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第 09 章 不等式与不等式组 章节复习卷（14 个知识
点+50 题练习）
知识点
知识点1．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号
表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、
“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
知识点2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向
不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向
才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一
定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字
母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
知识点3．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等
号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
知识点4．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空
心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其
次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
知识点 5．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不
同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未
知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点6．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移
项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他
都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点7．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到
下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
知识点8．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低
于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以
得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现
问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点10．一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组
但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等
式的个数可以是两个及以上的任意几个．
知识点11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组
成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点12．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集
的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再
根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点13．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等
关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不
大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类
题目．
知识点14．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
练习卷
一．不等式的定义（共4小题）
1．（2023春•射阳县期中）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中是不等式的有 个．
2．（2023春•海口期中）数学表达式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中不等式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023春•清江浦区校级期中）某饮料标签上标有“脂肪含量 ”，那么100克该
饮料中最多含有脂肪多少克？
A．0克 B．2克 C．1.6克 D．0.8克
4．（2023春•招远市期末）写出一个关于 的不等式，使 ，2都是它的解，这个不等式
可以为 ．
二．不等式的性质（共4小题）
5．（2023春•临淄区期末）若 ，则 ．
6．（2023•高明区二模）已知 ，下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
7．（2023春•石狮市校级期中）若不等式 ，两边同除以 ，得 ，
则 的取值范围为 ．
8．（2023春•镇平县月考）阅读下列材料，并完成问题解答：
已知“ ，且 ， ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解： ， ．又 ， ． ．又 ，
①，同理 ②，
由① ②得 ， 的取值范围是 ．
（1）【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知 ，且 ， ，则 的取值范围是 ；
（2）【拓展推广】请仿照上述方法，深入思考后完成下列问题：
已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围．
三．不等式的解集（共4小题）9．（2023春•香坊区期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2023春•集美区校级期中）若不等式 的解集是 ，则 的取值范
围是 ．
11．（2023春•原阳县期中）已知不等式 与 同解，试求 的值．
12．（2023春•镇平县期中）已知关于 ， 的方程组 与 有
相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）小刚同学说：“ 是不等式 的一个解”这句话对吗？请说
明理由；
（3）小明同学说：“无论 取何值，（1）中的解都是关于 ， 的方程
的解．”这句话对吗？请说明理由．
四．在数轴上表示不等式的解集（共4小题）
13．（2024春•西安期中）如图，数轴所表示的不等式的解集是
A． B． C． D．
14．（2023春•望花区期末）一个关于 的不等式，它的解集在数轴上如图所示，这个不
等式的解集为 ．15．（2023春•镇雄县期末）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集
A． B． C． D．
16．（2023春•彭山区校级期中）请阅读求绝对值不等式 和 的解集过程．
对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的绝对值是小于3的，所
以 的解集为 ；
对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 而大于3的绝对值是是大于3的，
所以 的解集为 或 ．
（1）不等式 的解集为 ．
（2）不等式 的解集为 ．
（3）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 其中 是非
负整数，求 的值．
五．一元一次不等式的定义（共3小题）
17．（2023春•沈丘县期中）在下列不等式中，是一元一次不等式的为
A． B． C． D．18．（2023春•万州区校级期中）已知 是关于 的一元一次不等式，则
的值为 ．
19．若不等式 是关于 的一元一次不等式，求 、 的取值．
六．解一元一次不等式（共4小题）
20．（2022•永兴县期末）关于 的方程 解为负数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
21．（2024•姑苏区一模）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
22．（2023•肥城市校级模拟）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足
，则 的最大整数值为 ．
23．（2023春•姜堰区校级期中）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） ．
七．一元一次不等式的整数解（共4小题）
24．（2023春•鲤城区校级期中）对于不等式 且 ，当 时， ，
当 时， ．当关于 的不等式 ，其解集中无正整数解，则 的取
值范围 ．
25．（2023春•仁寿县校级期中）如果关于 的不等式 只有4个正整数解，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
26．（2023春•东城区校级期末）求不等式 的正整数解．
27．（2024•莲池区一模）观察下列式子，定义一种新运算： ；
； ．
（1）这种新运算是： （用含 ， 的代数式表示）；
（2）若 ，求 的最小整数值；
（3）若 ， 均为整数，试判断 是否能被3整除，并说明理由．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共3小题）
28．（2023春•桐柏县校级月考）“ 的2倍与8的和不大于2与 的差”用不等式表示
为 ．
29．（2023春•庐阳区校级期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，
至少可获得 的利润，若设该商品的原价是 元，则列式正确的是
A． B．
C． D．
30．（2022春•安阳期末）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：
解不等式
解：去分母，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步合并同类项，得 第四步
系数化为1，得 第五步
所以不等式的解集为：
任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程完整的写出来；
任务三：请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时需要注意的事项．
九．一元一次不等式的应用（共3小题）
31．（2023春•溧阳市期末）某种服装的进价为200元，出售时标价为300元，由于换季，
商店准备打折销售，但要保持利润不低于 ，那么至多打
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
32．（2023春•南岗区校级期中）某种出租车的收费标准：起步价9元（即行驶距离不超
过3千米都需付9元车费），超过3千米以后，每增加1千米，扣收1.9元（不足1千米按
1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费18.5元，那么甲地到乙地路程的最
多是 千米．
33．（2024•历城区一模）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机
计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆 型新能源汽车、3辆 型新能源汽车的
进价共计55万元；4辆 型新能源汽车、2辆 型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求 ， 型新能源汽车每辆进价分别是多少万元．
（2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售
公司销售1辆 型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆 型新能源汽车可获利0.4万元，
若汽车全部销售完毕，那么销售 型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？
一十．一元一次不等式组的定义（共3小题）
34．下列各式中，是一元一次不等式组的是
A． B． C． D．
35．有解集 的不等式组是 （写出一个即可）．36．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
（1） （2） （3） （4） （5）
一十一．解一元一次不等式组（共4小题）
37．（2023春•安陆市期末）不等式组 的解集为
A． B． C． D．
38．（2023•鄂伦春自治旗二模）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
39．（2023春•正定县期末）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围
是 ．
40．（2024春•昌乐县期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围
内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
（1）判定方程 是不是不等式组 的关联方程，并说明理由；
（2）若方程 ， 都是关于 的不等式组 的关联方程，
求 的取值范围．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）41．（2023春•祁东县校级期中）若关于 的不等式组 ，有且仅有五个整
数解，则所有满足条件的整数 的值之和为
A．0 B． C． D．
42．（2023春•抚顺期末）若关于 的一元一次不等式组 恰有3个整数解，则
实数 的取值范围是 ．
43．（2024春•兰州期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一
元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程 的解为 ，不等式组
的解集为 ，因为 ，所以，方程 为不等式组 的
关联方程．
（1）在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的关联方程是
；（填序号）
（2）若不等式组 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是
；（写出一个即可）
（3）若方程 ， 都是关于 的不等式组 的关联方程，求 得取值
范围．
一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题）
44．（2022春•突泉县期末）研究表明，运动时将心率 （次 控制在最佳燃脂心率范围内，
能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过 年龄）， 最 低 值 不 低 于 年 龄 ） ． 以 40 岁 为 例 计 算 ， ，
， ，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为
A． B． C． D．
45．某公司从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15盒，所付金额超过570元，但不到580元．
已知墨水笔的单价为每盒34.90元，圆珠笔的单价为每盒44.90元．设购买圆珠笔 盒，
可列不等式组为 ．
46．（2023春•淄博期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若
每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．
若设有学生 人，则列出的不等式组为 ．
一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）
47．（2023春•沈丘县月考）有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，
则剩下2个苹果；若每个小朋友分4个，则有1个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹
果的小朋友分得的苹果数不足3个，已知小朋友的人数为偶数且多于7个，则苹果的个数
为
A．25 B．26 C．28 D．29
48．（2023春•南岗区校级期中）把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，
则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有 本．
49．（2023春•东营期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，
文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活
动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每
套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵 40元，买5套甲型号和10套乙型号
共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且
根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的
3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？50．（2023春•蓬安县校级期末）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其
进价与售价如表：
进价（元 个） 售价（元 个）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店
在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过 9000元的资金采购电饭煲和电压锅
共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
