文档内容
专题 25 一次函数图形性质与规律综合应用
解题思路
考点1：一次函数增减性应用
考点2：一次函数图像与系数的关系
1.判断直线经过象限的方法：k的符号决定直线经过第一、三象限还是第二、四象限（k
＞0，图像经过第一、三象限；k＜0，图像经过第二、四象限）；b的符号决定直线与y轴
交点位置（b＞0，图像与y轴的正半轴相交；b=0,图像经过原点；b＜0，图像与y轴的负
半轴相交）
|k| |k| |k|
2. 的大小决定直线的倾斜程度，即 越大，直线与x轴正方向的夹角越大，
越小，直线与y轴正方向的夹角越小。
典例分析
【考点1：一次函数的增减性的应用】
【典例1】（2023春•通州区校级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、
二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【变式1-1】（2023•陕西模拟）若一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过第二、
三、四象限，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＜0 C．m＞3 D．m＞2
【变式1-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）一次函数 y＝kx+b的图象不经过第
三象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0
【变式1-3】（2022秋•邗江区期末）若一次函数 y＝（m﹣2）x﹣2的函数值y
随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞2【典例2】（2022秋•市北区期末）设b＞a，将一次函数y ＝ax+b与y ＝bx+a
1 2
的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，使得下列四个备选
答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023•铜官区校级一模）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022秋•敦煌市期中）已知点 A（x ，y ），B（x ，y ）在直线y
1 1 2 2
＝kx+b（k≠0）的图象上，当x ＜x 时，y ＜y ，且kb＞0，则在平面直角坐
1 2 1 2
标系中，它的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022•定远县模拟）一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣ x（k，b为常数，
且kb≠0），它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）A． B． C． D．
【考点2 一次函数中的规律探究题】
【典例 3】（2021•鞍山一模）如图，直线 OA的解析式为 y＝x，点P 坐标为
1
（1，0），过P 作PQ ⊥x轴交OA于Q ，过Q 作P Q ⊥OA交x轴于P ，
1 1 1 1 2 1 2
过P 作P Q ⊥x轴交OA于Q ，过Q 作P Q ⊥OA交x轴于P ，…，按此规
2 2 2 2 2 3 2 3
律进行下去，则P 的坐标为（ ）
100
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
【变式3-1】（2019春•南昌期末）在平面直角坐标系中，直线m：y＝x+1与y
轴交于点 D，如图所示，作正方形 ABCD．作正方形 A B C C；作正方形
1 1 1
A B C C …按这样的规律进行下去，第n个正方形的面积为（ ）
2 2 2 1
A．22n﹣2 B．22n﹣1 C．22n D．22n+1
【变式3-2】（2022秋•鸡西期末）如图，点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横
1 1
坐标为 1，过点 B 作 B A ⊥x 轴，垂足为 A ，以 A B 为边向右作正方形
1 1 1 1 1 1
A B C A ，延长A C 交直线l于点B ；以A B 为边向右作正方形 A B C A ，
1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3
延长 A C 交直线 l 于点 B …按照这个规律进行下去，点 B 的坐标为
3 2 3 2023．
【变式3-3】（2022秋•佛山校级期末）在平面直角坐标系中，若干边长为 1个
单位长度的正方形，按如图所示的规律摆放在函数 y＝x的图象上，OA 在函
1
数y＝x的图象上，OA ＝A A ＝1，点A 在y轴上，点P从原点O出发，以每
1 1 2 2
秒1个单位长度的速度沿着“→”的方向运动，当点 P运动到39秒时，点P
所在位置的纵坐标是 ．
夯实基础
1．（2022秋•郫都区期末）已知正比例函数y＝（m﹣3）x，其中y的值随x的
值增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＞0 D．m＜0
2．（2022秋•宿豫区期末）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣4（m是常数），若y
随x的增大而增大，则m的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
3．（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的
取值范围是（ ）A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
4．（2022秋•阜宁县期末）一次函数 y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（
）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
5．（2022秋•槐荫区校级期末）已知一次函数 y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022•湘潭县校级模拟）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大
而增大，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
7．（2022秋•开江县校级期末）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y
随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣ B．m≥﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
8．（2022秋•慈溪市期末）一次函数 y＝（3﹣k）x﹣k的图象经过第一、三、
四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．0＜k＜3 C．k＜0 D．k＜3
9．（2022秋•亳州期末）已知一次函数 y＝（m﹣2）x﹣2，要使函数值y随自
变量x增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2 D．m＜2
10．（2022秋•盱眙县期末）若一次函数y＝（m﹣3）x+5的图象经过第一、二、
三象限，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
11．（2022春•珠晖区校级期中）如图，是一次函数y＝kx+b在平面直角坐标系
中的图象，由图可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
12．（2022•防城区校级模拟）若一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、
四象限，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜213．（2022秋•市南区期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y
＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋•江北区期末）在同一直角坐标系内作一次函数 y ＝ax+b和y ＝
1 2
﹣bx+a图象，可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022秋•镇海区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b
（k≠0）与y＝bx﹣k（b≠0）的大致图象可以是（ ）A． B．
C． D．
16．（2022秋•黄岛区校级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数 y
＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（ ）
A． B．C． D．
18．（2023春•崇川区校级月考）关于 x的一次函数y＝（a﹣1）x+a的图象经
过第一、二、四象限，则a的取值范围是 ．
19．（2022春•五华县期中）如图，过点A （1，0）作x轴的垂线，交直线y＝
1
2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对称；过点A 作x轴的垂线，交直线y
1 2 1 1 2
＝2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对称；过点A 作x轴的垂线，交直
2 3 2 2 3
线 y ＝ 2x 于 点 B ； … ， 按 此 规 律 作 下 去 ， 则 点 B 的 坐 标 为
3 n
．
20．（2022•泰山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，
1 1
△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，其直角顶点 P （3，3），P ，
2 1 2 3 2 3 1 2
P ，…均在直线 上，设△P OA ，△P A A ，△P A A ，…面积分别
3 1 1 2 1 2 3 2 3
为S ，S ，S ，…依据图形所反映的规律，S ＝ ．
1 2 3 2022
21．（2021秋•百色期末）正方形 A B C O、A B C C 、A B C C ……按如图的
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
方式放置，点 A 、A 、A …和点C 、C 、C …分别在直线 y＝kx+b（k＞0）
1 2 3 1 2 3和x轴上，已知点B （1，1），B （3，2），按此规律，则点 B 的坐标是
1 2 5
．
22．（2022春•普宁市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 l为正比例
函数y＝x的图象，点A 的坐标为（1，0），过点A 作x轴的垂线交直线l于
1 1
点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；过点C 作直线l的垂线，垂足为A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2
交x轴于点B ，以A B 为边作正方形A B C D ；过点C 作x轴的垂线，垂足
2 2 2 2 2 2 2 2
为A ，交直线l于点A ，以A D 为边作正方形A B C D ，…，按此规律操作
3 3 3 3 3 3 3 3
下所得到的正方形A B C D 的面积是 ．
2020 2020 2020 2020
23．（2022春•宽城县期末）如图，直线 y＝x+1与x轴交于点D，与y轴交于
点 A ，把正方形 A B C O 、A B C C 和 A B C C 按如图所示方式放置，点
1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
A 、A 在直线y＝x+1上，点C 、C 、C 在x轴上，按照这样的规律，则点A
2 3 1 2 3 1
的坐标是 ，正方形A B C C 中的点B 的坐标为
2022 2022 2022 2021 2022
．能力提升
24．（2022春•龙湖区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交
于A，B两点，过原点O作OA 垂直于直线AB交AB于点A ，过点A 作A B
1 1 1 1 1
垂直于x轴交x轴于点B ，过点B 作B A 垂直于直线AB交AB于点A ，过点
1 1 1 2 2
A 作A B 垂直于x轴交x轴于点B …，依此规律作下去，则点A 的坐标是
2 2 2 2 6
．
25．（2022•武城县模拟）如图，△OAB ，△B A B ，△B A B ，…，△B A B
1 1 1 2 2 2 3 n n n+1
都是面积为 的等边三角形，边 AO在y轴上，点B ，B ，B ，…，B ，
1 2 3 n
B 都在直线y＝ x上，点A ，A ，A ，…，A 都在直线y＝ x的上方，
n+1 1 2 3 n
观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点 A 的坐标为
2022
．
26．某校数学兴趣小组根据学小函数的经验，对函数 的图象和性质
进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 3 2.5 m 1.5 1 1.5 2 2.5 3 …
其中m＝ ．
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的
点，根据描出的点，画
出该函数的图象：
（3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规
律：
序号 函数图象特征 函数变化规律
示例1 在y轴左侧，函数图象呈下降状 当x＜0时，y随x的增大而减小
态
① 在y轴右侧，函数图象呈上升状
态
示例2 函数图象经过点（﹣4，3） 当x＝﹣4时，y＝3
② 函数图象的最低点是（0，1）
（4）当2＜y≤3时，x的取值范围为 ．
