文档内容
第十九章 一次函数与（特殊）平行四边形综合
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
动点题型一 平行四边形中动点与函数图象问题....................................................................................................1
动点题型二 矩形中动点与函数图象问题..............................................................................................................10
动点题型三 菱形中动点与函数图象问题..............................................................................................................15
动点题型四 正方形中动点与函数图象问题..........................................................................................................21
【压轴题型】...............................................................................................................................................................27
压轴题型一 一次函数与平行四边形综合问题......................................................................................................27
压轴题型二 一次函数与矩形综合问题..................................................................................................................45
压轴题型三 一次函数与菱形综合问题..................................................................................................................57
压轴题型四 一次函数与正方形形综合问题..........................................................................................................66
02 动点题型
【易错题型】
动点题型一 平行四边形中动点与函数图象问题
例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图①，在平行四边形 中， ，连接 ， ，
与 相交于点 ，点 从点 出发，沿 以 的速度匀速运动到点 ，图②是点 运
动时，线段 的长 随时间 变化的函数关系图象，其中 ， 分别是两段曲线的最低点，则
的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、与三角形的高有关的计算问题、根据三角
形中线求面积
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图②中点 的纵坐标为 ，可得此时 时 的值为 ；
根据点 的纵坐标为 可得 时 的值为 ，由平行线的性质知 ，由此可得
的长，即为 的长．结合图象得到动点在相应位置时 的长度是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 分别是两段曲线的最低点，点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
∴ 中 边上的高为 ， 中 边上的高为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
即 的长为 ．
故选：D．
巩固训练
1．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，将 放置在第一象限，且
轴．直线 从原点出发沿 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度
与直线在 轴上平移的距离 的函数图象如图2，那么 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】此题考查了一次函数的应用，勾股定理，根据图象求出 ，利用勾股定理求出
，即可求出 的面积，正确理解函数图象与图形的关系是解题的关键．
【详解】解：根据图象可以得到，当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过点
D，当移动距离是8时，直线经过点B，则 ，
当直线经过点D时，设直线交AB于点N，则 ，如图，
过点D作 于点M，
∵直线 与x轴形成的锐角是 ，且 轴，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，可得 ，
∴ 的面积是 ，
故选D
2．（2024·河南周口·三模）如图1，平行四边形 中， ， ，点P从点A出发，沿
以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时， 的周长y随时间
变化的关系图象，则平行四边形 的面积为（ ）A．8 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质
求解
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，先根
据图2得出 ， ，根据直角三角形的性质得出 ，根据平行四边形的性质
得出 ，即 ，根据勾股定理求出 ，即可得出答案．
【详解】解：由运动规律及题图2可知： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的面积为 ．
故选：B．
3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形 中， ，动点P从A点出发，以 的速度沿着 的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知 的面积y
（单位： ）与点P移动的时间x（单位： ）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的
性质求解、动点问题的函数图象
【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为 ，再根据平行四边形的性质得
，则点P从点B运动到点C所用的时间为 ，然后分别过点B，C作 的垂线
于E， 交 的延长与F，先求出 ， ，然后证 和 全等得
，据此可求出 ，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为 ，进而可
求解．
【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为 ，
∵点P运动的速度为 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∴点P从点B运动到点C所用的时间为： ，
∴点P从点A运动到点C所用的时间为： ，
∴ ；
分别过点B，C作 的垂线 于E， 交 的延长线于F，则 ，如图：由图②可知： ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理的： ，
∴点P从点C运动到点A所用的时间为： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点 是平行四边形 边上一动点，沿
的路径移动，设点 经过的路径长为 ， 的面积是 ，图（ ）是点运动时 随 变
化的关系图象，则 与 间的距离是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点 运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．
根据点 运动，可得 ，再根据三角形的面积公式可得出结论．
【详解】解：根据点 运动，可得 ，
设 与 间的距离是 ，
当点 在 上时， ，
解得 ，
故选：A．
5．（24-25九年级上·四川泸州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 落在x
轴的正半轴上，且点 ， ，直线 以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该
直线可将平行四边形 的面积平分．
【答案】3
【知识点】一次函数图象平移问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的图象与几何变换，依据题意，首先连接 、 ，
交于点 ，当 经过 点时，该直线可将 的面积平分，然后计算出过 且平行直线
的直线解析式，进而可以判断得解．
【详解】解：连接 、 ，交于点 ，当 经过 点时，该直线可将 的面积平分．
四边形 是平行四边形，
，即 点为 中点，
， ，
，
设 的解析式为 ，
平行于 ，
，
过 ，
的解析式为 ，
结合“左加右减，上加下减”的平移规律，
满足 ．
直线 可以由直线 要向右平移3个单位．
经过3秒该直线可将平行四边形 的面积平分．
故答案为：3．
6．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，四边形 是平行四边形， ， ， ，若直线 平分四边形 的面积，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键．
连接 和 ，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到
必过G点，代入G点坐标运算求解即可．
【详解】解：如图，连接 和 ，交于点G．
∵四边形 是平行四边形，
∴G为 中点，
∵ ， ，
∴ ，即 ．
∵ 平分平行四边形 的面积，
∴ 必过G点，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
7．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在直角坐标系中，平行四边形 的边 在 轴上，顶点，顶点 ，点 在线段 上，若直线 经过点 ，且将平行四边形 分割成面积相
等的两部分，则直线 的函数解析式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形、求一次函数解析式
【分析】此题考查了平行四边形的性质、求一次函数解析式、平移的性质等知识，先求出点 ，点A
向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B，则点O(0,0)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到
点 ，连接 、 ，相交于点M，由中点坐标公式求出点M的坐标为 ，利用待定系数法求出
直线 的解析式即可．
【详解】解：∵在直角坐标系中，平行四边形 的边 在 轴上，
∴ ，
∵顶点 ，顶点 ，点 在线段 上，
∴点 ，点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B，
∴点O(0,0)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点 ，
连接 、 ，相交于点M，如图，
则 ，
则点M的坐标为 ，∵直线 经过点 ，且将平行四边形 分割成面积相等的两部分，
∴图象过点M和点P，
设直线 即直线l的函数解析式是 ,
∴ ，
解得： ，
∴直线l的函数解析式是 ．
故答案为： ．
动点题型二 矩形中动点与函数图象问题
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举
行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点 为矩形 边 的中点，在矩形 的四个顶点处都
有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 从点 出发，沿着 的路线匀速行进，到
达点 ．设运动员 的运动时间为 ，到监测点的距离为 ．现有 与 的函数关系的图象大致如图2所示，
则这一信息的来源监测点为 ．
【答案】 点
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意，可以得到各个监测点监测 时， 随 的变化而如何变
化，从而可以根据函数图象得解．解题的关键是明确各个监测点监测点 时，是如何变化的．
【详解】解：由题意和图象，可得
由监测点 监测 时，函数值 随 的增大先减小再增大，然后再减小；
故答案为： 点
巩固训练1．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形 中，点P从点A出发，匀速沿
向点 运动，连接 ，设点 的运动距离为 ， 的长为 ， 关于 的函数图象如图2所示，则当点
为 中点时， 的长为 ．
【答案】
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图
2可以得出 ， ， ，由勾股定理可以求出a的值，当P为 的中点时 ，
由股定理求出 长度．
【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象 时 ，则 ，
P从A向B移动的过程中， 是不断增加的，而P从B向D移动的过程中， 是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即 时， ，此时 ，
即 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
，
当P为 的中点时 ，
，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿
运动至点A停止，设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形 的周长是 ．
【答案】18
【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出 的长度是解决问
题的关键，根据函数的图象、结合图形求出 的值，即可得出矩形 的周长．
【详解】解： 动点 从点 出发，沿 运动至点 停止，而当点 运动到点 之间时，
的面积不变，函数图象上横轴表示点 运动的路程， 时， 开始不变，说明 时，接
着变化，说明 ，
矩形 的周长 ．
故答案为：18．
3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形 的顶点 坐标为 ，直线 分别交
轴、 轴于 、 点，若线段 上有一点 ，直线 上有一点 ， 是以 为斜边的等腰直角
三角形，则点P坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、一次函数与几
何综合
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质．分点 、
在 两侧和点 、 在 同侧两种情况考虑，画出图形，通过构造“一线三垂直”全等模型求解即可．【详解】当点 、 在 两侧时，过点 作 于 ，作 于 ，如图1所示．
，
，
．
是以 为斜边的等腰直角三角形，
．
在 和 中， ，
，
， ．
设点 ，则 ， ， ，
，
解得： ，
， ，
点 ；
当点 、 在 同侧时，过点 作 于 ，作 于 ，如图2所示．
，
．
， ，．
是以 为斜边的等腰直角三角形，
．
在 和 中， ，
，
， ．
设点 ，则 ， ， ，
，解得： ，
， ，
点 ．
综上所述：点 坐标为 或 ．
4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边AB在 轴正半轴
上，点 在点 的左侧，直线 经过点 和点 ，且 ，将直线 沿 轴向下平移得
到 ，若点 落在矩形 的内部（不含边界），则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作
于 交 于 ，把 代入 可得直线y=2x，设点 坐标为 ，由 可得
a=2，即得点 坐标为 ，进而得点 ，点 ，分别把 的坐标代入 ，求出
的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：如图，作 于 交 于 ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴直线y=2x，
设点 坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a>0，
∴a=2，
∴点 坐标为 ，
∴点 ，点 ，
把点 代入 得， ，
解得 ；
把点 代入 得， ，
解得 ；
∵点 落在矩形 的内部（不含边界），
∴ ，
故答案为： ．
动点题型三 菱形中动点与函数图象问题例题：（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 均在 轴上，
点 在 轴上，点 在第一象限，已知直线 的函数解析式为： ，点 是直线 上一动点，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据矩
形的性质与判定求线段长
【分析】由 求出 ， ，然后通过勾股定理求得 ，连接 ，交 于点 ，
连接 交 于点 ，连接 ，过 作 轴于点 ，当点 与 重合，即 三点共线时
由最小值 ，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：由 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
连接 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，过 作 轴于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∵四边形 是菱形，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴当点 与 重合，即 三点共线时 由最小值 ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，菱形的性质，矩
形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
巩固训练
1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图1，将菱形 置于平面直角坐标系中，边 在 轴上，点
坐标为(0,3)，与 垂直的直线 沿着 轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设在平
移过程中，直线 被菱形 截得的线段长为 ，平移时间为 秒， 与 的函数图象如图2所示，则
的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题【分析】本题考查了动点问题的函数图象．求出点 坐标，再求出平移后的 与 轴的交点，计算出平
移距离即可．
【详解】解： ，
，
当 平移到经过点 时，平移时间为 ，
点 坐标为 ，
此时函数关系式为： ，
此时与 轴交于点 ，
平移距离为 ，即 ，
故选：B．
2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图①，在菱形 中，垂直于 的直线 （直线 与菱形
的两边分别交于E、F两点，且点 在点 的上方）沿 方向从点 出发到点 停止运动，设直线
平移距离为 ， 的面积为 ，若 与 之间的函数图象如图②所示，则 的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的
理解和掌握．作 ， ，由图②知 ，利用三角形面积公式求得 ，即 ，再
利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可．
【详解】解：作 ， ，垂足分别为 ， ，由图②知 ，当F点与 重合时， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
当F点与 重合时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设图②中线段的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴图②中线段的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．
故选：A．
3．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的四个顶点都在坐标轴上，其中 ， ，对角线 相交于原点 ，若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象将菱形
分成面积之比为 的两个平行四边形，则直线的解析式为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分
类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线 、直线 的解析式，
根据菱形 分成面积之比为 的两个平行四边形，得一次函数分别平行于 或 ，然后分类讨论
分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式
【详解】解：菱形 的四个顶点都在坐标轴上 ， ，
∴ ， ，
， ， ，
设直线 的解析式 为，将 ， 代入得
解得： ，
设直线 的解析式 ；
设直线 的解析式 为，将 ， 代入得解得： ，
设直线 的解析式 ；
∵一次比例函数y=kx+b(k≠0)的图象将菱形分成两个平行四边形，
∴一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于 或 ，
当一次函数y=kx+b(k≠0)图象平行于 时，交 、 于点M，N交y轴于点Q，
，
菱形分成 两个平行四边形，
， ，
，
∴ ；
或 ，
，
，
，∴ ；
当一次函数y=kx+b(k≠0)图象平行于 时，
同理可知： 或 ，
或 ，
综上所述一次函数解析式为 、 、 或 ．
动点题型四 正方形中动点与函数图象问题
例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，正方形 的边长为4，动点P从点B出发沿折线
做匀速运动，设点P运动的路程为x， 的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、画一次函数图象、求一次函数解析式
【分析】本题考查动点问题的函数图象，分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．【详解】解：当P在 上，即 时， ，当 时， ；
当P在 上，即 时， ；
当P在 上，即 时， ；
观察4个选项，符合题意的为D．
故选：D．
巩固训练
1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线
将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，求一次函数解析，解题的关键是作出放心上，设直线l和八
个正方形最上面交点为A，过A作 于点B，先根据图形得出 ，根据三角形面积公式得出
，求出 ，得出 ，把 代入 ，求出k的值即可．
【详解】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作 于点B，如图所示：∵正方形的边长为1，
∴ ，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
故选：A．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点 在 轴上，以
为边作正方形 ，点 的坐标 在一次函数 上，一次函数与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，将正方形 沿 轴向右平移 个单位长度后，点 刚好落在直线 上，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求
线段长
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全
等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键．
由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线 的函数解析式，过作 轴于 ，过 作 轴于 ，则 及 ，利用全等三角形的性
质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点
D的横坐标，即可求出结论．
【详解】将 代入 中
直线 得函数解析式为
过 作 轴于 ，过 作 轴于
如图所示： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为 ，
同理可证
， ，
，平移后
将 代入 中
故选：D
3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在 轴、 轴上，
四边形 是边长为4的正方形，点 为 的中点，点 为 上的一个动点，连接 ， ，当点
满足 的值最小时，直线 的解析式为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、根据正方形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题考查了根据轴对称的性质确定最短路径，正方形的性质，用待定系数法求函数解析式，解题
的关键是熟练掌握相关性质，确定 取最小值时点P的位置，以及用待定系数法求函数解析式的方
法和步骤．
易得 ， ，先求出 的函数解析式为 ，连接 交 于点P，此时点
满足 的值最小，用待定系数法求出 的函数解析式为 ，进而得出 ，再用
待定系数法，即可得出直线 的解析式．
【详解】解：∵四边形 是边长为4的正方形，
∴ ，设 的函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ 的函数解析式为 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
连接 交 于点P，此时点 满足 的值最小，
设 的函数解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴ 的函数解析式为 ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
故答案为： ．
4．（2024·山东临沂·一模）在平面直角坐标系 中，记直线 为 ，点 是直线 与y轴的交点，以
为边作正方形 ，使点 落在x轴正半轴上，作射线 交直线 于点 ，以 为边作正方形
，使点 落在 轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题、坐标与图形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得
出规律．根据一次函数，得出 等点的坐标，继而得知 等点的坐标，从中找出规律，进而可求
出点 的坐标．
【详解】解：把 代入直线 ，得： ，
所以点 的坐标是 ，
把 代入直线 ，得： ，
所以点 的坐标是 ，同理点 的坐标是 ；点 的坐标是 ；
……
由以上得出规律是 的坐标为 ．
所以点 的坐标是 ，
故答案为： ．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 一次函数与平行四边形综合问题
例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形 ，其中点
在 轴上，点 在 轴上，点 在第一象限．已知 ， ， ，
(1)求 各点的坐标．
(2)若在直线BD上有一点 ，且点 在 的角平分线上，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
【知识点】坐标与图形、两直线的交点与二元一次方程组的解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
性质求解
【分析】（ ）由直角三角形的性质可得 ， ，由勾股定理得到
，即可得到 的坐标，再利用直角三角形的性质得到 ，可得，即可得到点 的坐标，最后根据平行四边形的性质可得点 的坐标；
（ ）由角平分线和平行四边形的性质可得 ， ，即得 ，得到
，进而得 ，利用待定系数法求出直线 和直线BD的函数解析式，联立方程组
即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：如图， 为 的角平分线，则 ，
∵四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为y=mx+n，把 、 代入得，，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
设直线BD的函数解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线BD的函数解析式为 ，
由 ，解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，待定系数
法求一次函数，一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
巩固训练1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点．直线 与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，四边形 是平行四边形．
(1)求 、 两点的坐标；
(2)求直线 所对应的函数表达式．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2)
【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出 、 两点的坐标
（2）先根据四边形 是平行四边形，得出 ， ，即 ，再运运用待定系数法
求一次函数的解析式，即可作答．
【详解】（1）解：直线 ，
当 时， ， ，
点 的坐标为 ．
当 时， ，
点 的坐标为 ．
（2） 四边形 是平行四边形，
， ，
．
设直线 所对应的函数表达式为 ．
将 ， 代入上式，得
．
2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形 中， ，过点 作 于
点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线 运动，到达点 时停
止．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)请直接写出 与 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____
(3)若直线 与该函数图象恰有一个交点，则常数 的取值范围是_____．
【答案】(1)
(2)图象见解析，性质：当 时，函数有最大值 （答案不唯一，合理即可）
(3) 或
【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数
值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理；
（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论；（2）先确定 ， ，(4,12)然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条
性质；
（3）通过平移直线 ，与 相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象
求解即可．
【详解】（1）解：∵在平行四边形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线 运动，到达点 时停止，
∴当点 到达点 时 秒，当点 到达点 时 秒，
∴当 时，点 在线段 上，此时 ， ；
当 时，点 在线段 上，
此时 ， ；
∴ ；（2）解： 函数图象如图：
由函数图象可得，当 时，函数有最大值 （答案不唯一，合理即可）；
（3）解：平移直线 ，与 相交，函数图象如图：
把 代入 可得 ；
把 代入 可得 ，解得 ；
把(4,12)代入 可得 ，解得 ；
由函数图象可得，直线 与该函数图象恰有一个交点，则常数 的取值范围是 或 ．3．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点P在平行四边形 边上沿着 的方向匀
速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度 ，其所在位置用点P表示，P到对角线
的距离（即垂线段 的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．
(1) ， ， ．
(2)若 ，求出 时d与t的函数关系式，并求当 时 的面积．
(3)如图②，点M，N分别在函数第一段和第三段图象上，线段 平行于横轴，M、N的横坐标分别为 、
．设 、 时点P走过的路程分别为 、 ，若 ，求 、 的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ，
(3) ， ．
【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角
形
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，一次函数与几何综合：
（ ）当点 运动到点 时， ，结合图 ，可知 的值；当点 运动到点 时， 得值最长，根
据图 可知， ，根据图 可知 ；
（ ）结合（ ）当 时，点 在 边上，即 ，则 时对应的点在 和 之间的函数
图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，代入点可得 ，在 中，由勾股定理求出
，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（ ）由题意可得 ， ，根据线段 平行于横轴，可得出即 ，从而可得方程组， 解方程组即可．
【详解】（1）如图，
由题意知：当 时，点 与点 重合时，此时 最长为 ， 即 ，
当点 运动到点 时， ，
∴ ，
当点 运动到点 时， 得值最长，根据图 可知， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
根据图 可知 ，
故答案为： ， ， ；
（2）结合（ ）当 时，点 在 边上，即 ，
∴ ，则 时对应的点在 和 之间的函数图象上，
设此时函数为 ， 把 ， 分别代入得：
，解得： ，
∴此时函数为 ，
当 时， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
（3）如图，由题意可得 ， ， ， ，
∵线段 平行于横轴，
∴ ，即此时的 值相同，
∴ ， 即 ，
联立 得： ，
解得： ，
∴ ， ．
4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形 中， ，点 从 出发，
沿射线 方向运动，过点 作 交折线 于点 ，当点 与点 重合时，点 停止运动．
运动过程中，设 ， ．
(1)请直接写出 与 的函数表达式以及对应的 的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)已知函数 的图象如图所示，当 时，请直接写出自变量 的取值范围；【答案】(1)
(2)作图见详解
(3)自变量的取值范围为：
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方
法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质，含 角的直角三角形的性质即可求解；
（2）运用描点，连线的方法即可求解；
（3）根据图示即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是直角三角形，且 ，
设 ， ，
①当点 在线段 上时，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点 与点 重合时，即 ，如图所示，
∴ ，即 ；
③当点 在线段 上时，即 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ；
综上所述， 与 的函数表达式以及对应的 的取值范围为： ；
（2）解：根据（1）的函数关系式描点如下，
0 1 2 3 4 5 ……
4 2 0 - - -
- - 0 1 2 3
作图如下，
（3）解：如图所示，
根据图示，交点坐标为 ， ，
∴当 时， ，
∴自变量的取值范围为： ．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形 中， 为钝角， ， 分别为
边 ， 上的高，交边 ， 于点 ， ，连结 ， ．(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如图2，若 ，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 坐标为 ，点 为直线 上一
动点，当 时，求出此时点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ， 或 ，
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质
和判定
【分析】（1）由 ，根据同角的余角相等可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得结论；
（3）分两种情况： 在 轴的上方和下方，先计算 的面积，根据 时，可得 的面积，
如图3，过点 作 轴于 ，从而得 的长，利用待定系数法可得 的解析式，则可求得点 的坐
标．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， 分别为边 ， 上的高，
， ，
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长 ， 交于点 ，，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图，点 在 轴的上方，过点 作 轴于 ，
点 坐标为 ，
，
， ，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
， ， ，
设直线 的解析式为： ，
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
点 的坐标为 ， ；
如图， 在 轴的下方，过点 作 轴于 ，由①可知： ，直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 ， 或 ， ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析
式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形 ， 轴， ，点A的坐标为
，点D的坐标为 ，点B在第四象限，点P是平行四边形 边上的一个动点．
(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；
(2)点G是 与y轴的交点，求点G的坐标；
(3)若点P在 上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线 上，求点P的坐标；
(4)若点 在折线 上，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线 ，它们交于点 ，
将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 的坐标．【答案】(1) ，(3,4)
(2)
(3) 或
(4) 或
【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变
化——轴对称
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，
等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点D的坐标即可；
（3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根
据点Q在直线 进行求解即可；
（4）分两种情况讨论：当点P在AB上时，由折叠的性质可得 ， ，
证明 是等腰直角三角形，进而证明四边形 是正方形，从而得到 三点共线，则
，即可求出 ．当点P在 上时，证明 ，再利用两点距离公式求出点M
坐标即可解题．
【详解】（1）解：∵ 轴， ，点A的坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 轴，
∵D的坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ，(3,4)；（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 带入 中得 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴点G的坐标为 ；
（3）解：设 ，且 ，
若点P关于x轴的对称点 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
此时 ．
若点P关于y轴的对称点 在直线 上时，
∴ ，解得 ，
此时
综上所述，点P的坐标为 或 ．
（4）解：当点P在AB上时，如解图1由折叠的性质可得 ， ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，即 轴，
∴ 三点共线，
∴ ，
∴ ．
当点 在 上时，设直线AD的解析式为 与x轴交点为 ，则 ，
如解图2，点 落在 轴上，
由折叠的性质可得 ， ，
∵ 轴，
∴∴ ，
∴ ，
设点 且 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴点
综上所述：点 的坐标 或
压轴题型二 一次函数与矩形综合问题
例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 的坐标
为 ，正比例函数 的图象交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，且满足 ．
(1)求点 的坐标；
(2)点 在线段 上，横坐标为 ，设 的面积为 ，请用含 的式子表示 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）设点 的坐标为 ，证明 ，得到 ， ，即可求出答案；
（2）求出直线 的解析式，表示出点 的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解： 点 在正比例函数 上，
设点 的坐标为 ．
， ．
，
，
．
四边形 为矩形，
， ．
．
．
，
．
， ．
点 的坐标为 ，
．
即 ．
．
∴
∴
点 的坐标为 ；
（2）解：设 所在直线的解析式为 ，由（1）得 ， ，
，直线 的解析式为
点 在线段 上，
点 的坐标为 ．
．
巩固训练
1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线 （k为常数且 ）分别与x轴、y轴相交于
A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为 ，过线段 上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂
线，垂足分别为M，N．
(1)求k的值；
(2)当矩形 的周长是12时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查待定系数法求一次函数参数、一次函数图象上点的特征、长方形的周长公式等知识，掌
握相关知识是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；（2）设 ，根据“矩形 的周长是12”建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解： 直线 经过 ，
，
．
（2）解： 点P在直线 上，设 ，
， ，
矩形 的周长是12，
，
解得 ，
点P的坐标为 ．
2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A在y轴的正
半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段 的长分别是m，n且满足 ，点D是线段
上一点，将 沿直线 翻折，点O落在矩形对角线 上的点E处
(1)求线段 的长；
(2)求点E的坐标；
(3) 所在直线与 相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边
形时，求N点坐标．
【答案】(1)
(2)(3) 或 ．
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）根据非负性即可求出 ；根据勾股定理得出 长；
（2）由三角形面积求法可得 ，进而求出 和 ，即可解答；
（3）由待定系数法求出 的解析式，进而求出M点坐标，再利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ ，
解得 ，
∵线段 的长分别是m，n且满足 ，
∴ ；
设 ，由翻折的性质可得： ，
，
可得： ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
可得： ；
（2）过E作 于点G，
在 中，，
即
解得： ，
在 中， ，
∴ ，
所以点E的坐标为 ；
（3）设直线 的解析式为： ，把 ，E 代入解析式可得：
，
解得： ，
所以 的解析式为： ，
把 代入 的解析式 ，可得： ，
即 ，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，
，
所以 ， ，
即存在点N，且点N的坐标为 或 ．【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了算术平方根的非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾
股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通
过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形 中， 为坐标原点，点 在 轴正半轴上，点
在 轴正半轴上，点 在边 上，点 的坐标为 ， ，点 是射线 上一个动点，连
接 ， ．
(1)求点 的坐标；
(2)如果点 ， 之间的距离为 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数定义域；
(3)在点 运动过程中， 是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点 的坐标；若不可能，请说明
理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 有可能为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或 ．
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、求一次函数解析式、等腰三角形的定义
【分析】（ ）过点 作 于 ，利用勾股定理求出 即可求解；
（ ）分点 在线段 上和点 在线段 的延长线上两种情况，利用割补法解答即可求解；
（ ）分点 为顶点、点 为顶点、点 为顶点，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：过点 作 于 ，则 ，
∵ 的坐标为 ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
当点 在线段 上时，
；
当点 在线段 的延长线上时，如图，过点 作 轴于 ，则四边形 是矩形， ，
，
；
综上， ；
（3）解： 有可能为等腰三角形．
∵ ， ， ，
∴ ，
当点 为顶点时，如图， ，∴ ，
∴ 或 ；
当点 为顶点时，如图， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 为顶点时，如图， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得a=2，
∴ ；综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，求一次函数，等腰三角形的定义，运用分类讨
论思想解答是解题的关键．
4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形 ，点 在 轴上，点
在 轴上，点 坐标为 ， 为 边上一点，将 沿直线 折叠，得到 ，点 的对
应点 落在线段 上．
(1)求 的长；
(2)点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，
求 关于 的关系式；
(3)在（2）的条件下，点 为直线 上一点，是否存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，请求出 的值，并直接写出点 、点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， ， ， 或 ， ， 或 ， ， 时，
以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题【分析】（1）先求出 ，由折叠的性质可知 ，再利用勾股定理求解即可．
（2）过 作 交直线 于 ，分 在线段 上和在 的延长线上两种情况讨论求解即可．
（3）分当 以点 、 、 、 为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形 是平行四边形的边时，
当四边形 是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，点 坐标为 ，
， ，
由折叠的性质得： ，
．
（2）过 作 交直线 于 ，则 ，
由题意得： ，
， ，
， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
．
①当点 在线段 上时，如图 所示：的面积 的面积 的面积 ；
②当点 在线段 的延长线上时，如图 所示：
的面积 的面积 的面积 ；
综上所述， ．
（3）存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（1）（2）得： ， ， ， ， ，
，
∴ ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
由题意得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，①当 是以点 、 、 、 为顶点的平行四边形的对角线时，连接 ，
则对角线 与 互相平分，如图 所示：
平行四边形的两条对角线的中点坐标相同，
，
解得： ，
∴ ， ；
②当 为平行四边形 的边时，如图 所示：
则 ， ，
，
解得： ，
∴ ， ；③当 为平行四边形 的边时，如图 所示：
则 ， ，
，
解得： ，
， ；
综上所述，存在， ， ， 或 ， ， 或 ， ，
时，以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含 角的直角三角
形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
压轴题型三 一次函数与菱形综合问题
例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在x轴上，顶
点D的坐标为(0,2)， ．
(1)求点C的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使得 的值最小，请求出 的最小值及点P的坐标；(3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【知识点】利用菱形的性质求线段长、求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解 求出菱形的边长，即可得出答案；
（2）y轴垂直平分线段 ，可得 ，当A，P，C共线时等号成立，作 轴
于点H，利用含30度角的直角三角形的性质可得 ，再求出直线 的解析式，可得点P的坐标；
（3）分 、 两种情况，画出图形，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意知 ， ，
，
设菱形 的边长为a， 即 ，
，
，
顶点D的坐标为(0,2)，
，
，
，
，顶点A在x轴上，
点C的坐标为 ；（2）解：由（1）知 ，
y轴垂直平分线段 ，
，
，当A，P，C共线时等号成立，如图，作 轴于点H，
， ，
，
的最小值为4；
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
点P的坐标为 ；
（3）解：以点B、D、Q为等腰三角形时,有两种情况：
当 时，如图：此时点Q与点A重合，坐标为 ；
当 时，如图：
， ，
，
点Q的坐标为 ，
综上可知，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，求一次
函数的解析式等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
巩固训练
1．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图， 是边长为 的菱形，且 ．动点 ， 分别以
每秒 个单位长度的速度同时从点 出发，点 沿折线 方向运动，点 沿折线 方向
运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为 秒，点 ， 的距离为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点 ， 相距 个单位长度时 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【知识点】画一次函数图象、利用菱形的性质求线段长、动点问题的函数图象、求一次函数解析式
【分析】此题考查了动点问题函数图象，画一次函数图象，等边三角形的性质，菱形的性质；
（1）分两种情况：当 时，根据等边三角形的性质解答；当 时，利用 即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用 分别求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点 分别在 上运动，连接
∵动点 ， 分别以每秒 个单位长度的速度同时从点 出发，
∴
又∵
∴ 等边三角形，
∴
当 时，点 分别在 上运动，
∵四边形 是菱形， 是边长为 的菱形，
∴ ，∵动点 ， 分别以每秒 个单位长度的速度同时从点 出发，
∴
∴
∴ 等边三角形，
∴
∴
（2）如图所示，
该函数是轴对称图形，对称轴是直线 ；
该函数在自变量范围内有最值，当x=0或 时，函数有最小值 ；当 时，函数有最大值 ；
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小．
（选择其中之一即可）
（3）解：当 时，
当 时， ，
当 时， ，解得：
∴ 或
2．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按
如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线 经过点C，交x轴于点
E．(1)求点A、B的坐标；
(2)求点D的坐标及m的值；
(3)点 是线段 上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于 轴的直线交AB于点M，
交CE于点N，当四边形 是平行四边形时，求点P的坐标；
(4)点 是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出： 为何值时，以点
为顶点的四边形是菱形？
【答案】(1) 、
(2) ，
(3)
(4) 或4或
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、一次函数图象与坐标轴
的交点问题、已知两点坐标求两点距离
【分析】（1）首先求出点 、 的坐标，
（2）再利用勾股定理求出 的长，再根据菱形的性质可求点 、 的坐标，把点 的坐标代入直线解析
式求出 的值即可；
（3）表示出设 ， ，得 ，根据 ，可得答案；
（4）若点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则 是等腰三角形，分 或 或
三种情形，分别求出 的值．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ；
∴ ．令 ，得 ，
∴ ．
（2）解：由（1） 得 ， ，
由勾股定理得， ，
四边形 是菱形，
，
，
， ，
将 代入 得， ，
；
（3）解： ，
，
，
点 ，
设 ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
解得 ，
；
（4）解： 点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
是等腰三角形，
当 时， ，
，
（负值舍去），当 时，则点 与 重合，
；
当 时，则 ，
解得 ，
综上： 或4或 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，
等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键．
3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形 的边长为10， ，以点B为坐标原点，以
为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．
(1)求点A的坐标；
(2)求菱形 的对角线 的解析式；
(3)若点Q是 上一定点，且 ，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间
为t秒，当t为何值时， 最小？
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是：（1）过A作 轴于E，利用含 的直角三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 ，即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）连接 ， 交 于 ，利用菱形的轴对称性可得 ，当D、P、Q三点共线，
即P于 重合时， 最小，利用待定系数法求出 解析式，然后与 的解析式联立方程组求出
的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：过A作 轴于E，
∵菱形 的边长为10， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A的坐标为 ；
（2）解：由（1）知 ，
设对角线 的解析式 ，
则 ，解得 ，
∴ ；
（3）解：连接 ， 交 于 ，
∵菱形 ，
∴B、D关于 对称，
∴ ，
∴ ，
当D、P、Q三点共线，即P于 重合时， 最小，
∵ ， ， ，A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 解析式为 ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
联立方程组 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴运动时间为 秒．
压轴题型四 一次函数与正方形形综合问题
例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形
纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上， ，点E在边 上，点N的坐标为
，过点N且平行于y轴的直线 与 交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在 上，并与
上的点G重合，折痕为 ．
(1)求点G的坐标，并求直线 的解析式；
(2)若直线l： 平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出n的取值范围；
(3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)存在，点P的坐标为 或 或 或 ．
【知识点】一次函数图象平移问题、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由图形折叠的性质可得 的长度，从而可求 的长度，可得G的坐标；利用待定系数法
代入点G的坐标，可得直线解析式；
（2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为 ，结合图形，分别求出直线过点M、A时n
的值，可得n的取值范围；
（3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知， ，
由勾股定理得，
∴点G的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：∵直线l： 平行于直线 ，
∴ ，即直线l的解析式为 ，
当直线l经过点 时，
解得， ，
当直线l经过点 时，
解得， ，
∴直线l与长方形 有公共点时 ．（3）解：存在，点P的坐标为 或 或 或 ，理由如下：
①当 时，
若点P在原点左侧，点P的坐标为 ，
若点P在原点右侧，点P的坐标为 ；
②当 时，
，
，
点P的坐标为 ；
③当 时，
可得 ，
在 中， ，即 ，
解得， ，点P的坐标为 ，
综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为 或 或 或
．
【点睛】本题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，同时考查了等腰
三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及一次函数图象的性质与应用．
巩固训练
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点A、C分别在
x轴、y轴上，且点C的坐标为 ．(1)如图1，求直线 的解析式；
(2)如图2，边 上有一动点D，连接 ，点F在线段 上，使得 ，点G在 的延长线上，
点E在线段 上，连接 ，满足 ，若D点的纵坐标为t， 的长为d，求d与t的
关系式；
(3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段 上，连接 ，若 ，当 时，
求t值，并直接写出G点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ；
【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】（1）根据正方形的性质求出 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点 作 ，易得四边形 为矩形，得到 ，证明 ，得到
，进而求出 即可；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 ，利用平行线的
性质，同角的余角以及三角形的外角，推出 ，得到 ，在 中，利用勾
股定理求出 的值，进而求出 点坐标即可．
【详解】（1）解：∵四边形 为正方形，C的坐标为 ，
∴ ， 轴，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，∴直线 的解析式为 ；
（2）过点 作 ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在线段 上，纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
即： ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查坐标与图形，求正比例函数的解析式，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思
想进行求解，是解题的关键．
2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形．顶点 ，
点 和 分别在正方形边 ， 上，且 ，直线 与直线 交于点 ；平行于 轴的直线
，从 轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿 方向移动，与线段 重合时停止，设运动时间为 秒，
平移过程中，直线 与直线 交于点 、与直线 交于点 ．(1)求直线 的解析式和点 的坐标．
(2)当点M在点N上方时，记线段 的长度为 ；
①如图1，求 与 的函数关系式，并写出此时 的取值范围；
②如图2，以 为直角边向右作等腰直角 ，当点 恰好落在正方形的边 上时，求 值?直接写
出 在什么范围变化时，等腰直角 与 重叠部分为矩形?
(3)如图3，当M在点N下方时，以 为边向右作等边 ，等边 与 重叠部分的面积记
为 ．填空：当 、 恰好是 、 中点时， 的值______．
【答案】(1) ，
(2)① ， ，② ，
(3)
【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据正方形的性质求面积、一次函数图象平移问题、求一次函数解
析式
【分析】（1）利用待定系数法求出直线 的解析式为： ，同理可得直线 的解析式为：
，联立可得 ；
（2）①结合运动的特点，设 ， ， ，问题即可作答；②先表示出 ，
结合 可得 ，则有 ；∴点 恰好落在正方形的边 上时， ；当点A在
内部（含斜边 ）时，等腰直角 与 重叠部分为矩形，将直线 向下平移7个单位时即与 所在直线重合， 即有直线 的解析式为： ，联立可得 ，问题得解；
（3）设 交 于点S，利用中点坐标公式可得 ，M(1,1)，即有 ，过点Q作 于
点T，过点M作 于点R，可得 ， ，进而可得 ，则
直线 的解析式为： ，联立可得 ，问题随之得解．
【详解】（1）∵四边形 是正方形．顶点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
同理可得：直线 的解析式为： ，
联立： ，
解得： ，
∴ ，
即：直线 的解析式为： ， ；
（2）①∵ 轴，直线 与直线 交于点 、与直线 交于点 ，
∴结合运动的特点，设 ， ， ，∵点M在点N上方，
∴ ，且点M在点H的右侧，
∴ ，
即： ， ；
②如图，
∵点 恰好落在正方形的边 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵结合图形可知：在等腰直角 中， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 恰好落在正方形的边 上时， ；
∵ 轴， ，
∴ 轴， 轴， 轴，
∵在等腰直角 中， ， ，
∴ ，
结合正方形的性质有： ，
又∵ 轴，
∴ ，∴ ，
∴ ，
如图，
∵ 轴， 轴， ，
∴当点A在 内部（含斜边 ）时，等腰直角 与 重叠部分为矩形，
即随之直线 向边 靠拢时，当等腰直角 的斜边 经过点A时，等腰直角 与 重
叠部分开始为矩形，
∵ ，直线 的解析式为： ， ， ，
∴将直线 向下平移7个单位时即与 所在直线重合，
∴直线 的解析式为： ，
联立： ，
解得： ，
∴ ，
∴当 时，等腰直角 与 重叠部分为矩形；
（3）如图，设 交 于点S，∵ ， ，O(0,0)， 、 恰好是 、 中点，
∴ ，M(1,1)，
∴ ，即 ，
如下图，过点Q作 于点T，过点M作 于点R，
在等边 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，M(1,1)， ， ，
∴ ，∴按照求解 解析式的方法可得直线 的解析式为： ，
联立： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴等边 与 重叠部分的面积为： ，
故答案为： ．
