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第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
课程标准 学习目标
1. 掌握幂的乘方的运算的运算法则以及逆运算，并能够在题目
①幂的乘方 中熟练的应用解决相应的题目。
②积的乘方 2. 掌握积的乘方的运算的运算法则以及逆运算，并能够在题目
中熟练的应用解决相应的题目。
知识点01 幂的乘方
1. 幂的乘方的运算：
幂的乘方的运算法则，底数 不变 ，指数 相乘 。
(am) n = a mn
即 。（m、n都是正整数）
p
[ (a m) n]
= mnp
a
推广： 。（m、n...p都是正整数）
2. 幂的乘方的逆运算：a
mn
=
(am) n (an) m
= 。（m、n都是正整数）
【即学即练1】
1．计算：
（1）（102）3； （2）﹣（a2）4； （3）（x3）5•x3；
（4）[（﹣x）2]3； （5）（﹣a）2（a2）2； （6）x•x4﹣x2x3．
【分析】按照幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的法则计算即可．
【解答】解：（1）（102）3＝106；
（2）﹣（a2）4＝﹣a8；
（3）（x3）5•x3＝x15•x3＝x18；
（4）[（﹣x）2]3＝x6；
（5）（﹣a）2（a2）2＝a2•a4＝a6；
（6）x•x4﹣x2x3＝x5﹣x5＝0．
【即学即练2】
2．若ax＝3，ay＝2，则a2x+3y＝（ ）
A．108 B．54 C．36 D．72
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，可得a2x+3y＝a2x⋅a3y＝（ax）2⋅（ay）3，将
ax＝3，ay＝2代入即可求解．
【解答】解：∵ax＝3，ay＝2，
∴a2x+3y＝a2x⋅a3y＝（ax）2⋅（ay）3＝32×23＝9×8＝72．
故选：D．
【即学即练3】
3．已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝（34）11＝8111，
c＝433＝（43）11＝6411，
∴3211＜6411＜8111，
∴b＞c＞a，
故选：D．
【即学即练4】
4．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【分析】先化成相同的指数，再比较底数的大小．【解答】解：∵a＝212＝84，
b＝38＝94，
c＝74，
9＞8＞7，
∴b＞a＞c，
故选：B．
知识点02 积的乘方
1. 积的乘方：
积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 。
(ab) m = am ⋅bm
即： 。（m为正整数）
(abc) m = ambmcm
推广： 。（m为正整数）
2. 积的乘方的逆运算：
am ⋅bm
=
(ab) m
。（m为正整数）
【即学即练1】
5．计算：
（1）﹣（3m2nh3）2； （2）（﹣ab）5•（﹣ab）3； （3）（﹣3a2）3+（2a3）2．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方计算得到原式＝﹣a5b5•（﹣a3b3），然后根据同底数幂的乘法法则运
算；
（3）先根据幂的乘方与积的乘方计算得到原式＝﹣27a6+4a6，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣9m4n2h6；
（2）原式＝﹣a5b5•（﹣a3b3）
＝a8b8；
（3）原式＝﹣27a6+4a6
＝﹣23a6．
【即学即练2】
6．如果（am•b•bn）3＝a6b15，那么m，n的值分别是（ ）
A．2，4 B．2，5 C．3，5 D．3，﹣5
【分析】根据积的乘方法则得出3m＝6，3（n+1）＝15，求出即可．
【解答】解：∵（am•b•bn）3＝a6b15，
∴3m＝6，3（n+1）＝15，
解得：m＝2，n＝4，故选：A．
【即学即练3】
计算 ＝ ﹣ 2 ．
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝（﹣ ）2023×（﹣2）2023×（﹣2）
＝[（﹣ ）×（﹣2）]2023×（﹣2）
＝12023×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
题型01 幂的乘方的运算
【典例1】计算（aa）3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
【分析】先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，然后根据幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a，
故选：D．
【变式1】（﹣an）2n（n取正整数）的结果是（ ）
A．﹣a3n B．a3n C． D．
【分析】根据n取正整数，则2n为偶数，则 ，据此即可作答．
【解答】解：∵n取正整数，
则2n为偶数，
∴ ，
故选：D．
【变式2】计算（﹣a）3•（a3）2的结果是（ ）
A．a5 B．a9 C．﹣a9 D．a18
【分析】分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（﹣a）3•（a3）2＝﹣a3•a6＝﹣a9．故选：C．
【变式3】计算
①（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3 ②（y2）3+（y3）2﹣y•y5
③（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2a4 ④[（a+b）2]3•[（a+b）2]4
⑤﹣a6•a5•a+5（a3）4﹣3（a3）3•a2•a．
【分析】①先根据幂的乘方得到原式＝a6•a6•（﹣a6），然后根据同底数幂的乘法法则运算；
②先根据幂的乘方得到原式＝y6+y6﹣y6，然后合并同类项即可；
③先根据幂的乘方得到原式＝﹣a6+a6﹣a6，然后合并同类项即可；
④先根据幂的乘方得到原式＝（a+b）6•（a+b）8，然后根据同底数幂的乘法法则运算；
⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式＝﹣a12+5a12﹣3a12，然后合并同类项即可．
【解答】解：①原式＝a6•a6•（﹣a6）
＝﹣a18；
②原式＝y6+y6﹣y6
＝y6；
③原式＝﹣a6+a6﹣a6
＝﹣a6；
④原式＝（a+b）6•（a+b）8
＝（a+b）14；
⑤原式＝﹣a12+5a12﹣3a12
＝a12．
题型02 积的乘方的运算
【典例1】计算（ab4）2的结果正确的是（ ）
A．a2b4 B．a2b8 C．2a2b8 D．2ab4
【分析】根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝a2•（b4）2
＝a2b8，
故选：B．
【变式1】计算（﹣xy3）2的结果是（ ）
A．x2y6 B．xy6 C．x2y5 D．﹣xy5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝x2y6．
故选：A．
【变式2】计算：（1）（x3y3）m； （2）（﹣5x3y）2； （3）（3×104）4；
（4） ； （5） ； （6） ．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（3）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（4）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（5）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（6）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（x3y3）m
＝x3my3m；
（2）（﹣5x3y）2
＝25x6y2；
（3）（3×104）4
＝81×1016
＝8.1×10×1016
＝8.1×1017；
（4）
＝ x2y6z4；
（5）
＝﹣ a3mb3n；
（6）
＝ x2ny6n+x2ny6n
＝ x2ny6n．
题型03 巧用幂的乘方的逆运算求值
【典例1】若am＝3，an＝2，则a2m+n的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．【解答】解：∵am＝3，an＝2，
∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝32×2＝9×2＝18．
故选：D．
【变式1】已知2m+3n＝6，则4m•8n＝（ ）
A．16 B．25 C．32 D．64
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，即可解答．
【解答】解：4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝26＝64，
故选：D．
【变式2】若3m＝a，9n＝b，且m，n都是正整数，则32m+2n＝（ ）
A．ab B．ab2 C．a2b D．a2b2
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数
相加；据此计算即可．
【解答】解：∵3m＝a，9n＝b，且m，n都是正整数，
∴32m+2n＝32m×32n＝（3m）2×（3n）2＝（3m）2×9n＝a2b．
故选：C．
【变式3】已知273×94＝3x，则x的值为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：∵273×94＝（33）3×（32）4＝39×38＝3x，
∴x＝9+8，
∴x＝17．
故选：A．
【变式4】已知3m＝a，27n＝b，则a2b＝（ ）
A．32（m+3n） B．32m+3n C．36mn D．32m+27n
【分析】先根据已知条件，把a，b都用底数是3的幂表示，然后代入所求整式，再利用幂的乘法法则
和同底数幂相乘法则进行计算即可．
【解答】解：∵3m＝a，27n＝b，
∴3m＝a，33n＝b，
∴a2b
＝（3m）2•33n
＝32m•23n
＝32m+3n，
故选：B．
题型04 巧用积的乘方的逆运算求值【典例1】若（2ambn）3＝8a9b15成立，则（ ）
A．m＝6，n＝12 B．m＝3，n＝12 C．m＝3，n＝5 D．m＝6，n＝5
【分析】先计算出积的乘方，再利用相同字母的幂相等即可求得结果．
【解答】解：∵（2ambn）3＝8a3mb3n＝8a9b15，
∴3m＝9，3n＝15，
解得m＝3，n＝5．
故选：C．
【变式1】计算 的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】先将 转化为 ，再将 化成 ，再逆用积的乘方法则
计算，即可求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ，
故选：C．
【变式2】﹣0.1252024×（﹣8）2025的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8
【分析】将原式变为﹣0.1252024×（﹣8）2024×（﹣8），然后逆用积的乘方法则计算即可．
【解答】解：﹣0.1252024×（﹣8）2025
＝﹣0.1252024×（﹣8）2024×（﹣8）
＝﹣（﹣1）2024×（﹣8）
＝8．
故选：C．
【变式3】计算 的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝ ．
故选：D．
题型05 对不同底数换底计算
【典例1】如果4n＝28，那么n的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．无法确定
【分析】根据幂的乘方的计算方法得到4n＝（22）2＝22n＝28，进而得到2n＝8即可．
【解答】解：∵4n＝（22）2＝22n＝28，
∴2n＝8，
解得n＝4．
故选：A．
【变式1】已知a+2b﹣3＝0，则3a•9b等于（ ）
A．24 B．27 C．54 D．81
【分析】由已知条件得到a+2b＝3，将3a•9b变形为3a+2b，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a+2b﹣3＝0，
∴a+2b＝3，
∴3a•9b
＝3a•（32）b
＝3a•32b
＝3a+2b
＝33
＝27，
故选：B．
【变式2】若a+3b﹣3＝0，则3a×27b的值为（ ）
A．27 B．9 C．6 D．3
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵a+3b﹣3＝0，
∴a+3b＝3，∴3a×27b
＝3a×（33）b
＝3a×33b
＝3a+3b
＝33
＝27，
故选：A．
【变式3】已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．ab3 D．a+b3
【分析】根据题意可得 23m＝a，24n＝b，再根据同底数幂乘法的逆运算可得 23m+12n＝23m×212n＝23m×
（24n）3＝ab3．
【解答】解：∵8＝23，16＝24，
∴（23）m＝23m＝a，（24）n＝24n＝b，
∴23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3，
故选：C．
【变式4】若3×92m×27m＝322，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：3×92m×27m＝322，
3×34m×33m＝322，
31+4m+3m＝322，
∴1+4m+3m＝22，
解得：m＝3，
故选：A．
题型06 比较幂的大小关系
【典例1】若m＝260，n＝340，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【分析】逆用幂的乘方法则将m、n分别变形为m＝820，n＝920，然后比较底数即可得出结果．
【解答】解：∵m＝260＝（23）20＝820，n＝340＝（32）20＝920，
又∵820＜920，
∴m＜n，
故选：A．
【变式1】已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定．
【解答】解：因为a＝8131＝（34）31＝3124，
b＝2741＝（33）41＝3123，
c＝961＝（32）61＝3122，
因为124＞123＞122，
所以a＞b＞c．
故选：A．
【变式2】已知a＝355，b＝444，c＝533，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝355＝（35）11＝24311，
b＝444＝（44）11＝25611，
c＝533＝（53）11＝12511，
又∵256＞243＞125，
∴b＞a＞c，
故选：A．
【变式3】若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据
指数的大小即可比较大小．
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
则a＞b＞c．
故选：A．
【变式4】已知a＝3232，b＝1642，c＝852，则a，b，c之间的大小关系是 c ＜ a ＜ b ．（用“＜”连
接）
【分析】根据幂的乘方法则把各式变为同底数的幂进行比较即可
【解答】解：a＝3232＝（25）32＝2160，b＝1642＝（24）42＝2168，c＝852＝（23）52＝2156，
∵a、b、c的底数相同，
∴2168＞2160＞2156，
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．1．下列计算正确的是（ ）
A．m3•m＝m3 B．m2﹣m＝m2
C．（m3）2＝m3 D．（﹣2m）2＝4m2
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项法则；幂的乘方，底数不变，指数相乘；
积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求
解．
【解答】解：A、m3•m＝m4，故此选项不符合题意；
B、m2与m不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、（m3）2＝m6，故此选项不符合题意；
D、（﹣2m）2＝4m2，故此选项符合题意；
故选：D．
2．若（3ambm﹣n）2＝9a4b8成立，则（ ）
A．m＝2，n＝﹣2 B．m＝﹣2，n＝﹣2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝2
【分析】先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于 m，n的方程
即可求解．
【解答】解：∵（3ambm﹣n）2＝9a2mb2m﹣2n＝9a4b8，
∴2m＝4，2m﹣2n＝8，
∴m＝2，
把m＝2代入2m﹣2n＝8，
解得n＝﹣2．
故选：A．
3．计算 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：
＝
＝ ；
故选：B．4．已知：2m+3n＝4，则4m•8n＝（ ）
A．16 B．25 C．32 D．64
【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把4m•8n进行变形后，再整体代入即可．
【解答】解：∵2m+3n＝4，
∴4m•8n＝（22）m•（23）n＝22m•23n＝22m+3n＝24＝16，
故选：A．
5．已知9m＝4，27n＝10，则32m+3n＝（ ）
A．14 B．30 C．40 D．60
【分析】根据幂的乘方法则可得32m＝4，33n＝10，再结合同底数幂的乘法法则求解即可．
【解答】解：∵9m＝4，27n＝10，
∴（32）m＝4，（33）n＝10，即32m＝4，33n＝10，
∴32m+3n＝32m⋅33n＝4×10＝40；
故选：C．
6．已知a＝961，b＝2741，c＝8131，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【分析】根据幂的乘方法则变为同底数的幂，再比较即可．
【解答】解：a＝961＝（32）61＝3122，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝8131＝（34）31＝3124，
∵a、b、c的底数相同，
∴c＞b＞a．
故选：C．
7．已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（ ）
A．±8 B．±4 C．4 D．8
【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵x2n+m＝128，
∴（xn）2•xm＝128，
又∵xm＝8，
∴（xn）2×8＝128，
∴（xn）2＝16，
∴xn＝±4．
故选：B．
8．已知a＝2444，b＝3333，c＝6222，比较a、b、c的大小（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论．
【解答】解：a＝2444＝（24）111＝16111，b＝3333＝（33）111＝27111，c＝6222＝（62）111＝36111，
∵16＜27＜36，∴a＜b＜c；
故选：A．
9．已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．2x+y＝z B．xy＝3z C．2x+y＝3z D．2xy＝z
【分析】可得32x＝a，3y＝b，33z＝ab，从而可得32x+y＝33z，即可求解．
【解答】解：∵9x＝a，3y＝b，27z＝ab，
∴32x＝a，3y＝b，33z＝ab，
∴32x•3y＝33z，
∴32x+y＝33z，
∴2x+y＝3z；
故选：C．
10．已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝27×3，得到a+2c＝7，b＝1，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，
进而求出答案．
【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝27×3，
∴a+2c＝7，b＝1，
∵a，b，c为正整数，
∴当c＝1时，a＝5；
当c＝2时，a＝3；
当c＝3时，a＝1，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
11．已知2a＝3，2a+b+1＝30，则22b＝ 2 5 ．
【分析】先逆用同底数幂乘法法则以及已知条件可得2b＝5，然后再逆用幂的乘方即可解答．
【解答】解：根据题意可知2a×2b×2＝30，3×2b×2＝30，
∴2b＝5，
∴22b＝（2b）2＝52＝25．
故答案为：25．
12．若x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝ 2 7 ．
【分析】由x+3y﹣3＝0可得x+3y＝3，把x+3y当做一个整体代入3x•27y＝3x+3y计算即可．
【解答】解：∵x+3y﹣3＝0，
∴x+3y＝3，
∴3x•27y＝3x+3y＝33＝27，
故答案为：27．13．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出3个数a，b，c之间的三个关系式：
①a+c＝2b；
②b＝a+2；
③a+b＝2c﹣3．
其中正确的关系式是 ①③ （填序号）．
【分析】根据幂的乘方以及他说同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵2c＝12＝3×4＝2a×22＝2a+2，2c＝12＝6×2＝2b×2＝2b+1，
∴c＝a+2，c＝b+1，
∴a+c＝2a+2＝2b，b＝a+1，a+b＝2c﹣3，
故答案为：①③．
14．已知2m＝a，32n＝b，其中m、n均为正整数，则23m+10n＝ a 3 b 2 ．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．
【解答】解：∵2m＝a，32n＝b，
∴23m+10n
＝（2m）3•（25）2n
＝（2m）3•322n
＝（2m）3•（32n）2
＝a3b2，
故答案为：a3b2．
15．已知50a＝20，8b＝20，则 ＝ 2 ．
【分析】先把已知条件的两个等式分别b次方和a次方，然后把所得结果写成同底数幂的形式，得出关
于ab＝a+b，然后把分式通分，再整体代入约分即可．
【解答】解：∵50a＝20，8b＝20，
∴（50a）b＝20b，（8b）a＝20a，
即50ab×8ab＝20b×20a，
（50×8）ab＝20a+b，
400ab＝20a+b，
（202）ab＝20a+b，
202ab＝20a+b，
∴2ab＝a+b，
∴
＝＝
＝
＝2，
故答案为：2．
16．（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值；
（2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025．
【分析】（1）化简a2m+n＝（am）2×an，再将已知代入即可；
（2）由24m＝22n，33n＝3m+5，可得n＝2m，3n＝m+5，求出m、n的值即可求解．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，
∴原式＝a2m×an
＝（am）2×an
＝22×3
＝4×3
＝12；
（2）∵16m＝4×22n﹣2，
∴24m＝22×22n﹣2＝22n，
∴n＝2m，
∵27n＝9×3m+3，
∴33n＝3m+5，
∴3n＝m+5，
∴6m＝m+5，
∴m＝1，
∴n＝2，
∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1．
17．定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b．如：3 32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规
则解决下列问题：
⊕ ⊕
（1）求22 23的值；
（2）2p＝3⊕ ，2q＝5，3q＝6，求2p 2q的值．
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
⊕
（2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）22 23
＝22×3+22+3
⊕
＝26+25＝64+32
＝96；
（2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时．
2p 2q
＝ ⊕2pq+2p+q
＝（2p）q+2p×2q
＝3q+3×5
＝6+15
＝21．
18．下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：45×（﹣0.25）5．
解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1．
（1）计算：
①82022×（﹣0.125）2022；
② ；
（2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值．
【分析】（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；
②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．
【解答】解：（1）①82022×（﹣0.125）2022＝[8×（﹣0.125）]2022＝（﹣1）2022＝1；
②原式＝
＝
＝
＝ ；
（2）∵3×9n×81n＝325
∴3×（32）n×（34）n＝325，
∴36n+1＝325，
∴6n+1＝25，
解得：n＝4．
19．比较2100与375的大小．解：因为2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，
因为16＜27，
所以2100＜375．
请根据上述解答过程接解答．
（1）比较255，344，433的大小；
（2）a＝833，b＝1625，c＝3219，比较a，b，c的大小．
【分析】（1）由题意可得255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，由32＜64＜
81即可得到答案；
（2）幂的乘方法则得到a＝833＝299，b＝1625＝2100，c＝3219＝295，比较指数大小即可得到答案．
【解答】解：（1）255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344；
（2）a＝833＝（23）33＝299，b＝1625＝（24）25＝2100，c＝3219＝（25）19＝295，
∵295＜299＜2100，
∴c＜a＜b．
20．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，
所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，16）＝ 2 ，（8，1）＝ 0 ，（ 3 ， ）＝﹣2．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），
小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（32，100000）﹣（8，1000）；
②请尝试运用这种方法证明（2024，15）＝（2024，3）+（2024，5）．
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的
底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数
幂的乘法中“指数相加”的区别．
【解答】（1）解：∵42＝16，∴（4，16）＝2；
∵80＝1，∴（8，1）＝0；
∵3﹣2＝ ，∴（3，）＝﹣2；
故答案为：2，0，3；（2）①解：（32，100000）﹣（8，1000）
＝（25，105）﹣（23，103）
＝（2，10）﹣（2，10）
＝0；
②证明：设2024x＝3，2024y＝5，则2024x•2024y＝2024x+y＝3×5＝15
所以（2024，3）＝x，（2024，5）＝y，（2024，15）＝x+y，
∴（2024，3）+（2024，5）
＝x+y
＝（2024，15），
即（2024，15）＝（2024，3）+（2024，5）．
