文档内容
数学活动 估计心脏的跳动次数与用水量的均值与方差
1.掌握统计量（平均数等）的计算，提升数据处理能力.
2.理解样本与总体的关系，强化统计推断思维.
3.学会团队协作，用数学解决生活实际问题.
重点：统计量的计算、样本与总体关系的分析.
难点：用样本估计总体的合理性判断.
知识链接：复习平均数、中位数、众数、方差的概念及计算方法，
为活动奠基.
创设情境——见配套课件
探究点一：估计心脏的跳动次数（活动1）
某校八年级某班的数学活动课是《测心跳》.其中某组身体比较
强壮的六位男同学三次测得的数据如下表（每分钟心脏的跳动次
数）：
成员1 成员2 成员3 成员4 成员5 成员6
第一次 58 77 73 68 70 72
第二次 72 73 73 68 71 73
第三次 71 72 72 68 71 73
这组同学先计算出每人的三个数据的平均数（四舍五入取整数）分
别为：67、74、73、68、71、73.然后计算出这组数据的平均数、中
位数、众数、方差分别为：71、72、73、7.
最后的结论是：本校八年级同学的心跳平均约为71次每分钟，中位
数是72，心跳每分钟73次的人数最多，数据的波动不是很大，也就
是全年级同学的身体差异性不是很大.
根据统计知识，分析这组同学在活动过程中所犯的错误.解：①对数据的选取方法不正确；每一个人在平静的心情下心跳是
稳定的，成员1和成员2三次测得的数据相差太大，明显不正确，
其原因可能是没有测准，有可能是剧烈运动后刚坐下，心跳还没有
平稳，以三次平均数作为统计数据有较大偏差，应采集每人测得较
准的一次数据；
②样本不具备代表性；这一组同学都是男生，且都比较强壮很特殊，
不能代表全年级同学；
③样本容量太小，数据有偶然性，显示不出规律；像这里的众数73
没有任何意义.
探究点二：用水量的均值与方差（活动2）
把全班40名同学每组10人分成4组，合作完成下面的活动：
（1）各组收集本组每位同学所在家庭上个月的用水量，并计算本组
数据的平均数与方差.
第一组用水量数据（单位：吨）为5，5，6，6，7，7，8，8，9，
9，平均数7吨，方差2.
第二组用水量数据（单位：吨）为4，4，5，6，7，8，9，9，10，
10，平均数7.2吨，方差4.96.
第三组用水量数据（单位：吨）为6，6，7，7，8，8，9，9，10，
10，平均数8吨，方差2.
第四组用水量数据（单位：吨）为3，5，6，7，7，8，8，9，10，
12，平均数7.5吨，方差5.85.
（2）将各组数据汇总，计算全班数据的平均数与方差.
全班所有家庭上个月用水量数据为上述四组数据的合并，共 40 个
数据.平均数7.425吨，方差约3.84.
（3）横轴表示组编号，纵轴表示平均数，描出各组平均数所对应的
点，并画一条纵坐标为全班平均数的水平直线.观察点与直线的关系，
你有什么发现？如图，以横轴表示组号（1 － 4），纵轴表示平均数，描出各组平
均数（1，7）、（2，7.2）、（3，8）、（4，7.5）的散点，并画
一条纵坐标为7.425的水平直线（全班平均数）.
发现：各组平均数散点分布在全班平均数水平直线上下，第二组
7.2、第四组7.5接近全班平均数7.425，第一组7低于全班平均数，
第三组8高于全班平均数，体现出样本（各组）平均数与总体（全
班）平均数存在差异，同时也有部分组平均数较接近总体平均数.
（4）与平均数的表示类似，用统计图表示各组与全班数据的方差，
观察点与直线的关系，你有什么发现？
用统计图（如柱状图，横轴为组号，纵轴为方差）表示各组方差
2、4.96、2、5.85与全班方差3.84.发现：第一组、第三组方差小
于全班方差，数据相对更集中；第二组方差与全班方差较为接近；
第四组方差大于全班方差，数据离散程度更大.这表明不同样本（各
组）内部数据的离散程度与总体（全班）数据的离散程度存在差异.
（5）如果把每组数据作为样本，全班数据作为总体，请就用水量数
据，谈一谈样本的平均数和方差与总体的平均数和方差的关系，以
及抽样调查时应该注意的问题.
关系：样本平均数是总体平均数的估计值，当样本具有代表性（如
简单随机抽样）时，样本平均数会接近总体平均数；样本方差是总
体方差的估计值，具有代表性的样本方差会接近总体方差.抽样调查
注意事项：抽样要随机，样本容量要恰当，保证每个家庭被选入样
本组的概率相同，避免人为选择带来的偏差，使样本更好反映总体.
（6）全班数据的平均数和方差，能否作为全班同学所在家庭全年月
平均用水量的平均数和方差的估计？为什么？一般不能.因为一个月的用水量受季节（如夏季气温高，洗澡、洗衣
等用水多；冬季可能因取暖等）、家庭特殊活动（如某月有较多客
人来访）等因素影响，与全年其他月份用水量可能不同，仅用一个
月的班级平均用水量不能准确估计全年月均用水量，需收集更多月
份数据综合判断.
1.心率是指心脏每分钟跳动的次数.
我了解到，年轻人和无基础
运动心率是人体
疾病者，他们的最佳运动心
在运动时保持的
率（单位：次/分）的计算公
心率状态，它是
式为：
一个正常波动范
4
（220－现在年龄）× ＝最
围.保持最佳运 5
动心率对于运动 大运动心率；
效果和运动安全 3
（220－现在年龄）× ＝最
5
都很重要.
小运动心率.
（1）小明的哥哥今年20岁，身体健康无基础疾病，他的最大运动
心率和最小运动心率分别是多少次/分？
（2）王老师身体健康无基础疾病且喜欢运动，她按此公式计算出自
己的最大运动心率是153.6次/分，王老师的年龄是多少岁？
4 3
解：（1）（220－20）× ＝160（次/分）；（220－20）× ＝120
5 5
（次/分）.
答：他的最大运动心率为160次/分，最小运动心率为120次/分.
4
（2）由题意得：220－153.6÷ ＝220－192＝28（岁）.
5
答：王老师的年龄是28岁.
2.为了考查某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下（单
位：分）：87，90，98，74，89，90，85，80，90，93.
（1）这个问题中，总体、个体、样本各是什么？
（2）这个问题中，样本平均数、方差各是多少，并估计总体平均数
和方差.
解：（1）总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通
话成绩，样本是抽查的10人的普通话成绩.
（2）x＝（87＋90＋98＋74＋89＋90＋85＋80＋90＋93）÷10＝
876÷10＝87.6（分），
s2＝[（87－87.6）2＋（90－87.6）2＋（98－87.6）2＋（74－
87.6）2＋（89－87.6）2＋（90－87.6）2＋（85－87.6）2＋（80－
87.6）2＋（90－87.6）2＋（93－87.6）2]÷10＝40.64.
因此估计总体的平均数是87.6分，方差是40.64.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
