°
D．19.38°=19°22′48″
【答案】A
【分析】根据多边形的对角线的知识、钟面角的知识、圆心角与圆周角的关系、角度的换算等知识逐一进
行分析即可得.
【详解】A. 从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点和其余不相邻的各顶点，可以把这个n边形分成
(n-2)个三角形，故A选项错误，符合题意；
B. 当9:30时，时针和分针的小于平角的夹角是3×30°+0.5°×30=105°，故B选项正确，不符合题意；
C. 一个圆被三条半径分成面积比为3∶4∶5的三个扇形，则最小扇形的圆心角为360°× =90°，故C选
项正确，不符合题意；
D. 0.38×60′=22.8′，0.8×60″=48″，所以19.38°=19°22′48″，故D选项正确，不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了多边形的对角线、角度的换算、钟面角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式2．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，
则∠BOC的度数为（ ）A．28° B．112° C．28°或112° D．68°
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，当点C与点C 重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；
1
当点C与点C 重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．
2
故选C．
【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
变式3．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知α=76°5′，β=76.5°，则α与β的大小关系是（ ）
A．α＞β B．α=β C．α＜β D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据度分秒转化得出76.5°=76°30′，即可得出α与β的大小关系．
【详解】∵α=76°5′，β=76.5°=76°30′，
∴α＜β．
故选C．
【点睛】本题主要考查了角的比较以及度分秒的转化，正确进行度分秒转化是解决本题的关键．
◎类型十 角n分线的有关计算
【例】．（2020·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB＝ ∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正
确的是（ ）
①∠BOC＝ ∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝ ∠BOA；④∠COD＝3∠COB．A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【分析】根据∠AOB＝ ∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB= ∠AOD，∠AOC=∠DOC= ∠AOD，
进而得到∠BOC= ∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确．
【详解】解：因为∠AOB＝ ∠BOD，
所以∠AOB= ∠AOD，
因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC=∠DOC= ∠AOD，
所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝ ∠AOD－ ∠AOD= ∠AOD= ∠AOB，
故①错误，③正确；
因为∠DOC= ∠AOD，∠BOC= ∠AOD，
所以∠DOC＝3∠BOC
故②错误，④正确．
【点睛】本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB= ∠AOD，∠AOC=∠DOC= ∠AOD，进
而根据角的关系即可作出判断．
【跟踪训练】．（2019·福建省永春美岭中学七年级阶段练习）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线
OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可.
【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB，
∴
∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，
∴
又∵射线OD，OE三等分∠AOB，
∴
∴ ,共3个
故选C.
【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键.
【变式训练】．
变式1（2020·全国·七年级专题练习）如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，
∠DOE= ∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（ ）
A．36° B．72°
C．108° D．120°
【答案】B
【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×
（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．
【详解】解：如图，设∠DOE=x，
∵∠DOE= ∠BOD，
∴∠BOE=2x，
又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，
∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；
∴2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，
∴∠BOE=2x=2×36°=72°．
故选B．
变式2．（2018·江苏无锡·七年级期中）如图，△ABC， ∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若
∠BFC=132°，∠BGC=118°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．66° C．70° D．78°
【答案】C
【详解】分析：由三角形内角和及角平分线的定义可得到关于∠DBC和∠DCB的方程组，可求得
∠DBC+∠DCB，则可求得∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠A．
本题解析: ∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E. D，
∴∠FBC=2∠DBC，∠GCB=2∠DCB，
∵∠BFC=132∘,∠BGC=118∘，
∴∠FBC+∠DCB=180∘−∠BFC=180∘−132∘=48∘，
∠DBC+∠GCB=180∘−∠BGC=180∘−118∘=62∘
即 ，
由①+②可得：3(∠DBC+∠DCB)=110∘，
∴∠ABC+∠ACB=3(∠DBC+∠DCB)=110∘，
∴∠A=180∘−(∠ABC+∠ACB)=180∘−110∘=70∘，
故选C.
变式3．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图，按照上北下南，左西右东的规
定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若
，则n的倒数是 ，其中正确的有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得
到答案．
【详解】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°；故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；∴正确的选项有③④，共2个；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是
熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断．
