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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
学习目标：1.理解二次根式的概念；
2.掌握二次根式有意义的条件；
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.
难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.
自主学习
一、知识链接
1.什么叫做平方根？
2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？
二、新知预习
1. 用带根号的式子填空:
(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为
______ m．
图 图
(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单
位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
2.自主归纳：
（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “____”称
为二次根号.
（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为
_________数.三、自学自测
1.下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.二次根式 有意义的条件是_____________.
四、我的疑惑
____________________________________________________________
课堂探究
一、要点探究
探究点1：二次根式的意义及有意义的条件
问题1 分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
要点归纳：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “ ”称为_______.
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“ ”；②
内在特征：被开方数a≥0.
例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义?
变式题1 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.
若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【变式题】
方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形
式，再进行分析讨论.
针对训练
1.下列各式: 一定是二次根式的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
探究点2：二次根式的双重非负性
问题1：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
问题2：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根
式 ，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 _____0.
典例精析
例3 若 ，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝
对值、偶次幂及二次根式.
例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，
【变式题】
求此三角形的周长．
方法总结:若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
针对训练
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
二、课堂小结
当堂检测1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值为______．
4. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值.
拓展提升
7.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得解得x≥1 或x≤0.即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？
参考答案
自主学习
一、知识链接
问题1: 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2:如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示.
非负数.
二、新知预习
(1) (2) (3)
2.自主归纳：
(1) ≥ (2)非负数，非负数
三、自学自测
1.B 2. x≤5
合作探究
一、要点探究
探究点1：二次根式的概念及有意义的条件
问题1: 分别表示 2，S，3， 的算术平方根
问题2: ①根指数都为 2; ②被开方数为非负数.
归纳总结：二次根式
例1：解：(1)(4)(6) 均是二次根式，其中 a2+1 属于“非负数+正数”的形式一定大于零.
(2)(3)(5)(7) 均不是二次根式.
例2：解：由 x - 2≥0，得x≥2.
【变式题1】（1）解：由题意得 x-1＞0，∴ x＞1.
（2）解：∵ 被开方数需大于或等于零，∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3.
∵ 分母不能等于零，∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1.
【变式题2】解：(1) ∵ 无论 x 为何实数，- x2 - 2x - 3 = -(x-1)2≤0，
∴ 当 x = 1 时， 在实数范围内有意义.(2) ∵ 无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0，
∴ 无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义.
练一练：1.B 2. (1) x≥1 (2) x≥0 且 x≠2
探究点1：二次根式的概念及有意义的条件
问题1 : 前者 x 为全体实数；后者 x 为非负数.
问题2：当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；
当 a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 这就是说，当 a≥0 时， ≥0.
归纳总结：(1) ≥; (2)≥.
例3：解：由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0，
解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
例4：解：由题意得 ∴ x = 3. ∴ y = 8.
∴ 3x + 2y = 25. ∵ 25 的算术平方根为 5， ∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】解：由题意得 ∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
练一练：解：由题意得 3x - y - 1 = 0 且 2x + y - 4 = 0．解得 x = 1，y = 2．
∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9. ∴ x + 4y 的平方根为 ±3.
当堂检测
1. C 2. A 3. -1; 0
4. (1) ∵ a - 1≥0, ∴ a≥1. (2) ∵ 2a + 3≥0, ∴ a≥
(3) ∵ - a≥0, ∴ a≤0. (4) ∵5 - a＞0, ∴ a＜5.
5. (1) 解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，
解得 m≥2 且 m ≠ -2，m ≠ 2，∴ m＞2．
(2)解：由题意得 x2 + 6x + m≥0，
即 (x + 3 )2 + m- 9≥0.∵ (x + 3)2≥0，∴ m-9≥0，即 m≥9.6. 解：根据题意得 ∴ x = 1.
∵ y＜ ，∴ y＜
∴
7. 解：由题意得 则
解得 x≥2 或 x＜ ，即当 x≥2 或 x＜ 时， 有意义．
