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专题25 定弦定角构造辅助圆
1．如图，点 是正六边形 内一点， ，当 时，连接 ，则线段
的最小值是
A． B． C．6 D．
【解答】解： ， ，
点 在以 为直径的圆弧上，
如图，取 的中点 ，连接 ，当 、 、 三点共线时， 有最小值，
连接 ，过点 作 于点 ，
点 为 的中点，
，
正六边形的每个内角为 ，
，
， ，
，
在 中， ， ，
，在 中， ，
的最小值为 ．
故选： ．
2．如图，在平面直角坐标系中，线段 在 轴上移动，在运动过程中，直线 上的点 如
果满足 ，则点 为好点，当 在 轴上运动到某一位置时，好点 的个数最多有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图，当 在 轴的正半轴时，构建等边三角形 ，以 为圆心，以 为半径
作辅助圆 ，
直线 与 的交点就是点 ，
此时 ，
好点 最多有两个，
同理在 轴的负半轴时，也存在两个好点 ，
故选： ．3．如图， 是 的直径， ， 、 是半圆上不与 、 重合的两点，且
， 的内心为 点，当点 在 上从点 运动到点 时，点 运动的路径
长是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 、 ，
， 是内心，
，
点 在以 为圆心的 为半径的圆上运动（轨迹是 ，在 上取一点 ，连接 、
，则 ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，同理 ，
，
，
点 运动的路径长是 ，
故选： ．4．如图，在平面直角坐标系中，等边 的边 在 轴正半轴上，点 ， ，点 、
分别从 、 以相同的速度向 、 运动，连接 、 ，交点为 ， 是 轴上一点，则
的最小值是
A．3 B． C． D．
【解答】解：如图， 是等边三角形，
， ，
点 、 分别从 、 以相同的速度向 、 运动，
，在 和 中， ，
，
，
，点 是经过点 ， ， 的圆上的点，记圆心为 ，在 上取一点 ，使点 和点 在弦
的两侧，连接 ， ，
，
连接 ， ，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形， ，
， ，
过点 作 ，
，
在 △ 中， ， ，
，
， ，
设 ，
，
只有 时， 最小为0，即 最小为6．
当 时，即： 时， 最小，
．
故选： ．5．如图，正方形 中， ，动点 从点 出发向点 运动，同时动点 从点 出发向
点 运动，点 、 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 、
相交于点 ，则线段 的最小值为 ．
【解答】解：如图：
，
动点 ， 的速度相同，
，
又 正方形 中， ，
，
在 和 中，
，
，
．
，，
，
点 在运动中保持 ，
点 的路径是一段以 为直径的弧，
设 的中点为 ，连接 交弧于点 ，此时 的长度最小，
．
在 中， ，
，
即线段 的最小值为 ，
故答案为： ．
6．如图，正方形 ，以 为圆心， 长为半径画弧，点 在圆弧上， 于点 ，
是 的内心， ，则 的最小值为 ．
【解答】解：连接 、 、 ．
是 的内心， ，
，
， ， ，
，
（定角），
点 的运动轨迹是圆弧，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ，连接 、 ．
则以点 为圆心， 为半径的 是点 的轨迹，
，
当 、 、 共线时， 的值最小，作 于 ．易知 ， ， ，
的最小值为 ，
故答案为 ．
7．如图，在矩形 中， ， ，点 是 上的一个动点，连接 ，把 沿
着 翻折到△ （点 在矩形的内部），连接 ， ．点 在整个运动过程中，若存在
唯一的位置使得△ 为直角三角形，则 ， 之间的数量关系是 ．
【解答】解：如图，以 为直径作 ，当点 到 的最小距离等于 时，使得△ 为
直角三角形且唯一，
在 中， ，
，
整理得 ，
， ，
．8．如图， 的直径为4， 为 上一个定点， ，动点 从 点出发沿半圆弧
向 点运动（点 与点 在直径 的异侧），当 点到达 点时运动停止，在运动过程中，过
点 作 的垂线 交 的延长线于 点．
（1）在点 的运动过程中，线段 长度的取值范围为 ．
（2）在点 的运动过程中，线段 长度的最大值为 ．
【解答】解：（1）如图1中，
是直径， ，
， ， ，
，
， ，
的最小值 ， 的最大值为直径 ，
的最小值为 ，最大值为 ，点 与点 在直径 的异侧
．
故答案为 ．
（2）如图2中，
在 中， ， ，
，
点 在以 为弦的 （红弧线）上运动，
当 、 、 共线时， 的值最大．连接 、 ．
， ，
△ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
．
的最大值为 ．
故答案为 ．
9．如图， 是 的直径， 为圆上一点，且 ， 的半径为2， 为圆上一动点， 为 的中点，则 的长的最大值是 ．
【解答】解：如图，连接 ，作 于 ．
，
，
，
点 的运动轨迹为以 为直径的 ，连接 ，
当点 在 的延长线上时， 的值最大，
在 中，
， ，
， ，
在 中， ，
的最大值为
10．如图， 是矩形 内一点， ， ， ，则当线段 最短时，
．【解答】解：以 为直径作半圆 ，连接 ，与半圆 交于点 ，当点 与 重合时，
最短，
，
， ，
， ，
，
过 作 于点 ，则
，
，
．
故答案为： ．
11．在平面直角坐标系中，已知点 、 ，点 是 轴正半轴上的一点，当
时，点 的坐标为 ．
【解答】解：如图，作 的外接圆 ，过 作 ， 于 ，
，
点 、 ，
，，
，
，
，
， ，
在 中， ，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，由勾股定理得：
，
点 坐标为 ，
故答案为 ．
12．如图，正方形 中， ，动点 从点 出发向点 运动，同时动点 从点 出发
向点 运动，点 、 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段
、 相交于点 ， 是线段 上任意一点，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图作点 关于 的对称点 ，连接 ，由轴对称的性质可知： ，
过点 作 垂直 ，垂足为 ，
易证 ，故可知 的轨迹为以 为直径的四分之一圆弧上，当点 与点 重合，点 与
点 重合时， 和 均最短，
此时， 最短．
四边形 为正方形，
， ．
．
在 中，由勾股定理得： ．
故答案为： ．
13．如图，边长为4的正方形 外有一点 ， ， 为 的中点，连接 ，则
的最大值为 ．
【解答】解：解法一：如图，以 为直径作圆 ，，
点 在这个 上，
延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，过 作 于 ，
， ，
，
中， 是 的中点，
，
中，由勾股定理得： ，
，
当 ， ， 三点共线时， 最大， 最大，
的最大值是 ；
解法二：连接 ，取 、 的中点为 、 ，连接 、 ，
为 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，
， ，， ，
，
，
，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
取 的中点 ，
则 最大时，是经过圆心 ，
是 的中位线，
，
，
过 作 于 ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
故答案为： ．
14．如图，正方形 中， ，动点 从点 出发向点 运动，同时动点 从点 出发
向点 运动，点 、 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段
、 相交于点 ， 是线段 上任意一点，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图作点 关于 的对称点 ，连接 ，由轴对称的性质可知： ， ，
过点 作 垂直 ，垂足为 ，
易证 ，故可知 的轨迹为以 为直径的四分之一圆弧上，当点 与点 重合，点 与
点 重合时， 和 均最短，
此时， 最短．
四边形 为正方形，
， ．
．
在 中，由勾股定理得： ．
故答案为
三．解答题（共4小题）
15．在平行四边形 中， ， ， ，问 边上是否存在一个点 ，使
得 ？若存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在．理由如下，
如图，作 于 ．在 中， ， ，
，
，
，
，
，
， ， 的是等腰直角三角形，
，
以 为圆心 画圆交 于 ，此时 ，
，
，
16．已知线段 ，用尺规作 ，使 ，你能作出多少个满足条件的三角形？
【解答】解：如图，
当 ， 时，点 在优弧 上，
，
，
满足条件的点 有无数个．17．如图，在四边形 中， ， ， ， ，点 、点
是四边形内的动点，且 ，求 的最小值．
【解答】解：过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
中， ，
， ，
延长 至点 ，使得 ，
是等边三角形，
以点 为圆心， 为半径作圆，
优 的度数为 ，
，
点 在 上，
绕着点 顺时针旋转 至△ ，
， ， ，
，
，
而 是定值，
求 最短，就是求 最短，
当 、 、 、 四点共线时， 最短，最短值就是 的长，
过点 作 于点 ，
是等边三角形，， ，
，
最短值为 ，
最短值为 ，
最短值为 ．
18．如图1，已知四边形 是平行四边形， 且 ，以 、 所在直线为坐
标轴建立平面直角坐标系 ，直线 过点 且与 轴交于点 ．
（1）请直接写出点 ， 的值及点 的坐标；
（2）如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，且 ，若 为
等腰三角形，求线段 的长；
（3）如图3，点 为 轴正半轴上的一点，当 时，求线段 的长．【解答】解：（1）如图1， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，且 ，
， ，
，
把 代入 中得： ，
，
，
当 时， ，
，
；
（2）若 为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当 时，如图2，则 ，
，
与 重合， 与 重合，
；
②当 时，如图3，过 作 于 ，则 ，
，，
，
在 中， ，
，
，
；
③当 时，如图4，设 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述： 的长为 或6或 ；
（3）如图5，作 的中垂线交 于 ，交 于 ，过 作 轴于 ，连接 、 ，
，
，
，
，
，
点 是 的外接圆的圆心，
，， ，
，
，
，
，
，
，
．
