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专题 19.1 二次根式的概念
1. 掌握二次根式的定义，能够熟练的判断二次根式。
教学目标 2. 掌握二次根式有无意义的条件，并能够根据二次根式有无意义的条件熟练的求字母
的范围以及进行相关的求值
1. 重点
（1）二次根式的定义；
（2）二次根式有意义的条件。
2. 难点
教学重难点
（1）判断被开方数是式子的二次根式；
（2）存在多个二次根式，以及二次根式在分母的位置上时求二次根式有意义的条
件；
（3）利用二次根式有意义先求取值范围再求式子的值。知识点01 二次根式的定义
1. 二次根式的定义：
√
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。其中 叫做 ，a叫做 。
被开方数可以是数，也可以是式子。但必须是非负数。
判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于 0。两者必须同
时满足。
【即学即练1】
√1 √ 1
1．下列式子中，①❑ ；②❑√-5；③-❑√x2+2；④❑√4；⑤❑(- ) 2；④❑√1-a；⑦❑√a2-2a+1．其
5 3
中二次根式有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
知识点02 二次根式有无意义的条件
1．二次根式有无意义的条件：
√a
二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数 0。即 中， 。 二次根式无意
√a
义的条件是被开方数 0，及 中， 。
注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。
【即学即练1】
2．式子❑√a-5在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．6
【即学即练2】
1
3．若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
❑√3-x
【即学即练3】
❑√x-2
4．若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
x
A．x≥2且x≠0 B．x＞2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2
【即学即练4】
5．若y=❑√2x-1+3❑√1-2x-2，则代数式xy的值为（ ）
1 1
A．4 B． C．﹣4 D．-
4 4题型01 判断二次根式
【典例1】下列各式是二次根式的是（ ）
A．❑√-2 B．√33 C．❑√a D．❑√5
【变式1】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A．❑√12 B．❑√x2-2xy+ y2
C．❑√x-1 D．❑√(-2)×(-3)
【变式2】下列各式中，是二次根式的有（ ）
√1 1
①❑√7；②❑√-3；③ √310；④❑ - ；⑤❑√ab；⑥❑√3-x(x≤3)；⑦❑√-2x(x＞0)；⑧
3 2
√b
❑√(a-3) 2；⑨❑√-x2-1；⑩❑ ．
a
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
题型02 根据二次根式有无意义的条件求范围
【典例1】若代数式❑√x+2024有意义，则实数x的取值范围是 ．
❑√m+1
【变式1】若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
m-1
A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0
C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1
x
【变式2】使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
❑√4-x
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【变式3】若❑√-xy和❑√x- y（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
题型03 根据二次根式有无意义的条件求值
【典例1】若y=❑√x-2+❑√2-x+5，求x+y的值（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．7 D．5
【变式1】已知a，b为实数，且b=❑√a-8-❑√8-a+25，则√3 a+❑√b的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式2】已知实数a满足|2024-a|+❑√a-2025=a，则a﹣20242的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．20242 D．20252【变式3】已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足b=❑√a-2+❑√2-a+5，则此等腰三
角形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算
❑√16-x2+❑√x2-16-1 7
【变式4】已知实数x、y满足y= ，求 x+ y的立方根．
x+4 8
1．下面是二次根式的是（ ）
1
A． B．√32 C．❑√2 D．❑√-4
3
2．若❑√a是二次根式，则a的值不能是（ ）1
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
7
3．若二次根式❑√3x-5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．x≤ B．x≥ C．x＞- D．x＞
3 3 3 3
4．已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（ ）
A．❑√x B．❑√1+x
❑√2x2+1
C． D．❑√x2+1
x2
1
5．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
❑√2x-1
1 1 1 1
A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x＜
2 2 2 2
❑√3-x
6．若式子y= 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
2-x
A．x≤3且x≠2 B．x＞3 C．x≥3 D．2≤x≤3
7．如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是
（ ）
A．❑√x B．❑√x-1 C．❑√x-2 D．❑√x+1
8．已知y=❑√x-1+❑√1-x+x-2，则❑√10x+ y的值为（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5
9．若❑√1-2n+❑√2n-1有意义，则（﹣n）2的平方根是（ ）
1 1 1 1
A． B． C．± D．±
4 2 4 2
10．若m、x、y满足关系式❑√m-2+❑√2-x+ y+❑√x- y-2=2，则❑√m的值为（ ）
A．❑√6 B．6 C．2 D．❑√2
11．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
12．请任意写出一个能使❑√3-m有意义的m值： ．
√1-x
13．若式子❑ 有意义，则x的取值范围是 ．
x
14．若m=❑√x-6+❑√6-x+4，n＝x﹣9，则m﹣n的值为 ．
15．已知实数a满足|2025-a|+❑√a-2026=a，那么a﹣20252的值是 ．
16．已知，y=❑√x-20+❑√30-x，且x、y均为整数，求x+y的值．17．（1）已知：y=❑√x-2017-❑√2017-x-2016，求x+y的平方根．
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和a+3，求这个数x．
18．化简计算
y2-2y+1 1
（1）化简 ÷(1- )；
xy y
（2）请说明（1）中式子的值能否为0；
（3）当y=❑√x-7+❑√7-x-2时，（1）中式子的值为 ．
19．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
y
例：已知y=❑√2024-x+❑√x-2024+2025，求 的值．
x
{2024-x≥0，
解：由 得x＝2024，
x-2024≥0，y 2025
∴y＝2025，∴ = ．
x 2024
|1- y|
（1）尝试应用：若x，y为实数，且y＞❑√x-3+❑√3-x+2，化简： ；
y-1
（2）拓展创新：已知b=❑√ab-10+❑√20-2ab-a+7，求a﹣b的值．
20．如图，在河岸EF和河岸GH（EF∥GH）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线AM自AF
逆时针旋转至AE便立即回转，灯B发出射线BN自BG逆时针旋转至BH便立即回转．若灯A转动的速
度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足a=❑√b-1+❑√1-b+4．
（1）求a、b的值；（2）如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（t＜90），问t为何值时，
两灯的光束互相平行？
（3）如图2，连接AB，∠BAE＝60°，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作CP⊥AC交GH于
∠BCP
点P，则在灯A自AF转至AE之前， 的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出
∠BAC
其取值范围．
