文档内容
训练 23 空间图形的表面积、体积
一、单项选择题
1．(2024·洛阳模拟)如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
答案 C
解析 因为∠x′O′y′＝45°，则线段A′B′与y′轴必相交，令交点为C′，如图(1)所示，
在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，可得OA＝O′A′，点C在y轴上，可得OC＝
2O′C′，
如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上，
所以∠BOA>∠COA＝90°，
所以△OAB是钝角三角形．
2.(2023·苏州质检)如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底
面半径，且∠AOB＝， M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最
短路径的长度为( )
A. B.－1 C. D.＋1
答案 A解析 如图为圆锥的侧面展开图，l ＝×1＝，
AB
PA＝＝2，
则∠APB＝＝，
在△PMB中，PM＝1，PB＝2，
则MB2＝22＋12－2×2×1×cos ＝3，
∴MB＝为M到B的路径中最短路径的长度．
3．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝
BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示，因为 AC⊥BC，所以 AB为截面圆 O 的直径，且 AB＝.连接 OO ，则
1 1
OO ⊥平面ABC，OO ＝＝＝，
1 1
所以三棱锥O－ABC的体积V＝S ×OO ＝××1×1×＝.
△ABC 1
4．(2023·朝阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的
下底面圆心为O ，半径为r ，圆台的上底面圆心为O ，半径为r(r>r)，球的球心为O，半
1 1 2 2 1 2
径为R，记圆台的表面积为S，球的表面积为S，则的可能取值为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F，
由题意知圆O与梯形ABCD相切，则DC＝DE＋CE＝OD＋OC＝r＋r，
2 1 2 1
又DC＝＝，
故＝r＋r，
1 2
化简可得R2＝rr，
1 2
则＝
＝＝＋
>＋＝(r>r，故取不到等号)，
1 2
由于，，都不大于，
故的可能取值为.
二、多项选择题
5．(2023·潍坊模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每
盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面
及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为
R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V，包装盒的体积为V，则( )
1 2
A．R＝3r B．R＝6r
C．V＝9V D．2V＝27V
2 1 2 1
答案 AD
解析 由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r，
圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，
V＝，V＝πR2h＝18πr3，
1 2
则有2V＝27V.
2 1
6．(2023·昌吉模拟)正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则下
列说法正确的是( )
A．该正六棱台的上底面积是6 cm2
B．该正六棱台的侧面积是15 cm2
C．该正六棱台的表面积是(60＋24)cm2
D．该正六棱台的高是3 cm
答案 ACD
解析 如图，在正六棱台ABCDEF－ABC DEF 中，
1 1 1 1 1 1因为AB＝2 cm，AB＝6 cm，AA＝5 cm，
1 1 1
所以侧面的梯形ABBA 的高即正六棱台斜高为
1 1
＝(cm)，
所以梯形ABBA 的面积为
1 1
S＝×(2＋6)×＝4 (cm2)，
故正六棱台的侧面积为
6S＝6×4＝24(cm2)，故B错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为
S＝6××2×2×sin 60°＝6(cm2)，故A正确；
1
同理下底面积为
S＝6××6×6×sin 60°＝54(cm2)，
2
所以该正六棱台的表面积是
6S＋S＋S＝(60＋24)cm2，故C正确；
1 2
正六棱台的高为OO ＝＝3(cm)，故D正确．
1
三、填空题
7．蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠
的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，
蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠的
表面上有五个点P，A，B，C，D恰好构成一正四棱锥P－ABCD，若该棱锥的高为8，底面
边长为4，则该鞠的表面积为________．
答案 100π
解析 正四棱锥P－ABCD的底面是正方形，底面边长为4，高为8，如图所示，
所以正四棱锥P－ABCD的底面对角线的长为4×＝8，
设正四棱锥外接球的半径为R，则R2＝(8－R)2＋42，解得R＝5，所以球的表面积为S＝4π·R2＝4π×25＝100π，即该鞠的表面积为100π.
8.如图所示，在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝3，AD＝4，AA＝5，点E是棱CC 上的一
1 1 1 1 1 1
个动点，若平面BED 交棱AA 于点F，则四棱锥B －BED F的体积为________，截面四边
1 1 1 1
形BED F的周长的最小值为 ________.
1
答案 20 2
解析 由题意可得，DF∥BE，
1
则
＝
＝×
＝×＝20；
将长方体展开，如图所示，当点E为BD 与CC 的交点，F为BD 与AA 的交点时，截面四
1 1 1 1
边形BED F的周长最小，
1
最小值为2BD＝2＝2.
1
四、解答题
9.如图是一个以ABC 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的空间图形，截面为ABC，已知
1 1 1
AB＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA＝4，BB＝3，CC ＝2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
求：(1)该空间图形的体积；
(2)截面ABC的面积．
解 (1)过C作平行于平面ABC 的截面ABC，分别交AA，BB 于点A，B.
1 1 1 2 2 1 1 2 2由直三棱柱性质及∠ABC ＝90°，可知BC⊥平面ABBA，
1 1 1 2 2 2
则该空间图形的体积
V＝
＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.
(2)在△ABC中，AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝2.
则S ＝×2×＝.
△ABC
10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥E－ACD的侧面积．
(1)证明 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.因为 BE⊥平面 ABCD，AC⊂平面
ABCD，
所以BE⊥AC.
因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE ⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，
由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，
所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝x.
由已知得，V ＝×AC×GD×BE
三棱锥E－ACD
＝x3＝，故x＝2.
所以AB＝BD＝BC＝2，BE＝，
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3.
在△AED中，由余弦定理得，cos∠AED＝＝，
所以sin∠AED＝.
即S ＝·AE·ED·sin∠AED＝，
△AED
又△ECD的面积与△AED的面积相等．
故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.
