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第11 章 三角形（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图，在 中， 边上的高作法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋·安徽六安·七年级校考开学考试）盒中有 的小棒各一根，取出 和 的小棒后，
至少再取（ ） 的小棒才能围成一个三角形
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023春·河南郑州·七年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图， 的面积为4，取
的中点D，E，连接 ，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）如图， 、 是 边 、 上的点， 沿 翻折
后得到 ， 沿 翻折后得到 ，且点 在 边上， 沿 翻折后得到 ，且
点 在边 上，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
6．（2023·北京海淀·统考一模）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设
计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的 刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成
的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量
角器上对应的刻度为 ，那么被测物体表面的倾斜角 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·全国·八年级课堂例题）已知四边形 ，求证： ．
在证明该结论时，需要添加辅助线，则添加辅助线不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·海南海口·七年级校联考期末）如图，A，B，C，D，E分别在 的两条边上，若
， ， ， ， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线 ，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、
BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令 ，用含 的式子表示∠EBC为
（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直
线l上的两动点，且 ，连接 ，点D、E分别为 的中点， 为 的中线，连接
，若四边形 的面积为5，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）如果一个多边形的每个外角都等于 ，那么它的
内角和为 °．
12．（2022秋·贵州黔东南·八年级校考阶段练习）如图，∠1= ．
13．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，C，D都在直线l上，点A是直线外一点， ．
若 ， ， ，则 长的最小值为 ．
14．（2022春·四川眉山·七年级统考期末）如图，点E是长方形纸片AD边的中点，过E点将∠A和∠D分别翻折，得到折痕EM和EN，且折后A、D两点均与MN上的点H重合．若∠DEN=62°，则∠AEM=
．
15．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出
的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出
了一个结论：如图， 是锐角 的高，则 ．当 ， 时，
．
16．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，两条交叉水管的接口在 处，为了测量两条交叉水管所
在直线 和 的夹角 ，工程师傅在直线 上选取点 ，并过点 作直线 ，量得 与 的夹角 ，
由此可知： 的度数为 ．
17．（2023春·河南驻马店·七年级统考阶段练习）如图，三角形 是由三角形 平移得到的，点
在边 上，连接 ．若 和 中其中一个角是另一个角的 倍， ，则 的度数为
．18．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板 、 ，其中 ，
， ．如图，将三角板 的顶点E放在 上，移动三角板 ，当点E从点A沿
向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当 时， ；
② 逐渐变小；③若直线 与直线 交于点M，则 为定值；④若 的一边与
的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于
，求这个多边形的边数及对角线的条数．
20．（8分）（2023秋·八年级课时练习）已知 的周长为 ，
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 三条边的长．21．（10分）（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图， 是 的角平分线， ，
P为线段 上一点， 交 的延长线于点E．
（1） ， ，求 的度数；
（2）试猜想 与 、 之间的数量关系，并证明你的结论．
22．（10分）（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 、 、 分别是 、 、 边上的中点， ，则 ______．23．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， 于点 ， 平
分 ．
（1）若 ，则 ；
（2） 与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；
（3）点 是线段 上任一点（不与 重合），作 ，交 的延长线于点 ，点 在 的
延长线上．若 ，求 （用含 代数式表示）．
24．（12分）（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）问题解决：如图 ， 中， 、 分别是
和 的平分线， 为 、 交点，若 ，求 的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1， 中， 、 分别是 和 的平分线， 为 、 交点，则 与
的关系是______；（请直接写出你的结论）
②如图2， 、 分别是 和 的两个外角 和 的平分线， 为 、 交点，
则 与 的关系是______；（请直接写出你的结论）
③如图3， 、 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线， 为 、 交点，则
与 的关系是______．（请直接写出你的结论）参考答案
1．B
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：A、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
B、具有稳定性，故此选项符合题意；
C、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
D、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能
唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
2．D
【分析】 中 边上的高线是过C点作 的垂线，据此判断即可．
【详解】解： 中 边上的高线是过C点作 的垂线，四个选项中只有D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．
3．C
【分析】设三角形的第三边长为 ，根据三角形三边关系得到 ，即可得到答案．
【详解】解：设三角形的第三边长为 ，
则 ，
即 ，
故选：C
【点拨】此题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
4．C
【分析】连接 ，根据三角形中线平分三角形的面积求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中线
∴
∵点E是 的中点
∴ 是 的中点
∴
∴ ．
故选：C．
【点拨】此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．三角形的中线平分线
三角形的面积．
5．D
【分析】根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出 ，
，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，
∴
即
，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
6．C
【分析】如解析图所示， 中， ， ，由此利用直角三角形两
锐角互余即可求出答案．
【详解】解：如图所示，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴被测物体表面的倾斜角 为 ，
故选C．【点拨】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键．
7．D
【分析】根据三角形的内角和定理，在四边形中添加辅助线构成三角形即可求解．
【详解】解： 、根据图示可得， 的内角和为 ， 的内角和为 ，由此可得
，故原选项正确，不符合题意；
、 的内角和为 ，然后减去平角 ，可得
，故原选项正确，不符合题意；
、 的内角和为 ，然减去以点 为圆心的周角 ，可得
，故原选项正确，不符合题意；
、不能证明，故原选项不正确，符合题意；
故选： ．
【点拨】本题主要多边形的内角和的计算方法，掌握添加辅助线构成三角形，运用三角形的内角和定理即
可求解．
8．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得 ，根据平角180度，得出
；根据三角形的内角和定理求出 ，然后根据两直线平行，同位角相等可得
，然后根据三角形内角和定理求出 ，根据平角的定义列式计算求出 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故B选项错误，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∵ ，∴ ，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．D
【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内
角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=50°．
延长CE，交AB于点G，
∵ ，
∴ ，∠ACM=∠BAC=40°，
∴∠ACE= -40°，
∴∠BCE=90°-（ -40°）=130°- ．
∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，
∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（ -40°）= -20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF= ，
∴∠CEB= ，
∴∠EBC= ．
故选：D．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三
角形是解题的关键．
10．C
【分析】连接 ，如图，利用三角形中线的性质依次求出 与 的面积间的关系，
然后根据四边形 的面积为5求出 的面积，进而可求出 边上的高，即为 的最小值.
【详解】解：连接 ，如图，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的中线，
∴ ， ，
∵点E为 中点，
∴ ，
∵四边形 的面积为5，
∴ ，即 ，
解得 ，
作 于点G，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 的最小值是4；
故选：C.
【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，正确理解题意、熟练掌握三角形中线的性质是解
题的关键.
11．
【分析】根据多边形的外角和可求出多边形的边数，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为 ，每个外角都等于 ，
∴多边形的边数为 ，
∴多边形的内角和为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查多边形的内角和定理与外角和的综合应用，掌握多边形的内角和的计算公式，外角
和是360度是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形的外角，可以求出另一个角的度数，进而得出结论．
【详解】在三角形中：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了求三角形的外角，正确掌握方法是解题的关键．13． /
【分析】根据垂线段最短，可知当 时， 最短，再根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短，可知当 时， 最短，
∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂线段最短，三角形的面积，正确理解题意是解题关键．
14．28°/28度
【分析】根据折叠的性质得出∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，根据题意结合图形即可得出结果．
【详解】解：过E点将∠A和∠D分别翻折，得到折痕EM和EN，
∴∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，
又∵∠DEN=62°，
∴∠HEN=62°，
∴∠AEM= ×(180°-62°-62°)=28°，
故答案为：28°．
【点拨】题目主要考查折叠的性质及角度的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
15．
【分析】根据公式求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴ ,故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
16．125°/125度
【分析】根据垂直的性质和对顶角的性质求出∠AOB、∠ABO的度数，即可求出β．
【详解】解：如图，设l 与l 的交点为O，
3 1
∵l⊥l，
3 1
∴∠AOB＝90°，
∵α＝35°，
∴∠ABO＝35°，
∴β＝∠ABO+∠AOB＝125°．
故答案为：125°．
【点拨】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，关键是找准这些角的关系．
17． 或
【分析】根据图形的平移，可知 ， ， 是 的外角，可得
，分类讨论，当 时；当 时；根据角的和差倍分关
系即可求解．
【详解】解：如图所示，设 与 交于点 ，
∵三角形 平移得到三角形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的外角，∴ ，
当 时， ，解得， ；
当 时，则 ，
∴ ，解得， ；
综上所述， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查图形的平移的性质，三角形外角和性质的综合，理解图示，掌握平移的性质，平行
线的性质，三角形外角和的性质等知识是解题的关键．
18．①③④
【分析】①由 即可判断；②过点C作 ，即可判断；③分别讨论当直线 与线段 相
交、直线 与线段 的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断．
【详解】解：①∵ ，点E、C、D始终保持在一条直线上
∴
∵
∴
故①正确；
②如图1：过点C作
当点E从点A移动到点H位置时， 的度数在逐渐增大
∴ 的度数在逐渐减小
当点E从点H移动到点B位置时， 的度数在逐渐增大
故②错误；
③当直线 与线段 交于点M，如图2：∵
∴
∴
当直线 与线段 的延长线交于点M，如图3：
∵
∴
∴
故若直线 与直线 交于点M，则 为定值
故③正确；
④当点E在线段 上时，且 ，则 ；
当点E在线段 上时，且 ，则 ；
当 时，则 ；
∴若 的一边与 的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个
故④正确；
故答案为：①③④
【点拨】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点．
掌握相关数学结论是解题关键．
19．这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54．
【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的和为 ，外角和是360度，因而内角和是1800度． 边形的内角和是 ，代入就得到一个关于 的方程，就可以解得边数 ，从而得到这个多边形的对
角线的条数．
【详解】解：设这是 边形，则
，
，
．
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54．
【点拨】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．
20．(1) 的长是
(2) ， ，
【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于 的方程并解答即可求得答案；
（2）设 ，则 ，根据三角形的周长公式列出方程并解答．
【详解】（1）由题意，得 ，
解得 ．
即 的长是 ．
（2）设 ，则 ， ，
由题意，得 ，
解得 ．
故 ， ， ．
所以 ， ， ．
【点拨】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式．
21．(1) ；
(2) ，证明见解析．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得出 ，根据三角形
内角和定理得出 ，进而根据三角形内角和定理即可求解；（2）设 ， ，则根据角平分线的定义得出 ，进而根据（1）的方法即
可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
又∵ ，
；
（2）解： ．
设 ， ，
平分 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
°，
．
．
【点拨】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
22．(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】（ ）先根据同角的补角相等，再由同位角相等两直线平行即可求证；
（ ）利用平行线的性质和判定即可求证；
（ ）利用三角形的中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（2）由（ ）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】此题考查了平行线的性质和判定，三角形的中线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及
其应用，灵活运用三角形中线进行面积计算．
23．(1)11
(2) ，证明见解析
(3) ，
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据角平分线的定义求出 的度数，在
中求出 的度数，即可求出 的度数；
（2）根据三角形内角和定理用 表示出 ，再根据角平分线的定义表示出 ，在
中用 表示出 ，即可求出 与 的关系；
（3）根据三角形外角的性质得到 ，即 ①，根据平行线的性质得到
，根据（2）中的结论得到 ②，①与②组成方程组，求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11；
（2）解： ，
证明：在 中， ，
，
平分 ，，
，
，
，
；
（3）解： 是 的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知 ，
，
即 ②，
①、②组成方程组得 ，
解得 ，
， ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、二
次元一次方程组的解法、垂线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24．（1） ；（2）① ，理由见解析；② 理由见解析；③ ，
理由见解析【分析】（1）求出 ，根据角平分线定义求出 ，根据三角形内角和定理求出
答案即可；
（2）①求出 ，根据角平分线定义求出 ，根据三角形内角和定理求出答案即
可；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 与 ，
然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；③根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和，然后整理即可得到 与 的关系．
【详解】解（1）∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别是 和 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）① ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别是 和 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
② ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 分别是 两个外角 和 的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
③ ，理由如下：
∵ 、 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线，，
∴ ，
又∵ 是 的一外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的一外角，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
