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圆章末检测卷
考试范围：第24章 ；考试时间：120分钟；姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·河北廊坊·一模）如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度
数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OA DE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，
难度不大．
2．(本题4分)（2022·上海金山区世界外国语学校一模）如图， 是弧 所在圆的圆心．已知点B、C将
弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）A． B． C． D． ．
【答案】B
【分析】利用三等分点得到 ，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断
B；根据 即可判断C；根据 ，得到 ，由此判断D．
【详解】解：连接AB、BC，OB，
∵点B、C将弧AD三等分，
∴ ，
∴ ，故A选项正确；
∵ ，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2CD，故B选项错误；
∵ ，
∴ ，故C选项正确；∵ ，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴ ，
∴ ，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量
也对应相等．
3．(本题4分)（2022·全国·九年级专题练习）一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径
OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
【答案】B
【分析】由垂径定理可知，CD垂直平分AB，再用勾股定理算出答案即可．
【详解】∵CD垂直平分AB，
∴AD＝ ＝8m
∴OD＝ ＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，找出CD垂直平分AB是本题的关键．
4．(本题4分)（2022·广西梧州·九年级期末）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则
∠C＝（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【分析】⊙O的内接四边形性质对角和180°，加上已知条件∠A：∠C＝1：2，即可求得∠C．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°
又∵∠A：∠C＝1：2
∴∠C=120°
故选：A．
【点睛】此题考查了⊙O的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解．
5．(本题4分)（2022·福建宁德·八年级期中）用反证法证明命题“在 中，若 ，则
”时，首先应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：用反证法证明命题“若在△ABC中， ，则 ”时，首先应假设∠B=∠C，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注
意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一
一否定．
6．(本题4分)（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三
个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【分析】利用垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【详解】解：①不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题错误；
②任意一个三角形内心一定在三角形内部，故命题正确；
③三角形的外心是三角形的三边的中垂线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，故命题正确；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故命题错误．
则正确的是：②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆，要注意到垂径定理叙述中：被平分
的弦必须不是直径．
7．(本题4分)（2022·江苏·九年级专题练习）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．41° C．49° D．50°
【答案】A
【分析】如图所示，根据正六边形可以得到∠5=60°，∠1+∠3=120°，根据三角形外角性质求出∠4，即可
得到∠2的度数．
【详解】如图所示，∵六边形为正六边形
∴∠1+∠3=120°，∠5=60°
∵∠1=20°
∴∠3=100°
∵∠3=∠4+∠5
∴∠4=100°-60°=40°
∵光线平行
∴∠2=∠4=40°．
故选A．
【点睛】本题考查正六边形的内角、外角，平行线的性质、三角形的外角，关键在于灵活运用三角形外角
性质和平行线性质是关键．
8．(本题4分)（2022·云南红河·九年级期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，
若圆锥的底面圆的半径 cm，扇形的圆心角 为120°，则该圆锥的母线l长为（ ）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】C
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长结合弧长公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得：l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
9．(本题4分)（2022·广西贺州·中考真题）如图，在等腰直角 中，点E在OA上，以点O为圆心、
OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为 ，则EF的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出 ，然
后由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，∴
，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合
运用这些知识点是解题关键．
10．(本题4分)（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，
则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可．
【详解】解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴ ， ， ，因此每个正六边形的面积为： ，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积： ．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为 ，
矩形的面积为： ，
因此图中阴影部分的面积是： ，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在⊙O中，直径AB的长为10，弦CD的长为6，且
AB⊥CD于E，则AE的长为_____．
【答案】9
【分析】连接 ，先求出圆的半径 ，再利用垂径定理可得 ，然后利用勾股定
理可得 ，最后根据线段和差即可得．
【详解】解：如图，连接 ，的直径 的长为10，
，
弦 的长为6，且 于 ，
，
在 中， ，
则 ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
12．(本题5分)（2022·河北保定·九年级期末）如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且
AB∥CD，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE+CG的长等于_____________
【答案】10cm##10厘米
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，
再结合切线长定理即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠BOC=90°，
在Rt BOC中，
△
BC= =10，
∴BE+CG=10(cm)．
故答案为：10cm．【点睛】此题主要是考查了切线长定理．熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和
这点的连线平分两条切线的夹角是解决问题的关键．
13．(本题5分)（2022·江苏·九年级）如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，
内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形
的面积是 _____平方分米．
【答案】
【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为 1 6 （平方分米），
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形与圆，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的边角关系以
及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
14．(本题5分)（2021·江西景德镇·九年级期中）一动点 在二次函数 的图像上自由滑动，
若以点 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点 的坐标为______．
【答案】 或 或【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当 与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二次方程，
解方程即可；②当 与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上即可求解．
【详解】解：如图所示：
则可分两种情况：
①当 与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令 ，
解得 ， ，
此时点P的坐标为： 或 ，
②当 与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为： 或 ，
综上所述：点P的坐标为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想
解决问题是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2019·江西·八年级期末）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成
的两个新月形，已知S+S ＝5，且AC+BC＝6，求AB的长．
1 2
【答案】 .【分析】根据勾股定理得到 ，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】 ，∵ ，
∴ ，
即： ，
根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则
，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2．
16．(本题8分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中， ＝ ，∠BOC＝120°．求证：△ABC
是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】根据 ＝ ，可得AB=AC，再由圆周角定理可得 ，即可求证．
【详解】证明：∵ ＝ ，
∴AB=AC，
∵∠BOC＝120°．∴ ，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
17．(本题8分)（2022·江西赣州·九年级期末）（1）解方程： ．
（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的
长．
【答案】（1） ， ；（2）r＝5．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先由垂径定理得AD=4，由于OD=r－2，则利用勾股定理得到62+（r－2）2=r2，然后解方程即可．
【详解】解：（1）∵x（x－4）＝0，
∴x＝0或x－4＝0，
∴ ， ．
（2） 并经过圆心O，
∴ ， ，
在Rt OAD中， ，
△
解得r＝5．
【点睛】本题考查解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程、垂径
定理与勾股定理结合求线段长是解题的关键．
18．(本题8分)（2021·辽宁大连·九年级期末）已知：如图，AB是 的直径，点C在 上，BD平分
ABC，AD＝AE，AC与BD相交于点E．(1)求证：AD是 的切线．
(2)若AD＝DE＝2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据AB是 的直径，可得 C＝90°，由BD平分 ABC，可得 CBD＝ ABD，根据AD
＝AE，可得 CEB＝ DEA，进而可得 BAD＝90°，即可得证；
（2）连接AF，根据等腰三角形的性质可得DF＝ DE＝1，勾股定理求得 ，证明△AEF≌△BEC，即可
求解．
（1）∵AB是 的直径，∴ C＝90°，∴ CBE＋ CEB＝90°，∵BD平分 ABC，∴ CBD＝ ABD，
∵AD＝AE，∴ D＝ AED，∵ CEB＝ DEA，∴ ABD＋ D＝ CBE＋ CEB＝90°，即 BAD＝
90°，∴AD是⊙O的切线 ，
（2）连接AF，如图， ∵AB是 的直径，∴ AFB＝90°，即 ， ∵AD＝DE＝2，
∴DF＝ DE＝1， 在 中，AD＝2，DF＝1，∴AF＝ ＝ ， ∵ DBA＋ D＝
EAB＋ DAE ＝ 90°， D＝ DAE＝60°，∴ DBA＝ EAB，∴AE＝BE， 又 AFE＝ C＝90°，
AEF＝ CEB，∴△AEF≌△BEC（AAS）， ∴BC＝AF＝ ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握
以上知识是解题的关键．
19．(本题10分)（2019·湖北·中考模拟）如图，点A（0，6），B（2，0）．C（4，8），D（2，4），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE．
（1）画出线段CE，并计算线段CD所扫过的图形面积；
（2）将线段AB平移得到线段CF，使点A与点C重合，写出点F的坐标，并证明CF平分∠DCE．
【答案】（1）画图见解析，5π；（2）F（6，2），证明见解析
【分析】（1）画出线段CE，利用扇形的面积公式计算即可．
（2）画出线段CF，利用SSS证明 CFD≌△CFE即可．
【详解】解：（1）线段CE如图所△示．
线段CD所扫过的图形面积＝ ＝5π．
（2）线段CF如图所示，F（6，2）．
连接DF，EF，
由题意：DF＝EF，CD＝CE，CF＝CF，
∴△CFD≌△CFE（SSS），
∴∠FCD＝∠FCE，
∴CF平分∠DCE．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，扇形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．(本题10分)（2022·四川成都·二模）图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD垂直AB,垂足为D，
在AC延长线上取点E，使∠CBE=∠BAC．(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，BE＝6，求⊙O的半径OA．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，然后证明∠ABE＝90°即可；
（2）连接OC，设OA＝r，证明△ADC∽△ABE，根据相似三角形对应线段成比例求出AD的长，进而得到
OD的长，在Rt△OCD中，根据勾股定理列方程，解方程即可得出答案．
(1)
证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠CBE＝∠BAC，
∴∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴BE是⊙O的切线；
(2)
解：连接OC，设OA＝r，
∵∠CDA＝∠ABE＝90°，∠BAF＝∠DAC，
∴△ADC∽△ABE，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在Rt△OCD中，OD2+CD5＝OC2，
∴ ，
∵r＞0，
∴ ，
∴OA＝3 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，在Rt△OCD中，根据勾股定理列出方程
是解题的关键．
21．(本题12分)（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一
个单位长度，在平面直角坐标系内， △ABO的三个顶点坐标分别为A(-1，3)，B(-4，3)，O(0，0)．
(1)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1O；
(2)在（1）的条件下，求点A旋转到点A1所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)作图见解析(2)
【分析】（1）先画出A点和B点绕点O顺时针旋转90°的对应点，再连接A1B1、B1O、A1O即可；
（2）点A旋转到点A1所经过的路径是一段弧，圆弧对应的半径OA= ，圆心角∠AOA =90°，根据圆弧
1
的计算公式即可得出答案．
（1）如图，△A1B1O即为所求
（2）依题意：∠AOA =90°，OA= ∴点A旋转到A 所经过的路径长为：
1 1
【点睛】本题考查了旋转作图，熟练掌握性质是本题的关键．
22．(本题12分)（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中， ABC 的三个
顶点坐标分别是 A（1，1）， B（4，1）， C（3，3）．
(1)将ABC 向下平移 5 个单位长度后得到 ABC ，请画出 ABC ；
1 1 1 1 1 1
(2)将ABC 绕原点O 顺时针旋转90 后得△到 A
2
B
2
C
2
，请画△出 A
2
B
2
C
2
；
(3)直接写出点C 旋转到C 2 所经过的路径长为△ ． △
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可画出 ABC ；
1 1 1
（2）依据旋转方向、旋转角度和旋转中心，即可△画出 A
2
B
2
C
2
；
（3）利用弧长计算公式求出点C旋转到C所经过的路△径长．
(1)
解：如图所示， ABC 即为所求；
1 1 1
△
；
(2)
解：如图所示， ABC 即为所求；
2 2 2
(3) △
解：点C旋转到C 所经过的路径长为 ．
2
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、
平移距离．平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，
再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．(本题14分)（2022·湖南·长沙市南雅中学九年级期中）已知顶点为M（1， ）的抛物线
经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．(1)求抛物线的解析式；
(2)若P（ ， ），Q（ ， ）是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求m的
取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心
为I，试求CI的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)CI的最小值为
【分析】（1）利用顶点式求抛物线的解析式；
（2）由已知并结合函数图象可得： ，求解即可；
（3）连接DI，AI，OI，根据内心定义得到∠DIA=135°，证明 ，得到
∠OIA=∠DIA=135°，确定I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，求出N（2，－2），连
接NC得到 ，当C、I、N三点共线时，CI最小，即可求出CI的最小值．
(1)
设抛物线的解析式为 ，将C（0，4）代入，得 ．
∴ ，
∴ 抛物线的解析式为 ；
(2)
由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又 ，
时，均有 ，
结合函数图象可得： ，解得： ；
(3)
连接DI，AI，OI，
∵I为△ADG的内心，
所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI，
又∵IA=IA，DA=OA，
∴ ，
∴∠OIA=∠DIA=135°，
∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，
又A（4，0），OA=4，
∴在等腰Rt△AON中， ，
∴ N（2，－2）， ，
连接NC，
∴ ，
∴当C、I、N三点共线时，CI最小，
∴CI的最小值为 ．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，待定系数法求抛物线的解析式，三角形内心的理解，三点共线问
题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
