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【赢在中考·黄金 8 卷】备战 2023 年中考数学全真模拟卷（呼和浩特专
用）
黄金卷 2
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（河南·中考真题）下列各数中，最小的数是( )
1 1
A．0 B． C．− D．−3
3 3
【答案】D
【分析】比较选项中有理数的大小得到最小的数．
1 1
【详解】解：−3<− <0< ．
3 3
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数比较大小的方法．
2．（2014·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若
∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，
计算即可得出∠CON的度数．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．
3．（2022·湖北十堰·统考中考真题）下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据各个几何体的主视图和俯视图进行判定即可．
【详解】解：A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，故选项A不符合题意；
B、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故选项B不符合题意；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心，故选项C符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握各种几何体的三视图的形状是解题的关键．
4．（2022·山东淄博·统考中考真题）计算(−2a3b) 2−3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【答案】C
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式=4a6b2−3a6b2=a6b2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
5．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）关于x的不等式组¿有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1<x<a，根据不等式组有且只有三个整数解
的条件计算出a的最大值．
1 2
【详解】解不等式− x> −x，
3 3
1 2
− x+x> ，
3 3
2 2
∴ x> ，
3 3
∴x>1，
1 1
解不等式 x−1< (a−2)，
2 2
1 1
得 x< (a−2)+1，
2 2
∴x<a，
∴¿的解集为1<x<a，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4<a≤5,
∴a的最大值应为5
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
6．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）下列说法正确的是( )
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S2 =2.5，S2 =8.7，则乙组数据较稳定
甲 乙
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
【答案】A
【分析】根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即
可．
【详解】解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，
故此选项正确，符合题意；B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合
题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S2 =2.5，S2 =8.7，则S2 ＜S2 ，则甲组数据较稳定，故选项错误，
甲 乙 甲 乙
不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7” 是不可能事件，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关
键是熟练掌握各知识点．
7．（2022·山东威海·统考中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，
0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是( )
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
【答案】C
【分析】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点M的解析式，即可求解．
【详解】解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则¿，
解得¿，
2
∴直线PQ的解析式为y=− x+2，
3
∵ MN∥PQ，
2
设MN的解析式为y=− x+t，∵M(1，4)，
3
2
则4=− +t，
3
14
解得t= ，
32 14
∴ MN的解析式为y=− x+ ，
3 3
10
当x=2时，y= ，
3
8
当x=3时，y= ，
3
当x=4时，y=2，
4
当x=5时，y= ，
3
故选C
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）如图，⊙O的半径为5，边长为4的正六边形
ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O交点，则图中阴影部分的面积是（ ）
5 3√3 5 25 25 3√3
A． π− B． π−√3 C． π−4√3 D． π−
4 4 4 6 6 4
【答案】C
【分析】连接OA、OB，并延长分别交⊙O于点G、P，延长CB、BA，分别交⊙O于点H、Q，设M´N、
NA、AB、BN围成的面积为S ；BG、BH、G´H围成的面积为S ；BG、BM、G´M围成的面积为S ；AN、
1 2 3
AP、N´P围成的面积为S ；AQ、AP、P´Q围成的面积为S ，根据正六边形和圆的对称性可知：
4 5
S =S =S =S ，根据S =S −S ，求解即可．
2 3 4 5 阴影 扇形OPG △ABO
【详解】连接OA、OB，并延长分别交⊙O于点G、P，延长CB、BA，分别交⊙O于点H、Q，如图，设M´N、NA、AB、BN围成的面积为S ；BG、BH、G´H围成的面积为S ；BG、BM、G´M围成的面积为
1 2
S ；AN、AP、N´P围成的面积为S ；AQ、AP、P´Q围成的面积为S ，
3 4 5
根据正六边形和圆的对称性可知：S =S =S =S ，
2 3 4 5
∴S =S +S +S =S +S +S =S −S ，
阴影 1 2 3 1 2 4 扇形OPG △ABO
根据题条件有OP=OG=5，AB=4，
∵在正六边形ABCDEF中可知：AO=BO，∠AOB=60°，
60×π×52 25
∴S = = π，△ABO是等边三角形，
扇形OPG 360 6
∴AB=AO=BO=4，
设等边△AOB中BO边上的高为h，
则有ℎ =OA×sin∠AOB=OA×sin60°=2√3，
1
∴S = ×4×2√3=4√3，
△AOB 2
25
∴S = π−4√3，
阴影 6
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正六边形的性质、解直角三角形等知识正确的识别图形是解题的关
键．
9．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画
出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，
则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）A．298 B．299 C．2197 D．2198
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第1个等腰直角三角形的直角边长，求出第1个等腰直角
三角形的面积，用同样的方法求出第2个等腰直角三角形的面积，第3个等腰直角三角形的面积，找出其中
的规律即可求出第100个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当x=0时，y=x+1=1，
根据题意，第1个等腰直角三角形的直角边长为1，
1 1
第1个等腰直角三角形的面积为 ×1×1= ，
2 2
当x=1时，y=x+1=2，
∴第2个等腰直角三角形的直角边长为2，
1
第2个等腰直角三角形的面积为 ×2×2=2，
2
当x=3时，y=x+1=4，
∴第3个等腰直角三角形的直角边长为4，
1
第3个等腰直角三角形的面积为 ×4×4=8，
2
1
依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为 ×4100−1=2197 ，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律
是解题的关键．
10．（2022·山东济南·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+1与y轴
的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组
成图形G．点M(x ，y )，N(x ，y )为图形G上任意两点．若对于x =m+3，x =m−3，都有y <y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则m的取值范围（ ）A．0<x<3 B．−3<x<0 C．x<3 D．−3<x<3
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可求出其对称轴为直线x=m，又可用m表示出点M和点N的坐标，且点M和点
N关于直线x=m对称，再分类讨论当m变化时，y轴与点M，N的相对位置，即可解答．
2m
【详解】解：抛物线y=−x2+2mx−m2+1的对称轴为x=− =m，
−2
∵点M(x ，y )，N(x ，y )为图形G上任意两点，x =m+3，x =m−3，
1 1 2 2 1 2
∴当x=m+3时，y=−(m+3) 2+2m(m+3)−m2+1=−8，
当x=m−3时，y=−(m−3) 2+2m(m−3)−m2+1=−8，
∴ M(m−3，−8)，N(m+3，−8)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点．
分类讨论当m变化时，y轴与点M，N的相对位置：
如图，当y轴在点M左侧时(含点M)，
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y = y ，不符题意；
1 2
如图，当y轴在点N右侧时(含点N)，
经翻折后，点M，N的纵坐标相同，y = y ，不符题意；
1 2
如图，当y轴在点M，N之间时(不含M，N)，经翻折后，点M在l下方，点N，P重合，在l上方，y <y ，符合题意．
1 2
此时m−3<0<m+3，
解得：−3<m<3．
综上所述，m的取值范围为−3<m<3．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
11．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知ab=2，a+b=3，则a2b+ab2的值为_____．
【答案】6
【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【详解】解：a2b+ab2
=ab(a+b)
=2×3
=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
k
12．（2022·贵州遵义·统考中考真题）反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=x−1交于点A(3,n)，则k的
x
值为__________．
【答案】6
【分析】将点A(3,n)，代入y=x−1，求得n，进而即可求解．【详解】解：将点A(3,n)，代入y=x−1，
即n=3−1=2，
∴A(3,2)，
∴k=3×2=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点A的坐标是解题的关键．
13．（2022·西藏·统考中考真题）已知Rt ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt ABC绕AC所在的直线
旋转一周形成的立体图形的侧面积为 _△____（结果保留π）． △
【答案】60π
【分析】直角三角形绕其中一直角边旋转180°得到的几何体是圆锥，由此可知所求为圆锥的侧面积，代入
圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】由勾股定理得AB＝10，
∵BC＝6，
∴圆锥的底面周长＝12π，
1
旋转体的侧面积＝ ×12π×10＝60π，
2
故答案为：60π．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握相关定义定理，认真读题，仔细解答是本题的解题关键．
14．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，
两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概
率是______．
2
【答案】
3
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利
用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
8 2
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为 = ．
12 3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率
所求情况数
= ．
总情况数
15．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落
在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；
当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．
【答案】 3√3 6−3√3
【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，
AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.
【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
1
∴AE=EB= AB=3，
2
在Rt AEF中，∠A=60°，AE=3，
△ EF
tan60°= ，
AB
∴EF=3√3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG△=DCsin60°=3√3，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3√3，
故答案为：3√3；6-3√3．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
1 2
16．（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数
2 7
1 1 2
记为a ，且满足 + = ．则a = ________，a = ________．
n a a a 4 2022
n n+2 n+1
1 1
【答案】
5 3032
2
【分析】由题意推导可得an= ，即可求解．
3(n−1)+1
2 1 2 2
【详解】解：由题意可得：a1=2= ，a2= = ，a3= ，
1 2 4 7
1 1 2
+ =
∵ ，
a a a
2 4 3
1
∴2+ =7，
a
4
1 2
∴a4= = ，
5 10
1 1 2
+ =
∵ ，
a a a
3 5 42
∴a5= ，
13
1 2
同理可求a6= = ，⋯
8 16
2
∴an= ，
3(n−1)+1
2 1
∴a2022= = ，
6064 3032
1 1
故答案为： ， ．
5 3032
【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2022·江苏无锡·统考中考真题）计算：
(1) | − 1| ×(−√3) 2 −cos60∘；
2
(2)a(a+2)−(a+b)(a−b)−b(b−3)．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可
求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
（1）
1 1
解：原式= ×3−
2 2
3 1
= −
2 2
=1；
（2）
解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记
特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
18．（8分）（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC
的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证： ABE≌ FCE；
(2)若AD=△2AB，求△证：四边形DEFG是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
¿，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四
边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
19．（10分）（2022·山东淄博·统考中考真题）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼
仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展
为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门
且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同
一门课程的概率．
【答案】(1)120，99
(2)见解析
1
(3)
5
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由
概率公式求解即可．
（1）
解：参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120（名），
33
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°× =99°，
120
故答案为：120，99；
（2）
54°
解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120× =18（名），
360°
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24（名），
补全条形统计图如下：
（3）
解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
5 1
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为 = ．
25 5
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗
杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置
测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，
求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：√3≈1.7）
【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然
后设AG＝xm，在Rt AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在
Rt ADG中，利用锐△角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解．
【△详解】解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt AFG中，∠AFG＝45°，
△ AG
∴FG= =x（m），
tan45°
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt ADG中，∠ADG＝30°，
△ AG x √3
∴tan30°= = = ，
DG x+8 3
∴x＝4√3+4，经检验：x＝4√3+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
21．（7分）（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图
6
象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y= −|x|的图象，并探
|x|
究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
6
(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
|x|
(3)运用函数图象及性质6
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
|x|
6
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
|x|
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
6
(2)y= −|x|的图象关于y轴对称轴（答案不唯一）
|x|
(3)①x=1或x=−1；②x≤−2或x≥2
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
6
【详解】（1）①列表：当x=2时，a= −|2|=1，
|2|
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
6
（2）观察函数图象可得：y= −|x|的图象关于y轴对称，
|x|
6
故答案为：y= −|x|的图象关于y轴对称；
|x|
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
6
−|x|=5的解是x=1或x=-1，
|x|
故答案为：x=1或x=-1，②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
6
∴ −|x|≤1的解集是x≤-2或x≥2，
|x|
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息
是解题的关键．
22．（7分）（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果
进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进
乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如
何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用
1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答
案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝
（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，
1000 1200
由题意得：
= +10，
(1−20%)x x
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解且符合题意，
则(1−20%)x=0.8×5=4，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：y=(6−4)a+(8−5)(150−a)=−a+450，
∵－1＜0，∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴a≥2(150−a)，
解得：a≥100，
∴当a=100时，y取最大值，此时y=−100+450=350，150−a=50，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等
量关系列出方程和解析式是解题的关键．
23．（10分）（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B
两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
【答案】(1)证明见解析
√10
(2)
10
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰
三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而
可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝
2，然后在Rt EBC中，根据勾股定理可求出EC的△长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）△证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+△（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt EBC中，EC＝√EB 2+BC2＝√62+22＝2√10，
△
BC 2 √10
∴cos∠ECB＝ ＝ ＝ ，
EC 2√10 10
√10
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝ ，
10
√10
∴cos∠CDA的值为 ．
10
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数
的定义是解题的关键．24．（12分）（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，
(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达
式．
【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c<d；理由见解析
2 8 1 2 8 1
(3)二次函数的表达式为y= x2+ x- 或y=− x2− x+ ．
9 9 9 9 9 9
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情
况，利用数形结合求解即可；
（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．
（1）
解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
（2）
解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c<d；
（3）
解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即¿，解得：¿，
2 8 1
∴二次函数的表达式为y=− x2− x+ ．
9 9 9
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即¿，解得：¿，
2 8 1
∴二次函数的表达式为y= x2+ x- ．
9 9 92 8 1 2 8 1
综上，二次函数的表达式为y= x2+ x- 或y=− x2− x+ ．
9 9 9 9 9 9
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）
（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
