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考点 7-4 范围与最值
1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的高为1，母线长为 ，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值
为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值.
【详解】如图 是圆锥的轴截面，
由题意母线 ，高 ，
则 ， 是锐角，
所以 ，于是得轴截面顶角 ，
设截面三角形的顶角为 ，则过此圆锥顶点的截面面积 ，
当两条母线夹角为 时，截面面积为 为所求面积最大值，
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台OO 下底面圆O 的圆周上一点，S为上底面圆
1 2 2
O 的圆周上一点，且SO=1，OO= ，OA=2，记直线SA与直线OO 所成角为 ，则（ ）
1 1 1 2 2 1 2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角的定义确定 ，再根据圆的性质计算得解.
【详解】由题意，设上､下底面半径分别为 ，其中 ，
如图，过 作 垂直下底面于 ，则 ，
所以直线 与直线 所成角即为直线 与直线 所成角，即 ，而 ，由圆的性质， ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
3．（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体 中， ，则 体积的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设M为CD的中点，连接AM,BM, 设四面体A-BCD的高为h，利用等体积法表示出四面体的体积，
利用三个正数的均值不等式即可求得答案.
【详解】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则 ,
由于 ，故 ,
则 ,设 ，
则 ,
所以
，当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且 即 时取等号，
故选：C
4.（2022·上海市光明中学模拟预测）如图所示，有边长为2的正方体 为正方体表面的
一个动点．若三棱锥 的体积为 ，则 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据三棱锥 的体积求出点 到平面 的距离 ，由此确定点 的轨迹，结合图形即可
得出答案.
【详解】设点 到平面 的距离为 ，
则 ，所以 ，
如图在 上取点 ，使得 ，过点 作平面 平面 ， 分别在 上，
故点 在四边形 的边上，
则当点 在点 的位置时， 最小，为 ，
当点 在点 的位置时， 最大，为 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .5．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在棱长为3的正方体 中，P为 内一点，
若 的面积为 ，则AP的最大值为________．
【答案】 ##
【分析】先证明 平面 ，由条件确定点 的轨迹，由此可求AP的最大值.
【详解】因为 ， , 平面 ， ，
所以 ，同理可证 ，又 ， ，
所以 平面 ，
设 与平面 相交于点O，连接 ，因为 平面 ，所以
所以 ，又 ，
则 ，即点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
因为 ， 平面 ，所以 ，
又 为等边三角形，且 ,
所以 ，
所以AP的最大值为 ．
故答案为： .6.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（文））已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上，底
面 为等边三角形，且其所在圆 的面积为 .若三棱锥 的体积的最大值为 ，则球 的
半径 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算出 ，再确定当 三点共线时，三棱锥 的体积最大时体积最大，最大时
的高是 ，而 .则根据体积公式即可求出 .
【详解】如图， 所在圆 即为 的外接圆.
设圆 的半径为 ，则 ，解得 .
因为 为等边三角形，所以 .由正弦定理可得 ，解得 .
所以 .
如图，当 三点共线时，三棱锥 的体积最大，最大值为 ，此时 平面 ，三棱
锥的高 最大，且有 ，解得 .
在 中， ，解得 .
故选:C.
7．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，第一象限内的点 在
椭圆上，且满足 ，点 在线段 、 上，设 ，将 沿 翻折，使得平面
与平面 垂直，要使翻折后 的长度最小，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得 、 ，翻折前，过点 作 ，垂足为点 ，过
点 作 ，垂足为点 ，设 ，其中 ，翻折后，利用勾股定理求出 关于
的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得 的最小值及 的值，再利用角平分线的性质可求得 的
值.
【详解】在椭圆 中， ， ， ， ，
因为 ，且点 为第一象限内的点，则 ，可得 ，
翻折前，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，设 ，其中 ，
则 ， ， ，
，
所以， ，
翻折后，如下图所示：
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，
平面 ， ，又因为 ，
，
，则 ，故当 时，即当 时， 取得最小值 ，
则在翻折前，在 中， 为 的角平分线，
所以， ，即 .
故选：A.9.（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体 内接于半径为 的球O中，在平面BCD内有一动
点P，且满足 ，则 的最小值_____________．
【答案】
【分析】先根据外接球的半径为 求得正四面体的棱长，再由 ，得到点P的轨
迹为平面BCD内以E为圆心，以 为半径的圆求解.
【详解】解：如图所示：
点A在面BCD上的投影为E，设正四面体的棱长为x，
设外接球的半径为R，球心为O，由题意知，点O在AE上，
则 ，
又 ，
解得 ，
所以 ，
则 ，
所以点P的轨迹为平面BCD内以E为圆心，以 为半径的圆，
当B，P，E三点共线，且P在BE之间时， 最小，
最小值为 ，
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆
锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
【答案】【分析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，即可
求得其内切球半径，即为正方体外接球半径，则 ，即可得答案.
【详解】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，
由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，则内切圆半径为 ，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
11.（2023·全国·高三专题练习）正四面体 的棱长为4，空间中的动点P满足 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点 的轨迹是以 为球心，以 为半径的球面，又
，再求出 的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则 ，
所以 ，
故点 的轨迹是以 为球心，以 为半径的球面，
，
又 ，
所以 ， ，所以 的取值范围为 ．
故选：D．
12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在四面体ABCD中， ， 平面BCD， .过
点B作垂直于平面ACD的平面 截该四面体，若截面面积存在最大值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 于点 ，过点 作 ,先证得平面 为所求截面，然后设 ，求得
， ，从而求得三角形面积，然后换元后求导利用导数的单调
性求得最值，从而得出结论.
【详解】在四面体ABCD中， ， 平面BCD， .∵ 平面BCD， 平面
BCD， ，又 ， ,则 平面 ，过 作 于点 ，过点 作
,则 平面 ， 平面 ，故 ， ，则 平面 ， 平
面 ，故平面 平面ACD，设 ，设 ，在 中， ， ，在
中， ， ， ，在△ 中， ，则
，故 ，故
，令 ，
，得 ，当 时， ，当
时， ，故函数 在 时单调递减，在 时单调递增，即当 时，
有最小值，此时截面面积最大，故当 ， 时，截面面积最大，故若截面面积存在
最大值，则 ，故 的最大值为 ，
故选：C.13．（2022·全国·模拟预测（文））如图，正方体 的棱长为 ，点 为棱 上一点，
点 在底面 上，且 ，点 为线段 的中点，则线段 长度的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定点M所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.
【详解】依题意，正方体 ，当点P与A不重合时， ，如图，
因点 为线段 的中点，则 ，当点P与A重合时， ，
即无论点P，Q如何运动，总有 ，因此，点M的在以点A为球心 为半径的球面上，
而 ，所以线段 长度的最小值是 .
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的
最大值为___________.
【答案】1【分析】过球心 作 平面 ，设三棱柱的底面边长为 ，再根据勾股定理可得棱柱的高
，进而表达出体积 ，再求导分析 的单调性求解最大值即可
【详解】过球心 作 平面 ，则 为正三角形的中心，连接 ，则 .
设三棱柱的底面边长为 ，则 . .
.
棱柱的高 .
棱柱的体积 .
令 .则 ，令 得 或 （舍 或 （舍 .
当 时， ，当 时， .
当 时， 取得最大值 ，
当 时， 取得最大值1.
故答案为：1.
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在棱长为 的正方体 中，若 绕
旋转一周，则在旋转过程中，三棱锥 的体积的取值范围为______．【答案】
【分析】由题可得 为正四面体，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，结合条件可得
点A，O，E共线，且A在点O，E之间时，三棱锥 的体积最小；O在点A，E之间时，体积最大，
然后根据正方体的性质结合棱锥的体积公式即得.
【详解】如图，连接 ， ，由正方体的性质可知 为正四面体，
设O为 中点，E为 中点，则 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
由题可知点A在以O为圆心，OA为半径的圆上运动．
在 绕 旋转过程中，若点A，O，E共线，且A在点O，E之间时，三棱锥 的体积最小；
O在点A，E之间时，体积最大．
因为正方体的棱长为 ，
所以 ，
在 中，OB＝2， ，
则 ， ，
设点 ， 到平面 的距离分别为 ， ．
，
，∵ ，
∴三棱锥 体积的最小值为 ；
最大值为 ．
∴三棱锥 的体积的取值范围为 ．
故答案为： ．
