第七章平面直角坐标系（选拔卷）-单元测试（人教版）（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第4套）

第七章 平面直角坐标系（人教版） 选拔卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．（2021·湖北咸丰·七年级期末）平面直角坐标系中，将点A（ ， ）沿着x的正方向 向右平移（ ）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（ ， ）；② 线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（ ， ） 可能在线段AB上；⑤点N（ ， ）一定在线段AB上．其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B点的坐标，进而判断①，根据平移的 性质即可求得 的长，进而判断②，根据平移的性质可得线段AB所在的直线与x轴平行， 即可判断③，根据纵坐标的特点即可判断④⑤ 【详解】解：∵点A（ ， ）沿着x的正方向向右平移（ ）个单位后得到B点， ∴B点的坐标为（ ， ）；故①正确；则线段AB的长为 ；故②不正确； ∵A（ ， ），B（ ， ）；纵坐标相等，即点A，B到x轴的距离相等 ∴线段AB所在的直线与x轴平行；故③正确; 若点M（ ， ）在线段AB上； 则 ，即 ，不存在实数 故点M（ ， ）不在线段AB上；故 ④不正确 同理点N（ ， ）在线段AB上；故⑤正确. 综上所述，正确的有①③⑤，共3个故 选B 【点睛】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质 是解题的关键． 2．（2021·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期末）如图，学校（记作A）在蕾蕾家 （记作B）南偏西25°的方向上，且与蕾蕾家的距离是4km，若∠ABC＝90°，且AB＝BC， 则超市（记作C）在蕾蕾家的（ ） A．南偏东65°的方向上，相距4km B．南偏东55°的方向上，相距4km C．北偏东55°的方向上，相距4km D．北偏东65°的方向上，相距4km【答案】A 【分析】直接利用方向角的定义得出∠2的度数，进而确定超市（记作C）与蕾蕾家的位 置关系． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：∠1=25°，∠ABC=90°，BC=AB=4km，则∠2=65°， 故超市（记作C）在蕾蕾家的南偏东65°的方向上，相距4km．故选：A． 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，正确根据图形得出∠2的度数是解题关键． 3．（2021·辽宁）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平 移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【答案】A 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：由题意得：x51,y32，解得x4,y5，即A(4,5)，故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 4．（2021·东北育才双语学校八年级期末）若 是任意实数，则点 在第 （ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】根据非负数的性质判断出点M的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解 答． 【详解】解：∵m2≥0，1＞0，∴5+m2≥5，∴点M在第一象限．故选：A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决 的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限 （-，-）；第四象限（+，-）． 5．（2021·福建七年级期中）在平面直角坐标系中，点 在第一、三象限的 角平分线上，则m的值为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】第一、三象限的角平分线解析式为y=x，代入即可求解． 【详解】解：∵点P（2m+3，3m-1）在第一、三象限的角平分线上，∴ 解得， ．故选A． 【点睛】本题考查的知识点是点的坐标的性质，由题意得出一、三象限的角平分线解析式 为y=x是解此题的关键． 6．（2021·重庆市南渝中学校八年级阶段练习）如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图 中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点 （1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…按这样的运动规律，动点P第2021次运动到点 （ ） A．（2020，﹣2） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，﹣2） 【答案】B 【分析】观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个 单位，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：点 的运动规律是每运动四次向右平移四个单位， ， 动点 第2021次运动时向右 个单位， 点 此时坐标 为 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律， 又要注意动点的坐标的象限符号． 7．（2022·广东深圳·八年级期末）在平面直角坐标系中，任意两点 ， ， ， ． 规定运算：① ， ；② ；③当 ，且 时， ． 有下列三个命题：（1）若 ， ，则 ， ； （2）若 ，则 ；（3）对任意点 ， ， ，均有 成立． 其中正确命题的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据新的运算定义分别判断每个命题后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）A⊕B=（1+2，2-1）=（3，1），A B=1×2+2×（-1）=0，∴①正确； （2）设C（x，y），A⊕B=（x+x，y+y），B⊕C=（x+x，y+y）， 3 3 1 2 1 2 ⊗ 2 3 2 3 ∵A⊕B=B⊕C，∴x+x=x+x，y+y=y+y ，∴x=x，y=y，∴A=C，∴②正确． 1 2 2 3 1 2 2 3 1 3 1 3（3）∵（A⊕B）⊕C=（x+x+x，y+y+y），A⊕（B⊕C）=（x+x+x，y+y+y）， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ∴（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），∴③正确．正确的有3个，故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理，解题时注意：判断一件事情的语句，叫做命题．有些命 题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 8．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，设点 为线段 上任意一点，则x，y满足的条件为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知线段AB∥y轴，因此P的横坐标与A，B横坐标相同，纵坐标介于 两点纵坐标之间，由此即可得出结论． 【详解】由题，线段AB∥y轴，∴P的横坐标与A，B横坐标相同，即： ， 纵坐标介于两点纵坐标之间，即： ，故选：A． 【点睛】本题考查了平行于坐标轴的线段上点坐标的特征，理解平面直角坐标系中特殊情 况下点和线的特征是解题关键． 9．（2021·河南开封市·）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移， 再向左平移得到四边形ABC D ，已知A(3,5),B(4,3),A(3,3)，则点B坐标为（ ） 1 1 1 1 1 1 A．(1,2) B．(2,1) C．(1,4) D．(4,1) 【答案】B 【分析】由题意得到点A的坐标变化规律，然后根据点A的变化规律反推可以由B 得到B 1 的坐标． 【详解】解：∵-3-3=-6，5-3=2，∴点A变到A 的过程中，横坐标加-6，纵坐标加2， 1∴由B 反推到B的过程，必须是横坐标加6，纵坐标加-2， 1 ∴-4+6=2，3-2=1，∴B点坐标为（2，1），故选B． 【点睛】本题考查平移的坐标变化，得到图形的平移规律是解题关键． 10．（2021·安徽七年级期中）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小 球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一 次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置 是（ ） A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1） 【答案】B 【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得 到小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置． 【详解】解：由图可得， 点（1，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，1），第二次碰撞后的点的坐标为（3，4）， 第三次碰撞后的点的坐标为（7，0），第四次碰撞后的点的坐标为（8，1）， 第五次碰撞后的点的坐标为（5，4），第六次碰撞后的点的坐标为（1，0），…， ∵2021÷6=336…5，∴小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（5，4），故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变 化特点，利用数形结合的思想解答． 二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。 11．（2021·广西·德保县教研室八年级期中）若点 ( ， )的坐标满足 ，则称 点 为“和诣点”，请写出一个“和诣点”的坐标____． 【答案】（2，2） 【分析】由题意点 ( ， )的坐标满足 ，当m=2时，代入得到2+n=2n，求出n 即可． 【详解】解：∵点 ( ， )的坐标满足 ，，当m=2时，代入得：2+n=2n，∴n=2，故答案为（2，2）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“和谐点”的定义是解题关键． 12．（2021·河南·驻马店市第二初级中学八年级期中）如图，点 A 在射线 OX 上，OA＝ 2．若将 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 30°到 OB，那么点 B 的位置可以用（2，30°） 表示．若将 OB 延长到 C，使 OC＝3，再将 OC 按逆时针方向继续旋转 55°到 OD，那 么点 D 的位置可以用(_________，_________)表示． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，进而得出点D的位置． 【详解】解：如图所示：由题意可得：OD=OC=5，∠AOD=85°， 故点D的位置可以用：（5，85°）表示．故答案为：5，85°． 【点睛】此题主要考查了有序实数对确定位置，正确作出图形是解题关键． 13．（2021·台州市书生中学八年级开学考试）第一象限内有两点Pm4,n ，Qm,n2 ， 将线段PQ平移，使平移后的点P、Q都在坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 _________． 【答案】(0,2)或(4,0) 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上， Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-2）=-n+2，∴n-n+2=2，∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m，∴m-4-m=-4，∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）；综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-4，0）．故答案为：（0，2）或 （-4，0）． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形 上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加， 下移减． 14．（2021·浙江金华市·八年级期末）以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任 意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所 得图形上任意一点的坐标可表示为_____． 【答案】 （﹣2≤y≤7）． 【分析】根据平移的特点可知，向右平移横坐标变化，纵坐标不变可得解； 【详解】A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）向右平移7个单位可得 ， ， ∴所得图形上任意一点的坐标可表示 （﹣2≤y≤7）．故答案是： （﹣ 2≤y≤7）． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，准确分析计算是解题的关键． 15．（2021·湖北荆州市·九年级）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方 向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M 小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿 主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M 位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道 AC上寻找支管道连接点N ，使到该小区M 铺设的管道最短时，AN的长为______． 【答案】1500米 【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC＝90°，根 据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长． 【详解】解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°， 又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°， ∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°， ∴∠MCA＝∠MCB＋∠BCA＝60°，∴在Rt AMC中，∠AMC＝90°，∠MAC＝30°， 1 1 ∴MC＝ AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC△＝ MC＝500， 2 2 ∵AC＝2000米，∴AN＝AC−NC＝2000−500＝1500（米）．故答案是：1500米． 【点睛】本题主要考查了方向角的含义，含30°角的直角三角形的性质，正确作出高线， 证明△AMC是直角三角形是解题的关键． 16．（2021·全国七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后 1 得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（1 ，﹣ ）为三角 2 5 形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____． 3 14 【答案】（ ， ） 2 5 【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个 单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标． 【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3）， ∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′， 1 又∵点P（1 ，﹣ ）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应， 2 5 1 14 14 ∴对应点P′的坐标为（1 ﹣2，﹣ ＋3），即P'（- 3 ， ），故答案为：（- 3 ， ）． 2 5 2 5 2 5 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位 置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 17.（2021·五常市教师进修学校）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是 1,3 ，线段 MN平行于y轴，且MN 4，则N的坐标是___________．【答案】 1,1 或1,7 【分析】MN平行于y轴得到M和N两点的横坐标相等，分N点在M点上方和下方两种情 况讨论即可求解． 【详解】解：由题意可知：∵MN平行于y轴，∴M和N两点的横坐标相等， 由MN 4和M的坐标是 1,3 可知：当N点在M点上方时，N的坐标是 1,7 ， 当N点在M点下方时，N的坐标是 1,1 ，故答案为： 1,1 或1,7． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，属于基础题，注意要分情况考虑， 避免漏解． 18．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时 针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上 的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角 形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三 边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧 序号），如点A的坐标可表示为 ，点B的坐标可表示为 ，按此方法，若点 C的坐标为 ，则m＝__________． 【答案】3 【分析】根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果． 【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是 ，∴ ．故答案是：3． 【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法． 三、解答题：本题共8个小题，19-24每题8分，25-26每题9分，共66分。 19．（2020·河北邢台·初二期末）已知坐标平面内的三个点 、 、 .(1)比较 点到 轴的距离与 点到 轴距离的大小;(2)平移 至 ,当点 和点 重合时,求点 的坐标;(3)平移 至 ,需要至少向下平移超过 单位, 并且至少向左平移 个单位,才能使 位于第三象限. 【答案】(1) 点到 轴的距离等于 点到 轴距离; （2） ;（3）3 ，3 【分析】（1）根据横坐标为点到y轴的距离；纵坐标为点到x轴的距离即可比较大小； （2）由点A 和点B重合时，需将△ABC向右移2个单位，向下移2个单位，据此求解可 1 得； （3）根据点A的纵坐标得出向下平移的距离，由点B的横坐标得出向左平移的距离． 【解析】解：（1）∵ ，∴ 点到 轴的距离为3 ∵ ， 点到 轴距离为3∴ 点到 轴的距离等于 点到 轴距离 （2）点 和点 重合时，需将 向右移2个单位，向下移2个单位，∴点 的对应 点 的坐标是 （3）平移△ABO至△AB O，需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单 2 2 2 位，才能△AB O 使位于第三象限．故答案为：3，3． 2 2 2 【点睛】本题主要考查点的意义与图形的变换-平移，注意：点到x轴的距离等于该点纵坐 标的绝对值；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值；平面直角坐标系中点的坐标的平 移规律． 20．（2020·江西兴国初二期末）已知A(0，2)，B(3，0)，C(4，4)．（1）在坐标系中描出 各点，画出三角形ABC；（2）求三角形ABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且三角 形ABP与三角形ABC的面积相等，请直接写出所有点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）7；（3）(10，0)或(-4，0)或(0， )或(0，- ) 【分析】（1）根据坐标在坐标系中直接描出各点即可；（2）过点C向x、y轴作垂线，垂 足为D，E，利用S =S -S - S -S 求解；（3）注意区分当点P在x轴上 ABC 四边形DOEC BCD ACE AOB 时和当点P在y轴上△时两种情况． △ △ △ 【解析】解：（1）如下图所示： （2）如图所示，过点C向x、y轴作垂线，垂足为D，E． ∴S =4×4=16，S = ×1×4=2，S = ×2×4=4，S = ×2×3=3． 四边形DOEC BCD ACE AOB △ △ △ ∴S =S -S - S -S =16-2-4-3=7． ABC 四边形DOEC BCD ACE AOB △ △ △ △ （3）当点P在x轴上时，S = AO·BP=7，即： ×2×BP=7，解得：BP=7， ABP △ 所点P的坐标为（10，0）或（-4，0）； 当点P在y轴上时，S = BO·AP=7，即 ×3×AP=7，解得：AP= ． ABP △ 所以点P的坐标为（0， ）或（0，- ）． ∴点P的坐标为（10，0）或（-4，0）或（0， ）或（0，- ）． 【点睛】本题考查三角形的面积．熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键．第（3）问注 意区分当点P在x轴上时和当点P在y轴上时两种情况． 21．（2021·北京市朝阳外国语学校七年级期中）在平面直角坐标系中，已知点 Ax,y ， 点 Bxmy,mxy （其中m为常数，且 m0），则称 B 是点 A 的“m族衍生点”．例 如：点A1,2 的“3族衍生点” B 的坐标为 132,312 ，即B5,1 ．（1）点 2,0 的“2族衍生点”的坐标为 ；（2）若点 A 的“3族衍生点” B 的坐标是 1,5 ，则点 A 的坐标为 ； （3）若点Ax,0 （其中x0），点 A 的“m族衍生点”为点 B ，且ABOA，求m的值． 【答案】（1） 2,4 ；（2）2,1；（3）m1 【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解； （2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解； （3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解． 【详解】解：（1）点 2,0 的“2族衍生点”的坐标为 220,220 ，即 2,4 ，故 答案为： 2,4 ； 1x3y, x2 （2）设点 A 坐标为 x,y，由题意可得： 53xy,  y1 ，  点 A 坐标为 2,1 ， 故答案为：2,1． （3）  点Ax,0 ， 点 A 的“m族衍生点”为点Bx,mx ， AB mx ， ABOA，  x  mx ， m1．  【点睛】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二 元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键． 22．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级月考）阅读理解，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kxy，xky），则称点B 为点A的“k级湘一点”，如点A（2，5）的“2 级湘一点”为B（225，225）， 即B（9，8）． （1）已知点P（2，1）的“5级湘一点”为P ，则点P 的坐标为 ；（2）已知 1 1 点Q的“4 级湘一点”为Q（5，3），求Q点的坐标；（3）如果点C（1，c1）的 1 “2 级湘一点”C 在第二象限，①求c的取值范围；②在①中，当c取最大整数时，连接 1 OC ，坐标平面内是否存在点M（2，2m1），使得S 7，若存在，求出m的取值范 1 OC1M 围，若不存在，请说明理由．23 7 3 5 3 【答案】（1）（ ， ）；（2）（ ， ）；（3）①c ；② m 或 9 7 17 17 2 6 2 19 5  m 6 6 【分析】（1）根据“k级湘一点”的定义，即可解答； （2）设Qx,y ，根据点Q的“4 级湘一点”为Q（5，3），可列出方程组，解出即可； 1 （3）①根据“k级湘一点”的定义，求出点C ，再根据C 在第二象限，即可求解； 1 1 5 ②根据题意，求出C 1  3,1 ，可得出直线OC 1 的解析式，从而得到当m 6 时，M、O、 5 C 三点共线，继而m  ，然后分两种情况讨论，即可求解． 1 6 【详解】解：（1）∵点P（2，1）的“5级湘一点”为P ，∴ 1 P  5 2   1, 2 51  ，即P 9, 7  ； 1 1 （2）设Qx,y ，∵点Q的“4 级湘一点”为Q（5，3）， 1  23 x   17 ∴ ，解得： ，∴Q点的坐标为（ ， ）； 4xy  5  7 23 7  y    x 4y  3  17 17 17 （3）①∵C 是点C（1，c1）的“2 级湘一点”， 1 ∴C  1 2c 1, 1 2  c 1  ，即C  c 1, 2c 3  ， 1 1 c 1  0 3 ∵C 在第二象限，∴ ，解得：c ； 1 2c 3  0 23 ②存在，理由如下：∵c ，且c取最大整数，∴c=-2，∴C  3,1 ， 2 1 1 设直线OC 1 的解析式为ykxk 0 ，将C 1  3,1 代入，得： 3k 1 ，解得：k  3 ， 1 ∴设直线OC 的解析式为y x ， 1 3 1 ∵M（2， ），当M、O、C 三点共线时，有2m 1    2 ， 2m1 1 3 5  2 5 5 解得：m ，即M 2,   ，∴当m 时，M、O、C 三点共线，∴m  ， 6  3 6 1 6 5 如图，当m  ，即点M在 上方时， ， S S S 6 M OC1M1 C1MM1 OMM1 ∵S 7，M（2，2m1），∴ OC1M 1  2 1  2    2 3  2m 1    2 2m 1   7 ， 2  3 2  3 3 5 3 5 解得：m ，∴ m ；当m  ，即点M在 下方时， 2 6 2 6 M S S S ， OC1M2 C1MM2 OMM2 1    2  1  2  19 ∴  2 3    2m 1   2   2m 1  7，解得：m  ，∴ 2  3  2  3  6 19 5  m ， 6 6 5 3 19 5 综上所述，m的取值范围为 m 或 m ． 6 2 6 6【点睛】本题主要考查了实数下的新定义，解二元一次方程组，平面直角坐标系内求三角 形的面积，理解新定义，并利用数形结合思想是解题的关键． 23．（2021·北京海淀区·七年级期中）在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对 于任意的实数 ，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知 M（2，3），N（1， ），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的 点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）． （1）点A和点B的 系和点的坐标为________（直接写出答案）； （2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分 线上． ①求m的值；②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接 写出k的值 ； （3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的 动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动 过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点， 则k的取值范围为 ． 【答案】（1） ；（2）①m＝0；② 或 ；（3） ． 【分析】（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可． （2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程 求解即可．②判断出D的坐标，可得结论．（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可． 【详解】解：（1）由题意： （1+2） ， （2+0）＝1， ∴点A和点B的 系和点的坐标为（ ，1）．故答案为：（ ，1）． （2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，∴x＝2k+mk，y＝2k．即D （2k+mk，2k）， ∵点D在第一、三象限角平分线上，∴2k+mk＝2k．∴mk＝0．∵k≠0，∴m＝0．②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件． ∵C（0，2），B（2，0），∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，∴ 或 ．故答案为： 或 ； （3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）． 2≤m≤3，∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）． ∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点， 至多有15个整点，观察图象可知： ， 解得 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合 性较强，理解P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识， 并根据题意学会利用参数构建方程或不等式解决问题是解题关键． 24．（2021·吉林敦化·七年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的面积等于4，长方形 的面积等于8，其中点 、 在 轴上，点 在 轴上． （1）请直接写出点 ，点 ，点 的坐标；（2）如图2，将正方形 沿 轴向右平 移，移动后得到正方形 ，设移动后的正方形 长方形 重叠部分（图 中阴影部分）的面积为 ； ①当 时， ___；当 时， ___；当 时， __；②当 时，请 直接写出 的值． 【答案】（1） ， ， ；（2）①2，4，2；② 或 ． 【分析】（1）由正方形面积求出边长再求出A、B点坐标，又由长方形面积求出长再求出 D点坐标． （2）①AA′=1 时，面积为图2阴影部分；AA′=3 时，面积为正方形面积；AA′=5时正方形 一半在长方形内，一半在长方形外．②S=1时注意有两种情况：正方形刚进入长方形的时 候和正方形快要走出长方形的时候． 【详解】解：（1）正方形面积为4∴AB=AO= 2∴ ，∴ ， 长方形面积为8，AO=2 ∴AD=8÷2=4 ∴ （2）①AA′=1 时，面积为图2阴影部分，S=AA′×AO=1×2=2 AA′=3 时，面积如下图，S=AB′×AO=2×2=4AA′=5时，面积如下图，S=B'D×BC=1×2=2 ②正方形刚进入长方形时，可参照图2，阴影部分是AA'O'O，该部分面积 =AA'×AO=AA'×2=1 ∴AA'=1÷2= 正方形快要走出长方形时，可参照下图，阴影部分是B'DEC，该部分面积 =B'D×B'C=B'D×2=1 ∴B'D=1÷2= ∴A'D=2- = ∴AA'=4+ = 故答案为AA′= 或AA′= 【点睛】本题考查图形的平移和坐标的知识，准确识图，结合图形灵活运用相关知识是解题的关键． 25．（2021·陕西高陵·八年级阶段练习）问题情境：在平面直角坐标系中有两个不重合的 点，分别为点 和点 ．若 ， ，则线段 轴，且线段 的长度 为 ；若 ， ，则线段 轴，且线段 的长度为 ． 应用（1）若点 ， 的坐标分别为 ， ，则线段 ∥________轴， 的 长度为________． （2）若点 ，且线段 轴， ，则点 的坐标为________． 拓展（3）我们规定：在平面直角坐标系中，若 ， ，则式子 的 值就叫做线段 的“勾股距”，记作 ，即 ．例如：有点 与 点 ，则线段 的勾股距为 ． 解决下列问题：①已知 ，若 ，则 ___．②已知 ， ，若 ，求 的值． 【答案】（1） ；4；（2） 或 ；（3）①4；② 或 ． 【分析】（1）根据题目所给定义求解即可；（2）根据CD∥y轴，C点坐标为（2，-1）， 可得D点的横坐标为2，再由CD=3，则 ，由此求解即可；（3）①根据勾 股距的定义进行求解即可； ②将 ， 代入勾股距公式中进行求解即可． 【详解】解：（1）∵P（-3，2）与Q（1，2）的横坐标不相同，纵坐标相同， ∴PQ∥x轴，且 ，故答案为： ；4； （2）∵CD∥y轴，C点坐标为（2，-1），∴D点的横坐标为2， ∵CD=3，∴ ，∴ 或 ， ∴D点坐标为（2，2）或（2，-4）；故答案为：（2，2）或（2，-4）； （3）①由题意得： ，故答案为：4； ②将 ， 代入勾股距公式中，即 ， 化简为 ，解得 或 ． 【点睛】本题主要考查了与x轴平行，与y轴平行的直线上的点的坐标特征，以及勾股距 的定义，解题的关键在于能够准确读懂题意． 26．（2021·广西玉州·七年级期中）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且m，n满足 ，将线段 向右平移2个单位长度，再向上平 移4个单位长度，得到线段 ，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接 ， ．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形 的面积等于 平行四边形 的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如 图（2），点E在y轴的负半轴上，且 ．求证： ． 【答案】（1） ， ， ， ；（2）存在， 或 ；（3） 见解析 【分析】（1）由非负数的性质得出 ，且 ，求出 ， ，得出 ， ，由平移的性质得 ， ；（2）设 ，由（1）由（1）得： ， ，∴ ，进而可得关于x的方程，即可得出答案； （3）由平移的性质得 ，由平行线的性质得出 ，证出 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵m，n满足 ，∴ ，且 ， ∴ ， ，∴ ， ，由平移的性质得： ， ； （2）解：存在，理由如下：设 ， 由（1）得： ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，解得： 或 ， ∴点P的坐标为 或 ； （3）证明：由平移的性质得： ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ．【点睛】本题考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行四边形的面积、三角形面积等知 识；熟练掌握平移的性质是解题的关键．