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第15 章 分式（单元测试·培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息， 可能为（ ）
0 1 2
无意
0
义
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京西城·模拟预测）微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离
子等． 世纪 年代，美国物理学家默里·盖尔曼和 ·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是
由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为 米，将
化成科学记数法为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 的三边长分别为 ， ， ，且 ，则
一定是（ ）
A．等边三角形 B．腰长为 的等腰三角形
C．底边长为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．（2024·云南·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）若化简 的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是
（ ）A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
8．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知 ， ， ，…， （n为
正整数，且 ， ），则用含t的式子 的结果为（ ）
A．t B．－t C． D．
10．（2022八年级下·上海·专题练习）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）
A．13 小时 B．13 小时 C．14 小时 D．14 小时
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）计算： ．
12．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知不论 为何实数，分式 总有意义，试求
的取值范围是 ．
13．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）计算： ．
14．（21-22八年级下·河南南阳·期中）计算 的结果是 ．15．（2024八年级下·全国·专题练习）若 ，则 ．
16．（2023·浙江杭州·模拟预测）咖啡 与咖啡 以 之比（以质量计）混合， 的原价为40元/ ，
的原价为50元/ 若 的价格增加 ，而 的价格减少 ，且混合咖啡每千克的价格不变，则 ：
．
17．（24-25八年级上·全国·期末）对于正整数n，x轴上有 、 两点，用 表示这两点间
的距离，其中 、 横坐标分别是方程组 的解，则 的值等于
．
18．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取
值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题
(1)先化简 ，再从 ，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
(2)先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．21．（本小题满分10分）（2024八年级上·黑龙江·专题练习）解下列分式方程：
(1) ； (2) ．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于 的分式方程
有增根，求 的值．
（2）关于 的方程 有整数解，求此时整数 的值．
23．（本小题满分10分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售
火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签
第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该店两次购进这款书签各多少个？
(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的 后，由于天气的影响，
游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总
利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·广东珠海·开学考试）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已
知： ，求 的值．
解：由 知 ，即 ①
②，故 的值为 ．
(1)第①步由 得到 是运用了法则： ；那么第②步 则是运
用了公式：______；（公式用含 的式子表示）
(2)【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 ，求 的值；
(3)【拓展延伸】已知 ， ， ，求 的值．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B C C D B B C
1．C
【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据
分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【详解】解： 当 时，分式无意义，
分式的分母可能是 ．
当 时，分式的值为0，
分式的分子可能是 ．
分式可能是 ．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此
即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解： 、分子分母中含有公因数 ，不是最简分式，该选项不合题意；
、 ，分子分母中含有公因式 ，不是最简分式，该选项不合题意；
、 是最简分式，该选项符合题意；
、分子分母中含有公因式 ，不是最简分式，该选项不合题意；
故选： ．
3．B
【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原
数左起第一个不为 的数字前面的 的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的
数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左起第一个不为 的数字前面的 的个数所决定即可；
【详解】解：故选：B
4．B
【分析】本题考查的是分式的加减运算，分组分解法分解因式，等腰三角形的定义，先把原式化为
，可得 ，再进一步解答即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的三边长分别为 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
∴ 是腰长为 的等腰三角形；
故选B
5．C
【分析】根据合并同类项法则、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则进行求解即可．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项法则、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式
的概念进行判断．
【详解】解：A、 ， 是分式，故此选项不符合题意；
B、 ， 是分式，故此选项不符合题意；
C、 ，4是整式，故此选项符合题意；
D、 ， 是分式，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．D
【分析】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键．
将分式方程化为整式方程 ，由 或 时方程无解，求出 ．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
化简得， ，
∵方程 无解，
∴①当 时，方程无解；
②当 时，方程无解，此时 ，解得 ，
即 或 时，方程无解，
故选：D．
8．B
【分析】将 ，进行变形得到： ， ， ，利用整体思想，将
变形为： ，再代值计算即可．【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
；
∵ ，当 时， ，方程不成立，
∴ ，
∴方程两边同除以 得： ，
∴ ，
∴ ，即： ；
故选B．
【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
9．B
【分析】先根据题意求出 、 、 、 ，并从中找出循环节为 、 、 ，求出每一个循环节三
个数的乘积，即可求出答案．
本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．【详解】∵ ，
，
，
结果每3个一循环，循环节为 、 、 ，
∵ ，
∴从 到 一共673个循环，且余2，
，
，
．
故选：B
10．C
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列
出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
．
解得x＝20．
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
∴x=20是所列方程的解．
∴x-5=15．
∴甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，则丙的工作效率是 ．
∴一轮的工作量为： ．
∴4轮后剩余的工作量为： ．
∴还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为： ．
∴丙还需要工作 小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+ ＝14 小时．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．
【分析】本题考查零指数幂，负指数幂，根据零指数幂，负指数幂化简求解，即可解题．
【详解】解：
．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，完全平方公式．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知， ，由 ，可知当 ， 始终为正数，分式
总有意义，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵ ，
∴当 ，即 ， 始终为正数，分式总有意义，
故答案为： ．
13．【分析】利用分式乘法和除法法则变形约会即可得到结果．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的计算，熟练掌握分式的乘除法的运算法则是解题的关键．
14．
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
15． 或
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，分 两种情况进行计算即
可，熟练掌握知识点的应用及利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【详解】解： 若 ，则 0．
若 ，则每项都除以 得 ，每项都除以 得 ，
∴ ，
则 ，
∴ 的值为 或 ，故答案为： 或 ．
16．
【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
化简得： ，
，
∴ ．
故答案为： ．
17．
【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：方程组 ，
得 ，即 ，
将 代入①得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是该方程组的根，
∴ ，
∴．
故答案为： ．
18． 且
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用 表示出 的值是解题的关键．先解
分式方程，利用 表示出 的值，再由 为正数求出 的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 得：
，
解得： ，
∵x为非负数，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴m的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得；
（2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
20．(1) ，当 时，原式 ；
(2) ， ．
【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题
的关键
（1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的 值代入计算即
可；
（2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减
法，约分得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式， 即
当 时，原式 ；
（2）解：原式=
，
原式
．
21．(1)
(2)原分式方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解： 可化为 ，
方程两边都乘 ，得 ，
去括号移项得： ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为 ．
（2）解： 可化为 ，
去分母，得 ，
去括号得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
22．（1）3；（2）m的值为3或0或4
【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问
题是解题的关键．
（1）解分式方程得到 ，求出增根 ，则 ，即可求得a的值；
（2）解方程得到 ，根据分式方程有整数解得到 或 且 ，进一步求解
即可得到整数m的值．
【详解】解：（1） ，
去分母得到 ，
解得： ，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，解得： ，
∴a的值为3；
（2） ，
去分母得到 ，
解得 ，
∵方程有整数解，
∴ 或 且 ，
解得： 或3或0或4且 ，
∴ 或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
23．(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
(2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签 个，由题意：每个书签第二次购进的
成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于
1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签 个，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个．
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，
由题意得：
解得： ，答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题
思路及分式的性质是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的变形进行解答；
（2）仿照例题计算即可；
（3）将已知三个等式相加，得到 ，再利用倒数法解答．
【详解】（1）解：第①步由 得到 逆用了法则： ；
第②步 运用了公式： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
