文档内容
专题 25 一次函数图形性质与规律综合应用
解题思路
考点1：一次函数增减性应用
考点2：一次函数图像与系数的关系
1.判断直线经过象限的方法：k的符号决定直线经过第一、三象限还是第二、四象限（k
＞0，图像经过第一、三象限；k＜0，图像经过第二、四象限）；b的符号决定直线与y轴
交点位置（b＞0，图像与y轴的正半轴相交；b=0,图像经过原点；b＜0，图像与y轴的负
半轴相交）
|k| |k| |k|
2. 的大小决定直线的倾斜程度，即 越大，直线与x轴正方向的夹角越大，
越小，直线与y轴正方向的夹角越小。
典例分析
【考点1：一次函数的增减性的应用】
【典例1】（2023春•通州区校级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、
二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：D．
【变式1-1】（2023•陕西模拟）若一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过第二、
三、四象限，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＜0 C．m＞3 D．m＞2
【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，故选：A．
【变式1-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）一次函数 y＝kx+b的图象不经过第
三象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0
【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故选：C．
【变式1-3】（2022秋•邗江区期末）若一次函数 y＝（m﹣2）x﹣2的函数值y
随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞2
【答案】D
【解答】解：要使函数值y随x的增大而增大，
则m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故选：D．
【典例2】（2022秋•市北区期末）设b＞a，将一次函数y ＝ax+b与y ＝bx+a
1 2
的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，使得下列四个备选
答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数图象 y＝bx+a应过一、三、四象限，故本选项错误；
B、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数图象y＝bx+a应过一、二、
三象限，故本选项错误；
C、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数图象 y＝bx+a过一、三、四
象限，故本选项错误；
D、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数图象y＝bx+a应过一、二、
三象限，故本选项正确．
故选：D．
【变式2-1】（2023•铜官区校级一模）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•敦煌市期中）已知点 A（x ，y ），B（x ，y ）在直线y
1 1 2 2
＝kx+b（k≠0）的图象上，当x ＜x 时，y ＜y ，且kb＞0，则在平面直角坐
1 2 1 2
标系中，它的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵点A（x ，y ），B（x ，y ）在直线y＝kx+b（k≠0）的图象
1 1 2 2
上，当x ＜x 时，y ＜y ，
1 2 1 2∴k＞0，
又∵kb＞0，
∴b＞0，
∴直线y＝kx+b经过第一、二、三象限．
故选：A．
【变式2-3】（2022•定远县模拟）一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣ x（k，b为常数，
且kb≠0），它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，﹣b＜0，﹣ ＜0；正比例函数y＝
﹣ x的图象可知﹣ ＞0，故此选项不可能；
B、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，﹣b＞0，﹣ ＜0；正比例函数y＝
﹣ x的图象可知﹣ ＞0，故此选项不可能；
C、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，﹣b＞0，﹣ ＜0；正比例函数y＝
﹣ x的图象可知﹣ ＜0，故此选项有可能；D、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，﹣b＞0，﹣ ＞0；正比例函数y＝
﹣ x的图象可知﹣ ＜0，故此选项不可能；
故选：C．
【考点2 一次函数中的规律探究题】
【典例 3】（2021•鞍山一模）如图，直线 OA的解析式为 y＝x，点P 坐标为
1
（1，0），过P 作PQ ⊥x轴交OA于Q ，过Q 作P Q ⊥OA交x轴于P ，
1 1 1 1 2 1 2
过P 作P Q ⊥x轴交OA于Q ，过Q 作P Q ⊥OA交x轴于P ，…，按此规
2 2 2 2 2 3 2 3
律进行下去，则P 的坐标为（ ）
100
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
【答案】C
【解答】解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP ＝45°，
1
∵P Q ⊥x轴，
1 1
∴△OP Q 为等腰直角三角形，
1 1
∵点P 坐标为（1，0），
1
∴P Q ＝OP ＝1，
1 1 1
∵P Q ⊥OA，
2 1
∴∠P Q P ＝45°，
1 1 2
∴△P P Q 为等腰直角三角形，
1 2 1
∴P P ＝P Q ＝1，
1 2 1 1
∴P （2，0），
2
同理可得P （4，0），P （8，0），……，P （2n﹣1，0），
3 4 n∴P （299，0），
100
故选：C．
【变式3-1】（2019春•南昌期末）在平面直角坐标系中，直线m：y＝x+1与y
轴交于点 D，如图所示，作正方形 ABCD．作正方形 A B C C；作正方形
1 1 1
A B C C …按这样的规律进行下去，第n个正方形的面积为（ ）
2 2 2 1
A．22n﹣2 B．22n﹣1 C．22n D．22n+1
【答案】B
【解答】解：设正方形的面积分别为S ，S …，S ，
1 2 n
∵直线m为：y＝x+1，
∴OM＝OD＝1，
∴∠DMO＝45°，
∵正方形ABCD中，AD⊥直线m，
∴△AMD是等腰直角三角形，
∴OA＝OD＝1，
∵AD∥BC∥C A ∥C B ，
1 2 2 2
∴∠BAO＝∠B A A ＝∠B A A ＝45°．
1 1 1 1 2 1
∴△ABA ，△A B A …，是等腰直角三角形，
1 1 1 2
∵OA＝OD＝1，
∴AD＝ ，A C＝2 ，A C ＝4 ，…，A C ＝2n ，
1 2 1 n n﹣1
由正方形的面积公式，得：S ＝（ ）2，
1S ＝（2 ）2，
2
S ＝（4 ）2，
3
由此，可得S ＝（2n﹣1 ）2＝22n﹣1．
n
故选：B．
【变式3-2】（2022秋•鸡西期末）如图，点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横
1 1
坐标为 1，过点 B 作 B A ⊥x 轴，垂足为 A ，以 A B 为边向右作正方形
1 1 1 1 1 1
A B C A ，延长A C 交直线l于点B ；以A B 为边向右作正方形 A B C A ，
1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3
延长 A C 交直线 l 于点 B …按照这个规律进行下去，点 B 的坐标为
3 2 3 2023
．
【答案】（ ， ）．
【解答】解：∵点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横坐标为1，
1 1
∴A （1，0），B （1， ），
1 1
∵四边形A B C A 是正方形，
1 1 1 2
∴A （ ，0），B （ ， ），
2 2
A （ ，0），B （ ， ），
3 3
A （ ，0），B （ ， ），
4 4
……A （ ，0），B （ ， ），
n n
当n＝2023时，
B （ ， ）．
2023
故答案为：B （ ， ）．
2023
【变式3-3】（2022秋•佛山校级期末）在平面直角坐标系中，若干边长为 1个
单位长度的正方形，按如图所示的规律摆放在函数 y＝x的图象上，OA 在函
1
数y＝x的图象上，OA ＝A A ＝1，点A 在y轴上，点P从原点O出发，以每
1 1 2 2
秒1个单位长度的速度沿着“→”的方向运动，当点 P运动到39秒时，点P
所在位置的纵坐标是 ．
【答案】 ．
【解答】解：由题意得，点 P从原点O出发，每4秒一个循环，在函数y＝x
的图象上到达A ，
4n
∴OA ＝2n，A 的纵坐标为n ，
4n 4n
∴OA ＝20，A 的纵坐标为10 ，
40 40
由图象可得A 的纵坐标为10 + ＝ ．
39故答案为： ．
夯实基础
1．（2022秋•郫都区期末）已知正比例函数y＝（m﹣3）x，其中y的值随x的
值增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＞0 D．m＜0
【答案】A
【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣3）x，其中y的值随x的值增大而减小，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
故选：A．
2．（2022秋•宿豫区期末）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣4（m是常数），若y
随x的增大而增大，则m的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：∵一次函数 y＝（m﹣1）x﹣4（m是常数），y随x的增大而增
大，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
3．（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的
取值范围是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
【答案】A
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，故选：A．
4．（2022秋•阜宁县期末）一次函数 y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（
）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】D
【解答】解：如图所示，一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而减小，所
以k＜0，
直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．
故选：D．
5．（2022秋•槐荫区校级期末）已知一次函数 y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小
∴k＜0
又∵kb＜0
∴b＞0∴此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
6．（2022•湘潭县校级模拟）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大
而增大，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴﹣k＜0．
又∵1＞0，
∴一次函数y＝x﹣k的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
7．（2022秋•开江县校级期末）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y
随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣ B．m≥﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
【答案】C
【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，
解得m＜﹣ ．
故选：C．
8．（2022秋•慈溪市期末）一次函数 y＝（3﹣k）x﹣k的图象经过第一、三、
四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．0＜k＜3 C．k＜0 D．k＜3【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣k）x﹣k的图象经过第一、三、四象限，
∴3﹣k＞0且﹣k＜0，
∴0＜k＜3．
故选：B．
9．（2022秋•亳州期末）已知一次函数 y＝（m﹣2）x﹣2，要使函数值y随自
变量x增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2 D．m＜2
【答案】B
【解答】解：要使函数值y随自变量x的增大而增大，
则m﹣2＞0，
解得m＞2，
则m取值范围是m＞2．
故选：B．
10．（2022秋•盱眙县期末）若一次函数y＝（m﹣3）x+5的图象经过第一、二、
三象限，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x+5的图象经过第一、二、三象限，
∴m﹣3＞0，解得m＞3．
故选：C．
11．（2022春•珠晖区校级期中）如图，是一次函数y＝kx+b在平面直角坐标系
中的图象，由图可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．
故选：B．
12．（2022•防城区校级模拟）若一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、
四象限，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
【答案】D
【解答】解：如图，∵一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象
限，
∴m﹣2＜0，
解得，m＜2．
故选：D．
13．（2022秋•市南区期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y
＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限．故选：B．
14．（2022秋•江北区期末）在同一直角坐标系内作一次函数 y ＝ax+b和y ＝
1 2
﹣bx+a图象，可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一、二、三象限，
1
∴a＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y ＝﹣bx+a图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意；
2
B、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
1
∴a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y ＝﹣bx+a图象应该经过二、三、四象限，故不符合题意；
2
C、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
1
∴a＜0，b＜0，
∴﹣b＞0；
∴一次函数y ＝﹣bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
2
D、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
1
∴a＜0，b＜0，
∴﹣b＞0，
∴一次函数y ＝﹣bx+a图象应该经过一、三、四象限，与函数图象一致，符
2
合题意；故选：D．
15．（2022秋•镇海区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b
（k≠0）与y＝bx﹣k（b≠0）的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解；当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，
一次函数y＝bx﹣k经过第一、三、四象限；
当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，一次函数y＝
bx﹣k经过第二、三、四象限；
当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，一次函数y＝
bx﹣k经过第一、二、三象限；
当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限，一次函数y＝
bx﹣k经过第一、二、四象限；
∴四个选项只有C符合题意．
故选：C．
16．（2022秋•黄岛区校级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数 y
＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则 k＞
0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞
0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则 k＞0，b＜0，则kb
＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题
意；
C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb
＜0；而一次函数 y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则 kb＜0．kb＜0与kb
＜0相一致，符合题意；
D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则 k＜0，b＜0，则kb
＞0；而一次函数 y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则 kb＜0．kb＞0与kb
＜0相矛盾，不符合题意；
故选：C．
17．（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解答】解：A、两条直线反映出k＞0和b＜0，一致，故本选项正确；
B、一条直线反映b＞0，一条直线反映b＜0，故本选项错误；
C、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误；
D、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误．
故选：A
18．（2023春•崇川区校级月考）关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+a的图象经
过第一、二、四象限，则a的取值范围是 ．
【答案】0＜a＜1．
【解答】解：∵关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+a的图象经过第一、二、四
象限，
∴ ，
解得：0＜a＜1，
∴a的取值范围是0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
19．（2022春•五华县期中）如图，过点A （1，0）作x轴的垂线，交直线y＝
1
2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对称；过点A 作x轴的垂线，交直线y
1 2 1 1 2
＝2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对称；过点A 作x轴的垂线，交直
2 3 2 2 3
线 y ＝ 2x 于 点 B ； … ， 按 此 规 律 作 下 去 ， 则 点 B 的 坐 标 为
3 n
．
【答案】（2n﹣1，2n）．
【解答】解：∵点A 坐标为（1，0），
1
∴OA ＝1，
1过点A 作x轴的垂线交直线y＝2x于点B ，可知B 点的坐标为（1，2），
1 1 1
∵点A 与点O关于直线A B 对称，
2 1 1
∴OA ＝A A ＝1，
1 1 2
∴OA ＝1+1＝2，
2
∴点A 的坐标为（2，0），B 的坐标为（2，4），
2 2
∵点A 与点O关于直线A B 对称．故同理可得点A 的坐标为（4，0），B
3 2 2 3 3
的坐标为（4，8），
依此类推便可求出点 An 的坐标为 （2n﹣1，0），点 Bn 的坐标为（2n﹣1，
2n）．
故答案为：（2n﹣1，2n）．
20．（2022•泰山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，
1 1
△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，其直角顶点 P （3，3），P ，
2 1 2 3 2 3 1 2
P ，…均在直线 上，设△P OA ，△P A A ，△P A A ，…面积分别
3 1 1 2 1 2 3 2 3
为S ，S ，S ，…依据图形所反映的规律，S ＝ ．
1 2 3 2022
【答案】 ．
【解答】解：过点P 作P E ⊥x轴于点E ，如图所示．
n n n n∵△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴OA ＝2P E ，A A ＝2P E ，A A ＝2P E ，…，A A ＝2P E ．
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 n﹣1 n n n
∵点P 的坐标为（2，3），
1
∴ ；
设点P 的坐标为（x ，y ），则点P 的坐标为（6+y ，y ）．
n n n 2 2 2
∵点P 在直线 上，
2
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P 的坐标为（6+2y +y ，y ），即（9+y ，y ）．
3 2 3 3 3 3
∵点P 在直线 上，
3
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵y ＝3， ， ，…，
1
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
21．（2021秋•百色期末）正方形 A B C O、A B C C 、A B C C ……按如图的
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
方式放置，点 A 、A 、A …和点C 、C 、C …分别在直线 y＝kx+b（k＞0）
1 2 3 1 2 3
和x轴上，已知点B （1，1），B （3，2），按此规律，则点 B 的坐标是
1 2 5
．
【答案】（31，16）．
【解答】解：∵B 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（3，2），
1 2
∴正方形A B C O边长为1，正方形A B C C 边长为2，
1 1 1 2 2 2 1
∴A 的坐标是（0，1），A 的坐标是：（1，2），
1 2
代入y＝kx+b得 ，
解得： ．
则直线的解析式是：y＝x+1．
∵A B ＝1，点B 的坐标为（3，2），
1 1 2
∴A 的纵坐标是：1＝20，A 的横坐标是：0＝20﹣1，
1 1
∴A 的纵坐标是：1+1＝21，A 的横坐标是：1＝21﹣1，
2 2
∴A 的纵坐标是：2+2＝4＝22，A 的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1，
3 3
∴A 的纵坐标是：4+4＝8＝23，A 的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1，
4 4
据此可以得到A 的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
n
∵点B 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（3，2），
1 2
∴点B 的坐标为（7，4），
3
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1，即B 的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
n∴B 的坐标是（31，16）．
5
故答案是：（31，16）．
22．（2022春•普宁市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 l为正比例
函数y＝x的图象，点A 的坐标为（1，0），过点A 作x轴的垂线交直线l于
1 1
点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；过点C 作直线l的垂线，垂足为A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2
交x轴于点B ，以A B 为边作正方形A B C D ；过点C 作x轴的垂线，垂足
2 2 2 2 2 2 2 2
为A ，交直线l于点A ，以A D 为边作正方形A B C D ，…，按此规律操作
3 3 3 3 3 3 3 3
下所得到的正方形A B C D 的面积是 ．
2020 2020 2020 2020
【答案】 ．
【解答】解：∵直线l为正比例函数y＝x的图象，
∴∠D OA ＝45°，
1 1
∴D A ＝OA ＝1，
1 1 1
∴正方形A B C D 的面积＝1＝ ，
1 1 1 1
由勾股定理得， ，
∴ ，∴正方形A B C D 的面积＝ ，
2 2 2 2
同理，A D ＝OA ＝ ，
3 3 3
∴正方形A B C D 的面积＝ ，…
3 3 3 3
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积＝ ，
∴正方形A B C D 的面积＝ ，
2020 2020 2020 2020
故答案为： ．
23．（2022春•宽城县期末）如图，直线y＝x+1与x轴交于点D，与y轴交于
点 A ，把正方形 A B C O 、A B C C 和 A B C C 按如图所示方式放置，点
1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
A 、A 在直线y＝x+1上，点C 、C 、C 在x轴上，按照这样的规律，则点A
2 3 1 2 3 1
的坐标是 ，正方形A B C C 中的点B 的坐标为
2022 2022 2022 2021 2022
．
【答案】（0，1），（22022﹣1，22021）．
【解答】解：∵直直线y＝x+1与x轴交于点D，与y轴交于点A ，
1
∴A （0，1），
1
∴正方形OA B C 的边长为1，
1 1 1
∵△A B A 、△A B A ，……都是等腰直角三角形，边长依次为 1，2，4，
1 1 2 2 2 3
8，16……，
∴B （1，1），B （3，2），B （7，4），B （15，8）……，
1 2 3 4
即：B （21﹣1，20），B （22﹣1，21），B （23﹣1，22），B （24﹣1，
1 2 3 4
23）……B （22022﹣1，22021），
2022
故答案为：（0，1），（22022﹣1，22021）．能力提升
24．（2022春•龙湖区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交
于A，B两点，过原点O作OA 垂直于直线AB交AB于点A ，过点A 作A B
1 1 1 1 1
垂直于x轴交x轴于点B ，过点B 作B A 垂直于直线AB交AB于点A ，过点
1 1 1 2 2
A 作A B 垂直于x轴交x轴于点B …，依此规律作下去，则点A 的坐标是
2 2 2 2 6
．
【答案】（﹣ ， ）．
【 解 答 】 解 ： 过 A 、 A 、 A 、 … 分 别 作 A C⊥ BO ， A D⊥ A B ，
1 2 3 1 2 1 1
A E⊥A B ，…垂足分别为C、D、E、…，
3 2 2
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵OA ⊥AB，
1
∴∠A OB＝∠OBA＝∠OAB＝45°，
1
∴OC＝A C＝BC＝ OB＝2，
1
可得四边形A B OC是正方形，
1 1
同理可得四边形A B B D，四边形A B B E也是正方形，
2 2 1 3 3 2
∴点A （﹣2，2），
1
可求A D＝A B ＝ A B ＝1，
2 2 2 1 1
∴点A （﹣2﹣1，1），
2同理A （﹣2﹣1﹣ ， ），即，
3
……
A （﹣2﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ， ），即A （﹣ ， ），
6 6
故答案为：（﹣ ， ）．
25．（2022•武城县模拟）如图，△OAB ，△B A B ，△B A B ，…，△B A B
1 1 1 2 2 2 3 n n n+1
都是面积为 的等边三角形，边 AO在y轴上，点B ，B ，B ，…，B ，
1 2 3 n
B 都在直线y＝ x上，点A ，A ，A ，…，A 都在直线y＝ x的上方，
n+1 1 2 3 n
观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点 A 的坐标为
2022
．
【答案】（3033，1012 ）．
【解答】解：如图，∵△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为 2的等
1 1 1 2 2 2 3
边三角形，
∴∠AOB ＝∠AB B ＝∠A B B ＝…＝60°，
1 1 2 2 2 3
∴AO∥A B ∥A B ∥…，
1 1 2 2
∵AO在y轴上，∴A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，…
1 1 2 2
过B 作B C⊥x轴，垂足为C，
1 1
∵点B 在在直线y＝ x上，
1
设B （x， x），
1
∴∠B OC＝30°，
1
∵△OAB 是面积为 的等边三角形，
1
∴都是边长为 的等边三角形，
∴B C＝ ，OC＝ ，
1
∴A 的坐标为（ ， ），
1
同理A （3，2 ）、A （ ， ），
2 3
∴A 的坐标为（3033，1012 ），
2022
故答案为（3033，1012 ）．
26．某校数学兴趣小组根据学小函数的经验，对函数 的图象和性质
进行了探究，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 3 2.5 m 1.5 1 1.5 2 2.5 3 …
其中m＝ ．
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画
出该函数的图象：
（3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规
律：
序号 函数图象特征 函数变化规律
示例1 在y轴左侧，函数图象呈下降状 当x＜0时，y随x的增大而减小
态
① 在y轴右侧，函数图象呈上升状
态
示例2 函数图象经过点（﹣4，3） 当x＝﹣4时，y＝3
② 函数图象的最低点是（0，1）
（4）当2＜y≤3时，x的取值范围为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在 中，令x＝﹣2，则y＝2，
∴m＝2，
故答案为：2；
（2）如图所示：（3）①在y轴右侧，函数图象呈上升状态，即当x＞0时，y随x的增大而
增大；
②函数图象的最低点是（0，1），即当x＝0时，y＝1；
故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y＝1；
（4）由图可得，当2＜y≤3时，x的取值范围为﹣4≤x＜﹣2，2＜x≤4．
故答案为：﹣4≤x＜﹣2，2＜x≤4．
