文档内容
专题 8.6 实数全章专项复习【5 大考点 13 种题型】
【人教版2024】
【考点1 认识无理数】..............................................................................................................................................1
【题型1 无理数近似值的确定】..............................................................................................................................2
【题型2 方格中的无理数】......................................................................................................................................2
【考点2 平方根】......................................................................................................................................................3
【题型3 算术平方根的实际应用】..........................................................................................................................4
【题型4 利用平方根的定义解方程】......................................................................................................................5
【题型5 利用算术平方根的非负性求未知数的值】.............................................................................................5
【考点3 立方根】......................................................................................................................................................6
【题型6 开立方运算】..............................................................................................................................................6
【题型7 平方根和立方根的综合应用】..................................................................................................................7
【题型8 立方根在实际生活中的应用】..................................................................................................................7
【考点4 估算】..........................................................................................................................................................8
【题型9 估算无理数的大小】..................................................................................................................................8
【题型10 估算的实际应用】......................................................................................................................................9
【考点5 实数】........................................................................................................................................................10
【题型11 实数的运算】............................................................................................................................................11
【题型12 利用数轴化简】........................................................................................................................................12
【题型13 实数与数轴的关系】................................................................................................................................12
【考点1 认识无理数】
1.定义：无限不循环小数叫做无理数．
2.无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
注意：凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
【题型1 无理数近似值的确定】
【例1】（23-24七年级·吉林长春·开学考试）设a=❑√10，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
1
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学科网（北京）股份有限公司【变式1-1】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）已知❑√6在两个连续整数之间，则这两个连续整数的乘积
为 ．
【变式1-2】（23-24七年级·广西南宁·期末）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式1-3】（23-24七年级·安徽·期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积
为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长．
（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图
所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗?若不是整数，那么请你估计这个
边长的值在哪两个整数之间．
【题型2 方格中的无理数】
【例2】（23-24七年级·山东滨州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为
1．
(1)求图甲中阴影正方形的面积=______；边长=______（答案直接写在横线上即可）；
(2)请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及
边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
【变式2-1】（23-24七年级·广东佛山·期末）由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示．通过剪
贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形．
2
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学科网（北京）股份有限公司(1)拼成的大正方形的边长为________；
(2)将剪贴示意图画在网格图中．
【变式2-2】（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1
个单位），连接AB，BC，CD，CD得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一
点E，使AE=AB，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．
【变式2-3】（23-24七年级·吉林·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长
都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画
图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中找一格点B，连接AB，使线段AB=❑√10；
(2)在图②中画出一个△ACD，点C、D在格点上，且三边长均是有理数；
(3)在图③中画出一个正方形AMEF，点M、E、F在格点上，且边长是无理数．
【考点2 平方根】
类型
平方根
项目
被开方数 非负数
符号表示 a
3
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学科网（北京）股份有限公司一个正数有两个平方根，且互为相反数；
性质 零的平方根为零；
负数没有平方根；
( a)2 a(a 0)
重要结论 a(a 0)
a2 a
a(a 0)
【题型3 算术平方根的实际应用】
【方法总结】利用算术平方根解决实际问题时,要注意根据实际意义进行取舍。
【例3】（23-24七年级·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制
节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为100cm2的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为200cm2的长方
形信封，其长宽之比为5:4．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你
的判断．
【变式3-1】（23-24七年级·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如
图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为2.25平方米，其中他用
的一块木板的边长为0.9米，求另一块木板的边长是多少米?
【变式3-2】（23-24七年级·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴
的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，
1
得知高空抛物下落的时间t（单位：秒）和高度
ℎ
（单位：米）近似满足公式ℎ = gt2，其中g为重力加速
2
度，g≈10米/平方秒．物体落地时产生的动能=物体质量×重力加速度×高度，动能的单位名称为焦耳，例
如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：1×10×30=300焦耳．
(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
(2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精
确到0.1 秒，❑√2≈1.41）
【变式3-3】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为5:3
．
4
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学科网（北京）股份有限公司(1)求这块长方形空地的周长；
(2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方
形，花坛2为长方形，其长宽之比为2:1），花坛的总面积为1176平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不
能在走道上正常通行？
【题型4 利用平方根的定义解方程】
【例4】（23-24七年级·四川成都·期末）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高
次数是2的方程，叫做一元二次方程．如 ， ， 都是一元二次方程．根据
x2=9 (x−2) 2=4 3x2+2x−1=0…
平方根的特征，可以将形如x2=a(a≥0)的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程x2=9的思
路是：由x=±❑√9，可得x =3，x =−3．
1 2
解决问题：
（1）解⽅程 ．
(x−2) 2=4
解：∵x−2=±❑√4，
∴x−2=2，或x−2= ．
∴x =4，x = ．
1 2
（2）解⽅程： 的根为 ．
(3x−1) 2−25=0
【变式4-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）解方程3x2+27=0，得该方程的根是（ ）
A．x=±3 B．x=3 C．x=﹣3 D．无实数根
【变式4-2】（23-24七年级·吉林·期末）解方程：
3(x−1) 2−12=0
【变式4-3】（23-24七年级·陕西汉中·期末）解方程： ．
(3x+2) 2=16
【题型5 利用算术平方根的非负性求未知数的值】
【例5】（23-24七年级·云南大理·期末）若 ，则 的值是（ ）
(x−2) 2+❑√y+5+|z+1)=0 xyz
A．10 B．−10 C．3 D．−3
5
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学科网（北京）股份有限公司【变式5-1】（23-24七年级·广东肇庆·期末）如果❑√1−3x和❑√y−27互为相反数，那么❑√xy的平方根是
．
【变式5-2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若x，y都是实数，且y=❑√x−1+❑√1−x+4，则xy的值
是（ ）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
【变式5-3】（23-24七年级·湖南郴州·期末）当m= 时，❑√8−m有最小值．
【考点3 立方根】
类型
立方根
项目
被开方数 任意实数
符号表示 3 a
一个正数有一个正的立方根；
性质 一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
(3 a)3 a
重要结论 3 a3 a
3 a 3 a
【题型6 开立方运算】
【方法总结】开立方运算是立方根的概念和性质的应用,是历年中考出现次数较多的知识点.
【例6】（23-24七年级·广西崇左·期中）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是−64
时，输出y的值是（ ）
A．−4 B．−√3 4 C．−2 D．−√32
【变式6-1】（23-24七年级·河南信阳·期末）a3=1，则a的值一定是（ ）
1
A．1 B．−1 C．1或−1 D．
3
【变式6-2】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知x3+1=−63，求x的值．
【变式6-3】（23-24七年级·甘肃定西·期中）已知√368.8=4.098，√36.88=1.902，则√36880=
．
6
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学科网（北京）股份有限公司【题型7 平方根和立方根的综合应用】
【方法总结】综合应用平方根和立方根,主要是应用平方根和立方根的定义和性质.
【例7】（23-24七年级·河北廊坊·期中）已知4m+7的立方根是3，2m+2n+2的算术平方根是4，则
m2−n=（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
【变式7-1】（23-24七年级·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a−7，b−1的立
方根是−3．
(1)求a，b的值：
(2)求6a−2b的算术平方根和立方根．
【变式7-2】（23-24七年级·河南许昌·期末）已知A=m−√2m+8是m+8的立方根，B=2m−n−√5 n−1是n−1
的算术平方根，求A−B的值．
【变式7-3】（23-24七年级·辽宁大连·期末）已知a的平方是4，b的算术平方根是4，c的立方根是8
(1)求a，b，c的值；
√ c
(2)求❑ +a的值
2b
【题型8 立方根在实际生活中的应用】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．
【变式8-1】（23-24七年级·黑龙江绥化·期末）运动会期间，体育场前方飘着大氢气球，其中一个氢气球
4
的体积V =288000πcm3，求这个氢气球的半径．（提示： V = πr3）
球 3
【变式8-2】（23-24七年级·山西晋中·期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的
d3
公式“t2= ”来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
900
7
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学科网（北京）股份有限公司(1)如果雷雨区域直径为4km，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到0.1h）
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径是否超过10km？
【变式8-3】（23-24七年级·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为56cm2，
高为32cm的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方
体的棱长．
【考点4 估算】
比较两个无理数大小的方法：
【题型9 估算无理数的大小】
【例9】（23-24七年级·广西玉林·期中）观察表格中的数据：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
由表格中的数据可知❑√275在哪两个数之间（ ）
A．在16.2和16.3之间 B．在16.3和16.4之间
C．在16.5和16.6之间 D．在16.6和16.7之间
【变式9-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若2+❑√7的整数部分为a，小数部分为b，则a= ，
a−b= ．
【变式9-2】（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）若4+❑√15的小数部分是a，7-❑√15的小数部分是b，则
a+b的值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式9-3】（23-24七年级·河北保定·期中）大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
❑√2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用❑√2−1表示❑√2的小数部分，事实上，小明的表示方法
是有道理的，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：2+❑√3=x+ y
，其中x是整数，且01，因此可设❑√2=1+x可画出如图示意图．
解：由图中面积计算， ，
S =x2+2×1⋅x+1
正方形
∵S =2，
正方形
∴x2+2×1⋅x+1=2．
∵x是❑√2的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程2x+1=2，解得x=0.5，即❑√2≈1.5．
解决问题：
(1)利用材料一中的方法，求❑√85的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究❑√5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求
解过程）
【考点5 实数】
1.实数的分类
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按定义分：实数
按与0的大小关系分：
10
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学科网（北京）股份有限公司实数
【易错点剖析】
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．
（2）2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
2.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
a a
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
3.实数的运算：
a a
数 的相反数是- ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值
是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘
除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
4.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【题型11 实数的运算】
【例11】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：
(1) ；
(−1) 2021−|−7)+❑√9×❑√16
(2)√327+❑√16×❑
√9
÷(−❑√2) 2．
4
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学科网（北京）股份有限公司【变式11-1】（23-24七年级·云南红河·阶段练习）（1）计算： ．
(−2) 2−√327+❑√16+(−1) 2017
（2）
❑√3+❑√(−5) 2−√364−|❑√3−5)
【变式11-2】（23-24七年级·山东德州·期中）计算
(1) ；
(−❑√3) 2 −❑√16−|1−❑√2)
√1
(2)❑√(−1) 2+❑ ×(−2) 2−√3−64．
4
【变式11-3】（23-24七年级·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数
x(|x|<20)的运算程序如图所示，若输出的y值为❑√2时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【题型12 利用数轴化简】
【例12】（2024七年级·浙江·专题练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化
简： ．
❑√c2+|a+b)+√3 (a+b) 3−|b−c)
【变式12-1】（2019·重庆·一模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示那么
化简的结果（ ）
❑√(b−a) 2+|a+b|−√3 b3
A．2a+b B．b C．2a−b D．3b
【变式12-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将
化简的结果是 ．
❑√(a+2) 2+❑√(b−2) 2+❑√(a−b) 2
【变式12-3】（23-24七年级·福建莆田·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所
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学科网（北京）股份有限公司示：化简：
．
❑√a2+√3 b3+|b+c)−❑√(a−b−c) 2=
【题型13 实数与数轴的关系】
【例13】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和❑√5的对应点分别
为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m．
(1)求线段AB的长．
(2)求m的值．
(3)若数轴上点D表示的数为x，且满足 ．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置．
(x+1) 3=−8
【变式13-1】（23-24七年级·河北邯郸·期中）已知❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的
小数部分不可能全部写出来，但由于1<❑√2<2，所以❑√2的整数部分为1，将❑√2减去其整数部分1，差即小
数部分❑√2−1．根据所获得的信息，解答下列问题．
(1)❑√7的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)若4+❑√3的整数部分是x，小数部分是y．
①填空：y=__________；
②如图，若面积为x的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在
数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，求点A表示的数．
【变式13-2】（23-24七年级·福建莆田·期中）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足
．
|a−❑√5|+❑√b2+1=1
(1)直接写出a和b的值：并求点A与点B之间的距离；
(2)若点A与点C之间的距离用AC表示，点B与点C之间的距离用BC表示，请在数轴上找一点C，使得
AC=2BC，求点C在数轴上表示的数c的值．
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学科网（北京）股份有限公司【变式13-3】（23-24七年级·广西防城港·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示．
(1)折叠纸面，使1表示的点与−1表示的点重合，则−❑√3表示的点与__________表示的点重合．
(2)折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①4表示的点与__________表示的点重合；
②−❑√3+1表示的点与__________表示的点重合．
(3)已知在数轴上点A表示的数是a，将点A沿数轴移动6个单位长度，此时点A表示的数和a互为相反
数，求a的值．
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