文档内容
第二十四章 数据的分析
数学活动 估计心脏的跳动次数与水量的均值与方差
【素养目标】
1.掌握统计量（平均数等）的计算，提升数据处理能力.
2.理解样本与总体的关系，强化统计推断思维.
3.学会团队协作，用数学解决生活实际问题.
重点：统计量的计算、样本与总体关系的分析.
难点：用样本估计总体的合理性判断.
【合作探究】
探究点一：估计心脏的跳动次数（活动1）
例1 某校八年级某班的数学活动课是《测心跳》.其中某组身体比较强壮的六位男同
学三次测得的数据如下表（每分钟心脏的跳动次数）：
成员1 成员2 成员3 成员4 成员5 成员6
第一次 58 77 73 68 70 72
第二次 72 73 73 68 71 73
第三次 71 72 72 68 71 73
这组同学先计算出每人的三个数据的平均数（四舍五入取整数）分别为：67、74、
73、68、71、73.然后计算出这组数据的平均数、中位数、众数、方差分别为：71、
72、73、7.
最后的结论是：本校八年级同学的心跳平均约为 71次每分钟，中位数是72，心跳每分
钟73次的人数最多，数据的波动不是很大，也就是全年级同学的身体差异性不是很大.
根据统计知识，分析这组同学在活动过程中所犯的错误.
探究点二：用水量的均值与方差（活动2）
例2 把全班40名同学每组10人分成4组，合作完成下面的活动：
第 1 页（1）各组收集本组每位同学所在家庭上个月的用水量，并计算本组数据的平均数与方
差.
（2）将各组数据汇总，计算全班数据的平均数与方差.
（3）横轴表示组编号，纵轴表示平均数，描出各组平均数所对应的点，并画一条纵坐
标为全班平均数的水平直线.观察点与直线的关系，你有什么发现？
（4）与平均数的表示类似，用统计图表示各组与全班数据的方差，观察点与直线的关
系，你有什么发现？
（5）如果把每组数据作为样本，全班数据作为总体，请就用水量数据，谈一谈样本的
平均数和方差与总体的平均数和方差的关系，以及抽样调查时应该注意的问题.
（6）全班数据的平均数和方差，能否作为全班同学所在家庭全年月平均用水量的平均
数和方差的估计？为什么？
当堂反馈
1.心率是指心脏每分钟跳动的次数.
第 2 页我了解到，年轻人和无基础疾病者，
运动心率是人体在运
他们的最佳运动心率（单位：次/分）
动时保持的心率状
的计算公式为：
态，它是一个正常波
4
（220－现在年龄）× ＝最大运动心
动范围.保持最佳运 5
动心率对于运动效果 率；
和运动安全都很重 3
（220－现在年龄）× ＝最小运动心
5
要.
率.
（1）小明的哥哥今年20岁，身体健康无基础疾病，他的最大运动心率和最小运动心
率分别是多少次/分？
（2）王老师身体健康无基础疾病且喜欢运动，她按此公式计算出自己的最大运动心率
是153.6次/分，王老师的年龄是多少岁？
2.为了考查某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下（单位：分）：
87，90，98，74，89，90，85，80，90，93.
（1）这个问题中，总体、个体、样本各是什么？
（2）这个问题中，样本平均数、方差各是多少，并估计总体平均数和方差.
参考答案
【合作探究】
探究点一：估计心脏的跳动次数（活动1）
例1 解：①对数据的选取方法不正确；每一个人在平静的心情下心跳是稳定的，成员
第 3 页1和成员2三次测得的数据相差太大，明显不正确，其原因可能是没有测准，有可能是
剧烈运动后刚坐下，心跳还没有平稳，以三次平均数作为统计数据有较大偏差，应采
集每人测得较准的一次数据；
②样本不具备代表性；这一组同学都是男生，且都比较强壮很特殊，不能代表全年级
同学；
③样本容量太小，数据有偶然性，显示不出规律；像这里的众数73没有任何意义.
探究点二：用水量的均值与方差（活动2）
例2 （1）第一组用水量数据（单位：吨）为5，5，6，6，7，7，8，8，9，9，平均
数7吨，方差2.
第二组用水量数据（单位：吨）为4，4，5，6，7，8，9，9，10，10，平均数7.2吨
方差4.96.
第三组用水量数据（单位：吨）为6，6，7，7，8，8，9，9，10，10，平均数8吨，
方差2.
第四组用水量数据（单位：吨）为3，5，6，7，7，8，8，9，10，12，平均数7.5吨
方差5.85.
（2）全班所有家庭上个月用水量数据为上述四组数据的合并，共 40 个数据.平均数
7.425吨，方差约3.84.
（3）
如图，以横轴表示组号（1 － 4），纵轴表示平均数，描出各组平均数（1，7）、
（2，7.2）、（3，8）、（4，7.5）的散点，并画一条纵坐标为7.425的水平直线（全
班平均数）.
发现：各组平均数散点分布在全班平均数水平直线上下，第二组7.2、第四组7.5接近
全班平均数7.425，第一组7低于全班平均数，第三组8高于全班平均数，体现出样本
（各组）平均数与总体（全班）平均数存在差异，同时也有部分组平均数较接近总体
平均数.
（4）用统计图（如柱状图，横轴为组号，纵轴为方差）表示各组方差2、4.96、2、
5.85与全班方差3.84.发现：第一组、第三组方差小于全班方差，数据相对更集中；第
二组方差与全班方差较为接近；第四组方差大于全班方差，数据离散程度更大.这表明
不同样本（各组）内部数据的离散程度与总体（全班）数据的离散程度存在差异.
（5）关系：样本平均数是总体平均数的估计值，当样本具有代表性（如简单随机抽
样）时，样本平均数会接近总体平均数；样本方差是总体方差的估计值，具有代表性
的样本方差会接近总体方差.抽样调查注意事项：抽样要随机，样本容量要恰当，保证
每个家庭被选入样本组的概率相同，避免人为选择带来的偏差，使样本更好反映总体.
（6）一般不能.因为一个月的用水量受季节（如夏季气温高，洗澡、洗衣等用水多；冬
季可能因取暖等）、家庭特殊活动（如某月有较多客人来访）等因素影响，与全年其
他月份用水量可能不同，仅用一个月的班级平均用水量不能准确估计全年月均用水量，
需收集更多月份数据综合判断.
当堂反馈
4 3
1.解：（1）（220－20）× ＝160（次/分）；（220－20）× ＝120（次/分）.
5 5
答：他的最大运动心率为160次/分，最小运动心率为120次/分.
4
（2）由题意得：220－153.6÷ ＝220－192＝28（岁）.
5
第 4 页答：王老师的年龄是28岁.
2.解：（1）总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通话成绩，样本是
抽查的10人的普通话成绩.
（2）x＝（87＋90＋98＋74＋89＋90＋85＋80＋90＋93）÷10＝876÷10＝87.6（分），
s2＝[（87－87.6）2＋（90－87.6）2＋（98－87.6）2＋（74－87.6）2＋（89－87.6）2＋
（90－87.6）2＋（85－87.6）2＋（80－87.6）2＋（90－87.6）2＋（93－87.6）2]÷10＝
40.64.
因此估计总体的平均数是87.6分，方差是40.64.
第 5 页
