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四边形中的最值问题（20题）
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为
边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．4 D．6
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，过O作AB
的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过点O作OE⊥AB，OE即为所求，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝ OA，
∵AO＝ AC＝ ×12＝6，
∴OE＝3，
∴PQ的最小值＝2OE＝6，
故选：A．
2．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小
值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD＝ BD＝6，由等腰三角形的性质可求
∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝ BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
∴OP＝ OD＝3，
故选：A．
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，
MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【分析】连接 MC，证出四边形 MECF 为矩形，由矩形的性质得出 EF＝MC，当
MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝ BC＝3
，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝ BC＝ ＝3 ，
∴EF的最小值为3 ；
故选：A．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、
BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF
的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B． ﹣1 C． D．2﹣
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明
∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝ AG，求出AG的最
大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝2 ，
在Rt△ACN中，∵AC＝2 ，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝ AC＝ ，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝ AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2 ，最小值为 ，
∴EF的最大值为 ，最小值为 ，
∴EF的最大值与最小值的差为 ．
故选：C．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC
上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．
连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】因为不论怎么变化MN始终是△AEF的中位线，MN＝ AE这个等量关系不发
生变化，当AE最小时，MN就最小，根据垂线段最短性质知，当 AE⊥BC时，AE取最
小值，求出此时的AE便可．
【解答】解：∵点M，N分别是AF，EF的中点．
∴MN＝ AE，
当AE⊥BC时，AE的值最小，此时MN取最小值，
∵四边形ABCD是平行四边形中，AB∥CD，∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB＝1，
∴AE＝ ，∴ ，
故选：C．
6．在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别
为M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．2
【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求 FC，AN，EN，AE的长，即可
求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，
∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴AN∥CF，∠BCF＝30°，
∴四边形AFCN是平行四边形，BF＝ BC＝2，CF＝ BF＝2 ，
∴AN＝CF＝2 ，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴EN＝ AN＝ ，AE＝ EN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴AM∥EN，
∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝6，P为AB边上一动点，以PA，PC为边
作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为（ ）
▱A．6 B．8 C．3 D．4
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，
PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形
的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝ AC＝3，
∴OP′＝ AO＝ ，
∴PQ的最小值＝2OP′＝3 ，
故选：C．
8．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若AB＝
，DE＝BF，则AE+DF的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4 D．4
【分析】如图，延长 DC 到 P 使 CD＝CP，连接 AP，交 BC 于 F，利用 SAS 证明△ADE≌△ABF，根据垂直平分线的性质可得DF＝PF，可得AE+DF＝AF+PF＝AP，根
据点A、F、P在一条直线上可得AP的长为AE+DF的最小值，利用勾股定理求出AP的
长即可得到答案．
【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，
∵∠BCD＝90°，CD＝CP，
∴DF＝PF，
∴AE+DF＝AF+PF＝AP，
∵点A、F、P在一条直线上，
∴AP的长为AE+DF的最小值，
∵AB＝ ，
∴AD＝CD＝ ，DP＝2AC＝2 ，
∴AP＝ ＝5 ，即AE+DF的最小值为5 ，
故选：B．
9．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝
4，CB＝2，则线段OD的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边
可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE
的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD＜OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝4，点E是AB的中点，
∴OE＝AE＝ AB＝2，
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝2 ，
∴OD的最大值＝2 +2．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝ ，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB
上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，
则线段EF长度的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据三角形的中位线定理得出 EF＝ DN，从而可知DN最大时，EF最大，因
为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝2，从而求得EF的最大值
为1．
【解答】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝ DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝ ＝ ＝2，
∴EF的最大值为1．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，以DE为一边作正方形DEFG，H是
DC的中点，连接GH，若正方形的边长AB＝2，则GH的最小值是 ．
【分析】作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，证明△DEM≌△GDN，然后设CM
的长为x，把GH用含x的式子表示出来，再利用二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEM＝∠GDN，
在△DEM和△GDN中，
，
∴△DEM≌△GDN（AAS），
∴EM＝DN，DM＝GN，
设CM＝x（0＜x＜2），则DM＝2﹣x，由勾股定理得GN＝ ，
∴GH＝ ＝ ，
∵0＜x＜2，
∴当x＝ 时，GH取得最小值为 ，
故答案为： ．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，P为BC上
一动点，则AP的最小值为 ．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，由勾股定
理可求AB的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，
∴AC＝2，BD＝4，AB＝ ＝ ，
∵P为BC上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，
∵S菱形ABCD ＝ ×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝ ，
∴AP的最小值为 ，
故答案为： ．
13．（选做）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E在矩形的边AB上运动，连接
DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 2 ﹣ 6 ．【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于
P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．
【解答】解：∵点A关于DE的对称点P，
∴DA＝DP＝6
∴P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，
∴BP′为最小值，
∵AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，
∴BD＝ ＝2 ，
∵半径为6，即OP′＝6，
∴BP′＝2 ﹣6．
故答案为：2 ﹣6．
14．如图，已知AB＝4，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作菱
形ACDE和等边△BCF，点C、F、D在同一直线上，M、N分别是线段AD、BF的中点．
当点C在线段AB上移动时，线段MN的最小值为
．
【分析】连接CM、CN．首先证明∠MCN＝90°，利用勾股定理和二次函数的性质可求
解．
【解答】解：如图，连接EC，CN，设BC＝a，AC＝4﹣a，
∵△CBF是等边三角形，点N是BF的中点，
∴∠FCB＝60°，∠FCN＝∠BCN＝30°，BN＝FN＝ ，
∴CN＝ ，∠ACD＝120°，
∵四边形ACDE是菱形，
∴点M是AD的中点，也是EC的中点，AD⊥EC，∠ACM＝60°，
∴∠DAC＝30°，∠MCN＝90°，
∴MC＝ AC＝ ，
∴MN＝ ＝ ＝ ，
当a＝1时，MN的最小值为 ，
故答案为： ．
15．如图，四边形ABCD为矩形，AD＝3，AB＝4，点E是AD所在直线的一个动点，点F
是对角线BD上的动点，且BF＝DE，则AF+BE的最小值是 ．
【分析】延长BC到点G，使BG＝DB，连接AG交BD于点H，连接FG，根据矩形的
性质和BF＝DE等条件证明△GBF≌△BDE，则BE＝GF，再由两点之间线段最短证明
当AF与GF成一条直线时，AF+GF的值最小，此时AF+BE的值也最小，根据勾股定理
求出AG的长即可．
【解答】解：如图1，延长BC到点G，使BG＝DB，连接AG交BD于点H，连接FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB∥AD，
∴∠GBF＝∠BDE，
∵BF＝DE，∴△GBF≌△BDE（SAS），
∴GF＝BE，
∴AF+BE＝AF+GF；
∵AF+GF≥AG，
∴当AF与GF在一条直线上，即点F与点H重合时，AF+GF＝AG，
如图2，此时AF+GF的值最小，AF+BE的值也最小，
∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BG2＝DB2＝AD2+AB2＝32+42＝25，AB2＝42＝16，
∵∠ABG＝90°，
∴AG＝ ＝ ＝ ，
∴AF+BE的最小值为 ，
故答案为： ．
三．解答题（共5小题）
16．（选做）正方形ABCD中，AB＝2，点E、F分别是AD，CD上的动点，且AE＝DF，
连接AF，BE交于点G，DG的最小值是多少？
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△DAF，可证∠AGB＝90°，可得点G在以AB为直径
的圆O上，即点G在OD上时，DG的长最小，由勾股定理可求OD的长，即可求DG
的最小值．
【解答】解：如图，连接OD，∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°＝∠ADF
又∵AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS）
∴∠DAF＝∠ABE
∴∠BAG+∠DAF＝90°
∴∠ABE+∠BAG＝90°
∴∠AGB＝90°
∴点G在以AB为直径的圆O上，
∴当点G在OD上时，DG的长最小，
∴DG＝OD﹣OG＝ ﹣1＝ ﹣1
17．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（﹣3，2），连接
AB，以AB为边向上作正方形ABCD．
（1）当点B与点O重合时，求点C的坐标；
（2）设点C的坐标为（x，y），请用含x的代数式表示y；
（3）E是点C关于原点的对称点，连接AE，当点B在x轴上运动时，求AE的最小值．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据点A的坐标可得
OE＝3，AE＝2，再根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，然后根据同角的余
角相等求出∠ABE＝∠BCF，再利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三
角形对应边相等可得BF＝AE，CF＝BE，然后求解即可；
（2）根据（1）的结论整理即可得解；
（3）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点 E，再利用勾股
定理列式表示出AE，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵点A（﹣3，2），
∴OE＝3，AE＝2，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BF＝AE，CF＝BE，
∵点B与点O重合，
∴OE＝BE＝3，OF＝BF＝AE＝2，
∴点C的坐标为（2，3）；
（2）由（1）可知，BF＝AE＝2，CF＝BE，
∵点C的坐标为（x，y），
∴BF＝x，CF＝y，
∴OB＝y﹣3＝x﹣2，
∴y＝x+1；
（3）∵E是点C关于原点的对称点，
∴点E的坐标为（﹣x，﹣x﹣1），
∴AE＝ ＝ ，
∴当x＝0时，AE最小 ＝ ＝3 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2
的正方形ABCD，求OC的最大值．
【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据线段中点的定义求出BE，利用勾股定理
列式求出CE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝BE，根据两点
之间线段最短判断出点O、E、C三点共线时OC最大，然后求解即可．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，
则BE＝ ×2＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝ ＝ ，
∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，
∴OE＝BE＝1，
由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，
∴OC的最大值＝ +1．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，
且DE⊥AC，DF∥AC．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）填空：连接EF，若AC＝3，BC＝4，则EF的最小值是 ．
【分析】（1）由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEDF是矩形；
（2）由勾股定理可求AB的长，由矩形的性质可得CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最
小值，即EF有最小值，由面积法可求解．
【解答】解：（1）∵DF∥AC，∠C＝90°，
∴∠DFC＝∠C＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）连接CD，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，∵四边形CEDF是菱形，
∴CD＝EF，
∴当CD有最小值时，EF的值最小，
∴当CD⊥AB时，CD有最小值，即EF有最小值，
此时： ×AC×BC＝ ×AB×CD，
∴CD＝ ＝ ，
∴CD的最小值为 ，
故答案为： ．
20．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD，DC上两个动点，满足AE＝DF，连接
AF，BE，它们相交于点H，连接DH，若正方形的边长为4，求线段DH长度的最小值．
【分析】先证明△BAE≌△ADF，可得∠ABE＝∠DAF，再根据角的互余关系求出
∠AHB＝90°即可得出结论；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取 AB的中
点O，连接OH、OD，然后求出OH＝ AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据
三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，可求出这个最小值．
【解答】解：如图所示，取AB的中点O，连接OH、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，
∵ ，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴OH＝ AB＝2，
∵OD＝ ＝ ＝2 ，
当O、D、H三点重合时，在一条直线上时，DH长度最小，
线段DH长度的最小值是：2 ．
