文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解】由 得 ，又 ，
所以 ，
故选：A
2．已知 ， 则 的虚部是（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解】因为 ，则 ，
所以 的虚部为2，
故选：A.
3．如果 是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解】由 可得 ，
但 不能得到 ，比如 ，但是 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选：A
4．已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】在 中，由 及正弦定理得：
，
而 ， ，因此 ，又 ，
所以 .
故选：C
5．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解】因为 ，所以 ，得 ，
所以 .
故选：D.
6．在二项式 的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第3项和第4项
【答案】B
【详解】二项式 的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.
故选：B.7．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线交
双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【详解】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ， ， ，
由 可得 ，
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即有 ，化简可得 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选：C．
8．当圆 的圆心到直线 的距离最大时， （ ）
A． B．4 C． D．－4
【答案】C
【详解】因为圆 的圆心为 ,半径 ，
又直线 ，化为 ，
则直线 过定点 ，
故当 与直线 垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有 ，
解得 .
故选： .
9．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要
有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体 的形状（如图②），若四
边形 是矩形， ，且 ， ，则三棱锥 的体
积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【详解】如图，在线段 上取点 ，使得 ， ，
在线段 上取点 ，使得 ， ，
连接 ，设 分别为 的中点，连接 ，
由题意可得， ， ， ， 平面 ，
则 ，连接 ，则 ，
以 为原点，以 ， ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，则可取 ，
则点 到平面 的距离为 ，
又 ，
所以三棱锥 的体积为 .
故选：A.
10．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数
是听觉下限阈值， 是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽
车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60-90
混合动力汽车 10 50-60
电动汽车 10 40
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】由题意得， ，所以 ，
，所以 ，
，故C错误；
则有 ，
因为 ，
可得 ，故A错误；
因为 ， ，则 ，
所以 ，故B错误;
，
所以 ，故D正确.
故选：D.
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知等比数列 的前 项和 ，且 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【详解】当 时， ，则 ，两式相减得 ，即 ，
因此等比数列 的公比 ，又 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .故答案为：
12．在 中，已知 ， ， ，则 的值为 .
【答案】
【详解】由题意可得：
，
即 .
故答案为： .
13．已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是 ；作
MN⊥x轴于N，则 ＝ .
【答案】 5
【详解】解：由题意得F(1，0)，设点M(x，±2 )(x>0)，则|FM|＝ ＝6，解得x＝5，
所以点M的坐标为(5，±2 )；
由题意，易得点N(5，0)，从而 ＝ (xN－xF)·|MN|＝ × ×2 ＝4 .
故答案为：5； .
14．已知函数f（x）＝ 若f（a）＝4，则实数a的值是 ；若 ，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】 －2或5
【详解】若f（a）＝4，则 或 解得 或 .若 ，则 或 解得 或 ，
∴a的取值范围是 ．
故答案为：－2或5；
15．如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， ， ， 分别是 ，
的中点， 是棱 上的动点，则（ ）
①．
②．存在点 ，使 平面
③．存在点 ，使直线 与 所成的角为
④．点 到平面 与平面 的距离和为定值
【答案】①②④
【详解】依题意可知 两两相互垂直，以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，
，设 ， ，
所以 ，所以 ，①选项正确.
点 到平面 与平面 的距离和为 为定值，④选项正确.
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，要使 平面 ， 平面 ，
则 ，
解得 ，所以存在点 ，使 平面 ，②选项正确.
若直线 与直线 所成角为 ，
则 ，
，无解，所以③错误.
故选：①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活
动．竞赛共有 和 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道 类试题得10分；每答对1道 类试
题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．
已知某同学 类试题中有7道题能答对，而他答对各道 类试题的概率均为 ．
(1)若该同学只抽取3道 类试题作答，设 表示该同学答这3道试题的总得分，求 的分布和期望；
(2)若该同学在 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
【答案】(1)分布列见解析， (2)
【详解】（1）
， ，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为 .
17．（14分）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 在 上的单调增区间；
(2)在 中角 的对边分别是 满足 ，求函数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
.
，故
由 ，解得 ，
当 时， ，又 ，
所以 在 上的单调增区间为 .
（2）由 ，得 ，
.
，.
，
，
的取值范围为 .
18．（14分）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､
条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)设 是 的中点，棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求线段 的长；若不
存在，说明理由.
条件①： ；
条件②： ；
条件③：平面 平面 .
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【答案】(1)证明见详解(2) (3)存在点 ；
【详解】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出 边长，故①必选，选②缺垂直条件，因为 ，又四边形 是边长为4的正方形，所以 ，
， 平面 平面 所以 平面 又 平面 所以
，选①②无法证明 平面 ；
故只能选择①③，理由如下：
因为平面 平面 ，平面 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，所以
，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， 平面 ， ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知 两两垂直，故以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间
直角坐标系，则 ，故 ， ，设平面
的方向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，故 ，设直线
与平面 所成角为 ，则 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为
；
（3）假设存在设点 ，使得 平面 ，则 ，因为 平面 ，所以 ，
，所以 ， ，解得 ，故 ， ，所以存在点 ， 为 中点，使得 平面 ，此时 .
19．（14分）设 ， ，向量 ， 分别为平面直角坐标内 轴， 轴正方向上的单位向量，若向量
， ，且 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设椭圆 ： ，曲线 的切线 交椭圆 于 、 两点，试证： 的面积为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）解：
如上图，由题意，∵ ， ，
∴ 即为点 与点 的距离 ，
即为点 与点 的距离 ，
∴由 可得 ，
∴由椭圆的定义可知点 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆，
且长轴长为 ， ，则 ，
∴由椭圆的标准方程知点 的轨迹 的方程为 .（2）解：
如上图，由题意，直线 是曲线 ： 的切线，
∴由 可得： ，
则 ，化简得： .
由题意，直线 交椭圆 ： 于 、 两点，
∴由 可得： ，
设 、 ，则 ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ .
且由 知 ，
∴ .
又∵ 中边 上的高 即为点 到直线 的距离，∴由点到直线距离公式得 ，又∵ ，
∴ ，
即 的面积为定值 .
20．（15分）已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求证： ；
(3)若 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1) (2)证明见解析(3) ．
【详解】（1）由题可得 ，
∵曲线 在 处的切线方程为 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）证明：令 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（3）∵ 对任意的 恒成立，
∴ 对任意的 恒成立，
令 ， ，
则 ，
由（2）可知当 时， 恒成立，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴实数k的取值范围为 ．
21．（15分）已知函数 ，对于数列 ，若 ，则称 为函数
的“生成数列”， 为函数 的一个“源数列”.
(1)已知 为函数 的“生成数列”， 为函数 的“源数列”，求 ；
(2)已知 为函数 的“源数列”，求证：对任意正整数 ，均有 ；
(3)已知 为函数 的“生成数列”， 为函数 的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列 ，试问在数列 中是否存在连续三项构成等比数列?请说明
理由.
【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析
【详解】（1） ， ， ，故 ，
则 ；
（2） ， ，故 ，
构造函数 ， ，则 ，
函数 在 上单调递增， ，
故 在 恒成立， 单调递增，
故 ，即 ， ，
当 时， ，
综上所述： 恒成立，即 .
（3） ，则 ， ，
设 ，即 ，则 ，
设函数 ，函数单调递增，对于任意 ，有唯一的 与之对应，
即数列 中每一项，都有 中的项与之相等， 单调递增，
故 ，
假设数列 中存在连续三项构成等比数列， ， ， ，
故 ，整理得到 ，无正整数解.故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
