【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（大连专用）
黄金卷 2
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题3分，共 30分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）−2的相反数是（ ）
1 1
A． B．2 C．− D．−2
2 2
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【详解】解：−2的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解题关键是牢记相反数的定义．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，
则他的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在图中．【详解】解：从几何体的正面看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看得见的小三角形画为实线，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不
到的用虚线表示．
x 1
3．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+3 x−1
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，¿
∴x>−3且x≠1
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
4．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【答案】C
【分析】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质得到∠1=∠4=100°，再根据三角形
的外角和定理 即可求解．
【详解】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，如图，∵m∥n，∠1=100°，
∴∠1=∠4=100°，
∵∠2=30°，∠2与∠5互为对顶角，
∴∠5=∠2=30°，
∴∠3=∠4+∠5=100°+30°=130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
5．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论
错误的是（ ）
A．AE=AF B．∠EAF=∠CBF C．∠F=∠EAF D．∠C=∠E
【答案】C
【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴该多边形内角和为：(5−2)×180°=540°，AB=AE，
540°
∴∠C=∠E=∠EAB=∠ABC= =108°，故D选项正确；
5
∵△ABF是正三角形，
∴∠FAB=∠FBA=∠F=60°，AB=AF=FB，
∴∠EAF=∠EAB−∠FAB=108°−60°=48°，∠CBF=∠ABC−∠FBA=108°−60°=48°，
∴∠EAF=∠CBF，故B选项正确；
∵AB=AE，AB=AF=FB，
∴AE=AF，故A选项正确；
∵∠F=60°，∠EAF=48°，
∴∠F≠∠EAF，故C选项错误，故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数
相等”是解题的关键．
6．（2022·河北·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形
（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在△ABC
和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6，0<b<2，从而可得4<a+b<8，2<a−b<6，再
在△ACE中，根据三角形的三边关系定理可得a−b<d<a+b，从而可得2<d<8，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，
在△ABC中，5−1<a<1+5，即4<a<6，
在△CDE中，1−1<b<1+1，即0<b<2，
所以4<a+b<8，2<a−b<6，
在△ACE中，a−b<d<a+b，
所以2<d<8，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
7．（2022·四川自贡·统考中考真题）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，
正确说法是（ ）
A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差3 D．众数是14【答案】D
【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可．
13+14+14+14+15+15 85
【详解】解：A．六位同学的年龄的平均数为 = ，故选项错误，不符合题意；
6 6
B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15，
14+14
∴中位数为 =14，故选项错误，不符合题意；
2
85 2 85 2 85 2
(13− ) +3(14− ) +2(15− )
C．六位同学的年龄的方差为 6 6 6 17，故选项错误，不符合题意；
=
6 36
D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的求法是解题
的关键．
8．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么
m3+2m2−2025m+2022的值为（ ）
A．−2022 B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．
【详解】∵m为x2+3x−2022=0的根据，
∴m2+3m−2022=0，且m≠0，
∴m3+3m2−2022m=0，
则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到
m2+3m−2022=0是解答本题的关键．
9．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：OA=OC,AB=BC，
又∵OB=OB，
∴△OAB≅△OCB，
∴∠AOB=∠COB，
∴OB平分∠AOC．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：OA=OB,OC=OD，
又∵∠COB=∠AOD，
∴△OBC≅△OAD，
∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，
∴AC=BD，
∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，
∴△AEC≅△BED，
∴AE=BE，
∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，
∴△OAE≅△OBE，∴∠AOE=∠BOE，
∴OE平分∠AOB．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，
∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，
∴∠DOB=∠CDO，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD平分∠AOB．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：OA=BC,OC=AB，
又∵OB=OB，
∴△AOB≅△CBO，
∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线
AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函
数图象如图2所示，则AB的长为（ ）A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
【答案】B
【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3√3解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为3√3，
√3
∴△ABD的面积= a2=3√3
4
解得：a=2√3(负值已舍)
故选B
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此
题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
2 5
11．（2022·湖南长沙·统考中考真题）分式方程 = 的解是_____________ .
x x+3
【答案】x=2
【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故答案为：x=2．
【点睛】考点：解分式方程．
12．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C
或者同时闭合开关A，B，都可使小灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于
____________
1
【答案】
3
【分析】根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，只有闭合C时才发光，所以小灯泡发光的概
1
率等于 .
3
1
【详解】解：根据题意，三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于 .
3
【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
m
件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=
.
n
13．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△ABC 的位置．若顶
1 1 1
点A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是________．
1 1
【答案】（1，3）
【分析】根据点A和点A 的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论．
1【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
又−3+5=2,4+1=5
∴平移ΔABC至ΔA B C 的规律为：将ΔABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
1 1 1
ΔA B C
1 1 1
∵B（﹣4，2）
∴B 的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
1
故答案为：（1，3）
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键．
14．（2022·广西玉林·统考中考真题）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，
AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是_____________．
【答案】1
【分析】根据题意结合图象得出AB=AD=1，l =CD+CB=2，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即
^BD
可．
【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1，
l =CD+CB=2
⏜ ，
BD
1 1
∴S = l ×r= ×2×1=1，
扇形ABD 2 ⏜ 2
BD
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
15．（2022·江苏南通·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出
七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7
钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．
【答案】5x+45=7x-3
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得
解．
【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
16．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠BAD=60°．在其内部作形状、
大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB,BC,CD,DA上，点M，N在
对角线AC上．若AE=3BE，则MN的长为___________．
√3 1
【答案】 ## √3
2 2
【分析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM和MN的长，然后即可计算出MN的长．
【详解】解：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=1，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠BAC=30°，AC⊥BD，
∵△ABD是等边三角形，
1
∴OD= ，
2
√ 1 2 √3
∴AO=√AD2−DO2= 12−( ) = ,
2 2
∴AC=2AO=√3，
∵AE=3BE，
3 1
∴AE= ，BE= ，
4 4∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
1
∴BE=BF= ，∠FBJ=60°，
4
1 √3 √3
∴FJ=BF•sin60°= × = ,，
4 2 8
√3
∴MI=FJ= ，
8
√3
MI 8 √3
∴AM= = = ，
sin30° 1 4
2
√3
同理可得，CN= ,
4
√3 √3 √3
∴MN=AC-AM-CN=√3− − = ,
4 4 2
√3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出
AC、AM和MN的长．
三、解答题：本大题共有6小题，共102分。
x2−4 x+3 x
17.（9分）（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）先化简，简求值： ÷ + ，其中
x2−4x+4 x2−2x x+3
(1) −2
x= ．
2
【答案】x，4
【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可．
x2−4 x+3 x
【详解】解： ÷ +
x2−4x+4 x2−2x x+3
(x+2)(x−2) x(x−2) x
= ⋅ +
(x−2) 2 x+3 x+3x2+2x x
= +
x+3 x+3
x(x+3)
=
x+3
=x
(1) −2
x= =4，
2
当x=4时，原式=4
【点睛】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
18.（10分）（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足
球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学
生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的学生共有_______人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______°；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若全校共有1200名学生， 估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
【答案】(1)200、108；
(2)见解析
(3)900人
【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；（3）用样本估计总体可得结论．
（1）
本次调查的学生共有30÷15%=200（人），
60
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°× =108°，
200
故答案为：200、108；
（2）
C活动人数为200-（30+60+20）=90（人），
补全图形如下：
（3）
60+90
1200× =900（人）
200
所以，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数为900人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
19（10分）（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，
且四边形BEDF为正方形．(1)求证AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5．求CF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)CF=1
【分析】（1）直接根据已知条件证明Rt ΔADE和Rt ΔCBF全等即可得出答案．
（2）由平行四边形的面积公式求出DE=4，然后即可得出答案．
【详解】（1）∵四边形DEBF是正方形，ABCD是平行四边形，
∴DE=BE=BF=DF，AD=BC，∠DEB=∠BFD=90°，
在Rt ΔADE和Rt ΔCBF中，
∵¿ ，
∴ Rt ΔADE≅ Rt ΔCBF(HL)，
∴AE=CF；
（2）由题意可知：S =AB⋅DE=20，
平行四边形ABCD
∵AB=5，
∴DE=4，
∴BE=DE=4，AE=1，
由（1）得CF=AE=1．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质及三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关性
质并能灵活运用．
20．（10分）（2022·湖南郴州·统考中考真题）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣
毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有
机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有
机肥共需1700元．
(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥
多少吨？
【答案】(1)甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元
(2)小妏最多能购买甲种有机用6吨【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每
吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元列出二元一次方程组求解即可；
（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购实乙种有机肥(10−m)吨，根据总费用不能超过5600元列不等式求解
即可．
【详解】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
根据题意，得¿, 解得¿,
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购实乙种有机肥(10−m)吨，
根据题意，得600m+500(10−m)≤5600，解得m≤6．
答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量
关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出不等式和一次函数关系式．
3 12
21．（9分）（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，直线y=− x+b与反比例函数y= 的图象相交于
2 x
点A，B，已知点A的纵坐标为6
(1)求b的值；
(2)若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【答案】(1)b=9
(2)C(4,0)，或C(8,0)
12 3
【分析】（1）把y=6代入y= 得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入y=− x+b，得到b=9；
x 23
y=− x+9
2 12
（2）解方程组{ ，得到 x=2(舍去)，或x=4，y= =3，得到B(4,3)，设C(x,0)，直线与x轴交
12 4
y=
x
3
点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，得到AE=6，BF=4，根据y=− x+9=0时，
2
1 1
x=6，得到D(6,0)，推出CD=|x−6|，根据S =S −S = CD⋅AE− CD⋅BF
△ABC △ACD △BCD 2 2
3
= |x−6| =3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，或C(8,0)．
2
3 12
【详解】（1）解：∵直线y=− x+b与反比例函数y= 的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，
2 x
12
∴6= ，x=2，
x
∴A(2,6)，
3
∴6=− ×2+b，b=9；
2
3
y=− x+9
2 3 12
（2）{ ，即− x+9= ，
12 2 x
y=
x
∴x=2(舍去)，或x=4，
12
∴y= =3，
4
∴B(4,3)，
设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
3
y=− x+9=0时，x=6，
2
∴D(6,0)，
∴CD=|x−6|，
∴S =S −S
△ABC △ACD △BCD
1 1
= CD⋅AE− CD⋅BF
2 21
= CD(AE−BF)
2
1
= |x−6|(6−3)
2
3
= |x−6|，
2
∵S =3，
△ABC
3
∴ |x−6|=3，x−6=±2，
2
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和反
比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积计算公式．
22．（10分）（2022·内蒙古包头·中考真题）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草
莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整
数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=¿草莓价格m（单位：元/千克）与x之间
的函数关系如图所示．(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；
(2)求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
【答案】(1)40千克
(2)m=−x+28
(3)第10天的销售金额多
【分析】（1）把x=14代入y=−20x+320求出y值即可；
（2）用待定系数法求解，设m与x之间的函数关系式为m=kx+b，把(4,24),(12,16)代入，求出k，b值即
可求解；
（3）把x=8，x=10分别代入y=12x，求出y，再把x=8，x=10分别代入（2）问所求解析式求出m值，然后
分别求出my值，比较即可求解．
【详解】（1）解：∵当10<x≤16时，y=−20x+320，
∴当x=14时，y=−20×14+320=40（千克）．
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）解：当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m=kx+b，
∵点(4,24),(12,16)在m=kx+b的图像上，
∴¿解得¿
∴函数关系式为m=−x+28．
（3）解：∵当0≤x≤10时，y=12x，
∴当x=8时，y=12×8=96，
当x=10时，y=12×10=120．
∵当4≤x≤12时，m=−x+28，∴当x=8时，m=−8+28=20，当x=10时，m=−10+28=18．
∴第8天的销售金额为：96×20=1920（元），
第10天的销售金额为：120×18=2160（元）．
∵2160>1920，
∴第10天的销售金额多．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图像，能从函数图像获取有用作
息，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
23．（10分）（2022·浙江宁波·统考中考真题）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，
为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长
可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线
上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否
伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB
的长，进行比较即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，BD 9
∴AB= ≈ =15（m），
cos53° 0.6
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= √AD2+BD2=√172+92=√370（m），
∵√370m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（11分）（2022·广西·中考真题）如图，AB为圆的直径， C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延
长线于点M．作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD ．
(1)求证：MC是⊙O的切线：
(2)若 AB＝BM＝4，求 tan∠MAC的值
【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
【分析】（1）连接OC,得∠OCA=∠OAC,由AC平分∠MAD得∠OAC=∠DAC,可知∠
OCA=∠DAC,故得OC∥AD,由AD⊥MC得OC⊥MC,从而可得结论；
（2）证明△MBC~ΔMCA,可求出MC=4√2,过点B作BN⊥MC,得△MBN∼ΔMOC,得MB BN MN 2 4 4 BN
= = = ,从而求出BN= ,NC= √2,进一步可求出tan∠MAC=tan∠BCN= ⋅
MO OC MC 3 3 3 NC
（1）
连接OC,如图，
∴OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠MAD，
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴AD//OC，
∴∠OCM=∠ADC，
∵AD⊥MC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥MC,
∵OC是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线
（2）
∵OC⊥MC,
∴∠MCO=90°,
∴∠BCM+∠BCO=90°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACO=∠BCM,
∵∠ACO=∠OAC,∴∠OAC=∠BCM，
又∠M=∠M，
∴△MBC~ΔMCA.
MB MC
∴ = ,
MC AC
∵AB=BM=4,
1
∴MA=AB+MB=8,OC=OB= AB=2,
2
4 MC
∴ = ,
MC 8
∴MC2=32,
∴MC=4√2 (负值舍去)
过B作BN⊥MC于点N.
∵OC⊥MC,
∴BN∥OC,
∴△MBN∼ΔMOC,
MB BN MN
∴ = = ,
MO OC MC
4 BN MN
∴ = = ,
4+2 2 4√2
4 8√2
∴BN= ,MN= ，
3 3
8 4
∴NC=MC−MN=4√2− √2= √2,
3 3
4
BN 3 √2
∴tan∠MAC=tan∠BCN= = = .
NC 4 2
√2
3
【点睛】本题考查了切线的判定，半径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，求锐角的正切值，
正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．（11分）（2022·山东威海·统考中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于
点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：
若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在 ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的
字母），使△得BD＝CE，并证明．
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在 ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延
长线上一点△．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)添加条件CD=BE，见解析
(3)能，0＜CF＜√5−1
【分析】（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．
②利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运
用相似性质，求得CF的长即可．
【详解】（1）①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，
2 2
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
BF CF
∴ = ，
AF BF
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
2 x
∴ = ，
x+2 2
整理，得x2+2x−4=0，
解得x=√5−1，x=−√5−1（舍去），
故CF= x=√5−1，
∴0＜CF＜√5−1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次
方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
26.（12分）（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛
物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点
P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+x+2(−1<x<2)
(2)b=2或b=3
(1+√17 )
(3)存在，(1,0)或 ,0 或(1+√5,0)
2
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
【详解】（1）解：由翻折可知：C(0,2).
令x2−x−2=0，解得：x =−1，x =2，
1 2
∴A(−1,0)，B(2,0)，
设图象W的解析式为y=a(x+1)(x−2)，代入C(0,2)，解得a=−1，
∴对应函数关系式为y=−(x+1)(x−2)=−x2+x+2 (−1<x<2)．
（2）解：联立方程组¿，
整理，得：x2−2x+b−2=0，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=−x+b与图象W有三个交点；
1
（3）解：存在．如图1，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N与C关于直线x= 对称，
2∴点N的横坐标为1，∴P(1,0)；
如图2，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N点纵坐标为2，
1+√17 1−√17
由x2−x−2=2，解得x = ，x = （舍），
1 2 2 2
1+√17
∴N的横坐标为 ，
2
(1+√17 )
所以P ,0 ；
2
如图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，此时，直线CN的解析式为y=x+2，
联立方程组：¿，解得x =1+√5，x =1−√5（舍），
1 2
∴N的横坐标为1+√5，
所以P(1+√5,0)，
(1+√17 )
因此，综上所述：P点坐标为(1,0)或 ,0 或(1+√5,0)．
2
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数
的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的
运用，属于综合题型，有点难度．
