文档内容
专题 13.5 角度计算中的经典模型【八大题型】
【人教版】
【题型1 双垂直模型】..............................................................................................................................................1
【题型2 A字模型】..................................................................................................................................................4
【题型3 8字模型】...................................................................................................................................................7
【题型4 飞镖模型】................................................................................................................................................10
【题型5 风筝模型】................................................................................................................................................14
【题型6 两内角角平分线模型】............................................................................................................................18
【题型7 两外角角平分线模型】............................................................................................................................21
【题型8 内外角角平分线模型】............................................................................................................................24
【知识点1 双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型1 双垂直模型】
【例1】（2025春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（ ）
又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （ ）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S ＝36．
△ABC
①求S ﹣S 的值；
△CEF △ADF
②四边形BDFE的面积是 ．
【变式1-1】（2025春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，
分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
【变式1-2】（2024•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完
整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【变式1-3】（2025春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，
且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交
AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【知识点2 A字模型】
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
【题型2 A字模型】
【例2】（2024•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣
∠2的度数为 ．
【变式2-1】（2025春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于
（ ）
A．180° B．230° C．290° D．295°
【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上
取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【变式2-3】（2025春•新野县期末）旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相
邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的
数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ 50 ° ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、
∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关
系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【知识点3 8字模型】
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【题型3 8字模型】
【例3】（2025春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A
＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°
【变式3-1】（2025春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB
和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理
由．
【变式3-2】（2025春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探
究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角
形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．
请将下面（1）中的证明补充完整
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．
请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于
M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2025春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，
作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
特例感悟：
（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．
解决问题：
①∠ABC＝ °；
②求证：AC⊥AB；
深入探究；
（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝ ；
拓展延伸：
（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关
系式．【知识点4 飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【题型4 飞镖模型】
【例4】（2025春•三明期末）探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向
点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”
图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一
个图形说明理由．
【变式4-1】（2025春•井研县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明
理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【变式4-2】（2025春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣
∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、
∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【变式4-3】（2024•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我
们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A
＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G…、G ，若∠BDC＝133°，∠BGC＝70°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
【知识点5 风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
【题型5 风筝模型】
【例5】（2025春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重
合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ °．
【变式5-1】（2025春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写
出∠1+2与∠A的关系： ．
（2）如图 2，把△ABC 分别沿 DE、FG 折叠，使点 A 落在点 A′处，使点 B 落在点 B′处，若
∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝ °
（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿
DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是 ．
1
A．∠BHC＝180°- （∠1+∠2）
2
B．∠BHC＝∠1+∠2
1
C．∠BHC＝90°+ （∠1+∠2）
2
D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2
（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2
＝100°，求∠BHC的度数．【变式5-2】（2025春•常州期中）已知△ABC是一张三角形的纸片．
（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存
在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎
样的数量关系？为什么？
【变式5-3】（2025春•姜堰市期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使
A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2
如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
【知识点6 两内角角平分线模型】【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.
1
∠I=90°+ ∠A
2
【结论】
1 1
∠2= ∠ABC ∠3= ∠ACB
2 2
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴ ∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
1 1 1 1
∠ABC ∠ACB (180°−∠A) 90°+ ∠A
2 2 2 2
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A+ + =∠A+ = .
【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（2025春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平
分线交于点O．则∠BOC＝ ．
【变式6-1】（2025春•昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，且相交于点O，
OH⊥BC于H，试问∠1＝∠2？请说明理由．
【变式6-2】（2025春•秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点
O．
（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
1
（2）求证：∠BOC＝90°+ ∠A．
2【变式6-3】（2025春•海淀区校级期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落
在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可
能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接
近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点P ，是否
n
存在某一正整数n，使得∠EPF＝90°？说明理由．
n【知识点7 两外角角平分线模型】【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
1
∠O=90°− ∠A
2
【结论】 .
1 1
∠2= ∠EBC ∠5= ∠FCB
2 2
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴ ，∵CO是∠FCB平分线，∴
1 1 1
∠EBC ∠FCB (180°−∠ABC)
2 2 2
由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°- - =180°- -
1 1 1 1
(180°−∠ACB) (∠ABC+∠ACB) (180°−∠A) ∠O=90°− ∠A
2 2 2 2
= = =
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（2024•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则
∠O＝ 度．
【变式7-1】（2025春•新北区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点
O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC
与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？【变式7-2】（2025春•江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至E，连
接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D的度数
是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．60°
【变式 7-3】（2025 春•丰县月考）如图，四边形 ABCD，BE、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和
∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【知识点8 内外角角平分线模型】【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
1
∠P= ∠A
2
【结论】
1 1
∠3= ∠ABC ∠1= ∠ACE
2 2
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
1
∠A
2
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……
③
1 1 1 1
∠P= ∠A (∠ABC+∠ACB) (180°−∠A) ∠O=90°− ∠A
2 2 2 2
比较②③式子可知： . = = .
【题型8 内外角角平分线模型】
【例8】（2025春•榕城区期末）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），
ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数
（ ）
A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°
【变式8-1】（2025春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝
∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BE∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，
B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【变式8-2】（2024•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD
的平分线交于点A ，得∠A ＝ ；∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ；…；
1 1 1 1 2 2
∠A BC的平分线与∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ，则∠A ＝ ．
2010 2010 2011 2011 2011
【变式8-3】（2025春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数
学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分
线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线
1
BE的交点，则有∠E= ∠A请补齐下方的说理过程．
2理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ （理由是：等式性质）
同理可得∠ABD＝∠A+∠ ．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
1 1
所以∠EBD= ∠ABD，∠ = ∠ACB．
2 2
1 1
所以 ∠ABD＝∠E + ∠ACB
2 2
1 1 1
即∠E= ∠ABD- ∠ACB= （∠ABD﹣∠ACB）
2 2 2
1
所以∠E= ∠A．
2
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、
∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．
①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；
②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．
