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全等三角形综合训练（五）
1．如图， 中，点D在 上， ，点E是 的中点，连接
，则 ______________．
【答案】
【详解】解：如图，延长 至F，使得 ，交 于点G，
∵点E是 的中点，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，∴ ，
解得 ，即 ．故答案为：2．如图，在 中， ， ，求 边上中线 的范围为_____．
【答案】
【详解】解：延长 到E，使得 ，连接 ，如图，
在 和 中， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
故答案为： ．
3．如图， ， ， ， ，点M为 的中点， ，
______．
【答案】6
【详解】证明：延长AM至N，使 ，连接 ，
∵点M为 的中点，∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
4．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，
∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有
______．
【答案】①②③④
【详解】解：连接BO，如图1所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，又∵OP=OC，
∴OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP=∠ACO，
∴∠APO=∠ACO，故①正确；
又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°，故②正确；
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∠PBC=30°，
∴∠BPC+∠BCP=150°，
又∵∠BPC=∠APO+∠CPO，
∠BCP=∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°，
∴∠POC=60°，
又∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC=PO，∠PCO=60°，故④正确；
在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，
∴∠CAP=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP=CP，
又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，
∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC，
在△APO和△EPC中，
，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO=EC，
又∵AC=AE+EC，AE=AP，
∴AO+AP=AC，故③正确；
故答案为：①②③④．
5．如图， ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB
△
＝CD，BF＝ ，则AD的长为________．
【答案】
【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连
接DK．
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴ AET≌ DCK(SAS)，
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
△ △
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF= ，∴AD= ，
故答案为： ．
6．在 中， ， ， ，点 是 内一点，则点 到
三个顶点的距离和的最小值是_______．
【答案】
【详解】如图：以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ，连接 ，
作 ，作 ，交 的延长线于 ．
和 是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，，
当 、 、 、 四点共线时， 值最小，
，
，
．
，
，
，
最小值为 ．
故答案为： ．
7．如图， ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若
∠BPC＝50 ，∠CAP＝______．
△
【答案】40°
【详解】解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：
设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC= ，
∴ ,
∴ ，∴ ，在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），∴∠FAP=∠CAP，
∴ ；
故答案为：40°；
8．如图，平行四边形 中， 于 ，点 为边 中点， ，
，则 _________
【答案】
【详解】解：延长 、 交于点 ，连接FC，
∵平行四边形 中，
∴ ， , ,∴ ， ， ,
又∵点 为边 中点，得 ,
∴ ≌ (ASA)， ，∴ ，∴ ，
∴ ,∴ ,
∵ , , , ,∴ ,∴ ,
∴ ,∴ ,
故答案为： .9．已知，如图1，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小亮将 绕点 顺时针旋
转 后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当 绕点 旋转到图2位置时，试探究 与 、 之间有怎样的数量
关系？
【答案】(1)见解析；(2) ．
【详解】（1）证明：如图1，
由旋转可得 , ,
四边形 为正方形
、 、 三点在一条直线上
在 和 中（2）结论： ．
理由：如图2，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对
应，同（1）可证得
,且
10．已知 为等腰三角形， ，直线 过点 （不经过点 ），过点
作 于点 ，过点 作 于点 ．
(1)如图1，当点 位于直线 的同侧时，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 位于直线 的两侧，
①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设 与 交于点 ，当 时，判断 与 是否相等，并说明理由．
【答案】(1) ；理由见解析
(2)①成立，理由见解析；② ，理由见解析
【详解】（1）解： ，理由如下：∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）（2）①成立，
同理可得 ，
∴ ；
② ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
11．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证：
，小明的方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造
全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段
构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且
．求证： ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个
命题进行证明．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)见解析；(3)见解析
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长 至F，使 ，连接 ，则 ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
（2）证明：如图3，在 上截取 ，使 ，连接
∵ 分别平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）证明：如图4：延长 至G，使 ，连接 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，∴
∴ ，即 平分 ．
12．在 中， 且 ．
(1)如图（1），若 分别平分 ，交 于点C、B，连接 ．请你
判断 是否相等，并说明理由；
(2) 的位置保持不变，将（1）中的 绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，
相交于O，请你判断线段 与 的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ，试求四边形 的面积．
【答案】(1) ，理由见解析；(2) ， ，理由见解析；(3)32【详解】（1）解： ．
理由如下：∵ 分别平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ， ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（3）解：
∵ ，
∴四边形 的面积 ．
13．在 中， ，点D是直线BC上一点（不与 重合），以 为一边在的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段 上，如果 ，则 为多少？说明理由；
(2)设 ， ．
①如图2，当点D在线段 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，画出图形，
简要证明．
【答案】(1) ；(2)① ，② 之间满足 或
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）① ，理由如下：
∵ ，
∴ ．
即 ．
在 与 中，
，∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当点 在 的延长线上时， ，理由如下：如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
当点D在线段 的延长线上时， ．理由如下：
如图，∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
综上：当点D在直线 上移动时， 之间满足 或 ．
14．如图，在 中， ，分别过点B，C作过点A的直线的垂
线BD，CE，垂足为D，E．若 ，求DE的长．
【答案】7cm
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝
AE．
(1)判断CE与BE的关系是 ．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD
＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【答案】(1)CE＝BE且CE⊥BE；(2)成立，理由详见解析
【解析】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴ ，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
（2）
解：（1）中结论成立，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，∴ ，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
