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专题 30 一次函数中等腰（直角）三角形存在问题综合应
用
解答方法
一．等腰三角形存在性问题
1、找点方法：
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B
构成以 A 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B
构成以 B 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰
三
角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
2、求点方法：
为AB’
典例分析
【考点1等腰三角形的存在性问题】
【典例1】如图，直线 的图象与x轴和y轴分别交于点 A和点B，将
△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于
点D，连接BC．
（1）求D点的坐标；
（2）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，
直接写出所有满足条件的点P的坐标．【答案】（1）D点的坐标为（4，2）；
（2）点P的坐标为 或（0，﹣4）或（0，9）或（0，﹣1）．
【解答】解：（1）对于一次函数 ，
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则 ，
∴x＝8，
∴A（8，0），B（0，4），
∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与AB交于点D，
∴点D是线段AB的中点，
∴D点的坐标为（4，2）；
（3）设OC＝a，
∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，
∴BC＝AC＝8﹣a，
在Rt△OBC中，OC2+OB2＝BC2，
∴a2+42＝（8﹣a）2，
∴a＝3，
∴点C的坐标为（3，0）；
设P（0，m），
∵B（0，4），
∴BC2＝32+42＝25，CP2＝32+m2＝9+m2，BP2＝（m﹣4）2，
∵△PCB是等腰三角形，
∴①当PC＝PB时，m2+9＝（m﹣4）2，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；②当PC＝CB时，m2+9＝25，
∴m＝4（舍）或m＝﹣4，
∴点P的坐标为（0，﹣4）；
③当CB＝PB时，25＝（m﹣4）2，
∴m＝9或m＝﹣1，
∴点P的坐标为（0，9）或（0，﹣1），
综上，点P的坐标为 或（0，﹣4）或（0，9）或（0，﹣1）．
【变式1-1】如图，直线y＝﹣ 与直线y＝x+b交于点A（﹣1，m），直线
y＝﹣ 与x轴交于点B，直线y＝x+b与x轴交于点C．
（1）求m和b的值；
（2）在x轴上，是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m的值为4，b的值为5；
（2）存在点P，使△PAC为等腰三角形，P的坐标为（﹣1，0）或（4 ﹣
5，0）或（﹣4 ﹣5，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝﹣ 得：
m＝ + ＝4，
∴A（﹣1，4），把A（﹣1，4）代入y＝x+b得：
4＝﹣1+b，
解得b＝5，
∴m的值为4，b的值为5；
（2）存在点P，使△PAC为等腰三角形，理由如下：
设P（m，0），
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣5，
∴C（﹣5，0），
∵A（﹣1，4），
∴PA2＝（m+1）2+16，PC2＝（m+5）2，AC2＝32，
①当PA＝PC时，
（m+1）2+16＝（m+5）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，0）；
②当PC＝AC时，
（m+5）2＝32，
解得m＝4 ﹣5或m＝﹣4 ﹣5，
∴P（4 ﹣5，0）或（﹣4 ﹣5，0）；
③当PA＝AC时，
（m+1）2+16＝32，
解得m＝3或m＝﹣5（舍去），
∴P（3，0）；
综上所述，P的坐标为（﹣1，0）或（4 ﹣5，0）或（﹣4 ﹣5，0）或
（3，0）．
【变式1-2】如图，在直角坐标系中，四边形 ABCD的顶点坐标分别为 A（﹣
1，0），B（0，2），C（2，3），D（4，0）．
（1）求直线BC的表达式；
（2）已知点M在x轴上，且△MBC是等腰三角形，求点M的坐标．【答案】（1） ；
（2）（1，0）或（﹣1，0）或 ．
【解答】解：（1）设直线BC的表达式为y＝kx+b，
把点B（0，2），C（2，3）代入y＝kx+b得，
，
解得 ，
∴直线BC的表达式为 ；
（2）要使得△MBC是等腰三角形，则有两种可能：
①以BC为腰：
∵CM的最小值应为 ，
∴另一个腰应为：BM，
∴当 时，△MBC是等腰三角形，
设M（a，0），则OM＝|a|，
由勾股定理得，OM2+OB2＝BM2，
∴ ，
解得，a＝±1，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0），
②以BC为底，BM，CM为腰：i）当点M在OD内时，设M（x，0），
则有： ，ME＝|x﹣2|，
∴ ，
∵CM＝BM，
∴CM2＝BM2，
∴4+x2＝9+（x﹣2）2，
解得， ，
∴
ii）当点M在x轴的负半轴上时，设M（x，0），
则有： ，ME＝x﹣2，
由i）可知， （不符合题意，舍去），
iii）当点M在OD外x轴的正半轴上时，设M（x，0），
则有： ，ME＝2﹣x，
∴ ，
由i）可知， （不符合题意，舍去），
∴以BC为底，BM，CM为腰时，点M的坐标为 ，
综上，点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或 ．【考点2等腰直角三角形的存在性问题】
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x+3与x轴，y轴分别交于点
A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边
的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+3；
（2）点P的坐标为（﹣3，3）或（0，0）或 或（﹣ ， ）．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x+3得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D为AC的中点，
∴点D的坐标为
①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE
交ED的延长线于F，交x轴于H，
∵DE⊥y轴，PF⊥DE，∴∠PFD＝∠CED＝90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，
∴DP＝CD，∠CDB＝90°，
∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，则∠PDF＝∠DCE，
∴△PDF≌△CDE（AAS），
∴DF＝CE，PF＝DECE，
∵点D的坐标为 ，点C的坐标为C（0，3），
∴ ， ， ，
∴ ，
∴P（﹣3，3），
同理可得P′（0，0），
∴点P的坐标为P（﹣3，3）或P′（0，0）
②当点C为直角顶点时，如图，过点 D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y
轴于M，
同①可得△PCM≌△CDN，
∴DN＝CM，PM＝CN，
∵点D的坐标为 ，点C的坐标为C（0，3），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得P′（﹣ ， ），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，3）或（0，0）或 或（﹣ ， ）．【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝kx+b（k≠0）与直线l ：
1 2
y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S ＝S ，请求出点
△AOP △AOC
P的坐标；
（3）点M为直线l 上的动点，过点 M作y轴的平行线，交 l 于点N，点Q
1 2
为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 M
的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x+6；
（2）点P坐标为（5，2）或（5，8）；
（3）点M的坐标为（ ， ）或（ ，3）或（6，﹣6）或（3，0）．
【解答】解：（1）∵点A（2，a）在直线l ：y＝x上，
2
∴a＝2，即A（2，2），
∵直线l ：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
1
∴ ，
解得： ，
∴直线l 的函数表达式为：y＝﹣2x+6；
1
（2）∵S ＝S ，
△AOP △AOC
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l 为：y＝x+d，
3
①直线l 过点C（3，0），得l 为：y＝x﹣3，
3 3
当x＝5时，m＝5﹣3＝2，
∴点P（5，2），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），
直线l 过点（1，4），得l 为：y＝x+3，
3 3
当x＝5时，m＝5+3＝8，
∴点P（5，8），
综上所述，点P坐标为（5，2）或（5，8）；（3）设M（t，﹣2t+6），则N（t，t），
∴MN＝|﹣2t+6﹣t|＝|3t﹣6|，
①如图1，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ，
则有MN＝2|x |＝2|t|，
M
∴|3t﹣6|＝2|t|，
∴t＝ 或t＝6，
∴M（ ， ）或（6，﹣6），
②如图2，图3，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，
则MN＝|x |＝|t|，
M
∴|3t﹣6|＝|t|，
∴t＝ 或t＝3，
∴M（ ，3）或（3，0）．
综上所述，点 M 的坐标为（ ， ）或（ ，3）或（6，﹣6）或（3，
0）．
【变式2-2】在直角坐标系xOy中，直线l ：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点
1
A，点B．直线l ：y＝mx+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点C，点D，直
2
线l 与l 交于点E．
1 2（1）若点E坐标为（ ，n）．
ⅰ）求m的值；
ⅱ）点P在直线l 上，若S ＝3S ，求点P的坐标；
2 △AEP △BDE
（2）点F是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使△CFG
为以FC为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出 m的值，若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）ⅰ）m＝2；ⅱ）点P的坐标为：（ ， ）或（ ， ）；
（2）存在，m＝ ．
【解答】解：（1）当x＝ 时，y＝﹣x+4＝ ，即点E（ ， ），
ⅰ）将点E的坐标代入y＝mx+m得： ＝m（1+ ），
解得：m＝2；
ⅱ）由点B、D、E的坐标得：BD＝2，x ＝ ，
E
则3S ＝3× ×2× ＝2＝S ，
△BDE △AEP
由A、E的坐标得：AE＝ ＝ ，
设△PAE的底边AE上的高为h，
则S ＝ AE•h＝ h＝2，
△PAE解得：h＝ ，
由直线AB的表达式知，OA＝OB＝4，则∠BAC＝45°，
取AM＝h，作直线l∥AB，过点A作AM⊥l于点M，过点M作MN⊥x轴于
点N，则直线l和直线CD的交点即为点P，
则Rt△AMN为等腰直角三角形，则MN＝ AM＝ h＝ ＝AN，
则点M（ ，﹣ ），
设直线l的表达式为：y＝﹣x+r，
将点M的坐标代入上式并解得：r＝ ，
则直线l的表达式为：y＝﹣x+ ，
联立直线l和y＝2x+2并解得： ，
即点P的坐标为（ ， ）；
当点P在直线AB上方时，同理可得：点P（ ， ）；
综上，点P的坐标为：（ ， ）或（ ， ）；
（2）存在，理由：
设点E（n，﹣n+4），则点F（ ， ），
过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，
∵△CFG为以FC为直角边的等腰直角三角形，则FC＝FG，∠GFC＝90°，
∵∠NFG+∠GFM＝90°，∠GFM+∠MFC＝90°，
∴∠NFG＝∠MFC，
∵∠FNG＝∠FMC＝90°，FC＝FG，∴△FNG≌△FMC（AAS），
∴FN＝FM，
即| |＝ ，
解得：n＝ ，
则点E（ ， ），
将点E的坐标代入y＝mx+m并解得：m＝ ．
夯实基础
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），
与y轴交于点B，且与正比例函数y＝ x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接
写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝ x+3；
（2）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，P点坐标为（﹣9，
0）或（1，0）或（4，0）或（﹣ ，0）．
【解答】解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝ x，
∴6＝ m，
∴m＝4，
∴C（4，6），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝ x+3；
（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，OA＝4，
当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，
∴P（4，0）；
当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，
∴P（﹣9，0）或P（1，0）；
当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，
∴（t+4）2＝t2+9，
解得t＝﹣ ，
∴P（﹣ ，0），
综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣ ，0）．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，
经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边
的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+6；
（2）点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）或（3， ）或（﹣3， ）．
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
∴ ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点，
∴D（﹣ ，3），①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE
交ED的延长线于F，交x轴于H，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，
∴DP＝CD，∠CDB＝90°，
∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴△PDF≌△CDE（AAS），
∴DF＝CE，PF＝DE，
∵D（﹣ ，3），C（0，6）．
∴DE＝PF＝ ，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，
∴EF＝3+ ＝ ，PH＝3+ ＝ ，
∴P（﹣ ， ），
同理得：P′（ ， ）；
∴P（﹣ ， ）或（ ， ）；
②当点C为直角顶点时，如图，过点 D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y
轴于M，同①可得△PCM≌△CDN（AAS），
∴DN＝CM，PM＝CN，
∵D（﹣ ，3），C（0，6）．
∴DN＝CM＝ ，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，
∴OM＝6﹣ ＝ ，
∴P（3， ），
同理得：P′（﹣3， ）；
∴P（3， ）或（﹣3， ）．
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）或（3， ）或（﹣3， ）．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝x，直线l 的解析式为y
1 2
＝﹣ x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接
写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）存在，点 P 坐标为（4，0）或（2，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，
0）．【解答】解：（1）对于直线l 的解析式为y＝﹣ x+3，令x＝0，得到y＝
2
3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（3）存在．
∵点C（2，2），
∴OC＝ ＝2 ，∠AOC＝45°，
设P（x，0），
①当PC＝OC＝2 时，如图，
∵点C（2，2），
∴PC2＝22+（x﹣2）2，
∴（2 ）2＝22+（x﹣2）2，
∴x＝0或4，
∵x＝0时，与点O重合，故舍去，
∴点P（4，0）；
②当CP＝OP时，如图，∵CP＝OP，∠AOC＝45°，
∴∠OCP＝45°，
∴∠OPC＝90°，
∴点C（2，2），
∴OP＝2，
∴点P（2，0）；
③当OC＝OP＝2 时，如图，
点P（2 ，0）或（﹣2 ，0），
综上所述：点 P 坐标为（4，0）或（2，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，
0）．
4．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的
动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．
（1）当点P在线段BO上时，
①求证：△AOP≌△BOQ；
②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角
形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①证明过程详见解答；
② ；
（2）P（0，4 ）或：P（0，﹣4 ﹣4）．
【解答】（1）①证明：当x＝0时，y＝4，
∴OB＝4，
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣4，
∴OA＝4，
∴OA＝OB，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠OBQ+∠OQB＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠OAP+∠OQB＝90°，
∴∠OAP＝∠OBQ，
∵∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴△AOP≌△BOQ（ASA）；
②解：∵OB＝4，点P是OB 的中点，
∴OP＝BP＝ OB＝2，
由①知：△AOP≌△BOQ，
∴OQ＝OP＝2，
∴Q（2，0），设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴y＝ ，
同理可得：直线BQ的解析式为：y＝﹣2x+4，
由 得，
，
∴C（ ， ），
∴S ＝ ；
△OCQ
（2）解：如图1，
当点P在线段OB上时，
∵∠OPC＝∠AOP+∠OAP＝90°+∠OAP，
∴OC＞OP，
∵OP＝OQ，
∴OC＞OQ，
∵∠OCQ＝∠OAB＝45°，∠COQ＝∠ABC＞45°，
∴∠COQ＞OCQ，
∴CQ＞OQ，∴当△COQ是等腰三角形时，只有OC＝CQ，
∴∠COQ＝∠CQO，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠COQ+∠BOC＝90°，∠CQO+∠OBQ＝90°，
∴∠OBQ＝∠BOC，
∴OC＝BC，
∴CO＝BC，
∵AC⊥BQ，
∴AQ＝AB＝ OA＝4
∴OP＝OQ＝AQ﹣AO＝4 ﹣4，
∴P（0，4 ），
如图2，
当点P在BO的延长线上时，
同理可得：P（0，﹣4 ﹣4），
综上所述：P（0，4 ）或P（0，﹣4 ﹣4）．
