黄金卷-赢在高考·黄金8卷备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_4.2024高考模拟预测试卷_717

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的。 1．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝( ) A．{﹣1，2} B．{1，2} C．(1，4} D．{﹣1，4} 【答案】B 【详解】集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}， 则A∩B＝{1，2}． 故选：B． 2．若复数z满足(2﹣i)z＝i2023，则z=( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 A． − i B．− − i C．− + i D． + i 5 5 5 5 5 5 5 5 【答案】D 【详解】i2023＝i505×4+3＝i3＝﹣i， −i −i(2+i) 1−2i 1 2i 所以z= = = = − ， 2−i (2−i)(2+i) 5 5 5 1 2 则z= + i． 5 5 故选：D． 1 1 3．如图，在平行四边形ABCD中，AE= AB,CF= CD，G为EF的中点，则⃗DG=( ) 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 A． ⃗AB− ⃗AD B． ⃗AD− ⃗AB C． ⃗AB− ⃗AD D． ⃗AD− ⃗AB 2 2 2 2 3 3 3 3 【答案】 A 1 1 【详解】 如图，在平行四边形ABCD中，AE= AB,CF= CD，G为EF的中点， 3 3⃗DG=⃗DF+⃗FG= 2 ⃗DC+ 1 ⃗FE= 2 ⃗AB+ 1 (⃗FD+⃗DE)= 2 ⃗AB+ 1( − 2 ⃗AB+⃗AE−⃗AD ) 3 2 3 2 3 2 3 = 2 ⃗AB+ 1( − 1 ⃗AB−⃗AD ) = 1 ⃗AB− 1 ⃗AD ， 3 2 3 2 2 故选：A． 4．已知椭圆 x2 y2 的左右焦点分别为F 、F ，P为椭圆上一点，∠F PF ＝60°，若坐标 C: + =1(a>b>0) 1 2 1 2 a2 b2 √3 原点O到PF 的距离为 a，则椭圆离心率为( ) 1 6 √2 √6 √3 √7 A． B． C． D． 2 3 3 3 【答案】 C 【详解】 设|PF |＝m，|PF |＝n， 1 2 作ON⊥PF ，F M⊥PF ， 1 2 1 √3 √3 由题意可得|ON|= a,|F M|= a，∠F PF ＝60°， 6 2 3 1 2 1 2 即有|PM|= a,|PF |= a，由m+n＝2a， 3 2 3 2 可得|MF 1 |＝a， a2+ (√3 a ) =4c2 ， 3 c √3 可得e= = ． a 3 故选： C． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第2页，共16页5．在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：x2+y2＝1上一动点，若直线l：kx﹣y﹣2k+3＝0上存在点Q， 满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是( ) A．( 12 ) B．( 12) − ,0 −∞,− ∪(0,+∞) 5 5 C．[ 12 ] D．( 12] − ,0 −∞,− ∪[0,+∞) 5 5 【答案】 D 【详解】 由题意分析可知，直线l：kx﹣y﹣2k+3＝0过定点M(2，3)，设PQ的中点为A， 因为圆O：x2+y2＝1的圆心O(0，0)，半径为r＝1， 若满足线段PQ的中点A点在圆上，则|PQ|＝2|PA|≤2×2r＝4， 又|PQ|＝2|AQ|，则2|AQ|≤4，即|AQ|≤2， 所以|OQ|≤|OA|+|AQ|≤3， 设圆心O到直线l的距离为d，则d≤|OQ|≤3， 所以|−2k+3| ，解得k≥0或 12， ⩽3 k⩽− √k2+1 5 故 ( 12] ． k∈ −∞,− ∪[0,+∞) 5 故选：D．6．2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生 2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注．地震发生时会释放大量的 能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量 E(单位：焦耳)的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳， 则这次平原县发生的地震所释放的能量约为( )(参考数据：lg6.3≈0.8，100.05≈1.1) A．8×1011焦耳 B．1.1×1013焦耳 C．8×1012焦耳 D．1.1×1011焦耳 【答案】 B 【详解】 由题意可设lgE＝λM+μ， 则 {&1g(6.3×1010)=4λ+μ ，解得{&λ=1.5 ， &1g(6.3×1013)=6λ+μ &μ=4.8 所以lgE＝1.5M+4.8， 所以E＝101.5M+4.8， 所以当M＝5.5时，E＝101.5×5.5+4.8＝1013.05＝100.05×1013≈1.1×1013焦耳． 故选：B． 7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小 质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A ，A 和A 表示由甲罐中取出的球是红球， 1 2 3 白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第4页，共16页正确的个数是( ) ①事件A 与A 相互独立； 1 2 ②A ，A ，A 是两两互斥的事件； 1 2 3 4 ③P(B∣A )= ； 2 11 9 ④P(B)= ； 22 4 ⑤P(A ∣B)= 1 9 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 C 【详解】 显然，A ，A ，A 是两两互斥的事件， 1 2 3 5 1 2 1 且P(A )= = ,P(A )= = ， 1 5+2+3 2 2 5+2+3 5 而P(A A )＝0≠P(A )⋅P(A )，①错误，②正确； 1 2 1 2 2 1 1 4 4 P(A )= = ,P(A B)= × = ， 2 5+2+3 5 2 5 11 55 4 所以P(B∣A )= ，③正确； 2 11 P(B)=P(B∣A )⋅P(A )+P(B∣A )⋅P(A )+P(B∣A )⋅P(A ) 1 1 2 2 3 3 1 5 4 1 3 4 9 = × + × + × = ，④正确； 2 11 11 5 10 11 22 1 5 × P(A B) 2 11 5 P(A ∣B)= 1 = = ，⑤错误，综上：结论正确个数为3． 1 P(B) 9 9 22 故选：C． 1 5 8．已知a=1−e−0.2，b=tan⁡ ，c=ln⁡ ，其中e为自然对数的底数，则( ) 5 4 A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【答案】 C 1 【详解】 由a=1−e−0.2，b=tan⁡ =tan⁡0.2， 5 设f(x)＝1﹣e﹣x﹣tanx，0＜x＜1，1 则f' (x)=e−x− ，由于0＜x＜1， cos2x 1 可得0＜e﹣x＜1， >1，即有f′(x)＜0， cos2x 则f(x)在(0，1)递减，可得f(x)＜f(0)＝0， 则1﹣e﹣x＜tanx，即有a＜b； 5 由b＝tan0.2，c=ln⁡ =−ln⁡0.8=−ln⁡(1−0.2)， 4 可设g(x)＝tanx+ln(1﹣x)，0＜x＜1， g' (x)= 1 − 1 = sin2⁡x−x ， cos2x 1−x (1−x)cos2⁡x 由于0＜x＜1时，sinx＜x，可得sin2x﹣x＜sin2x﹣sinx＝sinx(sinx﹣1)＜0， 所以g′(x)＜0，即g(x)在(0，1)递减，则g(x)＜g(0)＝0， 即有tanx＜﹣ln(1﹣x)，可得tan0.2＜﹣ln(1﹣0.2)， 所以b＜c． 综上可得，a＜b＜c． 故选：A． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：92，93，95，95，97，98，则 下列关于该样本的说法中正确的有( ) A．均值为95 B．极差为6 C．方差为26 D．第80百分位数为97 【答案】 ABD 92+93+95+95+97+98 【详解】 由题意得92，93，95，95，97，98的平均值为 =95，A正确； 6 极差为98﹣92＝6，B正确； 1 13 方差为 [(92−95) 2+(93−95) 2+(95−95) 2+(95−95) 2+(97−95) 2+(98−95) 2]= ，C错误； 6 3 由于80%×6＝4.8，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确， 故选：ABD． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第6页，共16页√3 10．已知函数f(x)=sin⁡xcos⁡x−√3cos2⁡x+ ，则下列说法正确的是( ) 2 A． ( π) f(x)=sin⁡ 2x− 3 B．函数f(x)的最小正周期为π 5π C．函数f(x)的对称轴方程为x=kπ+ (k∈Z) 12 π D．函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移 个单位长度得到 6 【答案】 ABD 【详解】 依题意， 1 1+cos⁡2x √3 1 √3 ( π)，A正 f(x)= sin⁡2x−√3 + = sin⁡2x− cos⁡2x=sin⁡ 2x− 2 2 2 2 2 3 确； 2π 函数f(x)的最小正周期为 =π，B正确； 2 π π 5π kπ 5π kπ 由2x− = +kπ,k∈Z，得x= + ,k∈Z，则函数f(x)的对称轴方程为x= + ，k∈Z，C 3 2 12 2 12 2 错误； 函数y＝sin2x的图象向右平移π，得 ( π) ( π)， y=sin⁡2 x− =sin⁡ 2x− 6 6 3 π 因此函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移 个单位长度得到，D正确． 6 故选：ABD． 11．已知函数 2x ，则所有正确的结论是( ) f(x)= 2x+1 A．函数f(x)是增函数 B．函数f(x)的值域为( 1) 0, 2 C．曲线y＝f(x)关于点( 1)对称 0, 21 D．曲线y＝f(x)有且仅有两条斜率为 的切线 5 【答案】 AC 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，函数 2x 1 ，函数y＝2x在R上为增函数， f(x)= =1− 2x+1 1+2x 则函数f(x)是增函数，A正确； 1 对于B，函数f(x)=1− ，函数y＝2x在R上为增函数且y＝2x＞0， 1+2x 则0＜f(x)＜1，即函数的值域为(0，1)，B错误； 对于C， 2x 2−x 1 ， f(x)= ,f(−x)= = 2x+1 2−x+1 1+2x 则有f(x)+f(﹣x)＝1，曲线y＝f(x)关于( 1)对称，C正确； 0, 2 对于D， f(x)= 2x =1− 1 ，其导数 f' (x)= 2xln⁡2 ， 2x+1 1+2x (1+2x) 2 若 f' (x)= 2x1n2 = 1 ，变形可得(2x)2﹣(5ln2﹣2)2x+1＝0，该方程无解， (1+2x) 2 5 1 即曲线y＝f(x)不存在斜率为 的切线，D错误． 5 故选：AC． 12．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，点M在平面ABCD上， 且AM＝λAD(0＜λ＜1)，则( ) π A．存在λ，使得直线PB与AM所成角为 6 B．不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM C．当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为 4(λ2+1)2π 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第8页，共16页√2 √2+√6 D．若λ= ，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P﹣ABCD各面的交线长为 π 2 2 【答案】 BCD 【详解】 对A，如图， π π π π 由题意∠PBA= 为直线与平面ABCD所成的角，所以PB与AM所成的角不小于 ， > ，故A错误； 4 4 4 6 对B，PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD 平面，∴BC⊥PA，又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，AB，PA 平面 PAB， ⊂ ⊂ ∴BC⊥面PAB，∴点M要在直线BC上， 因AM＝λAD(0＜λ＜1)，所以不存在，故B正确． 对C，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图， 所以外接球的半径R满足R2＝(2﹣R)2+(2λ)2，解得R＝λ2+1， 所以外接球的表面积为S＝4(λ2+1)2π，故C正确； 对D，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点 P为圆心，√6为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中 ^EMF，√2 2 √2 因为tan⁡∠APF= =tan⁡∠BPC= = ，所以∠APF＝∠BPC， 2 2√2 2 π π 又∠APF+∠FPB＝ ，所以∠FPC＝∠BPC+∠FPB＝ ， 4 4 π 由对称性知∠FPC＝∠CPE，所以∠FPE＝ ， 2 π 故^EMF的长为 ×√6， 2 又球与底面交线为以点A为圆心，√2为半径的圆与底面ABCD的交线， π √2+√6 故长度为 ×√2，所以球面与四棱琟P﹣ABCD各面的交线长为 π，D正确． 2 2 故选：BCD． 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必 要条件，那么D是C的 条件．(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一) 【答案】 充分不必要条件 【详解】 因为A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件， 所以B A，A C，B＝D， 故D C⫋， ⫋ 所以⫋D是C的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要条件． 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第10页，共16页14．二项式( 2− 1) (√x+1) 7 的展开式中含x2的系数为 ． x 【答案】 63 【详解】 二项式( 2− 1) (√x+1) 7 的展开式中含x2的项为 x 1 2×C4×(√x) 4− ×C6×(√x) 6=63x2， 7 x 7 故二项式( 2− 1) (√x+1) 7 的展开式中含x2的系数为63． x 故答案为：63． 15．若x＝2是函数f(x)＝x2+2(a﹣2)x﹣4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】(﹣∞，﹣2) 4a (x−2)(x+a) 【详解】解：f' (x)=2x+2(a−2)+ = (x>0)， x x 当a≥0时，令f′(x)＞0可得x＞2，此时f(x)单调递增， 令f′(x)＜0可得0＜x＜2，此时f(x)单调递减，所以x＝2是函数f(x)的极小值点，不满足题意； 当﹣2＜a＜0时，令f′(x)＞0可得0＜x＜﹣a，或x＞2，此时f(x)单调递增， 令f′(x)＜0可得﹣a＜x＜2，此时f(x)单调递减，所以x＝﹣a是函数f(x)的极大值点，不满足题意； 当a＝﹣2时，f′(x)≥0，此时f(x)单调递增，无极大值，不满足题意； 当a＜﹣2时，令f′(x)＞0可得0＜x＜2，或x＞﹣a，此时f(x)单调递增， 令f′(x)＜0可得2＜x＜﹣a，此时f(x)单调递减，所以x＝2是函数f(x)的极大值点，满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2)． 故答案为：(﹣∞，﹣2)． 16．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，点P为抛物线C外一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分 别为A，B，若PA⊥PB，则⃗AF⋅⃗BF+2⃗PF2的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】解：由题意可知PA，PB的斜率存在，设直线PA的方程为y＝kx+m，(k≠0)， 由{& y=kx+m得x2﹣4kx﹣4m＝0， &x2=4 y 所以Δ＝16k2+16m＝0，即m＝﹣k2，所以直线PA的方程为y＝kx﹣k2， 1 1 同理可得直线PB的方程为：y=− x− ， k k2 {& y=kx−k2 { 1 由 ，可得 &x=k− ， 1 1 k & y= x k k2 & y=−1 所以A(2k，k2)， ( 2 1 ) ( 1 )， B − , ,P k− ,−1 k k2 k 所以 ⃗AF=(−2k,1−k2),⃗BF= (2 ,1− 1 ) ,⃗PF= (1 −k,2 )， k k2 k 所以 ⃗AF⋅⃗BF+2⃗PF2=−2−k2− 1 +2 ( k2+ 1 +2 ) =2+k2+ 1 ⩾4 ， k2 k2 k2 1 (当且仅当k2＝ ，即k＝±1时，取等号)， k2 则⃗AF⋅⃗BF+2⃗PF2的最小值为4． 故答案为：4． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．已知数列{a }的前三项与数列{b }的前三项对应相同，且 对任意的 n n a +2a +22a +⋯+2r−1a =8n 1 2 3 n n∈N*都成立，数列{b ﹣b }是等差数列． n+1 n (1)求数列{a }与{b }的通项公式； n n (2)证明：不存在k∈N*，使得b ﹣a ∈(0，1)． k k 【答案】 (1) a =24−n(n∈N∗)；b ＝n2﹣7n+14；(2)略. n n 【详解】 (1)∵ ，① a +2a +22a +⋯+2n−1a =8n(n∈N∗) 1 2 3 n ∴当n≥2时， ，② a +2a +22a +⋯+2n−2a =8(n−1)(n∈N∗) 1 2 3 n−1 ①﹣②，得2n﹣1a ＝8，则 ， n a =24−n n 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第12页，共16页在①中令n＝1，可得 ， a =8=24−1 1 ∴ ； a =24−n(n∈N∗) n 由已知可得b ＝8，b ＝4，b ＝2，则b ﹣b ＝﹣4，b ﹣b ＝﹣2， 1 2 3 2 1 3 2 ∴数列{b ﹣b }的公差为﹣2﹣(﹣4)＝2，则b ﹣b ＝﹣4+(n﹣1)×2＝2n﹣6， n+1 n n+1 n ∴b ＝b +(b ﹣b )+(b ﹣b )+...+(b ﹣b ) n 1 2 1 3 2 n n﹣1 ＝8+(﹣4)+(﹣2)+...+(2n﹣8)＝n2﹣7n+14； 证明：(2) ， b −a =k2−7k+14−24−k k k 当k≥4时， f(k)= ( k− 7) 2 + 7 −24−k 单调递增，且f(4)＝1， 2 4 ∴k≥4时，f(k)＝k2﹣7k+14﹣24﹣k≥1， 又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0， ∴不存在k∈N*，使得b ﹣a ∈(0，1)． k k A−C B 18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos⁡ =2sin⁡ ． 2 2 (1)证明：a+c＝2b； S (2)若△ABC的面积为S，求 的最大值． b2 √3 【答案】 (1) 略；(2) . 4 A−C B A−C B B B 【详解】(1)证明：由cos⁡ =2sin⁡ ，得cos⁡ cos⁡ =2sin⁡ cos⁡ ,， 2 2 2 2 2 2 由于A+B+C＝π，则 B (π A+C) A+C， cos⁡ =cos⁡ − =sin⁡ 2 2 2 2 A−C A+C B B cos⁡ sin⁡ =2sin⁡ cos⁡ =sin⁡B， 2 2 2 2 1 所以 (sin⁡A+sin⁡C)=sin⁡B，sinA+sinC＝2sinB．由正弦定理得a+c＝2b． 2 a2+c2−b2 (a+c) 2−2ac−b2 3b2 3b2 1 (2)解：由(1)得a+c＝2b，则cos⁡B= = = −1⩾ −1= ， 2ac 2ac 2ac (a+c) 2 2 2 2π √3 当且仅当a＝c＝b 时，等号成立 由于0＜B＜π，则0|= = |⃗n|⋅|⃗CP| 3 2 ∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为 ； 3 (3)设平面PDE的法向量为⃗m＝(x，y，z)， ， ⃗EB=(−1,1,0),⃗PB=(0,3,−2) 则{&⃗m⋅⃗EB=−x+ y=0 ，取x＝2，则y＝2，z＝3， &⃗m⋅⃗PB=3 y−2z=0 ∴平面PDE的法向量为⃗m＝(2，2，3)， 由(Ⅱ)得平面PDE的法向量⃗n＝(2，1，2)， ∴ | ⃗n⋅⃗m | 4√17， |cos<⃗n,⃗π>|= = |⃗n|⋅|⃗m| 17 由图形得二面角D﹣PE﹣B的平面角是钝角， 4√17 ∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值为− ． 1720．在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两 组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜 组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局 1 3 2 出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、乙胜丁的概率均为 ，甲胜丁的概率为 ． 2 5 3 (1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望； (2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 151 171 【答案】 (1) ；(2) . 100 572 【详解】 (1)易知X的所有取值为1，2， 此时 P(X=2)=C1 ⋅ (1) 2 ⋅ ((3) 2 + (2) 2 ) +C1 ⋅ (1) 2 × (2 × 1 + 1 × 1) = 13 + 1 = 51 ， 2 2 5 5 2 2 3 2 3 2 50 4 100 49 P(X=1)=1−P(X=2)= ， 100 49 51 151 则E(X)=1× +2× = ； 100 100 100 (2)设第n轮比赛中，甲乙对打的概率为a ，甲丙对打的概率为b ，甲丁对打的概率为c ， n n n 1 由(1)知b ＝0，b ＝ ， 1 2 2 当n≥2时， [1 1 ( 1) 2] [2 1 ( 2)( 1)]， b =a × + 1− +c × + 1− 1− n n−1 2 2 2 n−1 3 2 3 2 1 整理得b ＝ (a +c )， n n﹣1 n﹣1 2 又a +b +c ＝1， n n n 1 所以b ＝ (1﹣b )， n n﹣1 2 即 1 1( 1)， b − =− b − n 3 2 n−1 3 所以{ 1}是以 1为首项， 1为公比的等比数列， b − − − n 3 3 2 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第16页，共16页此时 1 1( 1) n−1， b − =− − n 3 3 2 整理得 1 1 ( 1) n−1， b = − × − n 3 3 2 则 1 1 (1) 9 171， b = + × = 10 3 3 2 572 171 即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为 ． 572 21．已知双曲线 上的所有点构成集合 和集合 C P={(x,y)∣ax2−b y2=1(a>0,b>0)} ，坐标平面内任意点 ，直线 称 Q={(x,y)|00，b>0)} N(x ,y ) l:ax x−b y y=1 0 0 0 0 为点N关于双曲线C的“相关直线”． (1)若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由； (2)若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q； |MA| |MB| (3)若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证： = ． |AN| |BN| 【答案】 (1) 相切；(2) 略；(3)略. 【详解】(1)直 线l与双曲线 C相切，理由如下： 联立方程组{&ax2−b y2=1 ， &ax x−b y y=1 0 0 ∴ ①， (ab y2−a2x2)x2+2ax x−1−b y2=0 0 0 0 0 ∵N∈C，∴ ，即 ，代入①得， ax2−b y2=1 ax2−1=b y2 0 0 0 0 ， −ax2+2ax x−ax2=0 0 0 ∴ ， Δ=4a2x2−4a2x2=0 0 0∴直线l与双曲线C相切； (2)证明：由(1)知 (ab y2−a2x2)x2+2ax x−1−b y2=0 ， 0 0 0 0 { &ab y 2−a2x 2≠0 0 0 &Δ>0 ∵直线l与双曲线的一支有2个交点，则： ， −1−b y 2 & 0 >0 ab y 2−a2x 2 0 0 ∵ ， ∴=4a2x2−4a(b y2−a2x2)(−1−b y2)=4ab(1+b y2−ax2) 0 0 0 0 0 0 ∴ ， ax2−b y2<1 0 0 −1−b y2 1+b y2 ∵ 0 = 0 >0， ab y2−a2x2 a(ax2−b y2) 0 0 0 0 ∴ ， 0