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专题 21.6 菱形的性质
教学目标 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练地应用性质。
1. 重点
（1）菱形的性质。
2. 难点
教学重难点
（1）利用菱形的性质求线段的长度与角的度数；
（2）菱形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；
（3）注意区分菱形的性质与矩形的性质。知识点01 菱形的定义与性质
1. 菱形的概念：
有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形。
2. 菱形的性质：
（1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。
特殊性：
（2）边的特殊性：四条边都 相等 。
即：AB = BC = CD = AD
（3）对角线的特殊性：对角线相互 垂直 且 平分 每一组对角。
即：AC ⊥ BD，且∠DAC ＝ ∠BAC ＝ ∠DCA ＝ ∠BCA，
∠ADB ＝ ∠CDB ＝ ∠ABD ＝ ∠CBD。
（4）面积计算：等于对角线乘积的一半。即 。
（5）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．下列性质中菱形一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．有一个角是直角
C．对角线互相垂直 D．四个角相等
【答案】C
【解答】解：∵菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是两条对角线互相垂直．
故选：C．
【即学即练2】
2．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【解答】解：A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意；
B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意；
C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意；
D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意；
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则OE的长是（ ）
A．3 B．4 C．2.4 D．2.5
【答案】D
1 1
【解答】解：由菱形的性质可得，OA= AC＝3，OB= BD＝4，∠AOB＝90°，
2 2
∴AB=❑√OA2+OB2=5，
∵O是AC的中点，E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
1
∴OE= AB＝2.5，
2
故选：D．
【即学即练4】
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则
∠BFC的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
1
∴∠BAF= ∠BAD=40°，AF＝FB，
2
∴∠BAF＝∠FBA＝40°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠BFA＝100°，
∴∠BFC＝180°﹣∠AFB＝80°，
故选：B．
【即学即练5】
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(2❑√2，3)，则C
点的坐标为（ ）A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AD⊥OD，
∵A(2❑√2，3)，
∴OD=2❑√2，AD＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
在Rt△ODC中，OC=❑√CD2−OD2=❑√32−(2❑√2) 2=1，
∴C（0，﹣1），
故选：C．
【即学即练6】
6．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝6，求BE的值．
【答案】（1）见解析；
（2）3❑√3．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠A＝∠CBF，
∵BE⊥AD、CF⊥AB，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
在△AEB和△BFC中，{∠AEB=∠BFC
)
∠A=∠CBF ，
AB=BC
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线，
∴AB＝BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，
1
∴AE= AB=3，
2
∴BE=❑√AB2−AE2=3❑√3．
题型01 利用菱形的性质求线段
【典例1】如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为
（ ）
A．4 B．3 C．8 D．14
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的周长为20，
∴AC⊥BD，AD＝DC＝CB＝BA＝5，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴DO=❑√AD2−AO2=4，
∴BD＝8．
故选：C．【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（
）
A．4❑√3 B．8 C．4❑√5 D．16
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC＝2，BD＝4，
1 1
∴OA= AC＝1，OB= BD＝2，AC⊥BD，
2 2
∴△OAB是直角三角形，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=❑√OA2+OB2=❑√12+22=❑√5，
∴该菱形的周长为：4AB=4❑√5．
故选：C．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH
＝（ ）
A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，
1
∴OA＝OC= AC＝8，OB＝OD，AC⊥DB，
2
∴∠AOB＝90°，
∴OB=❑√AB2−OA2=❑√102−82=6，
∴BD＝2OB＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
1
∴OH= BD＝6，
2
故选：D．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则
EF
=（ ）
ED❑√3 1 ❑√7 ❑√5
A． B． C． D．
3 2 7 5
【答案】C
【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图所示：
∴∠H＝90°，
∴△DCH和△DEH都是直角三角形，
∵E是BC的中点，
∴设BE＝CE＝a，
∴BC＝BE+CE＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝2a，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
在Rt△DCH中，∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°，
1
∴CH= CD＝a，
2
由勾股定理得：DH=❑√CD2−CH2=❑√(2a) 2−a2=❑√3a，
在Rt△DEH中，EH＝CE+CH＝2a，
由勾股定理得：DE=❑√DH2+EH2=❑√(❑√3a) 2+(2a) 2=❑√7a，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝90°，
∴△BFC是直角三角形，
∵E是BC的中点，
∴EF是Rt△BFC的斜边BC上的中线，
1
∴EF= BC＝a，
2EF a ❑√7
∴ = = ．
ED ❑√7a 7
故选：C．
题型02 利用菱形的性质求角度
【典例1】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果
∠ABC＝50°，那么∠DEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴∠DBC= ∠ABC，
2
∵∠ABC＝50°，
1
∴∠DBC= ∠ABC=25°，
2
∵EF∥BC，
∴∠DEF＝∠DBC＝25°．
故选：A．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE、CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则
∠DEC的度数（ ）
A．54° B．72° C．50° D．48°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，CD∥AB，
∵DE＝AD，∠A＝72°，
∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝72°，
∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠DEA＝72°，
∵DE＝DC，
1
∴∠DEC＝∠DCE= ×（180°﹣72°）＝54°，
2
故选：A．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数
为 70 ° ．
【答案】70°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD判定平分∠ABC，
1 1
∴∠ABE= ∠ABC= ×40°＝20°，
2 2
∵AB⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°．
故答案为：70°．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线 AC于点F，点E为垂足，连接DF．若
∠BAD＝ ，则∠CDF为（ ）
α
3 3
A． B． α C．180°− α D．180°﹣2
2 2
【答α案】C α
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴∠DCF＝∠BCF，CD＝CB，∠BAF= ∠BAD= α，∠BAD+∠ABD＝180°，
2 2
在△BCF和△DCF中，
{
CB=CD
)
∠BCF=∠DCF ，
CF=CF∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF，
1
∵FE垂直平分AB，∠BAF= α，
2
1
∴∠ABF=∠BAF= α，
2
∵∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣ ，
1 3
∴∠CBF=∠ABC−∠ABE=18α0°−α− α=180°− α，
2 2
3
∴∠CDF=180°− α．
2
故选：C．
题型03 利用菱形的性质求坐标
【典例1】如图，已知点A的坐标为(−2❑√3，2)，点B的坐标为(−1，−❑√3)，菱形ABCD的对角线交
于坐标原点O，则C，D两点的坐标分别为（ ）
A．(2❑√3，2)，(1，❑√3) B．(2❑√3，−2)，(1，❑√3)
C．(−2❑√3，−2)，(−1，❑√3) D．(−2❑√3，2)，(−1，−❑√3)
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为(−1，−❑√3)，点A的坐标为(−2❑√3，2)，
∴D点坐标为(1，❑√3)．C点坐标为(2❑√3，−2)，
故选：B．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点D在y轴上，则点A的
坐标为（ ）A．(−4，2❑√2) B．(2❑√2，2❑√2) C．(4，2❑√2) D．(−4❑√2，4)
【答案】A
【解答】解：∵菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，
∴AB∥CD，AB＝CD＝AD＝4（菱形的性质），
∴∠DCO＝∠ABC＝45°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠DOC＝90°，
❑√2 ❑√2
∴OD= DC= ×4＝2❑√2，
2 2
∴A(−4，2❑√2)，
故选：A．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB
＝8，AD＝3，则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
【答案】C
【解答】解：∵菱形OABC的顶点B在x轴上，AC交x轴于点D，OB＝8，AD＝3，
1
∴OD= OB=4，DC＝AD＝3，
2
∴点C的坐标为（4，﹣3），
故选：C．
【变式 3】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3），B（5，3），线段 AB平移后得到线段
A′B′，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，
则点B′的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（9，0） D．(5+❑√34，0)【答案】C
【解答】解：根据题意，画出图形如下：
∵A（0，3），B（5，3），
∴AB∥x轴，OA＝3，AB＝5，
由平移的性质得：A′B′∥AB，A′B′＝AB＝5，
∵四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，
∴点B′也在x轴正半轴上，AA′＝AB＝5，
在Rt△AOA′中，由勾股定理得：OA′=❑√AA′2−OA2=❑√52−32=4，
∴OB′＝OA′+A′B′＝4+5＝9，
∴点B′的坐标为（9，0），
故选：C．
1．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【答案】D
【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项D符合题意，
故选：D．
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角
【答案】C
【解答】解：根据菱形的性质、平行四边形的性质分别判定：
A、菱形、平行四边形的两组对边都相等，不符合题意；
B、菱形、平行四边形的两组对边都平行，不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，一般平行四边形对角线不互相垂直，符合题意；
D、菱形、平行四边形不一定都有一个角是直角，不符合题意；
故选：C．
3．菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（ ）A．12cm B．❑√41cm C．4❑√41cm D．24cm
【答案】C
【解答】解：如图，∵菱形的两条对角线长分别为10cm，8cm，
∴AO＝4cm，BO＝5cm，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，AB=❑√AO2+BO2=❑√42+52=❑√41cm，
所以，周长=❑√41×4＝4❑√41（cm．）．
故选：C．
4．在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（ ）
A．75° B．70° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC= ×80°=40°，
2 2
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
在△ABE中，
1 1
∴∠BAE=∠BEA= (180°−∠ABD)= ×(180°−40°)=70°，
2 2
故选：B．
5．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，A（2，0），AB＝3，则菱形ABCD的面积
等于（ ）A．2❑√5 B．4❑√5 C．8❑√5 D．12
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
1 1
∴BO=DO= BD，AO=CO= AC，∠AOB＝90°，
2 2
∵A（2，0），
∴AO＝2，AC＝4，
∵AB＝3，
∴BO=❑√AB2−AO2=❑√32−22=❑√5，
∴BD=2BO=2❑√5，
1 1
∴菱形ABCD的面积为： AC⋅BD= ×4×2❑√5=4❑√5，
2 2
故选：B．
6．如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（
）
A．95° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∵∠BDE＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BDE＝90°﹣35°＝55°．
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，
2
∴∠ABC＝2∠ABD＝2×55°＝110°，
∴∠ADC＝∠ABC＝110°．
故选：C．
7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝
3，OE=3❑√3，则菱形ABCD的面积为（ ）A．9❑√3 B．18❑√3 C．36❑√3 D．9
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，OE=3❑√3，
∴BD＝2OB＝6，AO＝CO，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴AC=2OE=6❑√3，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×6❑√3×6=18❑√3，
2 2
故选：B．
8．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若
菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
1 ❑√3
A． B． C．1 D．❑√3
2 2
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA= ∠BCD＝30°，
2
∴A'D＝1，A'C=❑√3DA'=❑√3，
1
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2❑√3，
2
如图，
1
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C= AC，
2
▱ ▱1
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
4
2❑√3 ▱❑√3
∴阴影部分的面积= = ，
4 2
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速
度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到
达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接
DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
【答案】A
【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC＝90°
在Rt△DFC中，∵∠C＝30°，
1
∴DF= CD＝2t，
2
∴DF＝AE，
∵∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形．
∴120﹣4t＝2t，
∴t＝20s，
∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形．
故选：A．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且
PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=❑√3OA；③∠MPN
1
＝60°； ④PM+PN= BD．其中正确的有（ ）个．
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OB=❑√3OA，故②正确；
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴∠AMP＝∠ANP＝90°，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠MPN＝60°，故③正确；
如图，延长NP交BC于点G，
∵AD∥BC，PN⊥AD，
∴PG⊥BC，
∵PM⊥AB，BP平分∠ABC，
∴PM＝PG，
∴PM+PN＝PG+PN＝NG，
∵∠PBG＝∠PDN＝30°，∴PB＝2PG，PD＝2PN，
1 1 1 1
∴PM+PN＝PG+PN= PB+ PD= （PB+PD）= BD，
2 2 2 2
1
∴PM+PN= BD，故④正确，
2
综上所述：正确的有4个．
故选：D．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC=8❑√3，则对角线BD的
长 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线AC=8❑√3，∠BAD＝60°，
1 1
∴OA= AC=4❑√3，OD＝OB，AC⊥BD，∠OAB= ∠BAD＝30°，
2 2
∴△OAB是直角三角形，
OB
在Rt△OAB中，tan∠OAB= ，
OA
❑√3
∴OB＝OA•tan∠OAB=4❑√3×tan30°=4❑√3× =4，
3
∴OD＝OB＝4，
∴BD＝OD+OB＝8．
故答案为：8．
12．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是 （ 4 ，
﹣ 2 ） ．
【答案】（4，﹣2）．【解答】解：如图，四边形OACB是菱形，连接AB，交OC于点D，
∴AB⊥OC，AD＝BD，
∵点A的坐标是（4，2），
∴OD＝4，AD＝2，
∴BD＝AD＝2，
∵点B在第四象限，
∴点B（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，
OH＝5，则S菱形ABCD ＝ 12 0 ．
【答案】120．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴点O为BD的中点，AC＝2OA＝24，
∵DH⊥AB，
∴BD＝2OH＝10，
1 1
∴S = AC⋅BD= ×24×10=120，
菱 形ABC2D 2
故答案为：120．
14．如图，四边形 ABCD 是菱形，点 P 为 AD 边上一动点（不与点 A，D 重合），PE⊥AC 于点 E，
6❑√5
PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为 ．
5
6❑√5
【答案】 ．
5
【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
1 1 1 1
∴AC⊥BD，OA＝OC= AC= ×6＝3，OB＝OD= BD= ×12＝6，
2 2 2 2
∴∠AOB＝90°，
∴AB=❑√OA2+OD2=3❑√5，
1 1
∵
2
AB•OH =
2
OA•OD＝S△AOB ，
1 1
∴ ×3❑√5OH = ×3×6，
2 2
6❑√5
解得OH= ，
5
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴OP≥OH，
6❑√5
∴EF≥ ，
5
6❑√5
∴EF的最小值为 ，
5
6❑√5
故答案为： ．
5
15．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP＝BH，连接CP，若
∠ABC＝120°，BC＝3，则CP的长为 ❑√7 ．
【答案】❑√7．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝3，
1
则∠ABD= ∠ABC=60°，
2
∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝3，
设BH＝x，则DP＝BH＝x，
∵过点P作PH⊥AB于点H，
∴∠PHB＝90°，
在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，∠PHB＝90°，
∴BP＝2BH＝2x，
由BD＝BP+DP，
得3＝2x+x，
解得x＝1，
故BP＝2，DP＝1，
过P作PM⊥DC于点M，
∵CD∥AB，
∴∠CDP＝∠DBA＝60°，
在Rt△PMD中，∠DPM＝30°，∠PMD＝90°，
1 1
∴DM= DP= ，
2 2
在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，由勾股定理可得：
√ 1 2 ❑√3
PM=❑√DP2−DM2=❑12−( ) = ，
2 2
1 5
CM=CD−DM=3− = ，
2 2
在Rt△PMC中，∠PMC＝90°，由勾股定理可得：
√ ❑√3 2 5 2
∴若∠ABC＝120°，BC＝3，则PC=❑√PM2+MC2=❑ ( ) +( ) =❑√7．
2 2
故答案为：❑√7．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长AC、CA至点F、E，连接DE、DF，DE＝DF．
求证：AE＝CF．【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴180°﹣∠CAD＝180°﹣∠ACD，即∠EAD＝∠FCD，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AED和△CFD中，
{
DF=DE
)
∠F=∠E ，
∠FCD=∠EAD
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF．
17．如图，已知点A的坐标为(−2❑√3，2)，点B的坐标为(−1，−❑√3)，菱形ABCD的对角线交于坐标
原点O．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）C(2❑√3，−2)，D(1，❑√3)；
（2）16．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．点A的坐标为(−2❑√3，2)，点B的坐标
为(−1，−❑√3)，
∴点C和点A关于原点O对称，点D和点B关于原点O对称，
∴C(2❑√3，﹣2），D（1，❑√3)；
（2）∵A(−2❑√3，2)，B(−1，−❑√3)，C(2❑√3，﹣2），D（1，❑√3)，
∴AC=❑√48+16=8，BD=❑√4+12=4，
1
∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝16．
2
18．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点
A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD．（1）试判断四边形ACDF的形状，并说明理由；
（2）已知BC＝2，若四边形ACDF是菱形，求AD的长．【答案】（1）四边形ACDF是平行四边形，理由如下见解析；
（2）6．
【解答】解：（1）四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：连接CF交AD于O，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AC=❑√3BC＝2❑√3，
∵四边形ACDF是菱形，
∴CF⊥AD，AD＝2AO，
∴∠AOC＝90°，
❑√3 ❑√3
∴AO= AC= ×2❑√3=3，
2 2
∴AD＝2AO＝6．
19．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中
间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，
C之间的距离）．已知AB＝36cm．（1）当∠ADC＝60°时，求千斤顶高AC的长度；
（2）当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？
【答案】（1）36cm；
（2）(36❑√3−36)cm．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，交BD于点O．AB＝36cm，
∴DB平分∠ADC，AC⊥BD，AC＝2AO，AD＝CD＝AB＝BC＝36cm，
当∠ADC＝60°时，△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝36cm；
（2）当∠ADC＝120°时，
∵DB平分∠ADC，AC⊥BD，
1
∴∠ADO= ∠ADC=60°，∠DAO=30°．
2
1
在Rt△ADO中，OD= AD＝18cm，
2
由勾股定理得：AO=❑√AD2−OD2=18❑√3cm，
∴AC＝2AO＝36❑√3cm，
∴千斤顶升高了(36❑√3−36)cm．
20．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连
接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值．
【答案】（1）见解析；
24
（2）DG= ．
5
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BD＝CD，∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，
∴AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，AD＝CD＝CF，
1
∴CF=AD= BC=5，
2
∵CD＝BD，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠ABD＝∠DAB，∠ACD＝∠DAC，
∵∠ABD+∠DAB+∠ACD+∠DAC＝180°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝90°，
∴AC=❑√BC2−AB2=❑√102−62=8，
由（1）可知，四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝6，
∵DG⊥CF，
1
∴S = AC⋅DF=CF⋅DG，
菱 形AD2CF
1
即 ×8×6=5⋅DG，
2
24
∴DG= ．
5
