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第 12 章 全等三角形 章节整合练习（8 个知识点+40
题练习）
章节知识清单练习
知识点1．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位
置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的
角叫做对应角．
知识点2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三
角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是
指边的对角．
知识点3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，
若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组
对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一
组对应邻边．
知识点4．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角
形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．
所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三
角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅
助线构造三角形．
知识点6．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需
要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联
系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解
决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把
已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
知识点7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线
段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
知识点8．作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有
限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一
起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
章节题型整合练习
一．全等图形
1．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1，则 和 的关系为A． B． C． D．
【分析】根据 可证得 ，可得出 ，继而可得出答案．
【解答】解：
由题意得： ， ， ，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出 ．
2．（2024春•蒲县期末）下列说法中，不正确的是
A．两个全等形的对应边相等，对应角相等
B．两个全等三角形的周长一定相等
C．两个全等形一定关于某条直线翻折后重合
D．两个全等三角形的面积一定相等
【分析】根据全等图形的定义以及性质分析判断即可．
【解答】解：两个全等形的对应边相等，对应角相等，
故 选项正确，不符合题意；
两个全等三角形的周长一定相等，
故 选项正确，不符合题意；
两个全等形不一定关于某条直线翻折后重合，故 选项不正确，符合题意；
两个全等三角形的面积一定相等，
故 选项正确，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查全等图形，熟练掌握全等图形的定义以及性质是解答本题的关键．
3．（2024 春•蒸湘区校级期末）如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，则
．
【分析】首先利用全等三角形的判定和性质得出 的值，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出 的值是解题关键．
4．如图，画在透明纸上的 和△ 是全等图形吗？你是怎么判断的？【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【解答】解：把两个图形放在一起，把 和 ， 和 ， 和 重合，发现能完全重合，
因此 和△ 是全等图形．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
5．（2024春•周口期末）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三
种方法将下列图形划分为两个全等图形
【分析】直接利用全等图形的定义进而分析得出答案．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．
二．全等三角形的性质
6．（2023秋•昭阳区月考）如图所示， ， ， ，则 的长是A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，进而可得答案．
【解答】解： ，
，
， ，
，
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
7．（2024•开福区校级二模）如图， ，点 ， ， 在同一条直线上，且
， ，则 的长是 1 ．
【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【解答】解： ， ， ，
， ，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
8．（2024春•姑苏区校级月考）如图， ， 的延长线交 于点 ，
， ， ，则 8 7 ．
【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出 的度数，再根
据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得 的度数．
【解答】解： ，， ，
，
，
，
．
故答案为：87．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握以上知识是解
题的关键．
9．（2024春•揭西县期末）如图， ， ， ， ，
．
（1）求 的长．
（2）求 的度数．
【分析】（1）由全等三角形的性质得 ，然后根据 可得出答
案；
（2）由全等三角形的性质得 ， ，然后根据三角形的内角和
定理可求出 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
又 ，
；
（2） ， ， ，
， ，
．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对
应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于 是解决问题的关键．10．（2024春•新郑市期末）如图，已知 ，其中 和 ， 与 是对
应边，点 在边 上， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出 ，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出
， ， ， 求 出
即可．
【解答】（1）证明： ，
，
，
；
（2）解：由（1）可知， ，
，
，
，
，
， ， ，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是
解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
三．全等三角形的判定
11．（2024•海淀区校级开学）如图， ，点 ， 分别在 与 上， 与
相交于点 ．只填一个条件使得△ △ ，添加的条件是： （答
案不唯一） ．【分析】根据题意，已经有一组边相等，一个公共角，结合图形，根据两个三角形全等的
判定定理，添加一组角相等，构成 ，即可得到两个三角形全等．根据其他的判定定理，
也可添加其他的条件．
【解答】解： ， ， ，
△ △ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件
即可．
12．（2023秋•宜宾期末）如图所示，在△ 和△ 中， ，要使△
△ ，可以添加的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【解答】解： （已知）， （对顶角相等），
、当 时， 无法证明△ △ ，不符合题意；
、当 时， ，无法证明△ △ ，不符合题意；
、当 时，有 ， 无法证明△ △ ，不符合题意；
、 ，利用 证明△ △ ，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
13．（2023秋•南阳期末）如图， 与 交于 ， ，添加一个条件，仍不能使的是
A． B． C． D．
【分析】要使 ，已知 ， ，具备了一组边和一组角对应相
等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解： ， ，
当 时，则 ，依据 即可得到 ；
当 时，则 和 全等条件是 ，不能判定 ；
当 时 ， 由 于 ， 则 ， 依 据 即 可 得 到
；
当 时，则 ，依据 即可得到 ；
故选： ．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： ，
， ， ， ．添加时注意： ， 不能判定两个三角形全等，不能添加
根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14．（2024•兴隆台区校级开学）如图， △ 中， ， ， ，射
线 于点 ，点 ， 分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ．
要使△ 和△ 全等，则 的长为 5 或 1 2 ．
【分析】由 判定的三角形全等的方法可知只需再添加一组直角边相等就满足题意，由
此写出 的长即可，
【解答】解： ，
要使△ 和△ 全等，只需再添加一组直角边相等，或 ，
或12．
故答案为：5或12．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，清楚 判定全等以及分类讨论是本题
的关键．
15．（2023秋•昭阳区期末）已知：如图， ， 、 分别是 、 的中点．求
证： ．
【分析】先由中点的定义得出 ， ，由 ，得到 ．又
公共，根据 即可证明 ．
【解答】解： 、 是 、 的中点，
， ，
，
．
在 与 中，
，
．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、
、 、 、 ．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形
全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
四．直角三角形全等的判定16．（2022秋•南关区校级期末）如图，在 和 中， ， ，
若要用“斜边直角边 ”直接证明 ，则还需补充条件：
．
【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可．
【解答】解：在 和 中，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了直角三角形全等三角形的判定的应用，掌握 是解题关键．
17．（2024春•临渭区期末）如图， ， ，垂足分别为 、 ， 、
相交于点 ．如果 ，那么图中全等的直角三角形的对数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】全等的直角三角形共有 3 对，分别为 、 、
；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐
个寻找即可．
【解答】解： ， ，
，
在 和 中，，
；
， ，
，
，
在 和 中，
，
；
， ，
在 和 中，
，
；
共有3对全等直角三角形，
故选： ．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．（2023春•汨罗市月考）如图，在 与 中，已知 ，为了
使 ，需添加的条件是 （答案不唯一） （不添加字母和辅
助线，只写一个）．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解： ， ，
再添加： ，，
， ，
再添加： ，
，
， ，
再添加： ，
，
， ，
再添加： ，
，
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题
的关键．
19．（2023秋•疏勒县期中）已知：如图 为 的高， 为 上一点 交 于
且有 ， ．
求证： ．
【分析】由 为 边上的高得到 ，再根据“ ”可判断
．
【解答】证明： 是 的高，
．
在 和 中
，．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关
键．
20．（2024春•莲湖区期中）如图， ， ， 于点 ， 于
点 ．求证： ．
【分析】根据等式的性质得出 ，进而利用 证明 即可．
【解答】证明： ，
，
即 ，
在 与 中，
，
．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用 证明 解答．
五．全等三角形的判定与性质
21．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在等腰 中， ， ， 上一点
使 ，过点 作 且 ，连接 、 ，则 的度数为A． B． C． D．
【分析】连接 ．根据 可证 ，根据全等三角形的性质可得 ，
，根据等边三角形的判定可得 是等边三角形，根据等腰三角形
的判定可得 是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图所示，连接 ．
，
，
，
，
， ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
，是等边三角形，
， ，
是等腰三角形，
，
，
．
故选： ．
【点评】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质
等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难
度．
22．（2024•海淀区校级开学）如图， 、 是锐角△ 的高，相交于点 ，若
， ， ，则 的长为 3 ．
【分析】根据题意得出 ，再根据同角的余角相等得出
，根据 证明△ △ ，最后根据全等三角形的性质及线段
的差与和即可得出答案．
【解答】解： 、 是锐角△ 的高，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．（2024•大庆一模）如图， 是 的边 上的中线， ， ，则
的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ．根据 证明 ，得
，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长 至 ，使 ，连接 ．
在 与 中，
，
，
．
在 中， ，
即 ，．
故选： ．
【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线
是常见的辅助线之一．
24．（2024•南岗区校级开学）已知，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，
， ，则点 坐标为 或 ．
【分析】作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ，由 ，得
，可证明△ △ ，得 ， ，分两种情况求
点 的坐标，一是点 与点 在 轴的异侧，则 ；二是点 与点 在 轴的同侧，
则 ，于是得到问题的答案．
【解答】解：作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ，
，
，
，
，
如图1，点 与点 在 轴的异侧，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，；
如图2，点 与点 在 轴的同侧，则 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
故答案为： 或 ．
【点评】此题重点考查坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅
助线是解题的关键．
25．（2024春•西安校级期中）如图，在 △ 中， ，点 在 的延长
线上，且 ．过点 作 ，与 的垂线 交于点 ．
（1）求证：△ △
（2）若 ， ，求 的长．【分析】（1）根据等角的余角相等，证明 ，再根据 即可证明△ △
；
（2）根据全等三角形的性质即可得出 ，即可求解．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ；
（2）解： ，
理由：由（1）证得，△ △ ，
， ，
，
．
， ，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解
决问题．
六．全等三角形的应用
26．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不
用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点 处，选对岸正对的一棵树 ，然后沿河岸直行 到达树 ，继续前行 到达点 处，再从点 处沿河岸垂直的方向行走．
当到达树 正好被树 速挡住的点 处时，停止行走，此时 的长度即为河岸 的宽
度．小开这样判断的依据是
A． B． C． D．
【分析】利用“角边角”证明△ 和△ 全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：由题意知 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
27．（2024春•二七区期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店
去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第 块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A．① B．② C．③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符
合题意的．
故选： ．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、
、 、 、 ，做题时要根据已知条件进行选择运用．
28．（2024春•中宁县期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即 ，左边滑梯的高
度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，则 9 0 ．
【分析】首先利用 定理证明 ，进而得到 ，再根据
可得 ．
【解答】解： ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定
理．
29．（2024春•月湖区期末）如图，两车从路段 的两端同时出发，沿平行路线以相同的
速度行驶，相同时间后分别到达 ， 两地． ， 两地到路段 的距离相等吗？为什
么？【分析】根据题意可得 ， ，再根据平行线的性质可得
，然后再利用 判定 ，进而可得 ．
【解答】解： ， 两地到路段 的距离相等，
理由：由题意可知 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， 两地到路段 的距离相等．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等
的条件．
30．（2023秋•凤阳县校级月考）在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图
所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为
1，最大的等腰直角三角形的顶点位于 轴上，依次为 ， ， ， ， ．
（1） 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ．
（2）若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的 3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为 ，围墙总长为 按照图中的排列方式，则3种墙
砖各需要多少块？
【分析】（1）根据条件分别写出 ， ， 的坐标，找出规律，进而得到 ， 的坐标；
（2）根据图形复现，墙砖每3个单位长度循环一次，在每一个循环周期内，需要大号墙砖
1块，中号墙砖2块，小号墙砖4块，再用2026除以4即可求解；
【解答】解：（1） 最小的等腰直角三角形的斜边长为1，
中间大的等腰直角三角形的直角边为1，
，
由图可得 ， ，
由规律可得 ， ，
故答案为： ； ； ；
（2）由题图可知，图案每 重复一次，
，
一共循环了675次，还余下 ，多出来的 是四块小号的墙砖，
大号墙砖需要675块，
中号墙砖需要 （块 ，
小号墙砖需要 （块 ，
大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，准确识别图形，得到循环规律是解题的关键．
七．角平分线的性质
31．（2024春•泰山区期中）如图所示，若有 ， ，则下列结
论中错误的是A． 是 的平分线 B． 是 的平分线
C． D．
【分析】根据角平分线定义求解即可．
【解答】解： ，
是 的平分线，
故 正确，不符合题意；
，
是 的平分线，
故 正确，不符合题意；
，
，
故 正确，不符合题意；
根据题意求不出 ，
故 错误，符合题意；
故选： ．
【点评】此题考查了角平分线定义，熟记角平分线定义是解题的关键．
32．（2024春•西安期末）如图，在△ 中， ，点 是 、 平分线
的交点，且 ， ， ，则点 到边 的距离为
A． B． C． D．
【分析】过 点作 于 ， 于 ， 于 ，连接 ，如图，先
根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ， 再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 得 到， 即
，然后解方程求出 即可．
【解答】解：过 点作 于 ， 于 ， 于 ，连接 ，如图，
点 是 、 平分线的交点，
， ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
即点 到边 的距离为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查
了三角形的面积公式．
33．（2024•道里区校级开学）如图，△ 的角平分线 、 交于点 ．延长 至
， 与 的延长线相交于点 ，且 ， ，若△ 的面积
为6， ，则线段 的长度为 ．【分析】设 ， ，过点 作 于 ，根据三角形的外角性质及角
平分线的定义得出 ， ，可得 ，由
平分 ，即可得出 ；根据三角形的面积得
， △ 的 面 积 为 6 ， 可 得 出 ， 再 由
即可求解．
【解答】解：设 ， ，过点 作 于 ，
平分 ， ，
， ， ，
， ，
，
平分 ，
，
；
， ， ，
，
△ 的面积为6，，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的面积，主要考查学生运
用三角形的面积公式求解的能力．
34．（2024春•潮阳区期末）已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点，
和 的角平分线交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2， 和 的角平分线交于点 ，求 的度数；
（3）如图3，若 ，延长线段 得射线 ，延长线段 得射线 ，射线
绕点 以每秒 的速度逆时针旋转 后停止，射线 绕点 以每秒 的速度顺
时针旋转 以后停止．设它们同时开始旋转，当射线 时，求满足条件的 的值
为多少．
【分析】（1）有角平分线的定义可知 ， ，根据已知
，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；（ 2 ） 根 据 外 角 的 性 质 和 角 平 分 线 定 义 得 ，
， 由
得 ，可得 ；
（3）分两种情况讨论， 在 左右两侧时的 值，根据同旁内角互补建立关系式，解
出即可．
【解答】解：（1） 和 的角平分线交于点 ，
， ，
，
．
（2） ，又 ．
，
由外角性质得：
，
，
．
（3）当 在 右侧时， 时， ，
根据题意可知： ， ，
，
解得 ．
当 在 左侧时， 时， ，根据题意可知： ， ，
，
解得 ，
综上分析， 或 或30时， ．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，分类讨论不同情况下的 的取值．
35．（2024春•大祥区期末）如图，在 中， ， 平分 ，
于点 ，点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）请你判断 、 与 之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到 ，根据直角三角形全等的判定定理得到
，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到 ，根据（1）的结论得到答案．
【解答】证明：（1） 平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ．
，
，
，
，
，即 ．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的
点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
八．作图—尺规作图的定义
36．（2017秋•新化县期末）四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过
， ， 三点，且点 在点 与点 之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线
段 ， 相交于点 ”画出图形（2）；丙同学读语句“点 在直线 上，点 在直线
外”画出图形（3）；丁同学读语句“点 在线段 的延长线上，点 在线段 的反向
延 长 线 上 ” 画 出 图 形 （ 4 ） ． 其 中 画 的 不 正 确 的 是
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【分析】利用直线与点的关系分析．
【解答】解：观察图形可知，图形（1）、图形（2）、图形（3）；都符合要求；
图形（4）点 在线段 的延长线上，点 在线段 的反向延长线上，不符合要求．
故画的不正确的是丁同学．
故选： ．
【点评】本题比较简单，考查的是直线与点的关系，线段相交的特点，锻炼了学生观察事
物的能力．
37．（2023秋•蓬江区校级月考）尺规作图的画图工具是
A．尺、量角器 B．没有刻度的三角板、量角器
C．没有刻度的直尺和圆规 D．量角器
【分析】根据尺规作图的定义可知．【解答】解：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．
故选： ．
【点评】本题主要考查了尺规作图的画图工具，即没有刻度的直尺和圆规．
38．定义：利用 没有刻度 的直尺和 作图，简称为尺规作图．
【分析】根据尺规作图的定义解决问题．
【解答】解：定义：利用没有刻度的直尺和圆规作图，简称为尺规作图．
故答案为：没有刻度，圆规．
【点评】本题考查作图 尺规作图的定义，属于中考基础题．
39．（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知 ，用直尺和圆规作：（保留作图
痕迹，不要求写作法）
① 的角平分线 ；
② 边上的中线 ．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示．
【点评】本题考查了作图 尺规作图的定义，三角形的角平分线、中线和高，正确地作出
图形是解题的关键．
40．（2023秋•思明区期末）如图，点 ， ， 是不在一条直线上的三个点，过 ，两点作直线，并连接 ， ．
（1）尺规作图：延长 至 ，使得点 为 的中点，作射线 ，在射线 上截取
．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹）
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据线段中点的定义得到 ，得到 ，根据线段的和差
即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，点 ，射线 ，线段 即为所求；
（2） 为 的中点，
，
，
，
，
，
．【点评】本题考查了作图尺规作图的定义，直线，射线，线段，正确地作出图形是解题的
关键.
