文档内容
第 03 讲 角平分线
知识点1：尺规作图-作角平分线
知识点2：角平分线的性质定理
知识点3：角平分线的判定定理
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为D，E。∴PD=PE。
【题型1：角平分线的性质定理的应用】
【典例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，
点D在OB上．若OD=6，△POD的面积为9，则PC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点P作PE⊥OB于E，根据三角形面积公
式求出PE，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP ∠AOB PC⊥OA PE⊥OB
平分 ， ， ，
∴PE=PC，
∵OD=6，S =9，
△POD
1 1
∴S = OD⋅PE= ×6×PE=9，
△POD 2 2
∴PE=3，
∴PE=PC=3．
故选：A．
【变式1】（24-25八年级下·河南·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分
∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB=6，CD=2，则△DBE的面积为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题
关键．过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得DF=CD=2，由线段中点可
1
得BE= AB=3，再利用三角形面积公式求解即可．
2
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD ∠ABC ∠C=90°
平分 ， ，
∴DF=CD=2，
∵点E为AB的中点，AB=6，1
∴BE= AB=3，
2
1 1
∴△DBE的面积= BE⋅DF= ×3×2=3，
2 2
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点D是△ABC的三个内角平分线的交
点，若△ABC面积为27cm2，点D到边AC的距离是3cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．9cm C．36cm D．30cm
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角
的两边的距离相等．
作DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，根据角平分线的性质得到DE=DF=DG，再
根据三角形的面积公式计算，即可得解．
【详解】解：作DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，
∵点D是△ABC的三个内角平分线的交点，
∴DE=DF=DG，
∵点D到边AC的距离是3cm，
∴DF=3cm
∵△ABC面积为27cm2，
1 1 1
即 AB·DE+ AC·DF+ BC·DG=27，
2 2 2
1
∴ DF·(AB+AC+BC)=27，
227×2
AB+AC+BC= =18，
3
即△ABC的周长为18cm．
故选：A．
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC
上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，
1
大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点
2
M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=3，AD=4MD，则AM= ．
【答案】9
【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可
判断BM平分∠ABC，根据角平分线的性质可得出MD=MN=3，结合已知即可求解．
【详解】解∶由作图知∶ BM平分∠ABC，
∵MN⊥AB，MD⊥BC，MN=3，
∴MD=MN=3，
又AD=4MD，
∴AD=12，
∴AM=AD−MD=9，
故答案为∶9．
【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】
【典例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，
现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．
根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点P ,P ,P ,P
1 2 3 4
到三条公里的距离相等，
∴可供选择的地址有4个，
故选：D ．
【变式1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建
一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草
坪（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相
等是解题的关键．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点．
故选：A．【变式2】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄
连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则
这个基地应该建在（ ）
A．△ABC的三条高线的交点 B．△ABC的三条中线的交点
C．△ABC的三条角平分线的交点 D．△ABC的三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案．
【详解】解：∵到三条道路的距离相等的物流仓储基地，
∴这个基地应该建在△ABC的三条角平分线的交点，
故选：C．
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，
三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，
它们的面积比等于另外两边的长度的比。∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
1 1
∵S = AB·DF；S = AC·DE；
△ADB 2 △ADC 2
S AB
△ADB
∴ = ；
S AC
△ADC
【题型3：角平分线的性质的判定】
【典例3】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，∠EDB=∠FDC．试说明：AD是
△ABC的角平分线．
【答案】见解析
【分析】根据D是BC的中点得BD=CD，根据DE⊥AB，DF⊥AC得
∠BED=∠DFC=90°，利用AAS可证明△BDE≌△CDF，即可得DE=DF，
根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF即可得．
【详解】解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠DFC=90°，在△BDE和△CDF中，
{
∠BED=∠DFC
)
∠EDB=∠FDC
BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解
题意掌握角平分线的判定，全等三角形的判定与性质．
【变式1】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，△ABC的外角∠CBM，∠BCN
的平分线交于点D，过点D作DE⊥AM，DF⊥AN，垂足分别为E，F．
(1)若∠A=60°，∠ABC=50°，求∠BCD及∠BDC的度数；
(2)连接AD，判断AD是否平分∠BAC？并说明理由．
【答案】(1)∠BCD=55°，∠BDC=60°
(2)AD平分∠BAC，理由见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判
定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的外角可以得到∠BCN和∠CBM的度数，然后根据角平分线的定
1 1
义得到∠BCD= ∠BCN，∠CBD= ∠CBM然后计算解题；
2 2
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据角平分线的性质得到DE=DH=DF，再
根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】（1）∵∠A=60°，∠ABC=50°，
∴∠BCN=∠A+∠ABC=110°，∠CBM=180°−∠ABC=130°.∵CD平分∠BCN，BD平分∠CBM，
1 1
∴∠BCD= ∠BCN=55°，∠CBD= ∠CBM=65°，
2 2
∴∠BDC=180°−(∠BCD+∠CBD)=60°；
（2）AD平分∠BAC；
理由：如图，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵BD平分∠CBM，DE⊥AM，DH⊥BC，
∴DE=DH.
∵CD平分∠BCN，DF⊥AN，DH⊥BC，
∴DF=DH，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC.
【变式2】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在△ABC中，AP,CP分别是△ABC
外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．
(1)求证：BP为∠MBN的平分线．
(2)求证：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）过点P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，根据角平分线的性质，得出
PD=PF，即可证明结论；
（2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到
∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，进而得
到∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠CBP+∠APC，再结合
1
∠ABP=∠CBP= ∠ABC，即可证明结论．
2
【详解】（1）证明：如图，过点P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，
∵AP,CP △ABC ∠MAC ∠NCA
分别是 外角 和 的平分线，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD=PF，
∵PD⊥BM，PF⊥BN，
∴BP为∠MBN的平分线；
（2）解：∵∠MAP是△ABP的外角，∠NCP是△BCP的外角，
∴∠MAP=∠ABP+∠APB，∠NCP=∠CBP+∠BPC，
∵AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，
∴∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，
∴∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠APB+∠CBP+∠BPC=∠ABP+∠CBP+∠APC，
∵BP为∠MBN的平分线，
1
∴∠ABP=∠CBP= ∠ABC，
2
∴∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．
【变式3】（八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点
E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．【答案】见解析
【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB．
【详解】证明：∵DE⊥AB，
∴∠BED=∠C＝90°，
在Rt△BDE和Rt△FDC中
BD=DF
{ ，
BE=FC
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），
∴DE=DC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴AD平分∠CAB．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟记
全等三角形的判定定理．
【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】
【典例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角
∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB，
(1)求证：BO平分∠ABC；
(2)若AC=6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)21
【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线
的性质可得OF=OG，OH=OG，进而得OF=OH，再根据角平分线的判定即可求证；
（2）由△AOC的面积为12可得OG=OF=OH=4，再根据
S +S =S +S =30可得AB+BC=15，进而即可求解；
△ABO △BCO △ABC △AOC
本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足
分别为点F、G、H，
∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE，
∴OF=OG，OH=OG，
∴OF=OH，
∵OF⊥BD，OH⊥BE，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
即BO平分∠ABC；
（2）解：∵△AOC的面积为12，
1
∴ AC·OG=12，
2
∵AC=6，
1
∴ ×6×OG=12，
2
∴OG=4，
∴OF=OH=OG=4，
∵S +S =S +S =12+18=30，
△ABO △BCO △ABC △AOC
1 1
∴ AB·OF+ BC·OH=30，
2 2
1 1
即 AB×4+ BC×4=30，
2 2
∴AB+BC=15，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+6=21．
【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB、∠CBA的角平分线相交于点E．
(1)求证：点E在∠A的平分线上；
(2)过点E作ED⊥BC于点D，ED=4，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为
__________．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定，
对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得ED=EF=EG，再根据角平分线的
判定定理得出答案；
对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，
可得答案．
【详解】（1）证明：过E作ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∵∠ACB ∠CBA
、 的角平分线相交于点E，
∴ED=EF=EG，
∴点E在∠A的平分线上；
（2）解：∵∠ACB、∠CBA的角平分线相交于点E，点E在∠A的平分线上，
ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴ED=EF=EG.
∵ED=4，△ABC的面积为36，1 1 1 1
∴S =S +S +S = AB⋅EF+ BC⋅ED+ AC⋅EG= (AB+BC+AC)⋅ED
△ABC △ABE △BEC △AEC 2 2 2 2
1
= (AB+BC+AC)×4=36，
2
∴AB+BC+AC=18.
故答案为：18．
【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F，若BD=CD，BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=16，DE=4，BE=2，求四边形AFDB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）先根据HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC，则可得DE=DF，再根据角平
分线的判定方法即可证明AD平分∠BAC．
（2）先根据HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，则可得S =S ，由此得
△ADE △ADF
S =2S −S ，即可求出四边形AFDB的面积．
四边形AFDB △ADF △BDE
【详解】（1）证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中
{BD=CD)
，
BE=CF
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
（2）∵在Rt△ADE和Rt△ADF中
AD=AD,DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴S =S ，
△ADE △ADF
∴S =S +S −S =2S −S ．
四边形AFDB △ADE △ADF △BDE △ADF △BDE
∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴DF=DE=4,CF=BE=2，
∴AF=AC−CF=16−2=14，
1 1
∴S = ⋅AF⋅DF= ×14×4=28，
△ADF 2 2
1 1
S = ⋅BE⋅DE= ×2×4=4，
△BDE 2 2
∴S =2×28−4=52．
四边形AFDB
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，HL定理及用割补法求四边形的面积．熟练
掌握以上知识是解题的关键．
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
1
2、分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
2
3、画射线OC，射线OC即为所求。
【题型5：尺规作图-角平分线】
【典例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°．(1)请用无刻度直尺和圆规作∠ABC的平分线，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不
写作法）．
(2)在（1）的作图下，若△ABC的面积是24，AB+BC=16，求CD的长．
【答案】(1)图见解析
(2)CD=3
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等积法求出线段的长，
熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到D到AB的距离等于CD的长，分割法求三角形的面
积，进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴点D到BC,AB的距离相等，均为CD的长，
1 1 1
∵S =S +S = BC⋅CD+ AB⋅CD= (AB+BC)⋅CD=24，
△ABC △ACD △ABD 2 2 2
AB+BC=16，
∴CD=3.
【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在△ABC中，∠B=50°，
∠C=70°，AD⊥BC，(1)求作：△ABC的角平分线AE；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求∠BAC与∠EAD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°；10°
【分析】本题考查作图—作角平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练
掌握作角平分线的方法是解题的关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC的度数，由角平分线可得∠BAE，进而可求得
∠EAD的度数．
【详解】（1）解：AE为即为所求：
（2）∵∠B=50°，∠C=70°，
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−70°=60°，
∵AE是角平分线，
1
∴ ∠BAE= ∠BAC=30°，
2
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°
∴ ∠BAD=90°−∠B=90°−50°=40°，
∴ ∠EAD=∠BAD−∠BAE=40°−30°=10°．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在△ABC中.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面积为12，求△ABC的面积
【答案】(1)见解析(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分
线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点D作DF⊥AB、DE⊥AC，根据角平分线的性质，得到DF=DE，再根
据三角形面积公式，求得DE=DF=3，再由S =S +S ，即可求解．
△ABC △ABD △ACD
【详解】（1）解：如图，射线AD即为所求：
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB交AB与点F，作DE⊥AC交AC与点E，
∵AD ∠BAC
平分 ，
∴DF=DE，
∵△ABD的面积为12，
1 1
∴ AB⋅DF= ×8×DF=12，
2 2
∴DF=3=DE，
∵AB=8，AC=6，
1 1
∴S =S +S =12+ AC⋅DE=12+ ×6×3=21．
△ABC △ABD △ACD 2 2
【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形ABCD中，
∠B=∠C=90°,AB>CD．(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)在（1）的条件下，若CE=BE，求证：AE平分∠DAB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质与判定．
（1）根据题意作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE；
（2）过点E作EH⊥AD交AD于点H，根据角平分线的性质可得EC=EH，结合已
知可得EH=EB，即可证明AE平分∠DAB．即可得证．
【详解】（1）
（2）证明：如图，过点E作EH⊥AD交AD于点H，∵DE是∠ADC的平分线，∠C=90°
∴EC=EH，
∵CE=BE
∴EH=EB
又∵∠B=90°，即EB⊥AB
∴AE平分∠DAB
一、单选题
1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=4，AD=2CD，
BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的
点到角的两边的距离相等．
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质，可得CD=DE，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵AD=4，AD=2CD，
∴CD=2，
∴DE=2，
即点D到AB的距离为2．故选：A
2．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分
线BD交AC于点D，AD=3，则点D到边BC的距离是（ ）
A．2 B．3 C．❑√3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上
的点到角两边的距离相等求出DE的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴DE=AD=3，
∴点D到边BC的距离是3，
故选：B．
3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出∠AOB的角平分
线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线OB，直尺②边缘压住射线OA并且与直尺
①交于点P，射线OP就是∠AOB的角平分线．其理论依据是（ ）
A．等腰三角形两底角相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角平分线上的点到角的两边距离相等
D．三线合一
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的判定定理．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距
离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠AOB的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线
上）．
故选：B．
4．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）到三角形三条边的距离都相等的点是（ ）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边
的距离相等．
根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，解答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．
故选：C
5．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，
BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出DE=AD=2，再根据三角
形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，
∴AD=DE，
∵AD=2，
∴DE=2，
∵BC=4，
1 1
∴S = BC⋅DE= ×4×2=4，
ΔBCD 2 2
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两
边的距离相等是解此题的关键．
6．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这
个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集
贸市场应建在（ ）
A．三角形的三条角平分线的交点处
B．三角形的三条中线的交点处
C．三角形的三条高的交点处
D．以上位置都不对
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质即可解答．
【详解】解：根据角平分线的性质可知：集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握将平分线上的点到两边距离相等是解
答本题的关键．
7．（21-22七年级下·山东济南·期末）如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为
圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，
1
大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射
2
线OC即为所求．这种作图方法的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，又因为OC为公共边，根据全等三
角形的判定方法可证明ΔOMC≌ΔONC．
【详解】解：由作法得OM=ON，CM=CN，
而OC又为公共边，
所以根据“SSS”可判定ΔOMC≌ΔONC，
所以∠MOC=∠NOC，即OC平分∠MON．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关
键是掌握全等三角形的判定方法．
8．（21-22八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平
分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（ ）
A．2 B．7 C．9 D．14
【答案】B【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE=AD=2，
1 1
∴△BDC的面积= BC•DE= ×7×2=7．
2 2
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线的性质是解题
的关键．
9．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以
点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC于点E，F，再分别以点E，F为圆
1
心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点G，连接BG并延长，交AC于点D，则
2
∠ADB的度数是（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外
角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互
余得到∠ABC=40°，再根据角平分线以及三角形的外角性质得到
∠ADB=∠C+∠DBC，即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°,∠A=50°，∴∠ABC=90°−∠A=40°，
由作图可得BD平分∠ABC，
1
∴∠DBC= ∠ABC=20°，
2
∴∠ADB=∠C+∠DBC=90°+20°=110°，
故选：B．
10．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，
OD⊥BC于点D，连接OA，若OD=4，AB=20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作OE⊥AB于点E，根据角平分
线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OE=OD=4，
1 1
∴△AOB的面积= AB⋅OE= ×20×4=40，
2 2
故选：C．
11．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分
∠ACB，与BD交于点E，若BC=5，△BCE的面积为5，则ED的长为（ ）1
A． B．1 C．2 D．5
2
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，作EF⊥BC，根据三角形的面积公式求出
EF，根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵△BCE的面积为5，
1 1
∴ ×BC×EF=5，即 ×5×EF=5，
2 2
解得，EF=2，
∵CE平分∠ACB，ED⊥AC，EF⊥BC，
∴ED=EF=2，
故选：C．
12．（2015·广东广州·一模）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB上AB
于点E，S =15，DE=3，AB=6，则AC的长是（ ）
△ABC
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可
得AC边上的高，再由S +S =S ，即可得解．
△ABD △ACD △ABC【详解】解：作DF⊥AC于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∵S +S =S ，
△ABD △ACD △ABC
1 1
∴ ×6×3+ ×AC×3=15，
2 2
∴AC=4．
故选：A．
二、填空题
13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角
∠ABC的平分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是 ．
【答案】36°
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长BA，过点E作
EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，然后证明AE是
∠CAH的平分线，进而可得∠CAH的度数，再求出∠BAC的度数，从而可得答案，
关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作
EH⊥BA于点H，∵△ABC ∠ACD CE ∠ABC
， 的外角 的平分线 与内角
平分线BE交于点E，
∴EH=EF，EG=EF，
∴EH=EG，
∴AE是∠CAH的平分线，
∵∠CAE=54°，
∴∠CAH=2∠CAE=108°，
∴∠BAC=180°−∠CAH=72°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECD=∠BEC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠BEC=72°，
∴∠BEC=36°；
故答案为：36°．
14．（21-22八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC
交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ．
【答案】8
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等
于8．
【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8，
∴点D到斜边AB的距离等于CD
∴D到斜边AB的距离为8．
故答案为∶8．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用
角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题．
15．（2025·河南商丘·二模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD=2，AB=6，则△ABD的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角
形面积公式计算即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=2，
1 1
∴S = AB⋅DE= ×6×2=6，
△ABD 2 2
故答案为：6．
16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）在小学，我们学习过“三角形的内角和为180°”．
如图，在△ABC中，∠A=60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 ．
【答案】120°
【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明
1 1 1
∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，可得∠OBC=90°+ ∠A.
2 2 2
【详解】解：由作法得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
2 2
∵∠OBC= 180°−∠OBC−∠OCB
1
=180°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=180°− (180°−∠A)
21
=90°+ ∠A
2
∵∠A=60°，
1
∴∠BOC=90°+ ×60°=120°．
2
故答案为：120°
17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于
点D，DE⊥AB于点E，若AC=6，S =6，则DE的长为 ．
△ACD
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作DH⊥AC于H，先由三角形面
积计算公式求出DH的长，再由角平分线的性质可得DE=DH，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥AC于H，
1
∵S = AC⋅DH=6，AC=6，
△ACD 2
∴DH=2，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH=2，
故答案为：2．
三、解答题
18．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)尺规作图，求作∠CAB的平分线AD，交BC于点D
(2)若CD=4，AB=15，直接写出△ABD的面积．
【答案】(1)见详解
(2)30
【分析】此题主要考查了角平分线的作法与性质，正确掌握角平分线的性质是解题关
键．
（1）直接利用角平分线的尺规作法得出答案；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：AD即为所求；
（2）解：过点D作DE⊥AB于点E，如图2所示：
∵AD平分∠BAC,AC⊥CD，
∴DE=DC=4，
1 1
∴△ABD的面积= AB⋅DE= ×15×4=30．
2 2
19.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，
CF⊥AD于点F，且BC=CD．(1)求证：△BCE≌△DCF．
(2)若AE=3．求AB+AD的值．
【答案】(1)见解析
(2)AB+AD=6
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，
熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键．
（1）先根据角平分线的性质可得CE=CF，再根据直角三角形全等的判定定理即可得
证；
（2）先根据全等三角形的性质可得BE=DF，再根据直角三角形全等的判定定理与性
质可得AF=AE=3，然后根据线段的和差即可得．
【详解】（1）证明：∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF．
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∵CE=CE,BC=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．
（2）解：由（1），得Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°．
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
∵AC=AC,CF=CE
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，
∴AF=AE=3，
∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=3+3=6，
∴AB+AD=6．
20．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB于点E，DE=2，AB=6，BC=4，求△ABC的面积．【答案】10
【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
如图，作DF⊥BC于F，则DF=DE=2，根据S =S +S ，求解作答即可．
△ABC △ABD △BCD
【详解】解：如图，作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∵ AB=6，BC=4，
1 1 1 1
∴S =S +S = AB×DE+ BC×DF= ×6×2+ ×4×2=10，
△ABC △ABD △BCD 2 2 2 2
∴△ABC的面积为10．
