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第二十八章 锐角三角函数章末测试卷
姓名：________ 班级：________ 得分：________
注意事项：
本试卷满分100分，时间60分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点 为 边上任意一点，作 于点 ， 于点 ，下列用线段比表示 的值，
错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边
比斜边，正切为对边比邻边．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
A、在 中， ，故A正确；
B、在 中 ，故B正确；
C、在 中， ，故C正确；
D、在 中， ，故D错误；
故选：D．
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】首先计算 ，然后将这些值代入到原式中计算即可求解．
【详解】解：原式= ，
故选：
【点睛】本题考查了实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
3．如图，一架飞机在点 处测得水平地面上一个标志物 的俯角为 ，水平飞行 千米后到达点 处，
又测得标志物 的俯角为 ，那么此时飞机离地面的高度为（ ）
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
【答案】A
【分析】根据飞行高度不变，作出适合的辅助线，根据锐角三角函数即可求解，本题考查了解直角三角形
的应用，解题的关键是：找到飞行高度不变的隐含条件，建立等量关系．
【详解】解：作 交 于点 ，
， ，
，即： ，
故选： ．
4．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在 中， 、 、 所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可
描述为： ； ； ．已知在 中， ＝
2， ＝4， ＝ ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形 ，按照题干中的方程代入已知量解方
程即可．
【详解】由题可知，需要画出满足条件的 ，如下图所示；
∵ ， ；
∴ ， ；
∴在 中；
；
∵ ；
∴ ；
整理得： ；
， （舍）；
∴ ；
故选 ．
5．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，
DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运
动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】B
【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判
断．
【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，
过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S = acsinB；
阴
当b≠0时，S =S -S = （a+b）（c-b）sinB- （c-a-b）sinB= acsinB，
阴 BEF BDG
△ △
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中
考选择题中的压轴题．
6．如图，在等腰 中， 于点 ，则 的值（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先由 ，易得 ，由 可得 ，进而用勾股定理分别将BD、BC
长用AB表示出来，再根据 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适
中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．如图， 个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点 已知菱形的一个角为 ， 、
、 都在格点上；点 在过 、 、 三点的圆弧上，若 也在格点上，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据菱形的性质结合 可得出 为等边三角形，进而可得出点 为圆弧的圆心，
将圆补充完整，利用圆周角定理找出点 的位置，再根据菱形的性质即可得出 为等边三角形，进而
即可得出 的值．
【详解】解：在图中标上点 、 ，连接 ，
四边形 为菱形，
， 平分 ．
，
为等边三角形，
，
点 为圆弧的圆心．
，
以点 为圆心 长度为半径补充完整圆，点 即是所求，如图所示．
所对的圆周角为 、 ，
图中所标点 符合题意．
四边形 为菱形，且 ，
为等边三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点
的位置是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中， ， ，M是CD上的一点，将 沿直线AM对折得到
，若AN平分 ，则CN的长为（ ）A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】过点N作CD的垂线交 于点E，根据对折和平分线可以得到 ，再利
用三角函数可以求出 ， ，最后利用勾股定理可以求出CN的长．
【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交 于点E
由折叠可知：
， ，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴在 中，由勾股定理可得：故选：C
【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
9．如图，⊙ 的圆心在定角 的角平分线上运动，且⊙ 与 的两边相切，图中阴影部
分的面积S关于⊙ 的半径 变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 、 ，求出 的度数，求出 、 的长，求出四边形 和扇形
的面积，即可求出答案．
【详解】连接 、 、 ，
圆O切 于B，切 于C，
， ， ，
，
平分 ，
，，
阴影部分的面积是： ，
，
与r之间是二次函数关系．
故选C．
【点睛】本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形
的内角和定理等知识点的理解和掌握；遇切点，连接圆心与切点，可得垂直；不规则面积可用割补法等方
法是解此题的关键．
10．如图，如图正方形 内一点E，满足 为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线
，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质求出 ，然后求出 ，再根据等腰三角形的性质求出，然后求出 ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
，判断出①正确，过点 作 ，可得 ，根据等角的余角相等求出
，再利用“角角边”证明 和 ，然后根据全等三角形对应边相等可得 ，再
根据等边三角形的性质，点 是 的中点，从而得到 ，判断出②正确；再求出
，过点 作 于 ，过点 作 于 ，解直角三角形分别用 、 表
示出 ，可以得到 ，再表示出 ，即可判定③正确；设 ，表示出 、 ，然后
求出 的值，判断出④错误．
【详解】解： 为正三角形，
，
，
，
，
，
，故①正确；
过点 作 ，
则 ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，，
为正三角形，
点 在 的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理，点 是 的中点，
，
，故②正确；
， ，
，
，
，
过点 作 于 ，过点 作 于 ，
则 ， ，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
，故③正确；
，故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选： ．
【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断
与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是
解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么 的正弦值为 ．【答案】 /
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，求解特殊角的三角函数值，根据网格求出三
角形 的三边，得到 是等腰直角三角形，再进行求解．
【详解】解：由勾股定理可得，
， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，圆内四边形 满足： ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理 ，解直角三角形．根据圆周角定理可得 为直径，可求出
，在 中，解直角三角形，即可求解．【详解】解：∵ ，即 ，
∴ 为直径，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．已知锐角 中， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意作出图形，过点 作 于点 ，根据等腰三角形的性质可得 ，
设 ，根据正切值可得 ，勾股定理求得 的值，进而求得 的长．
【详解】如图，过点 作 于点 ，
设 ，
， ,，
故答案为：
【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
14．如图所示，平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于点A、B，点C、点D是y轴正半
轴、x轴正半轴上的两个动点， ，以 为直径在第一象限内作半圆，与线段 交于点E、F两点，
则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、三角函数等知识点；确定 最大时的位置是解题的关键．
如图：过 的中点作 的垂线与 交于点M，连接 ，当直线过O点时， 的值最大；利用
，求出 ，最后利用勾股定理求出 即可解答．
【详解】解：如图：过 的中点作 的垂线与 交于点M，连接 ，当直线过O点时， 的值最
大；∵直线 分别交x轴、y轴于点A、B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
15．如图（1）是一张菱形纸片，其中 ， ，点E为 边上一动点．如图（2），将纸片
沿 翻折，点B的对应点为 ；如图（3），将纸片再沿 折叠，点E的对应点为 ．当 与菱形的
边CB垂直时， 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知
识是解答本题的关键．
【详解】设 与菱形的边CB垂直的垂足为M，
∵菱形纸片，其中 ， ，
∴ ．
∵ 与菱形的边CB垂直，
∴ ， ，
∴ ，
根据折叠的意义，得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：
16．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，过D作 交 于点E，将 沿 折叠得到 ， 交 于点G.若 ，则 .
【答案】
【分析】过点G作 于M，通过证明 ，得出 ，根据平行得出
，设 ，则 ， ，根据勾股定理得到 ，
解方程得出 ，再利用正切定义进行求解即可．
【详解】解：如图，过点G作 于M，
平分 交 于点D， ，
，
，
，
将 沿 折叠得到 ，
，
，
，，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
即 ，
解得： ，
，
，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
17．先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值．掌握分式因式分解，约分，熟记特殊角的三角函
数值是关键．
先因式分解，再把除法变成乘法，约分，再计算同分母分式的加法，把锐角三角函数值代入求出x的值后，
再代入最简分式，即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
=
= ，
∵ ，
∴原式=
18．如图， 中， ，作 ， ， ， ．
(1)求证： ；(2)求 的长．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理、等量代换、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌
握勾股定理解直角三角形．
结合题中条件推出 即可证得 ；
设 长为 ，结合勾股定理解直角三角形可得 ，列方程即可得解．
【详解】（1）证： ，
，
中，
，
，
，
，
．
（2）解：设 长为 ，则 ，
，
中有 ，
，
解得 ，
．
19．在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】过 点作 ，交 的延长线于点 ，由平角的定义可求解 ，通过解直角三
角形可求解 ， 的长，即可求解 的长，再利用勾股定理可求解 的长．【详解】解：过 点作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上
的实物图，图②是其示意图，其中 ，车轮半径为 ， ， ，坐垫E
与点B的距离 为 ．(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到 的距离调整为人体腿长的 时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 ，现
将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置 ，求 的长．
（结果精确到 ．参考数据： ， ， ）
【答案】(1)坐垫 到地面的距离约为
(2) 的长约为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数
的定义．
（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据坐㻗 到 的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为 ，求出 ，进而求出
即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，垂足为 ，
根据题意可知， ， ，
，
，
在 中， ，
所以坐垫 到地面的距离为 ，
答：坐垫 到地面的距离约为 ；（2）如图，由题意得，当 时，人骑行最舒服，
在 中， ，
所以 ，
答： 的长约为 ．
21．周六，小李和小张相约到图书馆去看书．如图，小李家在点 处，小张家在小李家的正南方向300米
的点 处，图书馆在小张家的南偏东 方向的点 处．小李骑自行车从家向正东方向前进到路口 ，再
沿 的南偏东 方向前行 米到图书馆 ；小张从家跑步到图书馆 ．
(1)小李家到路口 的路程是多少米？（结果保留根号）
(2)若小李骑自行车的速度是300米/分钟，小张跑步的速度是240米/分钟，请通过计算说明他们谁先到达
图书馆 ？（参考数据： ）
【答案】(1) 米
(2)小李先到达图书馆C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，矩形的性质，正确地找出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．（1）过C作 交 的延长线于E，过D作 于F，根据矩形的性质得到
，解直角三角形即可得到结论；
（2）由（1）知， 米，求得 米，根据时间＝路程÷速度即可得到结论．
【详解】（1）解：过C作 交 的延长线于E，过D作 于F，
则四边形 是矩形，
，
由题意得， ，
（米），
米，
米，
（米），
，
（米），
米，
答：小李家到路口D的路程是 米；
（2）解：由（1）知， 米，
米，
∵小李骑自行车的速度是300米/分钟，小张跑步的速度是240米/分钟，
∴小李所用时间为 （分钟），
小张所用时间为 （分钟），
答：小李先到达图书馆C．
22．直角 的两直角边 ．(1)分别求 的外接圆半径R与内切圆半径r；
(2)斜边 上的动点M作 ，垂足为H，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出 ，可求出R，设 的内切圆圆心为O，过点O作
，垂足分别为E，F，则 ，
，根据三角形内切圆的性质可得四边形 是正方形，从而得到
，可求出r，即可；
（2）作点H关于 的对称点，连接 ，过点D作 于点E，交 于点F，过点E作
于点G，则 ， ，可得 的最小值为 的长，当 时， 最小，此
时当点M与点E重合，即 的最小值为 的长，再根据直角三角形的性质可得
，设 ，则 ，可得 ，在 中，
，可求出x的值，即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∴ 的外接圆半径 ；
如图，设 的内切圆圆心为O，过点O作 ，垂足分别为E，F，则， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：如图，作点H关于 的对称点，连接 ，过点D作 于点E，交 于点F，过点E
作 于点G，则 ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 的长，
当 时， 最小，此时当点M与点E重合，即 的最小值为 的长，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即 的最小值为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与
内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键．
23．如图①，四边形 中， ， ， ， ， ．动点M在
上运动，从C点出发到B点，速度为每秒 ；动点N在 上运动，从B点出发到A点，速度为每
秒 ．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t
（秒）．
(1)当t为何值时， 是直角三角形？
(2)设 的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)如图②，连接 ，是否存在某一时刻t，使 与 互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或
(2)
(3)存在，
【分析】（1）分两种情况： 和 ，作 于 ，根据直角梯形的性质和勾股
定理求出 的长； 然后运用 的余弦求出时间即可 ；
（2）根据 ，代入数据整理即可；
（3）假设存在，经过推理求出时间 ．
【详解】（1）分两种情况:①作 于 ，
根据题意得， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
若
∴ ，
即 ，解得： ；
②当 时,，
解得： ；
综上 为 或 时， 是直角三角形；
（2）
，
又∵ 从 点运动到 点的时间为 秒， 点从 点运动到 点所需的时间为 秒，依题意，两者取小
值 秒，
；
（3）存在某一时刻 ，使 与 互相垂直；理由如下：
当 时， ，
∴ ，
如图②, 过点 作 于 ,依题意得： ， ，
，
解得： 秒，符合题意.，
∴存在 ，使 与 互相垂直．
【点睛】本题是四边形综合题，解答时用到锐角三角函数、二次函数、勾股定理．掌握分类讨论的数学思
想是解题的关键．
