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2021 学年第二学期教学质量调研测试卷（2）九年级数学
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】 、 、 属于有理数；
属于无理数；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2. 如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式
叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3. 将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的
是（ ）A. 对称轴 B. 开口方向 C. 和y轴的交点 D. 顶点．
【答案】B
【解析】
【分析】求出平移后的抛物线，再比较对称轴，顶点，开口方向，与y轴交点，进而求解．
【详解】 的对称轴为y轴，开口向上，与y轴交点（0，0），顶点（0,0）
将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后解析式为：
∴平移后对称轴为 ，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2）
∴开口方向不变
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的
规律．
4. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班
50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位
数分别为（ ）
A. 7 h；7 h B. 8 h；7.5 h C. 7 h ；7.5 h D. 8 h；8 h
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，
把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果．
【详解】由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h；
把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，
而第25位学生的睡眠时间为7h，第26位学生的睡眠时间为8h，其平均数为7.5h，
故选：C．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决本题的关键．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判
定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
的
C、对角线互相垂直 平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、
菱形与平行四边形间的关系．
6. 中，已知 ，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆
C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. 圆A与圆C相交 B. 圆B与圆C外切 C. 圆A与圆B外切 D. 圆A与圆B外离．
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可确定正确的选项．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵三个圆的半径长都等于2，
∴任意两圆的圆心距都是4，
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第三边的长，然后根据两圆
的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的位置关系，难度不大．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： _________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用积的乘方运算方法直接计算即可
【详解】 ，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查积的乘方运算，牢记积的乘方公式是解题关键，注意 ．
8. 分解因式：xy3﹣9xy=____________．
【答案】xy(y+3)(y﹣3)
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：xy³−9xy=xy(y²−9)=xy(y+3)(y−3)
故答案为xy(y+3)(y﹣3) ．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9. 方程 的根是_______．
【答案】x= ．
【解析】
【详解】试题分析：∵ ，∴3x﹣1=4，∴x= ，经检验x= 是原方程组的解，故答案为x=
．
考点：无理方程．
10. 已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么m的值为_______．【答案】2或 ## 或2
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=0，求出m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．
∴ ．
解得 ．
故答案为：2或 ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实
数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根． ⇔
⇔ ⇔
11. 函数 中自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数不小于零，分母不为零即可求解．
【详解】由题意得：
解得：
故答案为： ．
【点睛】考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
12. 当 时，一次函数 的图像不经过第_____象限．
【答案】三
【解析】
【分析】根据k-1＜0，k＞0判断即可．
【详解】∵ ，∴k-1＜0，
∴函数图像一定经过第二、第四象限；
∵b=k＞0，
∴图像与y轴交于正半轴，
∴函数图像一定经过第一象限；
∴函数图像一定不经过第三象限；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握根据k，b判断图像的分布是解题的关键．
13. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是
红球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数．
14. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之
重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重
量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙
袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重 两，每枚白银重 两，根
据题意可列方程组为____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相
同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组.
【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得 ，
再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得 .
因此
所以答案为
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.
15. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
∴内角和是720度，
，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设 ，
那么 可用 表示为________．
【答案】【解析】
【分析】由平行四边形的性质及已知可证明BF：FD=BA：ED=2：1，得BF= BC，然后根据
即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
，
∵点E是边CD中点，
∴ ，
，
∵DE∥AB，
∴BF：FD=BA：ED=2：1，
，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量的运算，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
17. 如图， 是 的外接圆， 交 于点E，垂足为点D， 的延长线交于点
F．如果 ，那么FC的长是_______．【答案】10
【解析】
【分析】由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求
出圆的半径即可．
【详解】∵OE⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×8=4，
∵OA=OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴OD//BC，
又∵OD=3，
∴
∴OE=OA=5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴AE：EF=AO：OC=1，
即E为AF中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF=2OE=2×5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线
的性质是解题的关键．
18. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在
中， ，若 是“匀称三角形”，那么 _______．
【答案】
【解析】
【分析】作 的三条中线AD，BE，CF，由题中定义得当BE为 的中线时， 为“匀称三角形”，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在 中，根据勾股定理得 ，在
中，根据勾股定理得 ，即可得．
【详解】解：如图所示，作 的三条中线AD，BE，CF，
∵ ，
∴ ，
即CF不能为匀称三角形中线，
在 中， ，
即AD不能成为“匀称三角形”的中线，
∴当BE为 的中线时， 为“匀称三角形”，
设AC=2a，则CE=a，BE=2a，
在 中，根据勾股定理得，
，
在 中，根据勾股定理得，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是理解新定义．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】对每一项分别进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】原式
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是
熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．
20. 解方程组：
【答案】 或
【解析】
【分析】将方程②因式分解，得到两个新的方程，原方程组转化为两个新的方程组，求解即可．
【详解】由②得： ，
或 ，
因此，原方程组可以化为两个二元一次方程组
或 ．
分别解这两个方程组，得原方程组的解是 或 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组，因式分解；注意将②式因式分解转化为两个方程是本题关键．
21. 已知在平面直角坐标系 中，正比例函数与反比例函数的图象交于点 ，直线AB垂直于x轴，垂足为点C（点C在原点的右侧），并分别与正比例函数和反比例函数的图象相交于点A、B，且
．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式：
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；
（2）3或
【解析】
的
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数 图象，先设出函数的解析式，利用待定系数法可求出
k，k，即可分别得到函数的表达式；
1 2
（2）设点 ，则 ，根据 ，可分情况求得A，B，C的坐标，进而根
据三角形面积公式求得面积．
【小问1详解】
解：设正比例函数解析式为
反比例函数解析式为
∵函数 和 的图象经过点
将其分别代入两个函数，解得，
∴正比例函数的表达式为 ；
反比例函数的表达式为 ．
【小问2详解】
解：设点 ，则根据函数表达式
∵
∴
解得
或
如图1，当 时，
∴
如图2，当 时，
∴
∴ 的面积为：3或 ．【点睛】本题考查函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，函数与图形面积问题，解分式方程等知
识，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
22. 为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，如图1是某益智
健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢
做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在
侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置， ，求踏板
中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（
）
（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗
比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时?
【答案】（1）踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差是7.5厘米
（2）小杰原计划锻炼1小时完成
【解析】
【分析】（1）过点B作 垂足为D，通过三角函数计算即可；
的
（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，根据“原计划消耗400大卡 能量，由于小杰加快了运动频率，
每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务”列分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
过点B作 垂足为D，
在 中，
答：踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差是7.5厘米．
【小问2详解】
设小杰原计划x小时完成锻炼．由题意得： ；
解方程的： ，
经检验， 都是原方程 的根，但 不合题意舍去．
答：小杰原计划锻炼1小时完成．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用、分式方程的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．
23. 已知：如图，在四边形ABCD中， ，点E在边BC上，且 ，作
交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证： ：
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明 ；再通过两组对边平行证明四边
形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等
（2）利用平行四边形对边平行，得到 ，再将题目条件 转化为 ，
利用边角边证明 ，最后利用相似对应角相等，即可得到结论
【小问1详解】∵ ，∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形AFCD是平行四边形
∴
∴
∴
【小问2详解】
∵
∴
在 中，
∴
∴
∵ ，
在 与 中
∴
∴
∵∴
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质
是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点
24. 如图．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点
A的坐标为 ，对称轴为直线 ．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直
线BC于点F，交抛物线 于点E．
（1）求抛物的解析式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，求线段EF的长度：
（3）如果将 沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）N的的坐标是
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点A ，对称轴为直线 列方程计算即可；（2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由 可得 ，再设E、F
的坐标，根据相似计算即可；
（3）由翻折结合EF∥y轴可得 ，设E、F坐标计算即可．
【小问1详解】
由题意得：
解得：
∴所求的抛物线的解析式是：
【小问2详解】
由题意得： ，
∴直线BC的解析式为：
∴ ，
∴
设 ，则
当以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，
①若 ，则 ，
∴ 或 （舍去）
∴②若 ，则 ，
∴ 或 （舍去）
∴
【小问3详解】
∵ 是由 沿直线CE翻折而得
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
设 ，则
∵ ，解得： 或 （舍去）
∴
∴
∴N的的坐标是
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题
的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
25. 如图，在 中， ．点E是线段AB上一动点，点G在BC的
延长线上，且 ，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段
EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P．
（1）求证： ﹔
（2）设 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
（3）连接NP，当 是直角三角形时，求AE的值．
【答案】（1）见解析 （2） ；定义域为
（3）AE的值为 ，
【解析】【分析】（1）过点E作 交AC于H ，可得△EHN∽△GCN，根据直角三角形的性质可得
，从而得到 ，即可求证；
（2）根据直角三角形的性质可得 ， ．从而得到 ，再
由△EHN∽△GCN，可得CN=2HN，从而得到 ，进而得到
，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当 时，当 时，过E点作 交BC边于Q点，即
可求解．
【小问1详解】
证明：过点E作 交AC于H ，
∴ ，△EHN∽△GCN，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
解∶∵
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．CG=x，
∴ ，
由（1）得：△EHN∽△GCN，
∴ ，即CN=2HN，
∵HN+CN=CH，
∴ ，
∴
∴ ；定义域为：
【小问3详解】
解∶当 时，则∠PNG=90°，
∴∠PNC+∠CNG=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACG=90°，
∴∠PNC+∠CPN=90°，
∴∠CPN=∠CNG，
∵∠CNG=∠ENH，
∴∠CPN=∠ENH，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠EPN=∠PEN=45°，
∴EN=PN，
∵∠ACB=∠EHN=90°，
∴ ，
∴ ，
由（2）得：CN=2HN，
∴ ，
∴ ，解得： ，
当 时，过E点作 交BC边于Q点，∴∠EPQ+∠CPN=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∴∠CNP=∠EPQ，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠PNE=∠PEN=45°，
∴EP=PN，
∵∠ACB=∠EQP=90°，
∴ ，
∴EQ=CP，PQ=CN，
∵EH⊥AC，BC⊥AC，
∴CH=EQ=AC-AH= ，
∴ ，
∴ ，
∵EQ⊥BC，
∴EQ∥AC，
∴∠BEQ=30°，
∴ ，∴ ，
解得： ．
综上所述，AE的值 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，求函数解析式等
知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质是解题的关键．
