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专题26 三角形的内外心结合
1．已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（ ）
A．6π B．3π C．π D．2π
2．如图，扇形AOD中， ， ，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），
于Q，点I为 的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运
动时，r的值满足（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 、 分别为 的垂心、外心， ，若 外接圆的半径为2，则
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是 ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，
则∠CDE的度数为（ ） △
A．56° B．62° C．68° D．78°5．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为____________．
6．如图， 是 的内心， 的延长线与 的外接圆相交于点 ，与 交于点 ，连接
、 、 、 ．下列说法：① ，② ，③ ；
④点 是 的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）
7．如图， 中， ， 边上有一点P（不与点 重合），I为
的内心，若 的取值范围为 ，则 _______．
8．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分
∠ACB交⊙O于点D，点 I是 ABC的内心，连接BD．下列结论：
①点D的位置随着动点C位置△的变化而变化；
②ID=BD；
③OI的最小值为 ；
④AC BC= CD．
其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）9．若 ABC的三边长为3、4、5，则 ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为___．
10．如△图，在五边形 中， △ ， ， ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）如果 的外心与 的内心重合，请直接写出 的度数．
11．如图所示， 为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交 于D，点M为△ABC
的内心，DM= ，AB=8，求OM的长.
12．如图所示，AB为 直径，点D在 上，且AD=2BD，I为 ABD的内心，连结DI并延长，
交 于N，猜想NI和BD的数量关系，并证明. △13．在△ABC中，∠A=120°，BC=6，，若△ABC的内切圆的半径为R，求R的最大值.
14．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连
接BD，CD．
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
15．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长
为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点
P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，
果园主人现要从入口D到 上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，
BD＝120 米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交 于点F，又测得EF＝40米．修
建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主
人计算修建这条小路最多要花费多少元？16．[发现]
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB
的度数 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ °．爱动脑筋的小明猜
想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运
动呢？
[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2 ，直线AB上方
一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt AOB，
再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作△图（要
求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆
向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则
点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”
模型．[应用]
（1）如图（3），AB＝2 ，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过
点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ °，∠BPA＝ °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ．
