文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（沈阳专用）
黄金卷 1
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题2分，共 20分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）有理数 的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
的相反数是 ，
故选A．
【点睛】本题考查相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，求相反数只用在前方添加负号即可．
2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【答案】C
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故答案为：C．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
3．（2022·江苏徐州·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关
键．
4．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）若点 在第一象限，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点 在第一象限，得到 ， ，即可得到点 所在的象限．
【详解】解： 点 在第一象限内，
， ，
，
点 所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所
在象限的关系是解题的关键．
5．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮
筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩
的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均
数
方差如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定
选乙同学去参赛．
【详解】解： 乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
应从乙和丁同学中选，
乙同学的方差比丁同学的小，
乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学；
故选：B
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（2022·山东济宁·统考中考真题）若关于x的不等式组 仅有3个整数解，则a的取值范围是
（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
【答案】D
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：
由①得，
由②得，
因不等式组有3个整数解
故选：D．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．
7．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ ）的会徽，在其主体图
案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解： ， ， ，
， ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是
解题的关键．
8．（2022·贵州安顺·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和
反比例函数y= （c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数 （a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，
得出c＜0，利用对称轴 ＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可．
【详解】解：因为二次函数 的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出
c＜0，利用对称轴 ＞0，得出b＜0，
所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数 经过二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函
数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键．
9．（2022·安徽·统考一模）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得 ；根据菱形和余角性质，得 ，从而得
；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合
概率的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，
∵两个菱形相同
∴
∴
又∵两个菱形
∴ ，
∴
∴
∴
∴阴影部分面积 ，
∴部分重叠的两个菱形面积 -阴影部分面积
∴最后停留在阴影部分的概率
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、
概率的性质，从而完成求解．10．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在 中， ， ，直角 的顶点 是
的中点，将 绕顶点 旋转，两边 ， 分别交 ， 于点 ， ．下列四个结论：①
；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ．在 旋转过程中，上述
四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质得： ， 平分 ．可证
， ，即证得 与 全等，根据全等三角形性质判断结论是否
正确．
【详解】解：∵ ，直角 的顶点P是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ 是等腰直角三角形，故②正确；
∵ 是等腰直角三角形，P是 的中点，
∴ ，∵ 不一定是 的中位线，
∴ 不一定成立，故③错误；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，故④正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰直角三
角形的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
11．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解： _________．
【答案】
【分析】先提取公因式 ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
12．（2022·四川资阳·中考真题）若a是一元二次方程 的一个根，则 的值是
___________．
【答案】6
【分析】将a代入 ，即可得出 ，再把 整体代入 ，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程 的一个根，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
13．（2021·内蒙古·统考中考真题）化简： _____．
【答案】1
【分析】直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=1．
故填1．
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
14．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2 ，DC＝4 ，将线段DC绕点D
按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．
【答案】24﹣6 4π
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4 ，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，
分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4 ，
∵cos∠ADE ，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S EDC 4π，
扇形
∵AE 6，
∴BE＝AB﹣AE＝4 6，
∴S DCBE 24﹣6 ，
四边形
∴阴影部分的面积＝24﹣6 4π，
故答案为：24﹣6 4π．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性
质解决问题是解题的关键．
15．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt 的直角顶点B在x轴的正半轴上，点
O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数 （ ）的图象经过OA的中点C，交 于点D，连
接 ．若 的面积是1，则k的值是_________．【答案】
【分析】连接OD，过C作 ，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到 ，
根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】解：连接OD，过C作 ，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数 （x＞0）的图象经过OA的中点C， ，
∴ ， ，2OC=OA，
∵ ，
∴△OCE∽△OAB，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴k＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一
个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．在反比例函数的图象上任意一点向
坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了相似三
角形的判定与性质．
16．（2022·广东深圳·统考中考真题）已知 是直角三角形， 连接
以 为底作直角三角形 且 是 边上的一点，连接 和 且 则
长为______．
【答案】
【分析】将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，HE，利用 证明 ，
得 ， ，则 ，即可解决问题．
【详解】解：将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，HE，是等腰直角三角形，
∴∠HBD=45°
∵∠FBD=45°
∴点B、F、H共线
又 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
三、解答题：本大题共有9小题，共82分。
17.（6分）（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）计算：
【答案】3
【分析】利用负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、0指数幂运算法则依次运
算，再将所得的值依次相加减即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、0指数幂运算法则、
二次根式的加减运算等内容，解决本题的关键是明确运算顺序以及牢记法则或公式即可．
18.（8分）（2022·江苏淮安·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，
球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中
任意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【答案】(1)
(2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是
故答案为： .
（2）解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有： ，共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 .
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.（8分）（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形 中，点O是 的中点，连接 并延长
交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形．理由见解析
【分析】（1）证 ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边△形的性质得AB=CD，再证AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵点O是 的中点
∴
在 和 中∴ （AAS）
∴
∴四边形 是平行四边形
（2）四边形 是菱形.
理由：∵四边形 是平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 是平行四边形
∴四边形 是菱形
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌
握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学
校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面
作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征
平均数 众数 中位数 方差
数A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）；
(2)统计表中，x＝ ，y＝ ；
(3)补全频数分布直方图；
(4)在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 学校（选填“A”或“B”）；
(5)按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分
钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 人．
【答案】(1)抽样
(2)
(3)见解析
(4)A
(5)920
【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
（2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y；
（3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图；
（4）根据方差即可判断；（5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可．
【详解】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
（2）x=50-5-15-8-4=18，
中位数为第25个和第26个平均数
故答案为：18，74.5．
（3）补全频数分布直方图：
（4）因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，
127.36＜144.12，
∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，
故答案为：A．
（5） （人）
故答案为：920．
【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真
观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（8分）（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 、 两种品牌的粽
子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进 品牌粽子100袋和 品牌粽子150袋，总费用
为7000元；第二次购进 品牌粽子180袋和 品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求 、 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当 品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，列出 关于 的函数关系式，求出函数的最值即
可．
【详解】（1）解：设 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元，
根据题意得， ，
解得 ，
故 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，
根据题意得，
，
∵ ，
∴当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方
程组是解题的关键．
22．（10分）（2022·内蒙古·中考真题）如图， 是 的外接圆， 与 相切于点D，
分别交 ， 的延长线于点E和F，连接 交 于点N， 的平分线 交 于点M．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得 ⊥EF，由 得OD⊥BC，由垂径定理得 ，
进而即可得出结论；
（2）由平行线分线段定理得 ，再证明 ，可得BD=2 ，最后证明
,进而即可求解．
（1）
证明：连接 交 于点H.
∵ 与 相切于点D
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 平分 ；
（2）
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，
等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．23．（10分）（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ．动点 从点
出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速度向点 运动；点 出发2秒后，动点 从点 出发，
沿折线 向点 运动，在 上的速度为1个单位长度 秒，在 上的速度为2个单位长度 秒．过
、 两点分别作 的平行线，这两条平行线在菱形上截出的阴影部分图形记作 ．点 运动的时间为
秒．
(1)直接写出 的长为______．
(2)当 时，G的面积是多少？
(3)设G的周长为y，当 时，求y与t之间的函数关系式．
(4)若去掉G以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，直接写出t值．
【答案】(1)4
(2)
(3)
(4)5
【分析】（1）利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可；
（2）当 时，利用梯形的面积公式解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答即可；
（4）利用剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形可得：当剩余部分均为全等的等边三角形时符合
条件，利用此条件列出关于 的方程即可求解．
【详解】（1）解： 四边形 为菱形，
．
，为等边三角形．
．
故答案为：4；
（2）解：当 时， ， ，
设过 、 两点分别作 的平行线交 于点 ， ，如图，
由（1）知： 为等边三角形，
，
，
，
，
， 为等边三角形，
， ．
的面积
；
（3）解：①当 时，
设过 、 两点分别作 的平行线交 于点 ， ，如图，由（1）知： 为等边三角形，
，
，
，
，
， 为等边三角形，
， ．
， ，
；
当 时， ；
②当 时，
设过 、 两点分别作 的平行线交 于点 ，交 于点 ，如图，
由（1）知： 为等边三角形，
同理， 为等边三角形，
， ，
，
， ，
，
， 为等边三角形，
， ，．
， ，
；
当 时， ；
③当 时，
设过 、 两点分别作 的平行线交 于点 ， ，如图，
由②知： 为等边三角形，
．
，
，
，
， 为等边三角形，
，
，
，
， ，
，
当 时， ．
综上，当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
（4）若去掉 以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则剩余的两部分图形为全等的等边三角形，如图，
，即 ，
，
．
则若去掉 以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的面积，一
次函数的性质，本题是动点问题，利用已知条件表示出相应线段的长度是解题的关键．
24．（12分）（2022·山东济宁·校考二模）如图1，正方形 对角线 、 交于点 ， 、 分别
为正方形 边 、 上的点， 交于点 ，且 ， 为 中点．
(1)请直接写出 与 的数量关系
(2)若将 绕点 旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说
明理由；
(3)若 ， 为 中点， 绕点 旋转过程中，直接写出点 与点 的最大距离______．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析(3)
【分析】（1）如图1，连接 ，由正方形的性质可知， 是 的中点， ， ，由
可知 为 的中点， 是等腰直角三角形，则 ，由N为 中点，可知 和
分别为 和 的中位线，根据中位线的性质可得 ， ，在 中，
由勾股定理可求得 ；
（2）如图2，连接 ，连接 、 交于点 ， 证明 ，则，
，在 中，由三角形内角和求得 ，则 ， 和 分别为
和 的中位线，根据中位线的性质可得 ， ，在 中，由勾股定
理可求得 ；
（3）由题意知， ， ，可知 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
如图3，由题意知，当 、 、 三点共线时， 取最大与最小值，根据二者的差为 的直径计算求
解即可．
【详解】（1）解： ．
如图1，连接 ，
由正方形的性质得， 是 的中点， ， ，
∵ ，
∴ 为 的中点，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ，
∵N为 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
（2）解：成立．
证明如下：如图2，连接 ，连接 、 交于点 ，
由（1）知 ， ，
由正方形的性质得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 为 的中点，N为 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
（3）解：由题意知， ， ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图3，
由题意知，当 、 、 三点共线时， 取最大与最小值，且最大与最小的差为 的直径 ，
∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为 ．
故答案为∶
【点睛】本题考查了正方形的性质，中位线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全
等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正弦，圆的概念等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握
与灵活运用．
25．（12分）（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图，点 为线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点
，求线段 长度的最大值．
(3)动点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上由点 向点 运动，同时动点 以每秒 个单位长度的
速度在线段 上由点 向点 运动，在平面内是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形
是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)当 时，
(3)存在， 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令 ，可得 ，求解即可得点 的坐
标；
（2）由 两点坐标求出直线 的解析式，进而设出点 的坐标，进而得出结论；
（3）要使点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，只需 为等腰三角形，所以 ，
或 ，结合图形得到答案即可．
【详解】（1）解：由题意，将点 、 代入 ，
可得 ，解得 ，∴ ，
当 时，可有 ，
解得 ， ，
∴ ；
（2）设直线 的解析式为 ，将点 、 代入，
可得 ，解得 ，
∴ ，
设点 ， ，
∴ ，
∴当 时，有 ；
（3）如图1，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
作 轴于 ，
∴ ，
当 时，
∴ ，∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
由 得，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，
当 时，作 轴于 ，作 轴于 ，
∴ ，
可得四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，当 时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰三角形
的性质和菱形的性质等知识，解题关键是熟练掌握先关知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题，
并画出符合条件的图形．
