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专题 28.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．不能确定
2．在Rt ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则tanB的值为（ ）
△
A． B． C．2 D．
3．若 ， 则锐角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosA＝（ ）
△
A． B． C． D．
5．下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一
点A，再在河的这一边选定点P和点B，使 ．利用工具测得 米，
，根据测量数据可计算得到小河宽度 为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．如图，在 中， ，分别以点A、C为圆心，大于 的长为半径作
弧，两弧相交于点M、N，作直线 ，分别交 、 于点D、E，连接 ，若
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， ，则 长为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
10．在Rt ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝ ，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作
△
DE⊥AC于E，则 CDE的周长为（ ）
△A．4+ B．6+ C．4+ D．6+
二、填空题
11．在Rt ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则cosA的值为______．
△
12．若 是锐角，且 ，则 ________．
13．在直角三角形ABC中，若3AB＝AC，则sinC＝___．
14．在▱ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，sinA= ，则▱ABCD的面积是_____ ．
15．在 中， 与 都是锐角，且 ，则 的形
状是________．
16．如图，线段AB是 的直径，弦 ，垂足为H．点M是 上任意一点，
，则 的值为__________．
17．如图，平面直角坐标系中，点 ，点 ，以A为圆心， 为半径作弧
交x轴于点C，连接 ，分别以A，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点
D，直线 交 于点E，连接 ，则线段 的长为_________．18．如图，已知直线l与x轴夹角为30°，过点A（2，0），垂足为点A，过点A 作
1 1
AA⊥x轴，垂足为点A，过点A 作AA⊥l，垂足为点A，…，这样依次下去，得到一组线
1 2 2 2 2 3 3
段：AA，AA，AA，…，则线段A A 的长为__________________．
1 1 2 2 3 2020 2021
三、解答题
19．计算下列各题：
(1) （2cos45°﹣sin60°）+ ； (2)（﹣2）0﹣3tan30°+| ﹣2|．
20．如图，在 中， ， ， ．求 ， ， ．21．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=
．
(1) 求CE的长；
(2) 求∠ADE的余弦．
22．如图，在 ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA= ．
（1）求AB边上的高CD；
（2）求 ABC的面积S；
（3）求tanB．
23．如图，在Rt 中， ， ．点D是 的中点，过点D作
交 于点E.延长 至点F，使得 ，连接 、 、 ．
(1) 求证：四边形 是菱形；(2) 若 ，则 的值为_______．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接
CD，CF，且：CF是⊙O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
（3）若cosB ，AD＝2，求FD的长．参考答案
1．A
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值直接求解即可．
解： ，
故选A．
【点拨】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关
键．
2．B
【分析】直接根据正切的定义求出结果．
解：∵在 ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
△
∴tanB= ．
故选：B．
【点拨】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余
弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
3．D
【分析】根据tan60°= ，计算判断选择即可．
解：因为tan60°= ， ，
所以锐角 =60°，故选D．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关
键．
4．C
【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．
解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝
1．
5．A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【点拨】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简，
解题关键是正确地计算出各式的值．
6．A
【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的
定义可以得到问题解答．
解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，,
则在RT△ABD中，AD=5，BD=6，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
7．C
【分析】根据正切定义 ，把公式变形得到结果．
解：∵ ，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切定义是解决本题的关键．
8．C
【分析】由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，AE=CE，DE是 的高，根据
锐角三角函数得 ，即可得 ，过点B作 ，交AC于点F，根据锐
角三角函数得 ，即可得 ，用 的面积减去 的面积即可得．
解：由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，DE是 的高，CD=DA= ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点B作 ，交AC于点F，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了垂直平分线，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点并能
想到用 的面积减去 的面积即可得 的面积．
9．B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
解： ，
，
故选B．
【点拨】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．
10．A
【分析】根据平行线分线段成比例可得 是 的中点，根据直角三角形斜边上的中
线可得 ，根据中位线的性质可得 ，根据sinA＝ ，AB＝6，求得 ,
在 中，勾股定理求得 ，进而求得 ，然后根据三角形的周长公式即
可求解．解： ∠BCA＝90°，sinA＝ ，AB＝6，DE⊥AC，
， ，
，
，
D是AB的中点，
， ，
， ，
CDE的周长为 ．
△
故选A．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
中位线的性质，根据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
11． ##0.6
【分析】先利用勾股定理求出AC，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= ，
∴cosA= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
12．
【分析】根据 和互余角的三角函数关系计算即可；
解：∵ ，
又 为锐角， ，∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了互余两角的三角函数关系，准确计算是解题的关键．
13． 或
【分析】分① 和② 两种情况，利用勾股定理和正弦的定义求解即可
得．
解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当 时，
，
；
②如图，当 时，
，，
；
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了正弦，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，根据sinA= ，求出DH的长，进而可得结
果．
解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，
∵AB=8cm，AD=BC=6cm，sinA= ，
∴ ，
∴DH= (cm)，
∴AB•DH=8× = （cm2）．
则▱ABCD的面积是 cm2．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握平行
四边形的性质．
15．等腰三角形【分析】根据非负数的性质可得： ，由此可求出
，即 为等腰三角形．
解：根据绝对值的非负性可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴ 为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点拨】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟
记特殊角的三角函数值是解题关键．
16． ##0.6
【分析】因为线段AB是 的直径，弦 ，故 ，在
中，利用勾股定理求出OC的长，求出 ，根据 ，得到
，故可得 ．
解：连接OC，OD，
∵线段AB是 的直径，弦 ，
∴ ，
∴在 中， ， ，设OC为x，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂径定理与同弧所对的圆周角与圆心角的关系，相同大小的角的三
角函数值相同，是解答本题的关键．
17．1
【分析】由已知得 ，根据三角函数求出∠BAC=60°，证出△ABC是等边三
角形，由题意得BD垂直平分线段AC，根据直角三角形斜边中线得到OE的长．
解：∵点 ，点 ，
∴AB=1+1=2，OA=OB，
∵AB=AC，
∴ ，
∴ ，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
由题意得BD垂直平分线段AC，
∴AE=CE，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】此题考查了等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，正确理解作图得到结论是解题的关键．
18．（ ）2020
【分析】利用特殊角的三角函数值找其规律即可求解．
解：由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，
∴AA＝2sin30°＝1，
1
∵∠AOA ＝30°，
1
∴∠AAO＝60°，
1
∴∠AAA＝30°，
1 2
∴AA＝AAcos30°，
1 2 1
同理，AA＝AAcos30°＝AAcos230°，
2 3 1 2 1
AA＝AAcos30°＝AAcos330°，
3 4 2 3 1
…
∴AnAn ＝AAcosn30°，
+1 1
当n＝2010，A A ＝（ ）2020，
2020 2021
故答案为（ ）2020．
【点拨】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值及寻找规律是
解题的关键．
19．（1）2 （2）
解：（1）（2）
20． ， ， ．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比
斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
解：在 中，由勾股定理，得
．
，
，
．
【点拨】本题考查锐角三角函数的定义.
21．(1) (2) 的余弦为
【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt DEF
中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解． △
（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE= ，
∴ = ，即 = ，
∴DE=4，
由勾股定理得CE= ；（2）解：取CD的中点F，连接EF，
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中， ， ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
即 的余弦为 ．
【点拨】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答
此题的关键．
22．（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）如图（见分析），根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）根据（1）的结论，利用三角形的面积公式即可得；
（3）先根据勾股定理可得 的长，再根据线段的和差可得 的长，然后根据正切
三角函数的定义即可得．
解：（1）如图， ， ，
；
（2） ，；
（3）在 中， ，
，
．
【点拨】本题考查了求三角函数值，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
23．(1)见分析(2)
【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设 ，则 ，根据菱形的性质可得 ， ，勾股
定理求得 ，根据 ， ，即可求解．
(1)证明： ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
四边形 是菱形；
(2)解： ，
设 ，则 ，
四边形 是菱形；
， ，
，
在 中， ，
，故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的
关键．
24．（1）见分析；（2） ，见分析；（3）
【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角及切线的性质和各角之间的等
量关系即可证明；
（2）根据相似三角形的判定定理可得 ，依据相似三角形的性质：对应
边成比例即可得出；
（3）根据同弧所对的圆周角相等可得： ， ，在
中，利用锐角三角函数可得 ，由勾股定理确定 ，由此得出 ，
即为（ ）中的相似比，设 ，则 ， ，将其代入（2）中结论求
解即可2．
解：（1）连接OC，如图所示：
AD为 直径，
∵ ， ，
∴CF为 的切线，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴（2）在 与 中，
，
∵，
，
∴
，
∴
；
∴
（ ） ，
3 ∵
，
∴
在 中， ，
，
，
∴
，
∴
，
∴
由（ ）结论可得： ，
2
，
∴
设 ，则 ， ，
将其代入结论（2）可得：
，
解得： 或 （舍去），
．
∴
【点拨】题目主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数解三角
形、勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
