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第二课时——中心对称（答案卷）
知识点一：中心对称的定义 ：
如图，把一个图形绕着某个点旋转 180 ° ，如果它能够与另一个图形 完全 重合 ，
那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这两个图
形中的对应点叫做关于对称中心的 对称点 。
即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与
△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A' ，B与
B' ，C与C' 都是对称点，
特别提示：中心对称是两个全等图形的位置关系。
【类型一：概念理解】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必重合
C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同
D．旋转后能重合的两个图形成中心对称
【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．
【解答】解：A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不
一定成中心对称，故错误；
B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错
误；
C、正确；
D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误．故选：C．
【类型二：判断中心对称】
2．下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是平移变换图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．下列选项中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
个点对称或中心对称，根据中心对称的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：D、两个三角形成中心对称，故本选项符合题意；
B、两个三角形成轴对称，故本选项不合题意；A、两个三角形是平移前后的图形，故本选项不合题意；
C、两个三角形是旋转前后的图形，故本选项不合题意；
故选：A．
4．如图所示的图形是由三个半圆组成的，点O是大半圆的圆心，且AC＝CD＝BD，与
此图形关于点O成中心对称的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点，依此即可
求解．
【解答】解：观察图形可知，与此图形关于点O成中心对称的图形是 ．
故选：C．
知识点一：中心对称的性质：
性质1：关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。
性质2：关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被
对称中心 平分 。
即： 。
性质3：对应边 平行或共线 。【类型一：中心对称的性质理解】
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠ACB＝∠C′A′B′ D．△ABC≌△A′B′C′
【分析】根据中心对称的性质解答．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O′，△ABC≌△A′B′C′，∠ACB＝∠A′B′C′，
∴结论∠ACB＝∠C′A′B′错误．
故选：C．
6．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
【分析】根据中心对称的性质即可判断．
【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
7．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
【分析】根据中心对称的性质一一判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故A，B，C正确，
故选：D．
8．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO＝BO
B．BO＝EO
C．点A关于点O的对称点是点D
D．点D 在BO的延长线上
【分析】根据中心对称的性质：中心对称点平分对应点连线的线段解答即可．
【解答】解：A、AO＝OE，错误；
B、BO＝DO，错误；
C、点A关于点O的对称点是点E，错误；
D、点D 在BO的延长线上，正确；故选：D．
【类型二：利用中心对称的性质求值】
9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝2，则DE＝ ．
【分析】根据中心对称的性质以及全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴CA＝CD，CB＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝2，
∴DE＝2，
故答案为2．
10．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝ ＝2 ，
故答案为2 ．
11．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是
．
【分析】根据成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等可得．
【解答】解：依题意有△DOC的面积等于△AOB的面积是6，CD＝AB＝3．
根据三角形的面积公式，则CD边上的高是6×2÷3＝4．
故答案为：4．
12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O且互相垂直平分，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕点C
旋转180°得到△B'O'C，连接AB'，则AB'的长为 ．
【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，可得AC⊥BD，所以∠BOC＝
90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，所以∠CO′B′＝∠BOC＝90°，AO′＝6，
OB′＝8，再根据勾股定理即可求出AB'的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝ AC＝2，
∴AO′＝6，
∵OB＝OD＝O′B′＝ BD＝8，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得
AB′＝ ＝10．
故答案为：10．
【类型二：利用中心对称的性质求坐标】
13．在平面直角坐标系中，点P（4，1）关于点（2，0）中心对称的点的坐标是 ．
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合平面直角坐标系得出答案．
【解答】解：如图所示：点P（4，1）关于点（2，0）中心对称的点的坐标是：（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
14．如图，将△ABC绕点D旋转180°得到△A'B'C'，若点A（﹣2，3），点A'（0，﹣1），则点D的坐标
是 ．【分析】设D（m，n），利用确定坐标公式，构建方程求解即可．
【解答】解：设D（m，n），
∵AD＝DA′，A（﹣2，3），点A'（0，﹣1），
∴m＝ ＝﹣1，n＝ ＝1，
∴D（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
15．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的
坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【分析】运用中点坐标公式求答案．
【解答】解：设C（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴ ， ，
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
故选：B．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【分析】根据点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于
（﹣1，0）对称，得出△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称．
【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点
C′关于（﹣1，0）对称，
所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
故选：B．
17．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，3），则点A'的坐标为
（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣1，2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣1）
【分析】设A′（m，n），利用确定坐标公式，构建方程求解即可．
【解答】解：设A′（m，n），
∵AC＝CA′，A（﹣2，3），C（0，1），
∴ ＝0， ＝1，
∴m＝2，n＝﹣1，∴A′（2，﹣1），
故选：D．
知识点一：中心对称作图：
基本步骤：
1. 确定图形的 关键点 与 对称中心 。
2. 连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 。
得到 对称点 。
3. 连接各对称点。
知识点二：找对称中心：
连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。
【类型一：根据要求作图】
18．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中
心对称．
【分析】延长AP到A′使A′P＝AP，同样作出点B′、C′、D′，从而得到四边形A'B'C'D'．
【解答】解：如图，四边形A'B'C'D'为所作．19．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对
称中心O的位置．
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中
心平分，由此可以得出对称中心O的位置．
【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O．
②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心．
20．如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，
只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形
A′B′C′．
【分析】连接BB′，CC′交于点O，点O即为对称中心，作出点A关于点O的对称点A′即可解决问
题；
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；21．如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
【分析】根据中心对称的概念及平行四边形的性质可得P为四边形的对角线的交点，由此作图即可．
【解答】解：如答图所示．
作法：①连接AP并延长至C，使PC＝PA．
②连接BP并延长至D，使PD＝PB．
③连接BC、CD、DA．
四边形ABCD即为所求．
知识点一：中心对称图形 ：
1. 中心对称图形的定义：
如右图，一个图形绕某一点旋转 180 ° 后，如果旋转前后的图形能够 完全重合 ，
那么这个图形就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做图形的 对称中心 。
2. 中心对称图形的性质：性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。
性质2：对应线段 平行 或 共线 。
性质3：对应角 相等 。
性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。
特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而
中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相
同。
【类型一：判断中心对称图形】
22．下列几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．角 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．正八边形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
23．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分
图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：C．
24．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化
遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关
于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
25．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【类型二：利用过对称中心的直线求值】
26．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，且O、E、F三
点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积
是 ．
【分析】连接CO，过A作AH⊥BC于H，依据点O是平行四边形ABCD的对称中心，即可得到S△BOC
＝ S△ABC ，再根据△AOF≌△COE（SAS），即可得到S△AOF ＝S△COE ，进而得出S阴影部分 ＝S△BOC ＝3
．
【解答】解：如图所示，连接CO，过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝30°，BH＝ AB＝2，
∴AH＝2 ，∴S△ABC ＝ BC×AH＝ ＝6 ，
又∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，
∴S△BOC ＝ S△ABC ＝ ×6 ＝ ，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，且O、E、F三点在一条直线上，
∴AO＝CO，FO＝EO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴S△AOF ＝S△COE ，
∴S阴影部分 ＝S△BOC ＝3 ，
故答案为： ．
27．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，直线l平分菱形ABCD的面积，交AD于点E，交BC于
点F，当线段EF最短时，AE的长为 ．
【分析】如图，连接AC，BD交于点O．直线l平分菱形ABCD的面积，推出直线l经过点O，当直线
l⊥AD时，EF的值最短．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．∵直线l平分菱形ABCD的面积，
∴直线l经过点O，
当直线l⊥AD时，EF的值最短，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝AO•cos60°＝2× ＝1．
故答案为：1．
28．如图，点O是 ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四
边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S ，S ，那么S ，S 之间的关系为S S ．（填“＞”
▱ 1 2 1 2 1 2
或“＝”或“＜”）
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是 ABCD的对称中心，
▱
∴OB＝OD，
在△DEO与△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴S△DEO ＝S△BFO ，
∵S△ABD ＝S△CDB ，
∴S ＝S ．
1 2
故答案为：＝．
29．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（4，0），（0，2），直线l：y
＝kx+4与y轴交于点P，当直线l平分矩形OABC的面积时，k＝（ ）
A．﹣1 B．﹣3.5 C．﹣2.5 D．﹣1.5
【分析】连接OB，根据直线l平分矩形OABC的面积，可得直线l必经过BO的中点，再代入直线l的
解析式可得k的值．
【解答】解：连接OB，
∵A、C的坐标分别为（4，0），（0，2），
∴B（4，2），
∴BO的中点坐标为（2，1），∵直线l平分矩形OABC的面积，
∴直线l必经过BO的中点，
∴1＝2k+4，
解得：k＝﹣1.5，
故选：D．
30．如图，已知平面直角坐标系中的 ABCD，点A（1，4），C（3，0），坐标系内存在直线l：y＝kx+b
（k≠0）将 ABCD分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则k的
▱
值为（ ）
▱
A．4或 B． 或3 C．2或 D．4或
【分析】根据直线l：y＝kx+b（k≠0），求出直线与两坐标轴的交点，再根据围成的三角形的面积为
1，可得 |b|×|﹣ |＝1，化简得，b2＝2|k|，根据点A（1，4），C（3，0）可得AC的中点O（2，
2），由直线l：y＝kx+b（k≠0）将 ABCD分成面积相等的两部分，可得直线l：y＝kx+b过点O（2，
2），得（2﹣2k）2＝2|k|，解方程即可得k的值．
▱
【解答】解：直线l：y＝kx+b（k≠0），
令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝﹣ ，
与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
所以 |b|×|﹣ |＝1，化简得，b2＝2|k|，
因为点A（1，4），C（3，0）的中点O（2，2），
直线l：y＝kx+b（k≠0）将 ABCD分成面积相等的两部分，
▱
所以直线l：y＝kx+b过点O（2，2），
所以2k+b＝2，
所以b＝2﹣2k，
∵b2＝2|k|，
∴（2﹣2k）2＝2|k|，
∴（2﹣2k）2＝2k，
解得k＝2或k＝ ，
或（2﹣2k）2＝﹣2k，
解得此方程无解，
则k的值为2或 ，
故选：C．
【类型二：利用中心对称图形的性质作图】
31．如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加 1个正方形，
使整个图案称为中心对称图形．
【分析】直接利用中心对称图形的定义进而分析得出答案．
【解答】解：如图所示：．
32．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并
指出所有的对应点和对应线段．
【分析】画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB＝
OE，C，O，F共线，并且OC＝OF．
【解答】解：作法如下：
图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD
对应线段是AF．
33．如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画
法）
【分析】将图形分成两个规则的图形，然后分别找出两个图形的中心对称点，连接两中心对称点即可．【解答】解：分割法如图所示：
知识点二：关于原点对称的点的坐标 ：
关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。
即若点 与点 关于原点对称，则有 ， 。
【类型一：求关于原点对称的点的坐标】
34．在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答
即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（5，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，﹣
1）．
故选：D．
35．（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相
反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），
故选：D．
36．点P（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A．（3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，3）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点P（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3），
故选：B．
【类型一：利用关于原点对称的特点求值】
37．在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b的值，再代
入即可得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
38．平面直角坐标系中，点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），则ab＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a＝﹣1，b＝3，再代入即可得到答案．
【解答】解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），
∴a＝﹣1，b＝3，
ab＝（﹣1）3＝﹣1，
故选：B．
39．若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，
∴m＝2，m﹣n＝﹣3，
解得：n＝5，
则点M（m，n）即（2，5）在第一象限．
故选：A．
40．在直角坐标系中，已知点A（2a，a﹣b+1），B（b，a+1）关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A．a＝ ，b＝1 B．a＝－ ，b＝﹣1 C．a＝ ，b＝﹣1 D．a＝ ，b＝1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的方程组，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2a，a﹣b+1），B（b，a+1）关于原点对称，
∴ ，
解得： ．
故选：A．一、选择题（10题）
1．下列四届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐
标为（ ）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【分析】由点B、C关于点P对称，先求出P点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点C的
坐标．
【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，
＝1， ＝0，
∴点P的坐标为（1，0）．
设点C（x，y），
∵A（3，3），
∴ ＝1， ＝0，
∴x＝﹣1，y＝﹣3．
∴C（﹣1，﹣3）．
故选：B．
3．已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，
5），则点B与点C的坐标分别为（ ）
A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3）
C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）
【分析】根据中心对称的性质及点的位置判断各点坐标即可．
【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为
（3，5），∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），
故选：D．
4．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长
可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【分析】根据对称求出OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，再根据三角形的三边关系得出AB的取值范围即可．
【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，
∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
∴5＜AB＜11，
故选：C．
5．最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青
睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选：D．
6．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点 B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE
【分析】旋转180°后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，
对应角相等，其中∠ACB与∠FDE不是对应角，不能判断相等．
【解答】解：根据旋转的性质可知，
点A与点D是对应点，
BO＝EO，
AB∥DE，
∠ACB＝∠DFE≠∠FDE．故选：C．
7．已知点A（a，﹣2）与A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a+b的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出 a，b
的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，﹣2）与A′（5，b）关于坐标原点对称，
∴a＝﹣5，b＝2，
∴a+b＝﹣3．
故选：B．
8．在平面内，由图1﹣1经过两次图形变换后得到图1﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．只需经过两次轴对称变换
B．只需经过两次中心对称变换
C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换
D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换
【分析】根据轴对称和中心对称的性质即可得到结论．
【解答】解：A、只需经过两次轴对称变换，能由图1﹣1经过两次图形变换后得到图1﹣2，故不符合
题意；
B、只需经过两次中心对称变换，能由图1﹣1经过两次图形变换后得到图1﹣2，故不符合题意；
C、先经过轴对称变换，再进行中心对称变换不能由图1﹣1经过两次图形变换后得到图1﹣2，故符合
题意；
D、先经过中心对称变换，再进行轴对称变换，能由图 1﹣1经过两次图形变换后得到图1﹣2，故不符
合题意；故选：C．
9．已知点P（a﹣2，4﹣a）关于原点对称的点在第三象限，则 a的取值范围在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，一元一次不等式组的解法解答即可．
【解答】解：∵点P（a﹣2，4﹣a）关于原点对称的点在第三象限，
∴点P（a﹣2，4﹣a）在第一象限，
∴a﹣2＞0，4﹣a＞0，
∴2＜a＜4，
∴a的取值范围在数轴上表示正确的是D选项．
故选：D．
10．如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A
（2，﹣1），点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
【分析】将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，即可发现这两个三角形中心对称，对称中心为点 P．再
根据点A的坐标即可得到直角坐标系的位置，进而得出点P的坐标．
【解答】解：如图所示，连接AD，CF，交点即为点P，∵点A（2，﹣1），
∴点A在第四象限，距离x轴1个单位，距离y轴2个单位，如图所示，
∴点P的坐标为（1，﹣3）
故选：C．
二、填空题（6题）
11．在①平行四边形；②等边三角形；③等腰梯形；④圆这四个图形中，一定是中心对称图形的有
（填序号）．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：等边三角形、等腰梯形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完
全重合，所以不是中心对称图形，
平行四边形、圆均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心
对称图形，
所以一定是中心对称图形的有①，④．
故答案为：①，④．
12．已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案为：5．
13．已知点P（a+3b，3）与Q（﹣5，a+2b）关于原点对称，则a＝ ，b＝ ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b等式，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a+3b，3）与Q（﹣5，a+2b）关于原点对称，
∴ ，
解得： ．
故答案为：﹣19，8．
14．若点M（3，a）关于原点的对称点是点N（b，﹣2），则（a+b）2020＝ ．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点
的对称点，横、纵坐标都变成相反数．据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵点M（3，a）关于原点的对称点是点N（b，﹣2），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．
故答案为：1．
15．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线
y＝﹣2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 ．
【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【解答】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．
∵B（﹣1，0），
∴T（ ， ），
∵直线y＝﹣2x+4平分平行四边形ABCD的面积，
∴直线y＝﹣2x+4经过点T，
∴ ＝﹣2× +4，
∴m＝ ，
∴D（ ，3），
故答案为：（ ，3）．
16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（6，0），B
（10，4），直线y＝2x+b平分平行四边形OABC的面积，则b＝ ．
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+b经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分，然
▱后计算出过D且平行直线y＝2x+b的直线解析式，从而可得b，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+b经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分；
▱
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（10，4），点C（6，0），
∴D（5，2），
∵直线过D（5，2），
∴2＝10+b，
∴b＝﹣8，
故答案为：﹣8．
三、解答题（4题）
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得
△CFE，求证：四边形ADCF是矩形．
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再由对角线相等证明四边形ADCF是矩形．
【解答】解：∵AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE＝ BC，AE＝ AC，∵AC＝BC，
∴AE＝DE，
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴△ADE≌△CFE，
∴AE＝CE，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AE＝CE，DE＝EF，AE＝DE，
∴AE＝CD＝DE＝EF，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形．
18．在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 （填写序号）；
它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：（1）①③⑤三个图案是轴对称图形，
故答案为：①③⑤；轴对称；（2）如图所示，
19．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣
3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）若△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，则点A 的坐标为 ；
1 1 1 1
（2）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A B C ，则点A 的坐标为 ；
2 2 2 2
（3）求出（2）中线段AC扫过的面积．
【分析】（1）根据中心对称的定义可知，点A 与点A关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特
1
点即可求出点A 的坐标；
1
（2）将△ABC的三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°得到对应点，顺次连接可得△A B C ，进而得到
2 2 2
点A 的坐标；
2
（3）AC扫过的面积＝扇形OCC 的面积﹣扇形OAA 的面积，由此计算即可．
2 2
【解答】解：（1）∵△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，A（1，﹣2），
1 1 1
∴点A 的坐标为（﹣1，2）．
1
故答案为：（﹣1，2）；（2）如图，△A B C 即为所求，
2 2 2
点A 的坐标为（2，1）．
2
故答案为：（2，1）；
（3）∵OA＝ ＝ ，OC＝ ＝3 ，
∴线段AC扫过的面积＝扇形OCC 的面积﹣扇形OAA 的面积
2 2
＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ．
20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为A（4，0），B的坐标为B（6，
2）．
（1）请直接写出平行四边形OABC的中心P的坐标 ；
（2）求出直线PA的解析式；
（3）试说明：不论k取何值，平行四边形OABC都被直线y＝k x+1﹣3k分成面积相等的两部分．【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点C端点坐标，再利用中点坐标公式求出点P的坐标即可；
（2）设直线AP的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法，可得结论；
（3）证明直线经过点P，可得结论．
【解答】（1）解：∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝4，
∵B（6，2），
∴C（2，2），
∵PC＝PA，
∴P（3，1），
故答案为：（3，1）；
（2）解：设直线PA的解析式为y＝kx+b，
则有 ，
∴ ，
∴直线PA的解析式为y＝﹣x+4；
（3）证明：对于直线y＝kx+1﹣3k，
当x＝3时，y＝3k+1﹣3k＝1，∴直线y＝kx+1﹣3k经过点P（3，1），
∴直线y＝kx+1﹣3k平分四边形OABC的面积．
