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第十一章 三角形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，3，5 B．3，6，9 C．3，4，5 D．5，8，13
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分
析即可得出答案．注意：只需验证较小的两边之和是否大于最长边．
【详解】解：A． ，故不能组成三角形；
B． ，故不能组成三角形；
C． ，故能组成三角形；
D． ，故不能组成三角形．
故选择：C．
2．一个多边形的内角和是 ，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．7 D．6
【答案】A
【分析】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．由多边形内角和定理：
且 为整数），可求多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是 ，
由题意得： ，
，
故选：A
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
先求出 ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得： ，
由三角形的外角性质得， ，
故选：C．
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框 ， 、 、 、 分别是四条边上的中点，为使它稳固，
需要在窗框上钉一根木条，则这根木条应钉在（ ）
A． 、 两点之间 B． 、 两点之间 C． 、 两点之间 D． 、 两
点之间
【答案】A
【分析】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成
三角形．根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】A．若钉在 、 两点之间构成了三角形，能固定窗框，故符合题意；
B．若钉在 、 两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意；
C．若钉在 ， 两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意；
D．若钉在 ， 两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意；
故选A．
5．如图， ， 交 于点F，连接 ， ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质以及三角形的外角定理，掌握平行线的基本性质以及三角形外角的性质是
解题关键．根据平行线的性质和三角形外角定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
根据三角形外角定理， ，
∴ ，
故选：A．
6．如图所示的地面由正八边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则 的度数为（ ）
A．75° B．90° C．100° D．120°
【答案】B
【分析】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角的计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图形
镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键．
先计算出正八边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解．
【详解】解：正八边形的一个内角度数为 ，
∴ 的度数为 ，
故选：B．
7．如图，在 中，关于高的说法正确的是（ ）A．线段 是 边上的高 B．线段 是 边上的高
C．线段 是 边上的高 D．线段 是 边上的高
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段
叫做三角形的高．根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可．
【详解】解： 中， ， ， 边上的高分别为线段 ，线段 ，线段 ．
观察四个选项，选项B符合题意．
故选：B．
8．如图，将 平移后得到 ，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状、大小和方向；②经过平移，对应点
所连的线段平行或在同一直线上，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了三角形的外角性质．由
平移前后对应角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出
，再根据对应线段平行得到答案即可．
【详解】∵将 平移后得到 ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
故选：B．
9．如图，在 中，已知点 为 的中点，点 在 边上，且 ， 相交于点 ，若
的面积为 ，则四边形 的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接 ，由 ，设 ，得
， ，又点 为 中点，则 ， ，设 ，从而有
，根据 得 ，解出 ，然后由 的面积为 即可求出 ，熟练
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
由 ，设 ，
∴ ， ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，解得： ，
∴ ， 解得： ，
∴四边形 的面积是 ，
故选： ．
10．如图，将五边形 沿虚线裁去一个角，得到六边形 ，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加 ；
④六边形 的内角和为 ．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质．
根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外
角和都为 ，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．
【详解】解：∵将五边形 沿虚线裁去一个角，得到六边形 ，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是 ，
∴③的说法错误；
∵五边形的边数增加了1，∴根据多边形内角和定理可知六边形 的内角和为 ．
∴④的说法正确；
综上可知：说法正确的是②④，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于
两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得 ，再解不等式可得x的范围，
然后再确定x的值即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
解得： ，
∵第三边的长为奇数，
∴ 、5或7，
∴第三边的长的最大值为7．
故答案为：7．
12．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，即 ，则图中 的度数是 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查多边形的内角、补角的定义和平行四边形的性质，明确五边形的内角和及平行线的
性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得 ，然后根据多边形内角和求出 ，再根据
补角的定义即可得出答案．
【详解】如图：∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴ ，
∵图形N是五边形，
，
平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴ ．
故答案为：30．
13．如图， 为钝角三角形，分别过点A、B作 、 边上的高 、 ，已知
，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长. 利用三角形的面积公式求得 ，
再利用 ，求解即可.
【详解】解： ，且 ，
，
，且 ，
，解得 ，
故答案为：6.
14．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面，靠背 与支架 平行，
前支架 与后支架 分别与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，当 ，
时，人躺着最舒服，此时扶手 与靠背 的夹角 °．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得
，得到 ，由 ，可得 ，再根据三角形的外角性
质即可求解．
【详解】解：根据题意可得 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．我们知道：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图，若n边形的一个外角是 ，与它不
相邻的所有内角之和是 ，则x、y与n之间的数量关系是 ．【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，熟记多边形内角和公式是解题的关键；
根据多边形的内角和定理列方程求解即可．
【详解】解： n边形的一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角是 ，
与这个外角不相邻的所有内角之和是 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
16．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时．我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三
角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形的内角和为 ，是解决问题的关键．根据三角形内角
和等于 ，如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，可得另两个角的和为 ，由三角形中一个内角
是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为 ， ，得出答
案即可．
【详解】解：当 的角是另一个内角的3倍时，
最小角为 ，
当另外的两个角中其中一个角是另一个内角的3倍时，最小角为：
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图， 中， 是角平分线， 是高， ， ，求 的度数．【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，求一个角的余角，根据角平分线的定义可得出
，由三角形的高可得出 ，由余角的定义可得出 ，最后根据角
的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是三角形 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
18．已知 的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
(1)若 ，且c为偶数．求 的周长．
(2)化简： ．
【答案】(1) 的周长为11或13
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边
关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定 、 、 的正负，再化简绝对值，然后再合并同类
项即可解答．
【详解】（1）解： ，
，即 ，
由于c是偶数，则 或6，
当 时， 的周长为 ，当 时， 的周长为 ．
综上所述， 的周长为11或13．
（2）解： 的三边长为a，b，c，
，
．
19．如图，已知直线 ， ．
(1)证明： ；
(2)连接 ， 平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是
解题的关键．
（1）由 ，可得 ，由 ，可得 ，进而可得 ．
（2）如图，由 平分 ，可得 ，由（1）可知， ， ，
，则 ，由 ，可得 ，即 ，
可求 ，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图，∵ 平分 ，
∴ ，
由（1）可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
20．如图，在 中， ， 是角平分线，它们相交于点 O．
(1)若 ，则 的度数为_______；
(2)猜想 的度数与 的度数存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ；理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
（1）先由三角形内角和为180度求出 ，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得 ．
（2）根据角平分线的定义得出 ，求出
，然后根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 是角平分线，它们相交于点O，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中， ，
∵ 是角平分线，它们相交于点O，
∴ ，
∴
，
∴
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图所示，每个小正方形的边长均为1，点 ，点 ，点 在小正方形的顶点上．(1)画出 中边 上的高 ，边 上的中线 ；
(2)已知 的周长比 的周长大 ，则 比 长______．
(3)直接写出 的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了基本作图，三角形的高和中线的定义，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题
的关键．
（1）根据三角形的高和中线的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的中线定义可得 ，根据题意可得 ，即可求解；
（3）先求出 ，再根据 是 的中线，得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，线段 、线段 即为所求；
（2） 是 的中线，
，
的周长比 的周长大 ，
，
，
故答案为： ；
（3） ， 是 的中线，，
故答案为： ．
22．如图，在四边形 中， ， ．
(1)如图1，若 ，则 ________度；
(2)如图2，若 的平分线 交 于点 ，且 ，试求出 的度数；
(3)①如图3．若 和 的平分线交于点 ，试求出 的度数；
②如图4， 为五边形 内一点： ， 分别平分 ， ，请直接写出 与
的数量关系．
【答案】(1)65
(2)
(3)① ，② ，理由见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）根据四边形内角和为 ，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到 的度数，再根据角平分线的定义得到 的度数，进一步根据四边
形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出 ，由角平分线的定义得出
，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出
，由角平分线的定义得出 ，
即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
，故答案为： ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∵ 的平分线 交 于点 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 四边形 中，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵五边形 的内角和为 ，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
23．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与
边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从 点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条
1 2 3 4 5 ……
数
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中 ______， ______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有 个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共
要比赛多少场．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；② 场
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键．
（1）连接作图即可；
（2）①根据所给数据规律解答即可；
②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：① ， ；
② （场），
答：共需要比赛 场．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．如图1，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规形”．
模型探究
（1）如图1，在规形 中，请探究 之间的数量关系，并说明理由．
实践应用（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：
①如图2，在规形 中， 与 的角平分线 交于点E，若 ，
则 的度数是_________ ；
②如图3，在规形 中，若 的角平分线 交于点E，且 ，试探究
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）① 115；② ，理由见解
析；
【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质
是解题的关键．
（1）连接 ，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到 ，两式相加即得
解；
（2）① 由（1）知 ，结合角平分线性质，得到 、
，代入得到 ，再利用第（1）问结论可得 ，
即可求解；
② 由（1）知 ，结合角平分线性质，得到 ，
，利用三角形的外角性质得到 ，代入即可得解；
【详解】解：（1） ，
理由：如图1，连接 ，并延长到点E，则 ，
∴ ，
即 ；
（2）① 由（1）知 ，
∵ 平分 、 平分 ，
∴ 、 ，
∴ ，
∴ ，
则 ；
② ，
理由：如图3，
由（1）知 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，即 ．
25．如图1， ，点 分别在 上运动（不与点 重合）， 是 的平分线，
的反向延长线交 的平分线于点 ．
【特殊探究】
(1)若 ，则 ______ ；
【推理论证】
(2)随着点 的运动， 的大小是否会变化？如果不变，求 的度数；如果变化，请说明理由．
【拓展探究】
(3)如图2，直线 与直线 相交于点 ，夹角为 ，点 在点 右侧，点 在 上方，点 在点 左侧，点
在射线 上运动（不与 重合）， 平分 平分 交直线 于点 ，当 时，
求 的度数．
【答案】(1)
(2) 的大小不会变，
(3) 的度数为 或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定
理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键．
（1）由题意可得 ， ，由 平分 ， 平分 ，可得
，根据 ，计算求解即可；（2）同理（1）求解即可；
（3）由 平分 平分 ，可得 ， ，设
， ，则 ， ，由题意知，分点 在 上
方，点 在 下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的大小不会变，度数为 ；
（3）解：∵ 平分 平分 ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
由题意知，分点 在 上方，点 在 下方两种情况求解；
当点 在 上方时，如图2，∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ；
当点 在 下方时，如图3，
图3
由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
综上所述， 的度数 或 ．
