普通高中教科书·数学（B版）必修第一册(1)_高中全套电子教材及答案。_01高中电子教材全套_数学_人教版（B版）（主编：高存明）_高中年级_必修第一册

普 通 高 中 教 科 书 数学 必 修 PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU 必 SHUXUE 第一册 普 ® 通 高 中 教 科 书 数 学 修 第 一 册 绿色印刷产品 B 版 定价： 元 未命名-3 1 19-8-9 下午3:47数学 普 通 高 中 教 科 书 必 修 第一册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 B 版 ·北京· 第五章 抛体运动 1主 编：高存明 副 主 编：王殿军 朱志勇 龙正武 本册主编：张 鹤 李建才 其他编者：韩小利 邵文武 吴中才 张晓东 李劲松 米大毅 普通高中教科书 数学（B版） 必修 第一册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××联系调换。电话：×××-×××××××× 2 高中物理必修第二册!"# 人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美； 人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优 美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维…… 我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少 了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来， 因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度． 事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑．互联网的普及、 共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学 知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似 “逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概 率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是． 正如 《普通高中数学课程标准 （２０１７年版）》（以下简称 “课程标准”）所指出的：数学在形成 人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用．数学素养是现代社 会每一个人应该具备的基本素养．高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习 奠定基础． 为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学 教材．在编写过程中，我们着重做了以下几项工作． １ $%&’()*+,-./0 教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的 成长提供支撑．例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的 “秘密”，用生 活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴 媒体等报道中出现的 “线性增长”“爆炸式增长”等名词． 教材中还提到了 “网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电 子商务”“创业创新”等．我们相信，这些能引起大家的共鸣． 此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方 程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等． 在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示．例如，教材中精选了多 道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解 “失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮” 等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了 《九章算术》在代数上 的成就以及我国古代的统计工作，等等． ２ 123456*789,:; 在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改 变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到 “以学习者为中心”． 前言 ｉ 书书书例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过 “情境 与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用 “尝试与发现”栏目，鼓励大家 大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择 与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等． ３ <=>?@A*BCDE?F 数学学习必须循序渐进是一种共识．基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编 写时特别考虑了这一点． 事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等 内容；另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引 入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果． 例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指 数幂、二次根式后引入了分数指数幂，等等． 正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终 达到理想的效果．这在本套教材试教过程中已得到印证． ４ GHIJKL*MNOP5Q 数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径．揭示内容本质，培养大家对数学内 容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一． 首先，教材内容的安排突出主线，强调 “通性通法”．例如，多次强调了配方法的使用，自始至 终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等． 其次，尽量自然地引入新内容或新方法．例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性， 通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等． 最后，注重培养大家的数学学科核心素养．课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实．仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语 言与符号语言之间的相互转化等． 总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界” 并不容易．为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学 的数学教材，以帮助大家学习． 本书是这套教材必修部分的第一册，呈现了集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数的内容． 这些内容是高中数学乃至高等数学的基础，希望大家重视．通过本书的目录与每章的 “本章导语”， 可以大致了解本书的全貌，这里不再重复． 由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善． 编者 ２０１９年４月 ｉｉ 前言!" １ !"#$%&’()*+), １１ 集合 ３ １．１．１ 集合及其表示方法 ３ １．１．２ 集合的基本关系 １０ １．１．３ 集合的基本运算 １５ １２ 常用逻辑用语 ２３ １．２．１ 命题与量词 ２３ １．２．２ 全称量词命题与存在量词命题 的否定 ２８ １．２．３ 充分条件、必要条件 ３１ 本章小结 ３９ ４３ !-#$./’0./ ２１ 等式 ４５ ２．１．１ 等式的性质与方程的解集 ４５ ２．１．２ 一元二次方程的解集及其根与 系数的关系 ４９ ２．１．３ 方程组的解集 ５４ ２２ 不等式 ６１ ２．２．１ 不等式及其性质 ６１ ２．２．２ 不等式的解集 ６７ ２．２．３ 一元二次不等式的解法 ７１ ２．２．４ 均值不等式及其应用 ７６ 本章小结 ８３ 目录 ｉ８７ !1#$23 ３１ 函数的概念与性质 ８９ ３．１．１ 函数及其表示方法 ８９ ３．１．２ 函数的单调性 ９９ ３．１．３ 函数的奇偶性 １０９ ３２ 函数与方程、不等式之间的关系 １１８ ３３ 函数的应用 （一） １２８ ３４ 数学建模活动： 决定苹果的最佳出售时间点 １３２ 本章小结 １３８ 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷 $$456789:; 罗素悖论与第三次数学危机／１２ 数学中的猜想／２４ 自主招生中的充分条件与必要条件／３４ 《九章算术》中的代数成就简介／５５ 函数定义的演变过程简介／９０ 物理中的变化率／１０４ 付出与收获的关系／１０６ 二分法在搜索中的应用／１２４ ｉｉ 目录书书书你见过下面这个魔术吗？ 先从图１中六张不同的扑克牌中选出一张，不要告诉任何人你选 的是什么，自己记住即可． 图１ 闭上眼睛，用十秒左右的时间回忆刚才选中的那张牌的花色和点 数．然后睁开眼睛，看！你所选择的那张牌在图２中已经消失了！怎 么样？神奇吗？ 图２ 想知道其中的 “秘密”吗？学完集合的有关知识后，你就能清楚 地看出其中的 “门道”了！ 事实上，集合是刻画一类事物的语言与工具，是一种重要的数学 语言．利用集合可以简洁、准确地描述数学中的对象与关系． 常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本 语言，是数学表达与交流的工具．而且，逻辑知识已经是我们日常生 活中不可或缺的知识了． ２０１３年７月４日 《人民日报》刊登的 《培养理性思维 需要学点 逻辑》一文中谈道：“只有学逻辑、懂逻辑，才能既自觉地遵循逻辑， 又自觉地识别并避免逻辑错误，使自己的思维更加理性．”由此可见 学习逻辑知识的重要性．． ! !!"# 1.1.1   
K  在生活与学习中，为了方便，我们经常要对 事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属 学科等分类摆放的 （如图１１１所示），作文学 习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可 以分成正整数、负整数和零这三类…… 你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析 为什么要进行分类． 图１１１ 在数学中，我们经常用 “集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能 够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合 （有时简 称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 集合通常用英文大写字母犃，犅，犆，…表示，集合的元素通常用英文 小写字母犪，犫，犮，…表示． 如果犪是集合犃的元素，就记作 犪∈犃， 是否可以借助 读作 “犪属于犃”；如果犪不是集合犃的元素，就记作 袋子、抽屉等来直 犪犃， 观地理解集合？ 读作 “犪不属于犃”． A( 你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么． １．１ 集合 ３例如： （１）如果犃是由所有小于１０的自然数组成的集合，则０∈犃，０．５犃； （２）如果犅是由方程狓２＝１的所有解组成的集合，则－１ 犅， ０ 犅，１ 犅； （３）如果犆是平面上与定点犗的距离等于定长狉（狉＞０）的点组成的集 合，则对于以犗为圆心、狉为半径的圆犗上的每个点犘来说，都有犘∈犆． 现在我们来考虑方程狓＋１＝狓＋２的所有解组成的集合，由于该方程无 解，因此这个集合不含有任何元素． 一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作． 由空集的定义可得，０ ，１ ． 根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点： （１）确定性：集合的元素必须是确定的． 因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不 是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来． （２）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． 因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同 一个集合时只能算作集合中的一个元素．例如，由英语单词ｓｕｃｃｅｓｓ（成功） 中的所有英文字母组成的集合，包含的元素只有４个，即ｓ，ｕ，ｃ，ｅ． （３）无序性：集合中的元素可以任意排列． A( （１）你所在的班级中，身高不低于１７５ｃｍ的同学能组成一个集合吗？ （２）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？ （３）不等式狓－２＞１的所有解能组成一个集合吗？ 尝试与发现中，（１）（３）的答案都是 “能”，但 （２）的答案是 “不能”， 因为 “高个子同学”不满足确定性． 给定两个集合犃和犅，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集 合相等，记作犃＝犅． 集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为 有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含０个元素的 集合，所以空集是有限集． 
.>+K 有一些数的集合经常要用到，为了方便起见，人们用约定俗成的符号来 ４ 第一章 集合与常用逻辑用语表示它们． （１）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作犖． 值得注意的是，０∈犖，即０是自然数集犖中的一个元素． 容易看出，如果犪∈犖，犫∈犖，则一定有犪＋犫∈犖且犪犫∈犖，但 犪 犪－犫∈犖和 ∈犖都不一定成立．例如，１∈犖，３∈犖，但 犫 １ １－３＝－２犖 且 犖． ３ 在自然数集犖中，去掉元素０之后的集合，称为正整数集，记作犖 ＋ 或犖． （２）所有整数组成的集合，称为整数集，记作犣． 与自然数集犖不同的是，如果犪∈犣，犫∈犣，则一定有犪－犫∈犣，但 犪 ∈犣不一定成立 （请读者自己举例说明）． 犫 （３）所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作犙． 我们知道，凡是能够表示成分数 （即两个整数的商）的数称 犪 为有理数．因此，如果犪∈犙，犫∈犙且犫≠０，则 ∈犙．例如， （１）无限循环 犫 獉 小数１．６可以表示 １ ３ ３∈犙， ２ ∈犙，且 １ ＝６∈犙． 成分数吗？ ２ （２）任何一个 （４）所有实数组成的集合，称为实数集，记作犚． 无限循环小数都是 显然，如果犪∈犚，犫∈犚，则 犙中的元素，这种 说法正确吗？ 犪＋犫 犚，犪－犫 犚，犪犫 犚， 犪 当犫≠０时，还有 ∈犚． 犫 如不特别声明，本书中所有字母表示的数均指实数． 利用集合的符号，可以简化有关描述，比如： “０是整数”可以表示为 “０∈犣”； “π不是有理数”可以表示为 “π犙”； “如果狀是自然数，那么狀＋１也是自然数”可以表示为 “如果狀∈犖， 那么狀＋１∈犖”． 
" 前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用 符号来表示集合． １．１ 集合 ５把集合中的元素一一列举出来 （相邻元素之间用逗号分隔），并写在大 括号内，以此来表示集合的方法称为列举法． 例如，由两个元素０，１组成的集合可用列举法表示为 ｛０，１｝； 又如，２４的所有正因数１，２，３，４，６，８，１２，２４组成的集合可用列举法 表示为 ｛１，２，３，４，６，８，１２，２４｝； 再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为 ｛《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》｝． 用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序．例如， ｛１，２｝与 ｛２，１｝表示同一个集合．但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一 定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素 作为代表，其他元素用省略号表示．例如，不大于１００的自然数组成的集 合，可表示为 ｛０，１，２，３，…，１００｝． 无限集有时也可用列举法表示．例如，自然数集犖可表示为 ｛０，１，２，３，…，狀，…｝． 值得注意的是，只含一个元素的集合 ｛犪｝也是一个集合，要将这个集 合与它的元素犪加以区别，事实上， 犪∈｛犪｝． 
E" A( 以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？ （１）满足狓＞３的所有数组成的集合犃； （２）所有有理数组成的集合犙． 显然，用列举法表示上述集合并不方便．但因为集合犃中的元素狓都 具有性质 “狓是大于３的数”，而不属于集合犃的元素都不具有这个性质， 所以可以把集合犃表示为 ｛狓｜狓是大于３的数｝或 ｛狓｜狓＞３｝， 即犃＝｛狓｜狓是大于３的数｝或犃＝｛狓｜狓＞３｝． 类似地，犙中的每一个元素都具有性质 “是两个整数的商”，而不属于 ６ 第一章 集合与常用逻辑用语犙的元素都不具有这个性质，因此可以把犙表示为 ｛ 犿 ｝ 犙＝｛狓｜狓是两个整数的商｝或 犙＝狓狓＝ ，犿∈犣，狀∈犣，狀≠０ ． 狀 上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右 边是只有这个集合中的元素才满足的性质． 一般地，如果属于集合犃的任意一个元素狓都具有性质狆（狓），而不属 于集合犃的元素都不具有这个性质，则性质狆（狓）称为集合犃的一个特征 性质．此时，集合犃可以用它的特征性质狆（狓）表示为 ｛狓｜狆（狓）｝． 这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质， 因此所有平行四边形组成的集合可以表示为 ｛狓｜狓是一组对边平行且相等的四边形｝． 又如，所有能被３整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为 ｛狓｜狓＝３狀，狀∈犣｝． 类似地，所有被３除余１的自然数组成的集合可以表示为 ｛狓｜狓＝３狀＋１，狀∈犖｝， 不过这一集合通常也表示为 ｛狓∈犖｜狓＝３狀＋１，狀∈犣｝． 这就是说，集合｛狓｜狆（狓）｝中所有在另一个集合犐中的元素组成的集合， 可以表示为 ｛狓∈犐｜狆（狓）｝． 用适当的方法表示下列集合： 
 （１）方程狓（狓－１）＝０的所有解组成的集合犃； （２）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合犅． A( 判断犃与犅是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法． （１）因为０和１是方程狓（狓－１）＝０的解，而且这个方程只有两个  解，所以 犃＝｛０，１｝． （２）因为集合犅的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 犅＝｛（狓，狔）｜狓＞０，狔＞０｝． １．１ 集合 ７
K=. 习惯上，如果犪＜犫，则集合 ｛狓｜犪≤狓≤犫｝可简写为 ［犪，犫］，并称为 闭区间．例如，集合 ｛狓｜１≤狓≤２｝可简写为闭区间 ［１，２］． 类似地，如果犪＜犫： 集合 ｛狓｜犪＜狓＜犫｝可简写为 （犪，犫），并称为开区间； 集合 ｛狓｜犪≤狓＜犫｝可简写为 ［犪，犫），集合 ｛狓｜犪＜狓≤犫｝可简写为 （犪，犫］，并都称为半开半闭区间． 上述区间中，犪，犫分别称为区间的左、右端点，犫－犪称为区间的长 度．区间可以用数轴形象地表示．例如，区间 ［－２，１）可用图１１２表示， 注意图中－２处的点是实心点，而１处的点是空心点． −3 −2 −1 O 1 2 3 x 图１１２ 如果用 “＋∞”表示 “正无穷大”，用 “－∞”表示 “负无穷大”，则： 实数集犚可表示为区间 （－∞，＋∞）； 集合｛狓｜狓≥犪｝可表示为区间 ［犪，＋∞）； 集合｛狓｜狓＞犪｝可表示为区间 ； 集合｛狓｜狓≤犪｝可表示为区间▉ ； 集合｛狓｜狓＜犪｝可表示为区间▉ ． 类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示．例如，区间 ［７，＋∞）可 以用图１１３表示． 7 x 图１１３ １ 用区间表示不等式２狓－ ＞狓的所有解组成的集合犃． 
 ２ （ ） １ １ １ 由２狓－ ＞狓可知狓＞ ，所以犃＝ ，＋∞ ．  ２ ２ ２ ８ 第一章 集合与常用逻辑用语" ? 用符号 “∈”或 “”填空： 槡３ １ （１）２ 犖； （２） 犙； （３） 犣； ３ ３ （４）３．１４ 犚； （５）－３ 犖； （６）槡９ 犙． ? 下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？ （１）使得式子槡狓－２有意义的所有实数组成的集合； （２）使得式子槡３－狓有意义的所有自然数组成的集合； （３）方程狓２＝－１的所有实数解组成的集合． ? 用列举法表示下列集合： （１）我国古代四大发明组成的集合； （２）大于２且小于１５的所有素数组成的集合； （３）｛狓｜狓２＝２｝． ? 用描述法表示下列集合： （１）小于１５００的正偶数组成的集合； （２）所有矩形组成的集合． ? 用区间表示下列集合： （１）｛狓｜－１≤狓≤３｝； （２）｛狓｜０＜狓≤１｝； （３）｛狓｜２≤狓＜５｝； （４）｛狓｜０＜狓＜２｝； （５）｛狓｜狓＜３｝； （６ ） ｛狓 ｜狓≥２｝． # ? 用符号 “∈”或 “”填空： （１）０ ； （２）－２ ｛狓｜狓２＜５｝； （３）（２，３） ｛（狓，狔）｜狓＋２狔＝３｝； （４）２０１７ ｛狓｜狓＝４狀－１，狀∈犣｝． ? 用适当的方法表示下列集合： （１）英语单词ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ（数学）中的所有英文字母组成的集合； （２）方程狓＋２狔＝７的所有解组成的集合； （３）绝对值小于０的所有实数组成的集合． ? 设区间犃＝（－２，３］，犅＝［２，＋∞），是否有实数狓，使得狓∈犃且狓∈犅？ 举例说明． ? 已知集合犃＝｛狓－２，狓＋５，１２｝且－３∈犃，求狓的值．  ∈    ∈      ∈  ∈  ∈  （犪，＋∞） ▉ （－∞，犪］ ▉ （－∞，犪） １．１ 集合 ９1.1.2   
K  如果一个班级中，所有同学组成的集合记为犛，而所有女同学组成的集合记为犉， 你觉得集合犛和犉之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？ 给定集合犃＝｛１，３｝，犅＝｛１，３，５，６｝，容易看出，集合犃的任意 一个元素都是集合犅的元素． 一般地，如果集合犃的任意一个元素都是集合犅的元素，那 么集合犃称为集合犅的子集，记作 符号 “∈”与 犃犅（或犅犃）， 符号 “”表达的 读作 “犃包含于犅”（或 “犅包含犃”）． 含义相同吗？ 对应地，如果犃不是犅的子集，则记作犃犅（或犅犃）， 读作 “犃不包含于犅”（或 “犅不包含犃”）． 上述情境与问题中的两个集合，满足犉犛． A( （１）根据子集的定义判断，如果犃＝｛１，２，３｝，那么犃犃吗？ （２）你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？ 不难看出，依据子集的定义，任意集合犃都是它自身的子集，即 犃犃． 因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合犃的 子集，即犃． 
,K 前面的情境与问题中的两个集合满足犉犛，但是，只要班级中有男同 学，那么犛中就有元素不属于犉． 一般地，如果集合犃是集合犅的子集，并且犅中至少有一个元素不属 １ ０ 第一章 集合与常用逻辑用语于犃，那么集合犃称为集合犅的真子集，记作犃犅 （或犅犃），读作 “犃真包含于犅”（或 “犅真包含犃”）． 例如，分析集合犃＝｛１，２｝，犅＝｛１，２， ３，４｝之间的关系，可知犃是犅的子集 （即 犃犅），而３∈犅且３犃，因此犃是犅的真 B A 子集，即犃犅． 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示 集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示 图１１４ 集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩 图．例如，犃是犅的真子集，可用图１１４表示． 如果要作出维 根据子集、真子集的定义可知： 恩图来理解子集与 （１）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，犅犆，则犃犆； 真子集的这些性 （２）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，犅犆，则犃犆． 质，该如何作？ 写出集合犃＝｛６，７，８｝的所有子集和真子集． 
 如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合  犃含有３个元素，因此它的子集含有的元素个数为０，１，２，３．可依下 列步骤来完成此题： （１）写出元素个数为０的子集，即； （２）写出元素个数为１的子集，即 ｛６｝，｛７｝，｛８｝； （３）写出元素个数为２的子集，即 ； （４）写出元素个数为３的子集，即 ． 集合犃的所有子集是  ，｛６｝，｛７｝，｛８｝，｛６，７｝，｛６，８｝，｛７，８｝，｛６，７，８｝． 在上述子集中，除去集合犃本身，即 ｛６，７，８｝，剩下的都是犃的 真子集． 已知区间犃＝（－∞，２］和犅＝（－∞，犪），且犅犃，求实数犪 
 的取值范围． 因为集合犅的元素都是集合犃的元素，所以可用数轴表示它们的  关系，如图１１５所示． a 2 x 图１１５ 从而可知犪≤２． １．１ 集合 １１KA 罗素悖论与第三次数学危机 某村的理发师宣布了这样一个原则：他 ,C 为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡  6C 子．那么，这个理发师是否应该为自己刮胡 B 子呢？如果理发师不为自己刮胡子，那么他  - 是不给自己刮胡子的人，所以按照他的原 '( 则，他必须为自己刮胡子；反之，如果他为 罗素认为，任何一个集合都可以考虑它 自己刮胡子，因为他只为不给自己刮胡子的 是否属于自身的问题，有些集合属于它自 人刮胡子，所以他不应该为自己刮胡子． 身，有些集合不属于它自身．随后，罗素构 看完上面这段话后是不是觉得有些困 造了集合犛：由所有不是自身元素的集合组 惑？这是数学上有名的 “理发师困境”，是 成的集合． 著名数学家罗素于２０世纪初提出的 “罗素 问题是：犛是否属于犛？继续往下分析就 悖论”的简化版本． 会出现类似上述 “理发师困境”的两难局面． 罗素悖论与集合论知识有关． 罗素悖论提出时，集合论的知识已经成 事实上，我们所学习的集合，也能以集 为数学的基础．这一悖论的出现引发了人们 合作为元素．例如，若记集合犃＝｛１，２｝ 对数学基础的质疑，从而导致了 “第三次数 的所有子集组成的新集合为犅，则 学危机”．但是数学家们通过对集合论进行 犅＝｛，｛１｝，｛２｝，｛１，２｝｝， 公理化成功地解决了这一危机，为了避免出 犅中的元素都是集合 （犅一般称为类）． 现罗素悖论，公理中规定集合不能以它自身 以集合作为元素在直观上是容易理解 为元素．这跟我们的日常经验一致：一个袋 的：如果把一个集合理解为一个袋子，元素 子不能把自己装起来，一个文件夹也不能包 理解为袋子里的东西，则以集合为元素的集 括它自己． 合，就相当于袋子里的东西还是袋子．这也 感兴趣的同学，请自行查阅有关书籍和 可以用电脑中的文件夹来理解，文件夹中可 网络，了解悖论和第三次数学危机的更多内 以是文件，也可以是文件夹，如图所示． 容吧！ 
K +,0K+2  已知犛＝｛狓｜（狓＋１）（狓＋２）＝０｝，犜＝｛－１，－２｝，这两个集合的元素有什么关系？ 犛犜吗？犜犛吗？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗？ １ ２ 第一章 集合与常用逻辑用语上述问题中，组成犛的元素与组成犜的元素完全相同，即犛＝犜；另 外，由子集的定义可知 犛犜且犜犛． 一般地，由集合相等以及子集的定义可知： （１）如果犃犅且犅犃，则犃＝犅； （２）如果犃＝犅，则犃犅且犅犃． 写出下列每对集合之间的关系： 
 （１）犃＝｛１，２，３，４，５｝，犅＝｛１，３，５｝； （２）犆＝｛狓｜狓２＝１｝，犇＝｛狓｜｜狓｜＝１｝； （３）犈＝（－∞，３），犉＝（－１，２］； （４）犌＝｛狓｜狓是对角线相等且互相平分的四边形｝，犎＝｛狓｜狓是 有一个内角为直角的平行四边形｝． 因为集合之间的关系是通过元素来定义的，所以只要针对集合  中的元素进行分析即可． （１）因为犅的每个元素都属于犃，而４∈犃且４犅，所以  犅犃． （２）不难看出，犆和犇包含的元素都是１和－１，所以 犆＝犇． （３）在数轴上表示出区间犈和犉，如图１１６所示． −3 −2 −1 O 1 2 3 x 图１１６ 由图可知 犉犈． （４）如果狓∈犌，则狓是对角线相等且互相平分的四边形，所以狓是 矩形，从而可知狓是有一个内角为直角的平行四边形，所以狓∈犎，因此 犌犎． 反之，如果狓∈犎，则狓是有一个内角为直角的平行四边形，所以狓是 矩形，从而可知狓是对角线相等且互相平分的四边形，所以狓∈犌，因此 犎犌． 综上可知，犌＝犎． 由上可以看出，当犃是犅的子集时，要么犃是犅的真子集，要么犃与犅 相等． １．１ 集合 １３填写下表，回答后面的问题： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 ｛犪｝ １ ｛犪，犫｝ ２ ｛犪，犫，犮｝ ３ ｛犪，犫，犮，犱｝ ４ （１）你能找出 “元素个数”与 “子集个数”之间关系的规律吗？ （２）如果一个集合的元素个数为狀，你能用狀表示出这个集合的子集个数吗？ " ? 用 “∈”“”“”“”或 “＝”填空： （１）５ ｛５｝； （２）｛犪，犫，犮｝ ｛犪，犮｝； （３）｛１，２，３｝ ｛３，２，１｝； （４） ｛０｝． ? 用 “”或 “”填空： （１）犣 犖； （２）犣 犙； （３ ）犙 犖； （４）犚 犙． ? 用 “”“”或 “＝”填空： （１）［０，２］ （－１，３）； （２ ）［０，５） （２，３］； （３）［－１，＋∞） ［２，＋∞）； （４）（－∞，２） ｛狓｜狓＜２｝． # ? 写出集合｛０，１，２，３｝的所有子集． ? 用列举法表示集合犃＝｛狓狓＝３犿－１，犿∈犖｝和犅＝｛狓狓＝３犿＋２，犿∈犖｝， 并说明它们之间的关系． ? 已知集合犃满足｛１｝犃｛１，２，３，４｝，用列举法写出所有可能的犃． ? 已知［－１，＋∞）［犪，＋∞），求实数犪的取值范围． ? 已知犃＝｛狓｜狓＝２狀，狀∈犖｝，犅＝｛狓｜狓＝４狀，狀∈犖｝．分别列出这两个集合 中最小的３个元素，并证明犅犃．  ｛６，７｝，｛６，８｝，｛７，８｝  ｛６，７，８｝ １ ４ 第一章 集合与常用逻辑用语1.1.3   
K  学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足： （１）中考的物理成绩不低于８０分； （２）中考的数学成绩不低于７０分． 如果满足条件 （１）的同学组成的集合记为犘，满足条件 （２）的同学组成的集合 记为犕，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为犛，那么这三个集合之 间有什么联系呢？ 可以看出，集合犛中的元素既属于集合犘，又属于集合犕． 一般地，给定两个集合犃，犅，由既属于犃又 属于犅的所有元素 （即犃和犅的公共元素）组成的 集合，称为犃与犅的交集，记作 A B 犃∩犅， 读作 “犃交犅”．两个集合的交集可用图１１７所示 图１１７ 的阴影部分形象地表示． 因此，上述情境与问题中的集合满足犘∩犕＝犛． 例如，｛１，２，３，４，５｝∩｛３，４，５，６，８｝＝｛３，４，５｝；在 如果集合犃， 平面直角坐标系内，狓轴与狔轴相交于坐标原点，用集合语言可 犅没有公共元素， 那么它们的交集是 以表示为 什么？ ｛（狓，狔）｜狔＝０｝∩｛（狓，狔）｜狓＝０｝＝ ． 从定义可以看出，犃∩犅表示由集合犃，犅按照指定的法则构造出一个 新集合，因此 “交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算． 交集运算具有以下性质，对于任意两个集合犃，犅，都有： （１）犃∩犅＝犅∩犃； （２）犃∩犃＝犃； （３）犃∩＝∩犃＝； （４）如果犃犅，则犃∩犅＝犃，反之也成立． １．１ 集合 １５求下列每对集合的交集： 
 （１）犃＝｛１，－３｝，犅＝｛－１，－３｝； （２）犆＝｛１，３，５，７｝，犇＝｛２，４，６，８｝； （３）犈＝（１，３］，犉＝［－２，２）． （１）因为犃和犅的公共元素只有－３，所以  犃∩犅＝ ． （２）因为犆和犇没有公共元素，所以犆∩犇＝． （３）在数轴上表示出区间犈和犉，如图１１８所示． −3 −2 −1 O 1 2 3 x 图１１８ 由图可知 犈∩犉＝（１，２）． 已知犃＝｛狓狓是菱形｝，犅＝｛狓狓是矩形｝，求犃∩犅． 
 犃∩犅＝｛狓狓是菱形｝∩｛狓狓是矩形｝＝｛狓狓是正方形｝．  我们经常使用的 “且”可以借助集合的交集来理解．例如，平面直角坐 标系中的点（狓，狔）在第一象限的条件是：横坐标大于０且纵坐标大于０，用 集合的语言可以表示为 ｛（狓，狔）｜狓＞０｝∩｛（狓，狔）｜狔＞０｝＝｛（狓，狔）｜狓＞０，狔＞０｝， 也就是说，为了保证点（狓，狔）在第一象限，条件横坐标大于０与纵坐标大 于０要同时成立． 本章导语中那个魔术的 “秘密”你知道了吗？图１中所有扑克牌组成的 集合和图２中所有扑克牌组成的集合的交集是什么？ 
K  某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于７０ 分或英语成绩低于７０分的同学参加．如果记语文成绩低于７０分的所有同学组成的集 合为犕，英语成绩低于７０分的所有同学组成的集合为犖，需要去参加意见征求会的 同学组成的集合为犘，那么这三个集合之间有什么联系呢？ １ ６ 第一章 集合与常用逻辑用语可以看出，集合犘中的元素，要么属于集合犕，要么属于集合犖． 一般地，给定两个集合犃，犅，由这两个集合的所有元素组成的集合， 称为犃与犅的并集，记作 犃∪犅， 读作 “犃并犅”．两个集合的并集可用图１１９ （１）或 （２）所示的阴影部分 形象地表示．由犃，犅构造出犃∪犅，通常称为并集运算． A B A B   图１１９ 因此，上述情境与问题中的集合满足犕∪犖＝犘． 例如， ｛１，３，５｝∪｛２，３，４，６｝＝｛１，２，３，４，５，６｝． 注意，同时属于犃和犅的元素，在犃∪犅中只出现一次． A( 类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合犃，犅，都有： （１）犃∪犅＝ ； （２）犃∪犃＝ ； （３）犃∪＝∪犃＝ ； （４）如果犃犅，则犃∪犅＝ ，反之也成立． 已知区间犃＝（－３，１），犅＝［－２，３］，求犃∩犅，犃∪犅． 
 在数轴上表示出犃和犅，如图１１１０所示．  −3 −2 −1 O 1 2 3 x 图１１１０ 由图可知 犃∩犅＝ ，犃∪犅＝ ． 我们经常使用的 “或”可以借助集合的并集来理解．例如，狓≥０的含 义是狓＞０或狓＝０，这可以用集合语言表示为 １．１ 集合 １７｛狓｜狓≥０｝＝｛狓｜狓＞０或狓＝０｝＝｛狓｜狓＞０｝∪｛狓｜狓＝０｝， 也就是说，为了保证狓≥０，条件狓＞０与狓＝０只要有一个成立即可． （１）设有限集犕所含元素的个数用ｃａｒｄ（犕）表示，并规定ｃａｒｄ（）＝０．已知 犃＝｛狓｜狓是外语兴趣小组的成员｝，犅＝｛狓｜狓是数学兴趣小组的成员｝，且 ｃａｒｄ（犃）＝２０，ｃａｒｄ（犅）＝８，ｃａｒｄ（犃∩犅）＝４，你能求出ｃａｒｄ（犃∪犅）吗？ （２）设犃，犅为两个有限集，讨论ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犃∩犅）， ｃａｒｄ（犃∪犅）之间的关系． 
=K  如果学校里所有同学组成的集合记为犛，所有男同学组成的集合记为犕，所有 女同学组成的集合记为犉，那么： （１）这三个集合之间有什么联系？ （２）如果狓∈犛且狓犕，你能得到什么结论？ 可以看出，集合犕和集合犉都是集合犛的子集，而且如果狓∈犛且 狓犕，则一定有狓∈犉． 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集 合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用犝表示．如果集合 犃是全集犝的一个子集，则由犝中不属于犃的所有元素组成的集合，称为 犃在犝中的补集，记作 瓓犃， 犝 读作 “犃在犝中的补集”．由全集犝及其子集犃得到瓓犃，通常称为补集 犝 运算． 集合的补集也可用维恩图形象地表示，其 中全集通常用矩形区域代表，如图１１１１所示． U 因此，上述情境与问题中的集合满足 A A 瓓犉＝犕，瓓犕＝犉． U 犛 犛 例如，如果犝＝｛１，２，３，４，５，６｝，犃＝ ｛１，３，５｝，则 图１１１１ １ ８ 第一章 集合与常用逻辑用语瓓犃＝｛２，４，６｝． 犝 注意，此时瓓犃仍是犝的一个子集，因此瓓 （瓓犃）也是有意义的，此例 犝 犝 犝 中的 瓓（瓓犃）＝｛１，３，５｝＝犃． 犝 犝 事实上，给定全集犝及其任意一个子集犃，补集运算具有如 下性质： 补集的性质是 （１）犃∪（瓓犃）＝犝； 犝 否可以借助维恩图 （２）犃∩（瓓犃）＝； 来直观理解？ 犝 （３）瓓（瓓犃）＝犃． 犝 犝 已知犝＝｛狓∈犖｜狓≤７｝，犃＝｛狓∈犝｜狓２≤７｝，犅＝｛狓∈犝｜ 
 ０＜２狓≤７｝，求瓓犃，瓓犅，（瓓犃）∪（瓓犅），瓓（犃∩犅）． 犝 犝 犝 犝 犝 注意犝中的元素都是自然数，而且犃，犅都是犝的子集．  不难看出  犝＝｛０，１，２，３，４，５，６，７｝，犃＝｛０，１，２｝，犅＝｛１，２，３｝． 因此 瓓犃＝｛３，４，５，６，７｝， 犝 瓓犅＝｛０，４，５，６，７｝， 犝 （瓓犃）∪（瓓犅）＝｛０，３，４，５，６，７｝， 犝 犝 瓓（犃∩犅）＝｛０，３，４，５，６，７｝． 犝 已知犃＝（－１，＋∞），犅＝（－∞，２］，求瓓犃，瓓犅． 
 犚 犚 在数轴上表示出犃和犅，如图１１１２所示．  −3 −2 −1 O 1 2 3 x 图１１１２ 由图可知 瓓犃＝ ，瓓犅＝▉ ． 犚 犚 给定三个集合犃，犅，犆，式子（犃∪犅）∩犆的意义是什么？（犃∩犆）∪（犅∩犆） 呢？作维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究（犃∩犅）∪犆和（犃∪犆）∩（犅∪ 犆）之间的关系． １．１ 集合 １９" ? 已知犃＝｛犪，犫，犮，犱｝，犅＝｛犫，犱，犲，犳｝，求犃∩犅，犃∪犅． ? 已知区间犃＝（０，＋∞），犅＝（２，＋∞），求犃∩犅，犃∪犅． ? 若犃＝｛狓｜狓是选修羽毛球课程的同学｝，犅＝｛狓｜狓是选修乒乓球课程的同 学｝，请分别说明犃∩犅，犃∪犅所表示的含义． ? 设犝＝｛狓∈犖｜狓＜９｝，犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛３，４，５，６｝，求瓓犃，瓓犅． 犝 犝 ? 已知全集犝＝犚，犃＝［７，＋∞），求瓓犃，（瓓犃）∩犝，犃∪（瓓犃）． 犝 犝 犝 # ? 对于任意两个集合犃，犅，关系式（犃∩犅）（犃∪犅）总成立吗？说明理由． ? 已知集合犃＝｛犪，犫，犮｝． （１）写出所有满足条件犃∪犅＝犃的集合犅； （２）满足条件犃∩犆＝犆的集合犆有多少个？ ? 设全集犝＝犣，犃＝｛狓｜狓＝２犽，犽∈犣｝，犅＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝，求瓓犃， 犝 瓓犅． 犝 ? 设全集犝＝｛２，４，犪２｝，集合犃＝｛４，犪＋３｝，瓓犃＝｛１｝，求实数犪的值． 犝 ? 已知区间犃＝（２，４），犅＝（犪，５）． （１）若犃∩犅＝（３，４），求实数犪的值； （２）若犃∪犅＝（２，５），求实数犪的取值范围．  ｛（０，０）｝  ｛－３｝ 犅∪犃 犃 犃 犅  ［－２，１）  （－３，３］  （－∞，－１］ ▉ （２，＋∞） " ? 设犃＝｛狓｜狓是犝中的奇数｝． （１）如果犝＝｛４，５，６｝，列出犃中的所有元素； （２）如果犝＝｛狓｜狓是小于１５的正整数｝，列出犃中的所有元素； （３）如果犝＝｛狓∈犣｜２５＜狓＜４０｝，列出犃中的所有元素． ｛ ２狀 ｝ ? 写出集合狓狓＝ ，狀∈犖 中最小的３个元素． ３ ? 判断下列表达式是否正确： （１）２（－∞，１０］； （２）２∈（－∞，１０］； ２ ０ 第一章 集合与常用逻辑用语（３）｛２｝（－∞，１０］； （４）∈（－∞，１０］； （５）（－∞，１０］； （６）（－∞，１０］． ? 用 “∈”“”“”或 “”填空： （１）２ ｛狓｜狓是素数｝； （２）｛０｝ ； （３）π 犙； （４）｛２｝ ｛狓｜０＜狓＜３｝． ? 已知犃＝｛狓｜狓是平行四边形｝，犅＝｛狓｜狓是菱形｝，求犃∩犅，犃∪犅． ? 设犃＝｛狓｜狓是小于１０的素数｝，犅＝｛狓｜狓是小于１０的正奇数｝，求犃∩ 犅，犃∪犅． ? 已知犃＝｛１，２，３，４｝，犅＝｛３，４，５，６，７｝，犆＝｛６，７，８，９｝．求： （１）犃∩犅，犅∩犆，犃∩犆； （２）犃∪犅，犅∪犆，犃∪犆． ? 如果集合犃，犅分别满足下列等式，试写出犃与犅之间的关系： （１）犃∩犅＝犃； （２）犃∪犅＝犃． ? 已知区间犃＝（－６，１），犅＝［－７，３），求犃∩犅，犃∪犅． ﹣ 已知区间犃＝（－３，２］，求瓓犃． 犚 # ? 已知犃＝｛０，２，４，６，８｝，犅＝｛０，１，２，３，４，５｝，犆＝｛４，５，６｝，求： （１）犃∩犅∩犆； （２）犃∪犅∪犆； （３）（犃∩犅）∪犆； （４）（犃∪犅）∩犆． ? 已知全集犝＝｛犪，犫，犮，犱，犲｝，犃＝｛犪，犫，犮｝，分别列出满足下列条件的 所有可能的集合犅： （１）犃∪犅＝犃； （２）犃∩犅＝犅； （３）瓓犅＝犃． 犝 ? 已知全集犝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，犃＝｛３，４，５｝，犅＝｛４，７，８｝． （１）求瓓犃，瓓犅，（瓓犃）∩（瓓犅），（瓓犃）∪（瓓犅）； 犝 犝 犝 犝 犝 犝 （２）验证 瓓（犃∩犅）＝（瓓犃）∪（瓓犅），瓓（犃∪犅）＝（瓓犃）∩（瓓犅）． 犝 犝 犝 犝 犝 犝 ? 已知犃＝｛０，１，２，３｝，犅＝｛０，２，４，５｝，犆犃，犆犅，写出符合条件 的所有集合犆． ? 已知犃＝｛狓｜｜狓｜＜３｝，犅＝｛狓∈犖｜狓２＜１１｝，求犃∩犅． （ ） 狆 ? 已知犃＝［－１，２］，犅＝ －∞，－ ，且犅瓓犃，求实数狆的取值范围． ４ 犚 １．１ 集合 ２１? 用集合语言分别表示下图中的阴影部分． U U A B A B   （第７题） ? 如图所示是初中所学的不同类型四边形的知识结构图，你能用集合的语言来 描述图中的关系吗？     （第８题） $ ? 已知集合犃＝｛１，３，犿｝，犅＝｛犿２，１｝，且犃∪犅＝犃，求犿的值． ? 已知集合犘＝｛狓｜狓２≤１｝，犕＝｛犪｝，若犘∪犕＝犘，求犪的取值范围． ? 已知犝＝（－∞，＋∞），犃＝（－∞，犪］，犅＝（－∞，１），且（瓓犃）∪犅＝犝， 犝 求犪的取值范围． ? 已知犕，犖为全集犝的非空真子集，且犕与犖不相等，若（瓓犕）∩犖＝， 犝 试判断集合犕和犖的关系，并求出犕∪犖． ２ ２ 第一章 集合与常用逻辑用语． ! "!$%&’%( 1.2.1  
M  “命题”这个词在新闻报道中经常可以见到．例如：“从最直接的生态保护方式之 一———植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通 的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保 ‘新命题’．”（２０１７ 年１２月２１日 《中国青年报》） 我们在数学中也经常接触到 “命题”这两个字，你知道新闻报道中的 “命题”与 数学中的 “命题”有什么区别吗？ 新闻报道中的 “命题”往往是 “命制的题目”的简写，常常指的是待研 究的问题或需要完成的任务等．需要注意的是，一般来说，数学中的 “命 题”与新闻报道中的 “命题”不一样． 我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似 “对顶角相 等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为 真命题，判断为假的语句称为假命题．数学中的命题，还经常借助符号和式 子来表达．例如，命题 “９的算术平方根是３”可表示为 “槡９＝３”． 值得注意的是，一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既 是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题． A( 下列命题中， 是真命题， 是假命题： （１）１０２＝１００； １．２ 常用逻辑用语 ２３（２）所有无理数都大于零； （３）平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （４）一次函数狔＝２狓＋１的图象经过点（０，１）； （５）设犪，犫，犮是任意实数，如果犪＞犫，则犪犮＞犫犮； （６）犣犙． 为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记 狆：犃（犃∪犅）， 则可知狆是一个真命题． KA 数学中的猜想 通过小学和初中的学习，大家可能已经 题）．总的来说，要判断一个命题的真假并 感受到，对于包括数学在内的很多学科来 不是一件容易的事，这也就是我们为什么要 说，最重要的就是得到各种各样的有价值的 努力学习各种知识的原因之一． 命题．这些命题通常都是以结论、定理、推 实际上，数学界中，有一些命题至今还 论、性质等形式表述的． 没有人能判断真假，比如 “每一个不小于６ 值得注意的是，对于命题，我们要求的 的偶数都是两个奇素数的和”，到目前为止 是 “可供”真假判断，至于怎样才能判断一 数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一 个命题的真假以及谁能判断，是命题概念里 个假命题．通常，未能得到真假判断的命题 没有涉及的内容． 称为猜想．前面提到的这个命题是数学家哥 例如，语句 “３６７８９５３２６０１３２１７是６ 德巴赫提出来的，所以称为哥德巴赫猜想． 的倍数”是可以判断真假的，所以它是一个 在数学和其他学科的研究中，如果有人 命题．要判断这个命题的真假，可以借助现 能解决一个大家都认为很难的猜想，那是一 代信息技术 （如计算器、计算机等），也可 件非常了不起的事情，解决猜想的人也会因 以直接利用有关数学知识 （例如，因为６是 此而享誉全球．感兴趣的同学可以上网搜索 ２的倍数，所以凡是６的倍数的数一定是偶 “猜想”以了解更多的情况． 数，但给定的数是奇数，所以原命题是假命 
F@ 在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如： （１）任意给定实数狓，狓２≥０； （２）存在有理数狓，使得３狓－２＝０； （３）每一个有理数都能写成分数的形式； ２ ４ 第一章 集合与常用逻辑用语（４）所有的自然数都大于或等于零； （５）实数范围内，至少有一个狓使得 槡－狓２ 有意义； （６）方程狓２＝２在实数范围内有两个解； （７）每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理． 不难看出，命题 （１）（３）（４）（７）陈述的是指定集合中的所有元素都 具有特定性质，命题 （２）（５）（６）陈述的是指定集合中的某些元素具有特 定性质． 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称 为全称量词，用符号 “”表示．含有全称量词的命题，称为全称量词命 题．因此，全称量词命题就是形如 “对集合犕中的所有元素狓，狉（狓）”的 命题，可简记为 狓∈犕，狉（狓）． 例如，“任意给定实数狓，狓２≥０”是一个全称量词命题，可简记为 狓∈犚，狓２≥０． “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称 为存在量词，用符号 “”表示．含有存在量词的命题，称为存在量词命 题．因此，存在量词命题就是形如 “存在集合犕中的元素狓，狊（狓）”的命 题，可简记为 狓∈犕，狊（狓）． 例如，“存在有理数狓，使得３狓－２＝０”是一个存在量词命题，可简 记为  ． 如果记狆（狓）：狓２－１＝０，狇（狓）：５狓－１是整数，则通过指定狓所在的 集合和添加量词，就可以构成命题．例如： 狆：狓∈犣，狆（狓）； １ 狇：狓∈犣，狇（狓）； １ 狆：狓∈犣，狆（狓）； ２ 狇：狓∈犣，狇（狓）． ２ A( （１）上述４个命题狆，狇，狆，狇 中，真命题是 ； １ １ ２ ２ （２）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法． １．２ 常用逻辑用语 ２５事实上，要判定全称量词命题狓∈犕，狉（狓）是真命题，必须对限定集 合犕中的每个元素狓，验证狉（狓）成立；但要判定其是假命题，却只需举出 集合犕中的一个元素狓，使得狉（狓）不成立即可 （这就是通常所说的 “举 ０ ０ 出一个反例”）． 要判定存在量词命题狓∈犕，狊（狓）是真命题，只要在限定集合犕中， 找到一个元素狓，使得狊（狓）成立即可 （这就是通常所说的 “举例说明”）； ０ ０ 但要判定其是假命题，却需要说明集合犕中每一个狓，都使得狊（狓）不成立． 判断下列命题的真假：  （１）狓∈犚，狓２＋１＞０； （２）狓∈犖，槡狓≥１； （３）狓∈犣，狓３＜１； （４）狓∈犙，狓２＝３． （１）由于狓∈犚，都有狓２≥０，因而有  狓２＋１≥１＞０． 因此命题 “狓∈犚，狓２＋１＞０”是 命题． （２）由于０∈犖，而且当狓＝０时，槡０≥１不成立． 因此命题 “狓∈犖，槡狓≥１”是 命题． （３）由于－１∈犣，而且当狓＝－１时，有（－１）３＜１． 因此命题 “狓∈犣，狓３＜１”是 命题． （４）由于使狓２＝３成立的数只有槡３和－槡３，而它们都不是有理数， 因而没有任何一个有理数的平方能等于３． 因此命题 “狓∈犙，狓２＝３”是 命题． 值得注意的是，全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量， 而且这样的情形前面我们已经接触过． 例如，以前学过的平方差公式 犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫）， 因为这个公式对所有实数犪，犫都成立，所以可以改写为全称量词命题 犪，犫∈犚，犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫）． 又如，对于函数狔＝狓＋１来说，任意给定一个狓值，都有唯一的狔值 与它对应．因此如果把狔＝狓＋１看成含有两个变量的方程，则这个方程有 无数多个解，且任意给定一个狓，都存在一个狔使得等式成立，这可以改 写为 狓∈犚，狔∈犚，狔＝狓＋１． ２ ６ 第一章 集合与常用逻辑用语" ? 判断下列命题的真假： （１）２＋２槡２是有理数； （２）１＋１＞２； （３）奇数的平方仍是奇数； （４）两个集合的交集还是一个集合； （５）每一个素数都是奇数； （６）方程２狓２＋１＝０有实数根； 槡２ （７）ｓｉｎ４５°＝ ； （８）如果狓＞２，那么狓＞３． ２ ? 将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假： （１）所有实数的平方都是正数； （２）任何一个实数除以１，仍等于这个实数． ? 判断下列命题的真假： （１）狓∈犚，狓２－３狓－２＝０； （２）狓∈犚，狓２＋１＝０； （３）狓∈犙，｜狓｜＋狓≥０； （４）狓∈犚，４狓２＞２狓－１＋３狓２； （５）狓∈（－７，３），狓∈［－７，３）； （６）狓∈（－∞，２］，狓２＝１． # ? 判断下列命题的真假： （１）存在两个无理数，它们的乘积是有理数； （２）如果实数集的非空子集犃是有限集，则犃中的元素一定有最大值； （３）没有一个无理数不是实数； （４）如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形； （５）集合犃是集合犃∪犅的子集； （６）集合犃∩犅是集合犃的子集． ? 判断下列命题的真假： （１）狓∈犚，狓２＋１＜０； （２）狓∈［０，＋∞），槡狓＋１＝槡狓＋１； （３）狓∈犚，狓２≤０； （４）狓∈犚，槡狓２ 是有理数； （５）狓∈［０，＋∞），槡狓＋１＝槡狓＋１． ? 判断下列命题的真假： （１）狓，狔∈犣，３狓－２狔＝１０； （２）犪，犫∈犚，（犪－犫）２＝犪２－犫２； （３）犪，犫∈犚，犪３－犫３＝（犪－犫）（犪２＋犪犫＋犫２）． １．２ 常用逻辑用语 ２７? 分别求满足下列条件的实数犪的取值范围： （１）“狓∈［犪，＋∞），狓２≥１”是真命题； （２）“狓∈（－∞，犪］，狓２＝１”是假命题．  （１）（３）（４）（６）  （２）（５）  狓∈犙，３狓－２＝０ 狇，狆，狇  真  假  真  假 １ ２ ２ 1.2.2   “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．２００９年１１月２３日 《人民日报》 的 《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定 的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一 想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．” 结合上述这段话，谈谈你对 “否定”一词的认识，并由此猜想 “命题的否定”是 什么意思． 本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识． 
M+  A( 你能说出命题狊：“３的相反数是－３”和狋：“３的相反数不是－３”这两个命题 之间的关系吗？它们的真假性如何？ 可以发现，命题狊是对命题狋的否定，命题狋也是对命题狊的否定．而 且，狊是真命题，狋是假命题．一般地，对命题狆加以否定，就得到一个新 的命题，记作 “狆”，读作 “非狆”或 “狆的否定”． 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之 ２ ８ 第一章 集合与常用逻辑用语亦然． 例如，槡９＝３是一个真命题，那么槡９≠３就是一个 命题． 
/F@ M F@ M+  下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定． 若记狊： “存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是 狊： “不存在整数是自然数”．这里的命题狊实际上是个存在量词命题，而且可以 用符号表示为 狊：狓∈犣，狓∈犖； 而命题狊可以表述为 “每一个整数都不是自然数”，因此狊是一个全称量词 命题，可以用符号表示为 狊：狓∈犣，狓犖． 显然，这里的狊是一个真命题，而狊是一个假命题． 若记狉：“存在实数的平方小于０”，则不难看出，这个命题的否定是狉： “不存在实数的平方小于０”．这里的命题狉也是一个存在量词命题，而且可 以用符号表示为 狉： ； 而命题狉可以表述为 “每一个实数的平方都不小于０”，因此狉是一个全称 量词命题，可以用符号表示为 狉： ． 显然，这里的狉是一个 命题，而狉是一个 命题． 一般地，存在量词命题 “狓∈犕，狆（狓）”的否定是全称量词命题 狓∈犕，狆（狓）． 若记狊： “每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是 狊：“不是每一个有理数都是实数”．这里的命题狊实际上是一个全称量词命 题，而且可以用符号表示为 狊：狓∈犙，狓∈犚； 而命题狊可以表述为 “存在一个有理数不是实数”，因此狊是一个存在量词 命题，可以用符号表示为 狊：狓∈犙，狓犚． 显然，这里的狊是一个真命题，而狊是一个假命题． １．２ 常用逻辑用语 ２９A( 记狉：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究狉和狉的关系、符号表示 以及真假性． 若用犃表示所有素数组成的集合，犅表示所有奇数组成的集合，则 狉：狓∈犃，狓∈犅， 狉：狓∈犃，狓犅． 因为２是素数且２不是奇数，所以狉是假命题，狉是真命题． 一般地，全称量词命题 “狓∈犕，狇（狓）”的否定是存在量词命题 狓∈犕，狇（狓）． 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： 
 （１）狆：狓∈犚，狓２≥－１； １ （２）狇：狓∈｛１，２，３，４，５｝， ＜狓； 狓 （３）狊：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． （１）狆：狓∈犚，狓２＜－１，由狆是真命题可知狆是假命题．  １ （２）狇：狓∈｛１，２，３，４，５｝， ≥狓．将集合中的元素逐个验 狓 证，当狓＝１时不等式成立，因此狇是真命题． （３）狊：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为３０°的 直角三角形不是等腰三角形，所以狊是假命题． 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： 
 （１）狆：犪∈犚，一次函数狔＝狓＋犪的图象经过原点； （２）狇：狓∈（－３，＋∞），狓２＞９． （１）狆：犪∈犚，一次函数狔＝狓＋犪的图象不经过原点．因为当  犪＝０时，一次函数狔＝狓＋犪的图象经过原点，所以狆是 命题． （２）狇：狓∈（－３，＋∞），狓２≤９．因为狓＝０时，狓２＝０＜９，所 以狇是真命题． " ? （１）如果狆是真命题，那么狆是真命题还是假命题？ （２）如果狇是真命题，那么狇是真命题还是假命题？ ? 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （１）一切分数都是有理数； （２）有些三角形是锐角三角形． ３ ０ 第一章 集合与常用逻辑用语? 已知狇：狓∈［－２，３），狓２＜９，写出狇，并判断狇的真假． # ? 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （１）二次函数狔＝（狓－１）２－１的图象的顶点坐标是（１，－１）； （２）正数的立方根都是正数； （３）存在一个最大的内角小于６０°的三角形； （４）对任意实数狋，点（狋，狋）都在一次函数狔＝狓的图象上． ? 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （１）狓∈犚，｜狓｜＋狓＝０； （２）狓∈犚，｜狓｜＋１－狓≠０． ? 已知区间犕＝［犪，犪＋１］，且 “狓∈犕，狓＋１＞０”是真命题，求实数犪的取 值范围．  假  狓∈犚，狓２＜０  狓∈犚，狓２≥０  假  真  假 1.2.3  
   “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个 词分别表达的是什么意思吗？ （１）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》２０１４年１月２３ 日）； （２）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》２０１４年 ８月４日）； （３）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得 去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》２０１５年６月２２日）； （４）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是 一种必要的素质”（《人民日报》２０１５年７月２８日）． １．２ 常用逻辑用语 ３１本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件． 
 >  我们已经接触过很多形如 “如果狆，那么狇”① 的命题，例如： （１）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （２）在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么这个锐角所对的直 角边等于斜边的一半； （３）如果狓＞２，那么狓＞３； （４）如果犪＞犫且犮＞０，那么犪犮＞犫犮． 在 “如果狆，那么狇”形式的命题中，狆称为命题的条件，狇称为命题 的结论．若 “如果狆，那么狇”是一个真命题，则称由狆可以推出狇，记作 狆狇， 读作 “狆推出狇”；否则，称由狆推不出狇，记作狆／狇，读作 “狆推不 出狇”． 例如，上述例子中，（１）是一个真命题，即 “两条直线都与第三条直线 平行”可以推出 “这两条直线也互相平行”，这也可记作 两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行； 而 （３）是一个假命题，即狓＞２推不出狓＞３，这也可记作 狓＞２／狓＞３． A( 用类似的方法分析上述例子中的 （２）（４），并将它们用符号表示出来． 当狆狇时，我们称狆是狇的充分条件，狇是狆的必要条件； 当狆／狇时，我们称狆不是狇的充分条件，狇不是狆的必要条件． 有人说，充分 事实上，前述情境与问题中的 “充分” “必要”与这里的充分条 条件就是 “有之即 件、必要条件表示的是类似的意思． 可，无之也行”的 因此， 条件，必要条件就 “如果狆，那么狇”是真命题， 是 “有之未必即 狆狇， 可，无之则必不 狆是狇的充分条件， 行”的条件，你觉 狇是狆的必要条件， 得有道理吗？ ① “如果狆，那么狇”也常常记为 “如果狆，则狇”或 “若狆，则狇”． ３ ２ 第一章 集合与常用逻辑用语这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已． 例如，因为 “如果狓＝－狔，则狓２＝狔２”是真命题，所以 狓＝－狔狓２＝狔２， 狓＝－狔是狓２＝狔２ 的充分条件， 狓２＝狔２ 是狓＝－狔的必要条件． 又如，因为命题 “若犃∩犅≠，则犃≠”是真命题，所以 犃∩犅≠ 犃≠， 犃∩犅≠是犃≠的 条件， 犃≠是犃∩犅≠的 条件． 判断下列各题中，狆是否是狇的充分条件，狇是否是狆的必要 
 条件： （１）狆：狓∈犣，狇：狓∈犚； （２）狆：狓是矩形，狇：狓是正方形． （１）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即狆狇，因此狆  是狇的充分条件，狇是狆的必要条件． （２）因为矩形不一定是正方形，即狆／狇，因此狆不是狇的充分条件， 狇不是狆的必要条件． 充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解． 设犃＝｛狓｜狓≥０｝，犅＝｛狓｜狓＞－１｝，则不难看出，犃是犅的子集 （如图１２１所示），即犃犅． −3 −2 −1 O 1 2 3 x 图１２１ 另外，“如果狓≥０，那么狓＞－１”是真命题，也就是说 狓≥０狓＞－１， 狓≥０是狓＞－１的充分条件， 狓＞－１是狓≥０的必要条件． 一般地，如果犃＝｛狓｜狆（狓）｝，犅＝ ｛狓｜狇（狓）｝，且 犃犅 （如图 １２２ 所 示），那么狆（狓）狇（狓），因此也就有 A={x| p(x)} 狆（狓）是狇（狓）的充分条件，狇（狓）是狆（狓） B={x|q(x)} 的必要条件． 例如，设犃＝｛狓｜狓是在北京市出生 图１２２ １．２ 常用逻辑用语 ３３的人｝，犅＝｛狓｜狓是在中国出生的人｝，则犃犅，所以 “狓是在北京市出 生的人”可以推出 “狓是在中国出生的人”． 充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关． 例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以 看成一个判定定理．这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这 个函数是一次函数．不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上 例中，“函数是正比例函数”是 “函数是一次函数”的充分条件． 而 “矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理．这指的是，只要一个 四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等．不难看出，性质定理实 际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是 “四边形是 矩形”的必要条件． 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写 
 出其中涉及的充分条件或必要条件： （１）形如狔＝犪狓２ （犪是非零常数）的函数是二次函数； （２）菱形的对角线互相垂直． （１）这可以看成一个判定定理，因此 “形如狔＝犪狓２ （犪是非零常  数）的函数”是 “这个函数是二次函数”的 条件． （２）这可以看成菱形的一个性质定理，因此 “四边形对角线互相垂 直”是 “四边形是菱形”的 条件． KA 自主招生中的充分条件与必要条件 某大学２０１７年自主招生简章中规定， 自主招生考试吗？ 凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞 第一个问题，相信大家都能得到正确答 赛中获得省赛区竞赛一等奖 （含）以上者 案：能． （简记为 “满足竞赛条件”，下同），都可以 但第二个和第三个问题的答案都是：不 报名参加该校的自主招生考试． 一定．你知道为什么吗？ 根据这一信息，回答下列问题： 这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该 （１）已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能 大学２０１７年自主招生考试的充分条件，而不是 申请参加该大学２０１７年的自主招生考试吗？ 必要条件，但是充分条件可以不止一个． （２）已知乙同学已经成功申请到了参加 事实上，全国青少年科技创新活动中的 该大学２０１７年自主招生考试的资格，那么 获奖者也能申请参加该大学２０１７年的自主 乙同学一定满足竞赛条件吗？ 招生考试． （３）已知丙同学不满足竞赛条件，那么 生活中还有很多类似的情况．请自行找 丙同学一定不能申请参加该大学２０１７年的 出更多的例子吧！ ３ ４ 第一章 集合与常用逻辑用语
>  我们已经知道，因为狓＞３狓＞２，所以 狓＞３是狓＞２的 条件， 又因为狓＞２／狓＞３，所以 狓＞３不是狓＞２的必要条件， 把这两方面综合起来，可以说成 狓＞３是狓＞２的充分不必要条件． 一般地，如果狆狇且狇／狆，则称狆是狇的充分不必要条件． A( 仿照上述做法，给出狆是狇的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明． 如果狆／狇且狇狆，则称狆是狇的必要不充分条件．例如，狓（狓－１）＝０ 是狓＝０的必要不充分条件． 如果狆狇且狇狆，则称狆是狇的充分必要条件 （简称为充要条件）， 记作 狆狇， 此时，也读作 “狆与狇等价”“狆当且仅当狇”． 当然，狆是狇的充要条件时，狇也是狆的充要条件． 例如，当狓≥０时，槡狓有意义；当槡狓有意义时，狓≥０．因此 “狓≥０” 是 “槡狓有意义”的充要条件，即 狓≥０槡狓有意义， 也可以说成 “狓≥０与槡狓有意义等价”“狓≥０当且仅当槡狓有意义”． 在△犃犅犆中，判断∠犅＝∠犆是否是犃犆＝犃犅的充要条件． 
 因为 “在三角形中，等角对等边”，所以  ∠犅＝∠犆犃犆＝犃犅； 又因为 “在三角形中，等边对等角”，所以 犃犆＝犃犅∠犅＝∠犆． 从而∠犅＝∠犆犃犆＝犃犅，因此△犃犅犆中，∠犅＝∠犆是犃犆＝犃犅 的充要条件． 从集合的观点来看，如果犃＝｛狓｜狆（狓）｝，犅＝｛狓｜狇（狓）｝，且犃＝犅， 则狆（狓）狇（狓），因此也就有狆（狓）是狇（狓）的充要条件． 例如，当犃＝｛狓｜狓≤０｝，犅＝｛狓｜｜狓｜＝－狓｝时，不难看出犃＝犅， 因此狓≤０｜狓｜＝－狓，也就是说狓≤０是｜狓｜＝－狓的 条件， １．２ 常用逻辑用语 ３５狓≤０与｜狓｜＝－狓等价，狓≤０当且仅当｜狓｜＝－狓． 另外，充要条件与数学中的定义有关．例如，“三条边都相等的三角形 称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边 都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边 三角形，那么这个三角形的三条边都相等．不难看出，一个数学对象的定义 实际上给出了这个对象的一个充要条件．上例中，“三角形的三条边都相等” 是 “三角形是等边三角形”的充要条件． 注意到 “三角形的三个角相等”也是 “三角形是等边三角形”的一个充 要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的 三角形称为等边三角形．” 结合这里的实 需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充 例，说明为什么有 分条件、充要条件，还存在狆既不是狇的充分条件，也不是狇的 些数学对象有多种 必要条件的情形，例如，当狆：狓＞０，狇：狓２＞２时就是如此． 定义． " ? 设区间犃＝（－∞，－１］，犅＝（－∞，－１），判断狓∈犃是否是狓∈犅的充分条 件和必要条件． ? 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的 充分条件或必要条件： （１）形如狔＝狓２＋犫狓（犫是常数）的函数是二次函数； （２）菱形的对角线互相平分． ? 下列各题中，狆是狇的什么条件 （“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要 条件”“既不充分也不必要条件”，下同）？ （１）狆：狓＜２，狇：狓＜１； （２）狆：狓≤０，狇：槡－狓有意义； （３）狆：狓＞０，狇：｜狓｜＝狓． ? “有两个角之和为９０°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定 义？为什么？ # ? 下列各题中，狆是狇的什么条件？ （１）狆：犃＝，狇：犃∪犅＝犅； （２）狆：犃犅，狇：犃∩犅＝犃； （３）狆：狓∈犃，狇：狓∈犃∩犅． ? 下列各题中，狆是狇的什么条件？ （１）狆：犪２＝４，狇：犪＝２； （２）狆：犃犅，狇：犃∪犅＝犅； ３ ６ 第一章 集合与常用逻辑用语（３）狆：两个三角形全等，狇：两个三角形面积相等． ? 写出犪＞犫的一个充分不必要条件，以及一个必要不充分条件．    充分  必要  充分  必要  充分  充要 " ? 设狆（狓）：２狓＞狓２，则狆（５）是真命题吗？狆（－１）呢？ ? 用量词符号 “”“”表示下列命题： （１）存在一个多边形，其内角和是３６０°； （２）任何一个实数乘以－１后，都等于这个实数的相反数； （３）存在实数狓，狓３≥狓２． ? 写出下列各题中的狆： （１）狆：狓∈犣，狓－１＞０； （２）狆：狓∈犙，狓－２≥０； （３）狆：狓∈犚，狓２＋１＞０； （４）狆：狓∈犚，狓２－１＜０． ? 判断下列各题中，狆是否是狇的充分条件，狆是否是狇的必要条件： （１）狆：狓＝狔，狇：狓２＝狔２； （２）狆：△犃犅犆中，犃犅＞犃犆，狇：△犃犅犆中，∠犆＞∠犅． ? 设集合犕＝｛２，３，５，７，１１，１３｝，写出下列命题的否定，并判断所得命题 的真假： （１）狓∈犕，狓＞１； （２）狓∈犕，狓不是素数． # ? 判断下列命题的真假： （１）一次函数狔＝犽狓＋犽＋１（犽是非零常数）的图象一定经过点（－１，１）； （２）直角三角形的外心一定在斜边上； （３）已知狓，狔∈犚，则狓狔＝０是狓２＋狔２＝０的充要条件； （４）如果狓，狔都能被５整除，则狓＋狔也能被５整除． ? 判断下列命题的真假： 犪 犮 犪＋犫犮＋犱 犪 犮 犪－犫犮－犱 （１）如果 ＝ ，则 ＝ ； （２）如果 ＝ ，则 ＝ ； 犫 犱 犫 犱 犫 犱 犫 犱 犪 犮 犪 犮 （３）如果 ＝ ≠１，则 ＝ ． 犫 犱 犫－犪 犱－犮 １．２ 常用逻辑用语 ３７? 下列各题中，狆是狇的什么条件？ （１）狆：狓＞０，狇：槡狓２＝狓； （２）狆：槡狓２＝－狓，狇：狓＝０． ? 举反例证明下列命题都是假命题： （１）狓∈犚，｜狓｜＞０； （２）一元三次方程都有三个不同的实数根． ? 已知犃＝（－∞，犪］，犅＝（－∞，３），且狓∈犃是狓∈犅的充分不必要条件， 求犪的取值范围． ? 判断下列命题的真假： （１）狓，狔∈犚，（狓＋狔）２＝狓２＋狔２； （２）狓，狔∈犣，（狓－狔）２＝狓２－２狓狔＋狔２． $ ? 判断下列命题的真假： １ １ （１）狓∈犚， ＜１； （２）狓∈犚， ＜狓＋１． 狓２＋１ 狓 ? 判断下列命题的真假： （１）犪，犫∈犚，（犪＋犫）３＝犪３＋犪２犫＋犪犫２＋犫３； （２）犪，犫∈犚，犪３＋犫３＝（犪＋犫）（犪２－犪犫＋犫２）． ３ ８ 第一章 集合与常用逻辑用语    为了更好地理解学过的知识，我们可以借助结构图来总结有关内容． 例如，本章我们首先学习了集合，内容可以归结为四个关键词：概念、关系、 运算、方法．这样一来，我们就可以先作出如下的知识结构框架．     根据每一个关键词，可以补充相关的内容．例如，概念里可以包括集合的定义、 集合的性质、集合的表示，关系可以分成包含关系和非包含关系，运算包括交、并、 补等，而方法主要是元素分析法等．依照这个思路，可以在上述框架的基础上补充 集合的其他内容，如下图所示．             A∩B=    A∩B= A∩B A∪B A U 当然，设计知识结构图的方法不止一种．例如，本章我们学习了集合和常用逻 辑用语，而集合的知识包括集合的符号表示、集合之间的关系、集合的运算 （交、 并、补），常用逻辑用语的知识包括命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否 定、充分条件、必要条件、充要条件等，而且集合与逻辑之间有着紧密的联系．依 照各知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图． 本章小结 ３９           
 
   另外，我们也可以按照其他思路来制作其他形式的知识结构图．而且，上述两 个知识结构图也都可以进一步细化，例如加上集合的确定性、互异性、无序性、维 恩图表示等内容． 发挥你的想象力和创造力，为本章的知识重新设计出一份独特的知识结构图， 然后和同学交流制作的心得吧！   理性思维 （也称审辨式思维、批判性思维）是现代社会生活里非常重要的一种 思维方式． 例如，理性思维要求我们能区分事实和观点．按照 《现代汉语词典 （第７版）》 的解释，“事实”指的是事情的真实情况，而 “观点”是观察事物时所处的位置或采 取的态度．因此，“米饭和面食都是主食”是事实，但 “面食比米饭好吃”就是观 点．你觉得争论 “面食好吃还是米饭好吃”这样的问题意义大吗？ 理性思维也要求我们不能仅依靠直觉作出判断．２０１２年，丹麦、法国、澳大利 亚、比利时、挪威、美国、爱尔兰、韩国这８个国家中，哪个国家的癌症发病率最 高？你猜得对吗①？是不是跟你的直觉不一样？ 以小组合作的方式，查阅有关书籍或者网络，了解有关理性思维的更多知识， 整理出理性思维中涉及的集合与逻辑知识，写成小论文，并与其他同学交流、分享．   犃组 １在下列集合中，哪些是非空的有限集合？哪些是无限集合？哪些是空集？ （１）小于１００的全体素数组成的集合； ① 答案是丹麦． ４ ０ 第一章 集合与常用逻辑用语（２）线段犃犅内包含犃犅中点犕的所有线段组成的集合； （３）犃＝｛狓｜｜狓｜＋１＝０｝； （４）犃＝｛（狓，狔）｜狔＝２狓＋１｝． ２用列举法写出下列集合： ｛ １ ｝ （１）犃＝｛狓∈犖｜｜狓－１｜＝３｝； （２）犃＝狓∈犖 ≥１ ． 狓 ３若集合犃＝｛０，１，２，４｝，犅＝｛１，２，３｝，求犃∩犅． ４已知区间犕＝（－１，３），犖＝（－２，１），求犕∪犖，瓓犕． 犚 ５设集合犃＝｛１，２｝，犅＝｛１，２，３｝，犆＝｛２，３，４｝，求（犃∩犅）∪犆． ６若｛１，２｝犃｛１，２，３，４｝，求满足条件的集合犃的个数． ７甲、乙、丙三位同学被问到是否去过Ａ，Ｂ，Ｃ三个城市时，甲说：我去过的 城市比乙多，但没去过Ｂ城市；乙说：我没去过Ｃ城市；丙说：我们三人去过同一 个城市．判断乙一定去过哪个城市． ８判断下列命题的真假： （１）－狓２≤０； （２）０是最小的自然数； （３）每个正方形都有４条对称轴； （４）槡犪２＋１一定是无理数． ９判断下列命题的真假： （１）如果犃∩犅＝犃，那么犃犅； （２）如果狓∈犃∩犅，那么狓∈犃； （３）犪∈｛犪，犫，犮，犱｝； （４）｛犪，犫｝｛犪，犫，犮，犱｝； （５）π∈｛狓｜狓＞３｝． １０写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （１）任意实数都存在倒数； （２）存在一个平行四边形，它的对角线不相等； （３）狓∈｛狓｜狓是三角形｝，狓的内角和是１８０°． １１下列各题中，狆是狇的什么条件？ （１）狆：狓为自然数，狇：狓为整数； （２）狆：狓＞３，狇：狓＞５； （３）狆：犪＝０，狇：犪犫＝０； （４）狆：四边形的一组对边相等，狇：四边形为平行四边形； （５）狆：四边形的对角线互相垂直，狇：四边形为菱形． 犅组 １用列举法写出集合犃＝｛狓∈犖｜｜狓－１｜＋｜狓－２｜＝７｝． 本章小结 ４１２已知集合犃＝｛狓｜狓２－２狓＝０｝，犅＝｛０，１，２｝，求犃∩犅． ３已知集合犘＝｛狓∈犣｜０≤狓＜３｝，犕＝｛狓∈犣｜狓２＜９｝，求犘∪犕． ４设全集犝＝｛狓∈犖｜狓≥２｝，集合犃＝｛狓∈犖｜狓２≥５｝，求瓓犃． 犝 ５已知全集犝＝｛１，２，３，４，５，６｝，集合犘＝｛１，３，５｝，犙＝｛１，２，４｝， 求（瓓犘）∪犙． 犝 ６设集合犃＝｛１，２｝，写出所有满足犃∪犅＝｛１，２，３｝的集合犅． ７已知全集犝＝｛１，２，３，４，５｝，集合犃＝｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝，犅＝｛狓｜ 狓＝２犪，犪∈犃｝，求集合瓓（犃∪犅）中包含的元素个数． 犝 ８已知集合犃＝［－２，２］，犅＝｛狓｜狓≥犪｝，且犃犅，求犪的取值范围． ９下列各题中，狆是狇的什么条件？ （１）狆：犪＋犫＞４，狇：犪＞２且犫＞２； （２）狆：犪＞犫，狇：犪２＞犫２； （３）已知犿，狀是整数，狆：犿，狀均为偶数，狇：犿＋狀是偶数． １０判断下列命题的真假： （１）犪＝犫是｜犪｜＝｜犫｜的必要条件； （２）犪＞犫是犪３＞犫３ 的充要条件； （３）两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件； （４）三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件； （５）在△犃犅犆中，重心和垂心重合是△犃犅犆为等边三角形的必要条件； （６）如果点犘到点犃，犅的距离相等，则点犘一定在线段犃犅的垂直平分线上． 犆组 １已知犃＝｛１，２，３，４，５｝，犅＝｛（狓，狔）｜狓∈犃，狔∈犃，狓－狔∈犃｝，求 犅中所含元素的个数． ２已知集合犃＝｛（狓，狔）｜狓２＋狔２≤１，狓，狔∈犣｝，犅＝｛（狓，狔）｜｜狓｜≤２， ｜狔｜≤２，狓，狔∈犣｝，定义集合 犃犅＝｛（狓＋狓，狔＋狔）｜（狓，狔）∈犃，（狓，狔）∈犅｝， １ ２ １ ２ １ １ ２ ２ 求犃犅中元素的个数． ３若｛１，槡犪｝｛１，２，４，犪２｝，求犪的值． ４若｛０，－１，２犪｝＝｛犪－１，－｜犪｜，犪＋１｝，求犪的值． ５设犝为全集，犃，犅是集合，判断 “存在集合犆，使得犃犆，犅瓓犆” 犝 是 “犃∩犅＝”的什么条件． ４ ２ 第一章 集合与常用逻辑用语书书书数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等关系是数学 中最基本的数量关系，等式与不等式是表示数量关系的基本工具．而 且，等式与不等式的有关知识，在日常生活中也有着广泛的应用． 例如，北京南站到天津站的城际铁路全程为１２０ｋｍ，城际列车 （ ） ３０ １ ① Ｃ２０１７的行驶时间为３０ｍｉｎ即 ＝ ｈ ．如果路程是狊ｋｍ，时间 ６０ ２ 狊 是狋ｈ，平均速度是狏ｋｍ／ｈ，则由狏＝ 可以算出Ｃ２０１７的平均速度 狋 １２０ 狏＝ ＝２４０． １ ２ 因此也就知道，行驶时间更长的列车 （如Ｃ２２０１需要３７ｍｉｎ），其 １ 平均速度一定比２４０ｋｍ／ｈ小，即当狋＞ 时，一定有 ２ 狏＜２４０． 当然，我们在小学和初中已经学习过很多等式和不等式的知识， 包括它们的性质等．本章我们将在用集合和逻辑的语言复习以前所学 内容的基础上，了解更多等式和不等式的知识，包括一元二次不等式 的解法、均值不等式等，这些都是高中数学的基础内容． ①２０１８年８月１７日的数据，下同．． ! "! "# 2.1.1     
0+B 我们已经学习过等式的性质： （１）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （２）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． A( 用符号语言和量词表示上述等式的性质： （１）如果犪＝犫，则对任意犮，都有 ； （２）如果犪＝犫，则对任意不为零的犮，都有 ． 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘 以这个数的倒数，所以上述等式性质中的 “加上”与 “乘以”，如果分别改 为 “减去”与 “除以”，结论仍成立． 
0 A( 补全下列 （１）（２）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并 说出分类的标准： （１）犪２－犫２＝ （平方差公式）； （２）（狓＋狔）２＝ （两数和的平方公式）； （３）３狓－６＝０； （４）（犪＋犫）犮＝犪犮＋犫犮； ２．１ 等式 ４５（５）犿（犿－１）＝０； （６）狋３＋１＝（狋＋１）（狋２－狋＋１）． 如果从量词的角度来对以上６个等式进行分类的话，可以知道，等式  对任意实数都成立，而等式 只是存在实数使 其成立．例如３狓－６＝０只有狓＝２时成立，狓取其他数时都不成立． 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立， 则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 恒等式是进行代数变形的依据之一．例如，因为 （狓＋狔）２＝狓２＋２狓狔＋狔２ 对任意狓，狔都成立，所以可用其他代数式去替换其中的狓，狔，等式仍会 成立，若用－狕替换其中的狔，则 （狓－狕）２＝狓２＋２狓（－狕）＋（－狕）２ ＝狓２－２狓狕＋狕２， 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式． 化简 （２狓＋１）２－（狓－１）２． 
 （方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，  然后合并同类项，即 （２狓＋１）２－（狓－１）２ ＝４狓２＋４狓＋１－（狓２－２狓＋１） ＝３狓２＋６狓． （方法二）可以将２狓＋１和狓－１分别看成一个整体，然后使用平方 差公式，即 （２狓＋１）２－（狓－１）２ ＝［（２狓＋１）＋（狓－１）］［（２狓＋１）－（狓－１）］ ＝３狓（狓＋２） ＝３狓２＋６狓． 下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的狓，犪，犫，都有 （狓＋犪）（狓＋犫）＝狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫． 这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习． 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子狓２＋犆狓＋犇，如果能 找到犪和犫，使得犇＝犪犫且犆＝犪＋犫，则 狓２＋犆狓＋犇＝（狓＋犪）（狓＋犫）． 为了方便记忆，已知犆和犇，寻找满足条件的犪和犫的过程，通常用 ４ ６ 第二章 等式与不等式图２１１来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加 1 a 要等于犆，也正因为如此，这种因式分解的方法称为 “十 字相乘法”． 1 b 例如，对于式子狓２＋５狓＋６来说，因为２×３＝６且２＋ 图２１１ ３＝５，所以 狓２＋５狓＋６＝ ． A( 证明恒等式 （犪狓＋犫）（犮狓＋犱）＝犪犮狓２＋（犪犱＋犫犮）狓＋犫犱． 并由此探讨犈狓２＋犉狓＋犌的因式分解方法． 上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类 项即可．据此也可进行因式分解．例如，对于３狓２＋１１狓＋ 1 2 １０来说，因为１×３＝３，２×５＝１０，１×５＋３×２＝１１，如 3 5 图２１２所示，所以 ３狓２＋１１狓＋１０＝（狓＋２）（３狓＋５）． 图２１２ 
/+?K 我们知道，方程的解 （或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的 值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集． 例如，对于方程３狓＋５＝－１来说，首先在等式两边同时加上－５，可得  ， １ 然后在上述等式两边同时乘以 ，则得狓＝－２，因此可知方程３狓＋５＝－１ ３ 的解集为｛－２｝． 不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集． 从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是 零，因此：如果犪犫＝０，则犪＝０或犫＝０． 利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集．例如，由方程 １ （４狓＋１）（狓－１）＝０可知４狓＋１＝０或狓－１＝０，从而狓＝－ 或狓＝１，因 ４ ｛ ｝ １ 此方程 （４狓＋１）（狓－１）＝０的解集为 － ，１ ． ４ ２．１ 等式 ４７求方程狓２－５狓＋６＝０的解集． 
 因为狓２－５狓＋６＝（狓－２）（狓－３），所以原方程可以化为  （狓－２）（狓－３）＝０， 一元二次方程 从而可知狓－２＝０或狓－３＝０，即狓＝２或狓＝３，因此所求解 的解集中一定有两 集为 个元素吗？ ｛２，３｝． 例２说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为 （狓－狓）（狓－狓）＝０ １ ２ 的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了． 求关于狓的方程犪狓＝２的解集，其中犪是常数． 
 A( ２ 能直接在等式犪狓＝２的两边同时除以犪，从而得到狓＝ 吗？为什么？ 犪 １ ２ 当犪≠０时，在等式犪狓＝２的两边同时乘以 ，得狓＝ ，此时解  犪 犪 ｛ ｝ ２ 集为 ． 犪 当犪＝０时，方程变为０狓＝２，这个方程无解，此时解集为． ｛ ｝ ２ 综上，当犪≠０时，解集为 ；当犪＝０时，解集为． 犪 " ? 求下列方程的解集： １ １ ２狓－１ ３－狓 １ （１）２－ 狓＝ 狓＋１； （２） － ＝ ； ２ ３ ３ ２ ２ （３）狓２＋４狓＋４＝０； （４）狓２＋７狓－８＝０． ? 利用十字相乘法分解因式： （１）狓２＋３狓＋２； （２）狓２＋２狓－１５． ? 求方程（狓＋１）（狓－１）（狓－３）（狓－５）＝０的解集． ? 求证：对任意的狓，犪，犫，都有（狓＋犪）（狓＋犫）＝狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫． ? 已知 “任意狋和狊，都有狋３＋狊３＝（狋＋狊）（狋２－狋狊＋狊２）”是真命题，借助这个结论 将狋３－犿３进行因式分解． ４ ８ 第二章 等式与不等式# ? 将 （犪＋犫）３展开，并由此得到 （犪－犫）３的展开式． ? 将 （犪＋犫＋犮）２展开，并由此得到 （犪－犫－犮）２的展开式． ? 利用十字相乘法分解因式： （１）狓２＋（犪＋２）狓＋２犪； （２）狓２－（３＋狋）狓＋３狋． ? 求关于狓的方程犪狓＝狓－１的解集，其中犪是常数． ? 已知集合犃＝｛狓狓２－３狓＋２＝０｝，犅＝｛狓犪狓＝１｝，若犅犃，求实数犪的值． 犪＋犮＝犫＋犮 犪犮＝犫犮  （犪＋犫）（犪－犫） 狓２＋２狓狔＋狔２  （１）（２）（４）（６）  （３）（５）  （狓＋２）（狓＋３） ３狓＝－６ 2.1.2     
 /+?K  《九章算术》第九章 “勾股”问题二十：今有邑方①不知大小，各中开门．出北 门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何． 根据题中的描述可作出示意图，如图２１３所示，其中犃点代表北门，犅处是 木，犆点代表南门，而且犃犅＝２０，犆犇＝１４，犇犈＝ ． B F A C E D 图２１３ ① 邑方：正方形小城． ２．１ 等式 ４９如果设正方形的边长为狓步，则有 狓 犃犉＝ ， ２ 犇犅＝２０＋狓＋１４＝狓＋３４． 犃犉 犃犅 根据△犃犅犉∽△犇犅犈可知 ＝ ，从而犃犉·犇犅＝犃犅·犇犈，因此 犇犈 犇犅 狓 （狓＋３４）＝２０×１７７５， ２ 整理得狓２＋３４狓－７１０００＝０．你会解这个方程吗？ 我们知道，形如 犪狓２＋犫狓＋犮＝０ 的方程为一元二次方程，其中犪，犫，犮是常数，且犪≠０． 从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但 是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情 形，此时该怎么办呢？ A( 你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解 集？举例说明． 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为 狓２＝狋 的形式，其中狋为常数，那么这个方程的解集 ① 是容易获得的． 例如，方程狓２＝３的解集为 ｛－槡３，槡３｝，方程狓２＝０的解集为｛０｝， 方程狓２＝－２的解集为． 一般地，方程狓２＝狋： （１）当狋＞０时，解集为 ； （２）当狋＝０时，解集为 ； （３）当狋＜０时，解集为 ． 更进一步，形如 （狓－犽）２＝狋（其中犽，狋是常数）的一元二次方程的解 集也容易得到．例如，由 （狓－１）２＝２可知狓－１＝－槡２或狓－１＝槡２，从而 ① 如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同． ５ ０ 第二章 等式与不等式狓＝１－槡２或狓＝１＋槡２，因此解集为 ｛１－槡２，１＋槡２｝． 一般地，方程 （狓－犽）２＝狋： （１）当狋＞０时，解集为 ； （２）当狋＝０时，解集为 ； （３）当狋＜０时，解集为 ． 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为 （狓－犽）２＝狋的 形式，就可得到方程的解集． A( 怎样将狓２＋２狓＋３＝０化为 （狓－犽）２＝狋的形式？动手试试看，并写出这个方 程的解集． 我们知道，利用配方法可得 狓２＋２狓＋３＝狓２＋２狓＋１＋２＝（狓＋１）２＋２， 因此，狓２＋２狓＋３＝０可以化为 （狓＋１）２＝－２，从而可知解集为． 事实上，利用配方法，总是可以将犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）化为 （狓－犽）２＝狋的形式，过程如下：因为犪≠０，所以 （ 犫 ） 犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２＋ 狓＋犮 犪 ［ ］ 犫 （犫） ２ （犫） ２ ＝犪狓２＋ 狓＋ － ＋犮 犪 ２犪 ２犪 （ 犫） ２ 犫２ ＝犪狓＋ － ＋犮 ２犪 ４犪 （ 犫） ２  ＝犪狓＋ ＋ ， ２犪 ４犪 因此犪狓２＋犫狓＋犮＝０可以化为 （ 犫） ２  狓＋ ＝ ． ２犪 ４犪２ 从而可知，Δ＝犫２－４犪犮的符号情况决定了上述方程的解集情况： （１）当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，方程的解集为 ｛ ｝ －犫＋ 槡犫２－４犪犮 ， －犫－ 槡犫２－４犪犮 ； ２犪 ２犪 ｛ ｝ 犫 （２）当Δ＝犫２－４犪犮＝０时，方程的解集为 － ； ２犪 （３）当Δ＝犫２－４犪犮＜０时，方程的解集为． 一般地，Δ＝犫２－４犪犮称为一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）的判 ２．１ 等式 ５１ 书书书别式．由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定． 前述情境与问题中的方程可以化为 （狓＋１７）２＝７１２８９，从而可解得 狓＝２５０或狓＝－２８４ （舍）． 求方程狓－２槡狓－１＝０的解集． 
 这不是一个一元二次方程，但是通过把槡狓看成一个整体就可以  转化为一个一元二次方程． 设槡狓＝狔，则狔≥０，且原方程可变为  狔２－２狔－１＝０， 因此可知狔＝１＋槡２或狔＝１－槡２ （舍）． 从而槡狓＝１＋槡２，即狓＝３＋２槡２，所以原方程的解集为 ｛３＋２槡２｝． 
 / 2+2 我们知道，当一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）的解集不是空集 时，这个方程的解可以记为 －犫＋槡犫２－４犪犮 －犫－槡犫２－４犪犮 狓＝ ，狓＝ ①． １ ２犪 ２ ２犪 A( 计算狓＋狓 和狓狓 的值，并填空： １ ２ １ ２ 烄狓＋狓＝▉ ， １ ２ 烅 烆狓狓＝▉ ． １ ２ 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系． 已知一元二次方程２狓２＋３狓－４＝０的两根为狓 与狓，求下列各 
 １ ２ 式的值： （１）狓２＋狓２； （２）狓－狓 ． １ ２ １ ２ A( 求出狓 和狓，并由此给出上述 （１）和 （２）的答案． １ ２ 由一元二次方程根与系数的关系，得  ① 当Δ＝０时，狓＝狓，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根． １ ２ ５ ２ 第二章 等式与不等式３ 狓＋狓＝－ ，狓狓＝－２． １ ２ ２ １ ２ （１）由上有 （ ３） ２ ２５ 狓２＋狓２＝（狓＋狓）２－２狓狓＝ － －２×（－２）＝ ． １ ２ １ ２ １ ２ ２ ４ （２）因为 （ ３） ２ ４１ （狓－狓）２＝（狓＋狓）２－４狓狓＝ － －４×（－２）＝ ， １ ２ １ ２ １ ２ ２ ４ 所以 槡４１ 狓－狓 ＝槡（狓－狓）２＝ ． １ ２ １ ２ ２ " ? 已知犃＝｛狓狓２－１６＝０｝，犅＝｛狓狓２－狓－１２＝０｝，求犃∩犅，犃∪犅． ? 已知关于狓的方程狓２－３犿狓＋１＝０有两个相等的实数根，求实数犿的取值集合． ? 求下列方程的解集： ２ １ （１）２狓４－７狓２＋３＝０； （２） ＋ －１＝０． 狓２ 狓 # ? 已知关于狓的方程犿狓２－３狓＋１＝０的解集为空集，求实数犿的取值范围． ? 已知方程狓２－２槡２狓＋１＝０的两根为狓 与狓，求下列各式的值： １ ２ １ １ （１）狓２狓＋狓狓２； （２） ＋ ． １ ２ １ ２ 狓 狓 １ ２ ? 已知关于狓的方程狓２－２狓＋犿－１＝０的两根同号，求实数犿的取值范围． ? 求关于狓的方程狓２＋犪＝０的解集． ? 《九章算术》第九章 “勾股”问题十二：今有户①不知高、广，竿不知长、短． 横之不出四尺，从②之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪③各几何． １７７５  ｛－槡狋，槡狋｝  ｛０｝    ｛犽－槡狋，犽＋槡狋｝ 犫 犮  ｛犽｝   ４犪犮－犫２ 犫２－４犪犮 ▉ － ▉ 犪 犪 ① 户：门． ② 从：通 “纵”． ③ 邪：指门的对角线长． ２．１ 等式 ５３2.1.3  
/3+?K A( 将狓－狔＝１看成含有两个未知数狓，狔的方程： 烄狓＝３， （１）判断 （狓，狔）＝（３，２）（指的是 烅 下同）是否是这个方程的解； 烆狔＝２， （２）判断这个方程的解集是有限集还是无限集． 因为３－２＝１，所以 （狓，狔）＝（３，２）是方程狓－狔＝１的解，而且方 程狓－狔＝１的解集是无限集． 我们知道， 烄狓－狔＝１， ① 烅 烆狓＋狔＝３ ② 是一个方程组，而且通过①＋②可以消去狔，得到狓＝２；②－①可以消去 狓，得到狔＝１，从而得出这个方程组的解为 （狓，狔）＝（２，１）． 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的 解集得到的交集称为这个方程组的解集． 烄狓－狔＝１， 因此，方程组 的解集是 烅 烆狓＋狔＝３ ｛（狓，狔）｜狓－狔＝１｝∩｛（狓，狔）｜狓＋狔＝３｝＝｛（２，１）｝． 由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方 法是以前学过的消元法．  《九章算术》第八章 “方程”问题一：今有上禾①三秉②，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗③；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何． 请列方程组求解这个问题． ① 禾：粮食作物的总称． ② 秉：束． ③ 斗：计量单位，１斗＝１０升． ５ ４ 第二章 等式与不等式设上禾实一秉狓斗，中禾实一秉狔斗，下禾实一秉狕斗，根据题意， 可列方程组 烄３狓＋２狔＋狕＝３９， 烅 ， 烆 ． 由此可解得这个方程组的解集为 ． KA 《九章算术》中的代数成就简介 《九章算术》是中国古典数学最重要的 不难看出， “遍乘直除”的目的在于消 著作，全书分为九章，共２４６个问题，包含 元．按照我国著名数学史专家李文林先生的 了算术、代数、几何等多方面的成就． 说法， 《九章算术》的方程术，是世界数学 代数方面，《九章算术》的第八章为 “方 史上的一颗明珠． 程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的 《九章算术》在代数方面的另一项成就 题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了 是引进了负数，在用 “方程术”解方程组 解这个问题的 “方程术”，其实质是将方程 时，可能出现减数大于被减数的情形，为 中未知数的系数与最后的常数项排成长方形 此，《九章算术》给出了 “正负术”，即正负 的形式，然后采用 “遍乘直除”的算法来 数的加减运算法则． 解，过程可表示如下． 另外， “开方术”也是 《九章算术》的 代数成就之一，其实质是给出了一元二次方 3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37 程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的数值求解步骤． 2 3 1 34⇒0 5 1 24⇒0 5 1 24⇒0 4 0 17 而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者， 1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11 其中第一步是将第二行的数乘以３，然 为不可开．这是意识到了无理数的存在． 后不断地减去第一行，直到第一个数变为０ 你知道其他地区类似的代数成就出现的 为止，然后对第三行做同样的操作，其余的 时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网 步骤都类似． 络进行了解吧！ A( 烄狓－狔＋狕＝１， 设方程组 烅 的解集为犃．判断 （狓，狔，狕）＝（３，２，０）和 （狓，狔， 烆狓＋狔－３狕＝５ 狕）＝（４，４，１）是否是集合犃中的元素；判断犃是一个有限集还是一个无限集． （狓，狔，狕）＝（３，２，０）和 （狓，狔，狕）＝（４，４，１）均为上述方程组 的解，而且，如果我们将狕看成已知数，就可以解得 狓＝狕＋３，狔＝２狕＋２， ２．１ 等式 ５５这样一来，方程组的解集可以写成 犃＝｛（狓，狔，狕）｜狓＝狕＋３，狔＝２狕＋２，狕∈犚｝． 不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集． 这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可 能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未 知数往往能用这些未知数表示出来． 求方程组 
 烄狓２＋狔２＝５， ③ 烅 烆狔 ＝狓 ＋１ ④ 的解集． 将④代入③，整理得狓２＋狓－２＝０，解得狓＝１或狓＝－２．  利用④可知，狓＝１时，狔＝２；狓＝－２时，狔＝－１． 所以原方程组的解集为 ｛（１，２），（－２，－１）｝． 求方程组 
 烄狓２＋狔２＝２， ⑤ 烅 烆 （狓－１）２＋（狔－２）２＝１ ⑥ 的解集． A( 观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案． 由⑤－⑥，整理得  狓＋２狔－３＝０． ⑦ 由⑦解得狓＝３－２狔．代入⑤，并整理，得 ，解得  ． 利用⑦可知， ． ｛ ｝ （１ ７） 因此，原方程组的解集为 （１，１）， ， ． ５ ５ 
* !/ /3+?K 利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集． ５ ６ 第二章 等式与不等式在动态数学软件ＧｅｏＧｅｂｒａ① 中的 “运算区”用ｓｏｌｖｅ命令，就可以得到 方程和方程组的解集信息． 图２１４所示是求解示例，其中第 ２个示例中的 “｛｝”表示解集为空集， 即不存在实数解；第５个示例表示将 狓，狔看成未知数，求解方程组 烄狓－狔＋狕＝１， 烅 烆狓＋狔－３狕＝５． 其他结果请读者自行尝试与解读． 图２１４ " ? 求下列方程组的解集： 烄２（狓－３狔）＋１＝０， 烄２狓＋狔＝０， （１） 烅 （２） 烅３狓－１ 烆 ３狓－２狔＝１４； －５狔＝３． 烆 ２ ? 已知犃＝｛（狓，狔）狓＋狔＝６｝，犅＝｛（狓，狔）狓－２狔＝０｝，求犃∩犅． ? 求下列方程组的解集： 烄狓＋狔＝３， 烄３狓＋狔－２狕＝２， （１） 烅狔＋狕＝４， （２） 烅２狔＋３狕＝０， 烆狕＋狓＝５； 烆２狓－狔＋狕＝１１． ? 今有人合伙买羊，每人出５钱，差４５钱；每人出７钱，差３钱．问合伙人数、 羊价各是多少 （选自 《九章算术》）． ? 《毛诗》《春秋》《周易》书，九十四册共无余，《毛诗》一册三人读，《春秋》一 册四人呼，《周易》五人读一本，要分每样几多书 （选自 《算法统宗》）？ # ? 已知犃＝｛（狓，狔）犪狓＋狔＝２｝，犅＝｛（狓，狔）狓＋犫狔＝３｝，且犃∩犅＝｛（１，１）｝， 求犪，犫的值． ① ＧｅｏＧｅｂｒａ是一个开源软件，可以免费下载、使用，软件的用法以及相关课件的下载，请参考本书的教师教学用 书或本套教材的官方配套资源网站． ２．１ 等式 ５７? 求下列方程组的解集： 烄狔２＋２狓＝０， 烄狓２＋狔２＝１３， 烄３狓２＋４狔２＝１２， （１） 烅 ５ （２） 烅 （３） 烅 狓－３狔－ ＝０； 烆狓 －２狔＝１； 烆狓 －２狔＋２＝０． 烆 ２ ? 某校新成立Ａ，Ｂ两个社团，第一年社团成员数相同，以后每年Ａ社团以相同 的增长率招收新成员，而Ｂ社团每年都招收第一年成员数的８０％．已知第二年 Ａ，Ｂ两个社团成员数之和为３１０，第三年 Ａ社团成员数是Ｂ社团成员数的 ０．６５倍．试求Ａ社团成员数的增长率及Ｂ社团每年招收的成员数． ? 甲同学买５个练习本、２个活页夹、８支签字笔共用去５２元，乙同学买同样的３ 个练习本、４个活页夹、２支签字笔共用去４８元．求活页夹的单价与签字笔的 单价之差． ? 你知道吗？配平化学方程式其实可以通过解方程组来完成．例如，Ｍｇ在Ｏ 中 ２ 燃烧生成 ＭｇＯ，可以设方程式为 点燃 狓Ｍｇ＋狔Ｏ 狕ＭｇＯ， ２ 其中狓，狔，狕均为正整数，且它们的最大公约数为１．由方程式两边的同种原 子数目相等可得 烄狓＝狕， 烅 烆２狔＝狕． 令狔＝１，则狕＝２，狓＝２．因此，配平后的化学方程式为 点燃 ２Ｍｇ＋Ｏ ２ＭｇＯ． ２ 用这种方法配平化学方程式 高温 （ ）Ｆｅ＋（ ）ＨＯ（ｇ）（ ）ＦｅＯ ＋（ ）Ｈ ． ２ ３ ４ ２ ｛ ｝ （３７ １７ １１） ２狓＋３狔＋狕＝３４ 狓＋２狔＋３狕＝２６  ， ， ４ ４ ４ ７ ７ １ ５狔２－１２狔＋７＝０ 狔＝１或狔＝ 狔＝１时，狓＝１；狔＝ 时，狓＝ ５ ５ ５ " ? 下列等式中，哪些是恒等式？ （１）犪＋犫＝犫＋犪； （２）（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）； （３）（狓＋２狔）２＝狓２＋４狔２； （４）狓２－２狔２＝（狓－槡２狔）（狓＋槡２狔）． ２（狓－１） １－３狓 ? 求方程 ＋ ＝２的解集． ３ ２ ５ ８ 第二章 等式与不等式? 求下列方程的解集： （１）２狓２－９＝０； （２）（狓＋１）２＋２＝０； （３）（狓＋１）（狓－２）＝０； （４）狓２＝２狓． ? 判定集合犃＝｛狓狓２－３狓＋２＝０｝和犅＝｛１，２，３，４，５｝之间的关系． ? 已知关于狓的方程狓２＋犫狓＋犮＝０的两根之和为３，两根之积为２，求犫，犮的值． ? 求下列方程组的解集： 烄狓＋２狔＝４， 烄３狓＋２狔＝４， （１） 烅 （２） 烅 烆２狓－３狔＝５； 烆４狓－３狔＝３． ? 某店家经销甲、乙两件商品，国庆节期间，甲商品的利润率为１０％，乙商品 的利润率为８％，两件商品共可获利１５０元；国庆节后，甲商品的利润率为 １５％，乙商品的利润率为１０％，两件商品共可获利２００元．问两件商品的进 价分别是多少元． ? 现用一根铁丝恰好可做成一个高为１０ｃｍ的长方体框架，而且长方体的体积 为１８００ｃｍ３，表面积为９００ｃｍ２，求铁丝的长度． # ? 求方程（狓＋２）（狓－３）（狓２－狓＋２）＝０的解集． ? 写出 （犪＋２犫）３和 （犪－２犫）３的展开式． １ １ １ １ ? 求方程 － ＝ － 的解集． 狓＋１ 狓＋２ 狓＋３ 狓＋４ ? 已知集合犃＝｛－２｝，犅＝｛狓狓２＋２狓＋犪－１＝０｝，且犃∩犅＝犅，求所有满 足条件的实数犪组成的集合． １ 犽 ? 若关于狓的方程 ＝１＋ 的解集是空集，求犽的值． 狓－１ 狓－１ ? 求下列方程的解集： （１）狓２＋狓－１＝０； （２）－２狓２＋２狓－１＝０； （３）（狓＋１）３－狓３＝０． ? 求下列方程的解集： （１）６狓４－１７狓２＋１２＝０； （２）２狓３－狓２－６狓＝０． 烄犿狓＋狔＝５， ? 甲、乙两位同学求方程组 烅 的解集犃时，甲因看错了犿解得犃＝ ２狓－狀狔＝１３ 烆 ｛ ｝ （７ ） ，－２ ，乙因看错了狀解得犃＝｛（３，－７）｝，求犿，狀的值． ２ ２．１ 等式 ５９? 求下列方程组的解集： 烄狓２＋２狔２＝３， 烄狓２－４狔２＝１５， （１） 烅 （２） 烅 烆２狓－３狔 ＝５； 烆狓 ＋２狔＝５． ３ ﹣ 已知犪犮≠０，关于狓的方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两根之和为２，两根之积为 ． ４ （１）求关于狓的方程犮狓２＋犫狓＋犪＝０的两根之和与两根之积； （２）求关于狓的方程犮狓２－犫狓＋犪＝０的两根之和与两根之积． 狓 犽－２狓 ﹣ 当犽为何值时，关于狓的方程 ＝ 的解集中只含有一个元素？ 狓－１ 狓２－狓 ﹣ 已知方程狓２－３狓＋１＝０的两根为狓 与狓，求下列各式的值： １ ２ 狓 狓 （１）狓３＋狓３； （２） ２＋ １． １ ２ 狓 狓 １ ２ ﹣ 已知关于狓的方程狓２＋２（犿－２）狓＋犿２＋４＝０有实数根，并且两根的平方和 比两根之积大２１，求实数犿的值． $ ? 求方程 （狓２＋狓）２＋狓２＋狓＝３０的解集． 烄３狓－狔－狕＝０， 狓２＋狔２ ? 已知 烅 求 的值． 烆２狓＋狔－狕＝０， （狓＋狔）狕 ? 已知关于狓的方程狓２－２（犽＋１）狓＋犽２－２＝０的两根为狓 与狓，若狓 ＝ １ ２ １ 狓 ，求实数犽的值． ２ ? 求关于狓的方程犪狓＝犫的解集，其中犪，犫是常数． ? 求关于狓的方程狓２＋犪狓＋１＝０的解集，其中犪是常数． ６ ０ 第二章 等式与不等式． ! !! $"# 2.2.1     你见过图２２１中的高速公路指示牌吗？左边 的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且 小客车的速率狏 （单位：ｋｍ／ｈ，下同）应该满足 



 



 １ １００≤狏≤１２０； Car Only Carriage Way １ 120 100 100 60 右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行 驶，而且车的速率狏 应该满足 图２２１ ２  ． 在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关 系的工具．我们用数学符号 “≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数 式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 在上述不等式符号中，要特别注意 “≥” “≤”．事实上，任 意给定两个实数犪，犫，那么 ５≥３，２≥２， 犪≥犫犪＞犫或犪＝犫， ２≤２这三个命题 都是真命题吗？ 犪≤犫 ． 怎样理解两个实数之间的大小呢？ 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数 轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．一般 地，如果点犘对应的数为狓，则称狓为点犘的坐标，并记作犘（狓）． 另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这 就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图 ２２２所示的数轴中，犃（犪），犅（犫），不难看出 犫＞１＞０＞犪． ２．２ 不等式 ６１A B a O  b x 图２２２ 此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正 方向移动了一段距离；一个数减去一个正数 （即加上一个负数），相当于数 轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数 犪，犫的大小，只要考察犪－犫与０的相对大小就可以了，即 犪－犫＜０犪＜犫， 犪－犫＝０犪＝犫， 犪－犫＞０犪＞犫． 初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质： 性质１ 如果犪＞犫，那么犪＋犮＞犫＋犮． 性质２ 如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮． 性质３ 如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮． A( 你能利用前面的知识，给出性质１的直观理解以及这三个性质的证明吗？ 事实上，如图２２３所示，犪＞犫是指点犃在点犅的右侧，犪＋犮和犫＋犮 表示点犃和点犅在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点犃′和犅′的相对 位置，与犃和犅的相对位置是一样的，因此犪＋犮＞犫＋犮． B B′ A A′ x b b+c a a+c 图２２３ 性质１可以用如下方式证明：因为 （犪＋犮）－（犫＋犮）＝犪＋犮－犫－犮＝犪－犫， 又因为犪＞犫，所以犪－犫＞０，从而 （犪＋犮）－（犫＋犮）＞０， 因此犪＋犮＞犫＋犮． 性质２可以用类似的方法证明：因为 犪犮－犫犮＝（犪－犫）犮， 又因为犪＞犫，所以犪－犫＞０，而犮＞０，因此 ６ ２ 第二章 等式与不等式（犪－犫）犮＞０， 因此犪犮－犫犮＞０，即犪犮＞犫犮． 性质３的证明留作练习． A( 用 “充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： （１）犪＞犫是犪＋犮＞犫＋犮的 条件； （２）如果犮＞０，则犪＞犫是犪犮＞犫犮的 条件； （３）如果犮＜０，则犪＞犫是犪犮＜犫犮的 条件． 在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质． 性质４ 如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮． 直观上，如图２２４所示，点犃在点犅的右侧，点犅在点犆的右侧， 因此点犃必定在点犆的右侧． C B A x c b a 图２２４ 证明 因为 犪－犮＝（犪－犫）＋（犫－犮）， 又因为犪＞犫，所以犪－犫＞０；且犫＞犮，所以犫－犮＞０，因此 （犪－犫）＋（犫－犮）＞０， 从而犪－犮＞０，即犪＞犮． 性质４通常称为不等关系的传递性．我们前面在判断狓２＞－１等类似命 题的真假时就用过不等关系的传递性． 性质５ 犪＞犫犫＜犪． 这只要利用犪－犫＝－（犫－犪）就可以证明，请读者自行尝试． 另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立， 因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母． 比较狓２－狓和狓－２的大小． 
 因为  （狓２－狓）－（狓－２）＝狓２－２狓＋２＝（狓－１）２＋１， 又因为 （狓－１）２≥０，所以 （狓－１）２＋１≥１＞０，从而 （狓２－狓）－（狓－２）＞０， 因此狓２－狓＞狓－２． ２．２ 不等式 ６３例１的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练 掌握． 需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例１的方法，其实质都 是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法． 在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．从已知条 件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中 通常称为综合法．下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论． 推论１ 如果犪＋犫＞犮，那么犪＞犮－犫． 证明 犪＋犫＞犮犪＋犫＋（－犫）＞犮＋（－犫）犪＞犮－犫． 推论１表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号 后，从不等式的一边移到另一边．推论１通常称为不等式的移项法则． 推论２ 如果犪＞犫，犮＞犱，那么犪＋犮＞犫＋犱． 证明 根据性质１有 犪＞犫犪＋犮＞犫＋犮， 犮＞犱犫＋犮＞犫＋犱， 再根据性质４可知 犪＋犮＞犫＋犱． 我们把犪＞犫和犮＞犱（或犪＜犫和犮＜犱）这类不等号方向相同的不等 式，称为同向不等式．推论２说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得 到的不等式与原不等式同向．很明显，推论２可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 推论３ 如果犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，那么犪犮＞犫犱． 证明 根据性质２有 犪＞犫，犮＞０犪犮＞犫犮， 犮＞犱，犫＞０犫犮＞犫犱， 再根据性质４可知 犪犮＞犫犱． 很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论： 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原 不等式同向． 推论４ 如果犪＞犫＞０，那么犪狀＞犫狀 （狀∈犖，狀＞１）． 这个结论的证明只要多次使用推论３的结论即可． 推论５ 如果犪＞犫＞０，那么槡犪＞槡犫． 证明 假设槡犪≤槡犫，即 ６ ４ 第二章 等式与不等式槡犪＜槡犫或槡犪＝槡犫， 根据推论４和二次根式的性质，得 犪＜犫或犪＝犫． 这都与犪＞犫矛盾，因此假设不成立，从而槡犪＞槡犫． A( 证明推论５中不等式的方法具有什么特征？ 可以看出，推论５中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然 后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法 通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法． （１）已知犪＞犫，犮＜犱，求证：犪－犮＞犫－犱； 
 １ １ （２）已知犪＞犫，犪犫＞０，求证： ＜ ； 犪 犫 犪 犫 （３）已知犪＞犫＞０，０＜犮＜犱，求证： ＞ ． 犮 犱 （１）因为犪＞犫，犮＜犱，所以  犪＞犫，－犮＞－犱． 根据推论２，得 犪－犮＞犫－犱． １ （２）因为犪犫＞０，所以 ＞０． 犪犫 又因为犪＞犫，所以 １ １ 犪· ＞犫· ， 犪犫 犪犫 １ １ １ １ 即 ＞ ，因此 ＜ ． 犫 犪 犪 犫 （３）因为０＜犮＜犱，根据 （２）的结论，得 １ １ ＞ ＞０． 犮 犱 又因为犪＞犫＞０，所以根据推论３可知 １ １ 犪· ＞犫· ， 犮 犱 犪 犫 即 ＞ ． 犮 犱 可以看出，例２中所使用的方法是综合法．综合法中，最重要的推理形 式为狆狇，其中狆是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不 ２．２ 不等式 ６５断寻找必然成立的结论． A( 你能证明槡３＋槡７＜２槡５吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样 证明这个结论？ 直接证明槡３＋槡７＜２槡５并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们 自行尝试．不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论： 要证槡３＋槡７＜２槡５，只需证明 （槡３＋槡７）２＜（２槡５）２， 展开得１０＋２槡２１＜２０，即槡２１＜５，这只需证明 （槡２１）２＜５２， 即２１＜２５．因为２１＜２５成立，所以槡３＋槡７＜２槡５成立． 上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是 “要证狆，只需证明狇”，这可以表示为狆狇，其中狆是需要证明的结论， 所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．槡３＋槡７＜２槡５的证 明过程也可简写为：因为 槡３＋槡７＜２槡５（槡３＋槡７）２＜（２槡５）２槡２１＜５２１＜２５， 又因为２１＜２５成立，所以结论成立． １＋犿 １ 已知犿＞０，求证： ＞ ． 
 ３＋犿 ３ 因为犿＞０，所以３＋犿＞０，从而  １＋犿 １ ＞ ３（１＋犿）＞３＋犿犿＞０， ３＋犿 ３ 又因为已知犿＞０，所以结论成立． " ? 正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立吗？把成立的结 论重新叙述一遍． ? 判断下列命题的真假： （１）当狓＝３时，狓≥３； （２）当狓≥３时，狓＝３； （３）当狓≥３且狓≤３时，狓＝３． ６ ６ 第二章 等式与不等式? 用 “＞”或 “＜”填空： （１）狓＋５ 狓＋２； （２）犪＜犫３犪 ３犫； （３）犪＜犫－５犪 －５犫； （４）当犮 ０时，犪＞犫犪犮＜犫犮； （５）犪＞犫犪－１ 犫－２； （６）犪＞犫＞０，犮＜犱＜０犪犮 犫犱． ? 求证：如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮． ? 用反证法证明槡６－槡５＜２－槡３． # ? 利用正比例函数给出不等式性质２和性质３的直观解释． ? 用 “＞”或 “＜”填空： （１）犪＞犫＞０犪２ 犫２； （２）犪＜犫＜０犪２ 犫２； 犫 犱 犫 （３） ＞ ，犪犮＜０犪犱 犫犮； （４）犪＜犫＜０ １； 犪 犮 犪 １ １ １ １ （５）犪＜犫＜０ ； （６）犪＜０＜犫 ． 犪 犫 犪 犫 ? 证明犪２＋９犫２≥６犪犫，并说明等号成立的条件． 犪＋犿 犪 ? 已知犪，犫，犿都是正实数，犫＞犪，求证： ＞ ． 犫＋犿 犫 ６０≤狏≤１００ 犪＜犫或犪＝犫  充要  充要  充要 ２ 2.2.2   
0+?K03+?K 从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成立的未知数的值称为不等 式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质． 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个 不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的 解集． ２．２ 不等式 ６７求不等式组 
 烄２狓＋１≥－９， ① 烅狓 －２＞２狓＋３ 烆３ ② 的解集． ①式两边同时加上－１，得  ２狓≥－１０， １ 这个不等式两边同时乘以 ，得狓≥－５，因此①的解集为 ［－５，＋∞）． ２ 类似地，可得②的解集为 ． 又因为 ［－５，＋∞）∩（－∞，－３）＝［－５，－３）， 所以原不等式组的解集为 ［－５，－３）． 
40 我们知道，数轴上表示数犪的点与原点的距离称为数犪的绝对值，记作 犪．而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反 数，０的绝对值是０． 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如， ｜狓｜＞３，｜狓－１｜≤２ 都是绝对值不等式． A( （１）你能给出｜狓｜＞３的解集吗？ （２）试总结出犿＞０时，关于狓的不等式｜狓｜＞犿和｜狓｜≤犿的解集． 根据绝对值的定义可知，｜狓｜＞３等价于 烄狓≥０， 烄狓＜０， 或 烅 烅 烆狓＞３ 烆－狓＞３， 即狓＞３或狓＜－３，因此｜狓｜＞３的解集为 （－∞，－３）∪（３，＋∞）． 不等式｜狓｜＞３的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为狓是数轴 上表示数狓的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于３的点对应的 所有数组成的集合就是｜狓｜＞３的解集，从而由图２２５可知所求解集为 ６ ８ 第二章 等式与不等式（－∞，－３）∪（３，＋∞）． −5 −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 5 x 图２２５ 用类似方法可知，当犿＞０时，关于狓的不等式｜狓｜＞犿的解为狓＞犿 或狓＜－犿，因此解集为 （－∞，－犿）∪（犿，＋∞）； 关于狓的不等式｜狓｜≤犿的解为－犿≤狓≤犿，因此解集为  ． A( 你能给出｜犪－１｜≤２的解集吗？ 如果将犪－１当成一个整体，比如令狓＝犪－１，则 ｜犪－１｜≤２｜狓｜≤２， 因此｜犪－１｜≤２的解集可以通过求解｜狓｜≤２得到，请读者自行尝试． 下面我们来探讨｜犪－１｜的几何意义，并由此得出不等式｜犪－１｜≤２的解集． A( 任意给出几个犪的值，求出对应的｜犪－１｜的值，并借助数轴考虑｜犪－１｜的几 何意义． 当犪＝－２时，｜犪－１｜＝｜－２－１｜＝３，而且在数轴上，表示－２的点与 表示１的点的距离是３；当犪＝３时，｜犪－１｜＝｜３－１｜＝２，而且在数轴上， 表示３的点与表示１的点的距离是２．因此，如果数轴上表示犪的点为犃， 表示１的点为犅，则犃，犅之间的距离为｜犪－１｜，如图２２６所示． A B −5 −4 −3a−2 −1 O 1 2 3 4 5 x 图２２６ 这样一来，数轴上与表示１的点的距离小于或等于２的点对应的所有数 组成的集合就是｜犪－１｜≤２的解集，又因为数轴上与表示１的点的距离等于 ２的点对应的数分别为－１和３，因此由图２２６可知｜犪－１｜≤２的解集为 ２．２ 不等式 ６９［－１，３］． 一般地，如果实数犪，犫在数轴上对应的点分别为犃，犅，即犃（犪）， 犅（犫），则线段犃犅的长为 犃犅＝｜犪－犫｜， 这就是数轴上两点之间的距离公式．更进一步，如果线段犃犅的中点犕对 应的数为狓，则由犃犕＝犕犅可知｜犪－狓｜＝｜狓－犫｜，因此：当犪＜犫时，有 犪＜狓＜犫，从而 狓－犪＝犫－狓， 所以 犪＋犫 狓＝ ； ２ 当犪≥犫时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式． 设数轴上点犃与数３对应，点犅与数狓对应，已知线段犃犅的 
 中点到原点的距离不大于５，求狓的取值范围． ３＋狓 因为犃犅的中点对应的数为 ，所以由题意可知  ２ ３＋狓 ≤５， ２ 即 ３＋狓≤１０，因此－１０≤３＋狓≤１０，所以－１３≤狓≤７，因此狓的取值 范围是  ． 求下列不等式的解集： （１）｜狓－１｜＋｜狓－２｜＜５； （２）｜狓－１｜＋｜狓－２｜≥３； １ １ （３）｜狓－１｜＋｜狓－２｜＞ ； （４）｜狓－１｜＋｜狓－２｜＜ ． ２ ３ " ? 求下列不等式的解集： 狓 （１）３狓＞２狓－６； （２）２狓＋１＞ －３． ２ ７ ０ 第二章 等式与不等式? 求下列不等式组的解集： 烄２狓＋１＞０， 烄－２狓－５≥０， （１） 烅 （２） 烅 烆３狓－２≤０； 烆槡２狓－３槡２＞０． ? 求下列绝对值不等式的解集： （１）｜２狓｜－３≥０； （２）｜１－２狓｜＜２． ? 已知数轴上，犃（３），犅（－５），求线段犃犅的长以及线段犃犅的中点犕的坐标． # ? 求下列绝对值不等式的解集： （１）１＋｜狓｜＜０； （２）｜狓＋３｜＋２≤２． ? 已知数轴上，犃（－１），犅（狓），犆（６）． （１）若犃与犆关于点犅对称，求狓的值； （２）若线段犃犅的中点到犆的距离小于５，求狓的取值范围． ? 求关于狓的不等式的解集： （１）２狓＋犪＞０； （２）犪狓＞１．  （－∞，－３）  ［－犿，犿］  ［－１３，７］ 2.2.3     汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称 这段距离为 “刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据． 在一个限速为４０ｋｍ／ｈ的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对， 同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过６ｍ，乙车的 刹车距离略超过１０ｍ．已知甲、乙两种车型的刹车距离狊ｍ与车速狏ｋｍ／ｈ之间的 关系分别为 １ １ １ １ 狊 ＝ 狏２－ 狏，狊 ＝ 狏２－ 狏． 甲 １００ １０ 乙 ２００ ２０ 试判断甲、乙两车有无超速现象． ２．２ 不等式 ７１不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范 围，也就是要解不等式 １ １ 狏２－ 狏＞６和 ， １００ １０ 即狏２－１０狏－６００＞０和 ． 一般地，形如 犪狓２＋犫狓＋犮＞０ 的不等式称为一元二次不等式，其中犪，犫，犮是常数，而且犪≠０．一元二 次不等式中的不等号也可以是 “＜”“≥”“≤”等． 如何求一个一元二次不等式的解集呢？ 让我们从简单的一元二次不等式开始探讨．首先来看一元二次不等式 狓（狓－１）＞０． ① A( 任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个不等式的方法． 注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，犪犫＞０当 且仅当 烄犪＞０， 烄犪＜０， 或 烅 烅 烆犫＞０ 烆犫＜０． 因此，不等式①可以转化为两个不等式组 烄狓＞０， 烄狓＜０， 或 烅 烅 烆狓－１＞０ 烆狓－１＜０． 解得狓＞１或狓＜０，因此，不等式①的解集为 （－∞，０）∪（１，＋∞）． 用类似的方法可以求得不等式 （狓＋１）（狓－１）＜０ ② 的解，但此时的依据是：犪犫＜０当且仅当 烄犪＜０， 烅 或 烆犫＞０ 因为不等式②可以转化为两个不等式组 烄狓＋１＜０， 烄狓＋１＞０， 或 烅 烅 烆狓－１＞０ 烆狓－１＜０． 不难解得狓∈或 ，因此不等式②的解集为  ． ７ ２ 第二章 等式与不等式一般地，如果狓＜狓，则不等式（狓－狓）（狓－狓）＜０的解集是 １ ２ １ ２ （狓，狓）， １ ２ 不等式 （狓－狓）（狓－狓）＞０的解集是 １ ２ （－∞，狓）∪（狓，＋∞）． １ ２ 求不等式狓２－狓－２＞０的解集． 
 因为  狓２－狓－２＝（狓＋１）（狓－２）， 所以原不等式等价于 （狓＋１）（狓－２）＞０，因此所求解集为 （－∞，－１）∪（２，＋∞）． 回到情境与问题中的不等式，狏２－１０狏－６００＞０可以化为 （狏＋２０）（狏－３０）＞０， 因此甲车的车速狏＞３０；而狏２－１０狏－２０００＞０可以化为  ， 因此乙车的车速 ．由此可见，乙车肯定超速了． 上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解． 当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般 情况该怎么办呢？ A( 通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元 二次不等式解集的一般方法： （１）狓２＜－１； （２）狓２＞－２； （３）狓２＜９． 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中 （１）的解集为 ，（２）的解集为 ． 对于狓２＜９来说，两边同时开根号可得槡狓２＜槡９，即 ｜狓｜＜３， 因此－３＜狓＜３，从而得到 （３）的解集为 （－３，３）． 这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集． 求下列不等式的解集： 
 （１）狓２＋４狓＋１≥０； （２）狓２－６狓－１≤０； （３）－狓２＋２狓－１＜０； （４）２狓２＋４狓＋５＞０． （１）因为  狓２＋４狓＋１＝狓２＋４狓＋４－４＋１＝（狓＋２）２－３， 所以原不等式可化为 （狓＋２）２－３≥０，即 ２．２ 不等式 ７３（狓＋２）２≥３， 两边开平方得｜狓＋２｜≥槡３，从而可知 狓＋２≤－槡３或狓＋２≥槡３， 因此狓≤－２－槡３或狓≥－２＋槡３，所以原不等式的解集为 （－∞，－２－槡３］∪［－２＋槡３，＋∞）． （２）因为 狓２－６狓－１＝狓２－６狓＋９－９－１＝（狓－３）２－１０， 所以原不等式可化为 （狓－３）２－１０≤０，即 （狓－３）２≤１０， 两边开平方得｜狓－３｜≤槡１０，从而可知 －槡１０≤狓－３≤槡１０， 因此３－槡１０≤狓≤３＋槡１０，所以原不等式的解集为 ［３－槡１０，３＋槡１０］． （３）原不等式可化为 狓２－２狓＋１＞０， 又因为狓２－２狓＋１＝（狓－１）２，所以上述不等式可化为 （狓－１）２＞０． 注意到只要狓≠１，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为 （－∞，１）∪（１，＋∞）． （４）原不等式可以化为 ５ 狓２＋２狓＋ ＞０． ２ 因为 ５ ３ 狓２＋２狓＋ ＝（狓＋１）２＋ ， ２ ２ ３ 所以原不等式可以化为 （狓＋１）２＋ ＞０，即 ２ ３ （狓＋１）２＞－ ， ２ 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为犚． 由上可知，一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０ （犪≠０）通过配方总是可以 变为 （狓－犺）２＞犽或（狓－犺）２＜犽 的形式，然后根据犽的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． ７ ４ 第二章 等式与不等式２狓＋１ 求不等式 ≥１的解集． 
 狓－２ 由题意知狓－２≠０，因此 （狓－２）２＞０，原不等式两边同时乘以  （狓－２）２ 可得 （２狓＋１）（狓－２）≥（狓－２）２ 且狓－２≠０， 即 （狓＋３）（狓－２）≥０且狓≠２，因此所求不等式的解集为 （－∞，－３］∪（２，＋∞）． 例３说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解 法来解，请读者自行总结其中的规律． " ? 求下列不等式的解集： （１）狓（狓－３）＜０； （２）（狓＋１）（１－狓）≥０； （３）狓２＋６狓－７≤０； （４）狓２－８狓＋１６＜０． ? 求下列不等式的解集： （１）狓２＋２狓－５＜０； （２）狓２－４狓－２≥０； （３）狓２＋６狓＋１０≤０； （４）狓２－８狓＋１６≤０； （５）－狓２＋８狓－１≤０； （６）２狓２－４狓＋３＜０． ? 求下列不等式的解集： 狓＋１ １ （１） ＞０； （２） ＞１． 狓－１ 狓－１ # ? 已知犃＝｛狓｜４－３狓－狓２≥０｝，犅＝｛狓｜狓２＋２狓＞０｝，求犃∩犅． ? 求下列不等式的解集： １ （１） 狓２－４狓＋６＜０； （２）４狓２－４狓＋１≥０． ２ ? 写出３个一元二次不等式，使它们的解集都是集合（－∞，－１）∪（３，＋∞）的 子集． 狓＋１ ? 求不等式 ＞１的解集． （狓－１）２ ? 求关于狓的不等式狓２－（犪＋１）狓＋犪≤０的解集． １ １ 烄犪＞０，  狏２－ 狏＞１０ 狏２－１０狏－２０００＞０ 烅  －１＜狓＜１ ２００ ２０ 犫＜０． 烆  （－１，１）  （狏＋４０）（狏－５０）＞０ 狏＞５０   犚 ２．２ 不等式 ７５2.2.4    犪＋犫 给定两个正数犪，犫，数 称为犪，犫的算术平均值；数槡犪犫称为犪，犫 ２ 的几何平均值①．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的 点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和 几何平均值之间有什么相对大小关系呢？ A( （１）假设一个矩形的长和宽分别为犪和犫，求与这个矩形周长相等的正方形的 边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小； （２）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值， 猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据 （１）说出 结论的几何意义． 犪 １ ２ 犫 １ ４ 犪＋犫 １ ３ ２ 槡犪犫 １ ２槡２ 从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何 平均值．一般地，我们有如下结论． 均值不等式 如果犪，犫都是正数，那么 犪＋犫 ≥槡犪犫， ２ 当且仅当犪＝犫时，等号成立． 证明 因为犪，犫都是正数，所以 犪＋犫 犪＋犫－２槡犪犫 （槡犪－槡犫）２ －槡犪犫＝ ＝ ≥０， ２ ２ ２ 犪＋犫＋犮 ① 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义．例如，犪，犫，犮的算术平均值为 ，几何平均值为 ３ 槡３犪犫犮． ７ ６ 第二章 等式与不等式犪＋犫 即 ≥槡犪犫． ２ 而且，等号成立时，当且仅当 （槡犪－槡犫）２＝０，即犪＝犫． 值得注意的是，均值不等式中的犪，犫可以是任意正实数，因此我们可 以代入任意满足条件的数或式子，比如 ６＋７ ≥ ２ 一定是正确的． 均值不等式也称为基本不等式 （基本不等式中的犪，犫还可以 你能推广这个 为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平 结论吗？比如所有 均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？ 周长相等的三角形 将均值不等式两边平方可得 中，什么样的三角 （犪＋犫） ２ 形面积最大？平面 ≥犪犫， ２ 上，周长相等的所 如果矩形的长和宽分别为犪和犫，那么矩形的面积为 ， 有封闭图形中，什 （犪＋犫） ２ 么样的图形面积 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等 ２ 最大？ 式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 如图２２７所示的半圆中，犃犅为直径，犗为圆心． D 已知犃犆＝犪，犅犆＝犫，犇为半圆上一点，且犇犆⊥ 犃犅，算出犗犇和犆犇，给出均值不等式的另一个几何意义． A B O C 图２２７ １ 已知狓＞０，求狔＝狓＋ 的最小值，并说明狓为何值时狔取得最小值． 
 狓 因为狓＞０，所以根据均值不等式有  １ １ 槡 狓＋ ≥２ 狓· ＝２， 狓 狓 １ 其中等号成立当且仅当狓＝ ，即狓２＝１，解得狓＝１或狓＝－１ （舍）． 狓 因此狓＝１时，狔取得最小值２． 犫 犪 已知犪犫＞０，求证： ＋ ≥２，并推导出等号成立的条件． 
 犪 犫 犫 犪 因为犪犫＞０，所以 ＞０， ＞０．  犪 犫 根据均值不等式，得 ２．２ 不等式 ７７犫 犪 犫 犪 槡 ＋ ≥２ · ＝２， 犪 犫 犪 犫 犫 犪 即 ＋ ≥２． 犪 犫 犫 犪 当且仅当 ＝ ，即犪２＝犫２ 时，等号成立．因为犪犫＞０，所以等号成 犪 犫 立的条件是犪＝犫． （１）已知矩形的面积为１００，则这个矩形的长、宽各为多少时， 
 矩形的周长最短？最短周长是多少？ （２）已知矩形的周长为３６，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的 面积最大？最大面积是多少？ 在 （１）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的  两倍的最小值；在 （２）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求 长与宽之积的最大值． （１）设矩形的长与宽分别为狓与狔，依题意得狓狔＝１００．  因为狓＞０，狔＞０，所以 狓＋狔 ≥槡狓狔＝槡１００＝１０， ２ 所以２（狓＋狔）≥４０． 烄狓＝狔， 当且仅当狓＝狔时，等号成立，由 烅 可知此时狓＝狔＝１０． 烆狓狔＝１００ 因此，当矩形的长和宽都是１０时，它的周长最短，最短周长为４０． （２）设矩形的长与宽分别为狓与狔，依题意得２（狓＋狔）＝３６，即 狓＋狔＝１８． 因为狓＞０，狔＞０，所以 １８ 狓＋狔 ＝ ≥槡狓狔． ２ ２ 因此槡狓狔≤９，即狓狔≤８１．当且仅当狓＝狔时，等号成立，由 烄狓＝狔， 烅 可知此时 ． 烆狓＋狔＝１８ 因此，当矩形的长和宽都是９时，它的面积最大，最大面积为８１． 例３的结论可以表述为： 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 已知狓∈（－１，３），求狔＝（１＋狓）（３－狓）的最大值，以及狔取 
 得最大值时狓的值． ７ ８ 第二章 等式与不等式当狓∈（－１，３）时，－１＜狓＜３，因此１＋狓＞０，３－狓＞０．  由均值不等式可得 １＋狓＋３－狓 槡（１＋狓）（３－狓）≤ ＝２， ２ 从而 （１＋狓）（３－狓）≤４，即狔≤４． 当且仅当１＋狓＝３－狓，即狓＝１时，等号成立． 从而当狓＝１时，狔取得最大值４． 已知犪，犫是实数，求证： 
 犪２＋犫２≥２犪犫． 并说明等号成立的条件． 因为  犪２＋犫２－２犪犫＝（犪－犫）２≥０， 所以犪２＋犫２－２犪犫≥０，即 犪２＋犫２≥２犪犫． 等号成立时，当且仅当 （犪－犫）２＝０，即犪＝犫． 例５的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例５的结论既有 联系，又有区别．区别在于例５中去掉了犪，犫是正数的条件，联系在于均 值不等式可以看成例５结论的一种特殊情况． 已知犪，犫∈犚，求证： 
 （１）（犪＋犫）２≥４犪犫； （２）２（犪２＋犫２）≥（犪＋犫）２． （１）因为犪２＋犫２≥２犪犫，两边同时加上２犪犫，得  犪２＋犫２＋２犪犫≥４犪犫， 即 （犪＋犫）２≥４犪犫． （２）因为犪２＋犫２≥２犪犫，两边同时加上犪２＋犫２，得 ２（犪２＋犫２）≥犪２＋犫２＋２犪犫， 即 ２（犪２＋犫２）≥（犪＋犫）２． 用Ｅｘｃｅｌ或其他计算机软件，完成下列数学实验： ! 犪＋犫＋犮 （１）任取多组三个正数犪，犫，犮，计算 和槡３犪犫犮，比较它们的大小，总 ３ 结出一般规律； （２）对四个正数、五个正数做类似的实验，总结出普遍规律． ２．２ 不等式 ７９" ３ ? 已知狓＞０，求狔＝狓＋ 的最小值，并说明狓为何值时狔取得最小值． 狓 犫 ３犪 ? 已知犪犫＞０，求证： ＋ ≥２，并推导出等号成立的条件． ３犪 犫 ? （１）把４９写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （２）把１２写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ # ? 已知狓∈（－２，５），求狔＝（２＋狓）（５－狓）的最大值，以及狔取得最大值时狓的值． １ ? 已知狓＜０，求狔＝狓＋ 的最大值，以及狔取得最大值时狓的值． 狓 （ １）（ １） ? 已知犪，犫都是正数，求证：犪＋ 犫＋ ≥４． 犪 犫 ? 用一段长为犾ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地 （墙的长大于犾ｍ），矩形 的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．  槡４２ 犪犫 狓＝狔＝９ " 狓 ? 求不等式３狓－１＞－ ＋２的解集． ２ ? 已知犪≠犫，比较犪２＋犪犫与３犪犫－犫２的大小，并证明． 犪 ? 判断 ＞０是犪犫＞０的什么条件． 犫 烄狓＋１＞０， ? 求不等式组 烅２狓＋１≥０，的解集． 烆－狓＋３＞０ ? 求下列不等式的解集： （１）（狓－１）（狓＋８）≤０； （２）狓２＋５狓＋４＞０； （３）狓２－４狓－７＞０； （４）２狓２－８狓＋１６＜０． ? 求下列绝对值不等式的解集： （１）｜１－２狓｜≥３； （２）２－｜１－狓｜≤０． １ ? 求狔＝４狓２＋ 的最小值，以及狔取得最小值时狓的值． 狓２ ８ ０ 第二章 等式与不等式狓２＋２狓＋３ ? 已知狓∈（０，＋∞），求狔＝ 的最小值，以及狔取得最小值时狓的值． 狓 # １ ? 比较 与２槡３－１的大小． 槡２－１ ? 已知不等式犪狓－１＞狓＋２的解集为 （２，＋∞），求犪的值． 犪 ? 已知犪∈（１，３），犫∈（２，３），分别求犪＋犫，犪－犫，犪－２犫，犪犫， 的取值范围． 犫 ? 已知犃＝｛狓狓＜３｝，犅＝｛狓２狓＋１＜犪｝，犃犅，求实数犪的取值范围． ? 求证：犪２＋３犫２≥２犫（犪＋犫）． ? 已知狓２－２犿狓＋犿≥０的解集为犚，求犿的取值范围． ? 已知－狓２＋犪狓＋犫≥０的解集是 ［－２，３］，求狓２－５犪狓＋犫＜０的解集． ? 利用图示说明不等式犪２＋犫２≥２犪犫成立，并作出不等式中等号成立时相应的 图示． a b a b b a b a （第８题） １ ２ ? 已知犪＞０，犫＞０， ＋ ＝１，求犪犫的最小值． 犪 犫 ） ［ ２狓－犪 ５ ﹣ 已知关于狓的不等式 ≤－１的解集是 ，２ ，求犪的值． 狓－２ ３ ４ ﹣ 已知狓∈（０，＋∞），求狔＝１－２狓－ 的最大值． 狓 $ ? 已知犪，犫，犮都是正实数，求证：犪＋犫＋犮≥槡犪犫＋槡犫犮＋槡犮犪． ? 已知使不等式狓２＋（犪－１）狓－犪≤０成立的任意一个狓，都满足不等式３狓＋１＞０， 求实数犪的取值范围． 狓２－狓＋４ ? 已知狓∈（１，＋∞），求狔＝ 的最小值，以及狔取得最小值时狓 狓－１ 的值． ２．２ 不等式 ８１? 设矩形犃犅犆犇 （其中犃犅＞犅犆）的周长为２４，如图所示，把它沿对角线犃犆 对折后，犃犅交犇犆于点犘．设犃犅＝狓，求△犃犇犘的最大面积． B P D C A （第４题） １ １ ? 已知犪，犫都是正数，且犪＋犫＝１，求 ＋ 的最小值． 犪 犫 ? 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是２犔．回答下面的问题： （１）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为犔的圆形纸片是否能完全覆盖这 个平行四边形？请说明理由． （２）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大． ８ ２ 第二章 等式与不等式    本章我们学习了描述数量关系的等式和不等式的有关内容，等式中学习了等式 的性质，以及恒等式、方程与方程组、一元二次方程等；不等式中学习了不等式的 性质，以及一元二次不等式、均值不等式等． 依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图．                      上述知识结构图还可以进一步细化． 结合自己的学习心得，发挥你的想象力和创造力，为本章的知识重新设计出一 份独特的知识结构图，然后和同学交流制作的心得吧！   （１）从学过的内容可以看出，等式与不等式之间有着密切的联系，等式的性质 与不等式的性质也有类似之处．查阅有关资料，按照自己的理解，以报告的形式， 整理出等式与不等式之间的联系，为后续学习函数、方程和不等式之间的联系做好 准备． 犫 （２）我们知道，一元一次方程犪狓＋犫＝０ （犪≠０）的解为狓＝－ ，一元二次方 犪 －犫±槡犫２－４犪犮 程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）有实数解时，其解为狓＝ ．一个自然的问 ２犪 题是：一元三次方程犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱＝０ （犪≠０）有解时，是否也有类似的求根公 式呢？更高次数的多项式方程呢？ 本章小结 ８３类似的内容曾经引发了许多数学家的兴趣，也正是得益于广大数学工作者的努 力，这一方面的研究取得了丰硕的成果．查阅有关书籍或者网络，与同学一起分工 合作，了解有关知识，并将知识整理成演讲材料，与其他同学交流、分享．   犃组 １求下列方程的解集： ７ （１）３（狓－２）２＝狓（狓－２）； （２）狓２－２狓＋ ＝８． 狓２－２狓 ２已知犪≠０，方程狓２＋犫狓＋犪＝０有一个根是－犪，求犪－犫的值． 烄狔２－４狓＝０， ３已知关于狓，狔的方程组 烅 的解集中只有一个元素，求实数犽 烆狔－犽狓－１＝０ 的值． （ 槡５） ４已知 ３，－ 和 （４，槡３）都是集合犃＝｛（狓，狔）｜犪狓２－犫狔２＝１｝中的元 ２ 素，求实数犪，犫的值． ５已知关于狓的一元二次方程｜犿｜狓２－２狓＋１＝０有两个不相等的实数根，求实 数犿的取值范围． １ １ ６已知 狓＋ 狔＝４，求３狓＋２狔的值． ２ ３ ７平流层是指地球表面以上１０ｋｍ到５０ｋｍ的区域，下述不等式中，狓能表示 平流层高度的是 （ ）． （Ａ）｜狓＋１０｜＜５０ （Ｂ）｜狓－１０｜＜５０ （Ｃ）｜狓＋３０｜＜２０ （Ｄ）｜狓－３０｜＜２０ ８已知犪＞犫＞０，下列不等式中正确的是 （ ）． 犮 犮 １ １ （Ａ） ＞ （Ｂ）犪犫＜犫２ （Ｃ）－犪２＜－犪犫 （Ｄ） ＜ 犪 犫 犪－１ 犫－１ ２狓 ９ （１）比较 与１的大小，并证明； 狓２＋１ （２）已知犪，犫都是正实数，且犪≠犫，试比较犪３＋犫３ 与犪犫２＋犪２犫的大小，并 证明． ８ ４ 第二章 等式与不等式１０求下列不等式的解集： ２狓－３ ５ （１） ＞０； （２） ≤１． 狓＋５ 狓＋５ ７ １１已知数轴上，犃（狓），犅（２），且犃犅＝ ，求狓的值． ２ １２已知数轴上，犃（狓），犅（－１），且线段犃犅的中点到原点的距离大于５，求 狓的取值范围． 狓２ １３求狔＝ 的最大值，以及狔取得最大值时狓２ 的值． 狓４＋２ １６ １４已知狓∈（－２，＋∞），求狔＝狓＋ 的最小值． 狓＋２ １５如图，要在长２５ｍ的墙犈犉的一边，通过砌墙 E F 来围一个矩形花园犃犅犆犇，与围墙平行的一边犅犆上要 A D M N 预留３ｍ宽的入口 （如图中犕犖所示，入口不用砌墙）， B C 用能砌４６ｍ长墙的材料砌墙，当矩形的长犅犆为多少 （第１５题） 时，矩形花园的面积为２９９ｍ２ ？ 犅组 １ １ １已知犪，犫，犮是△犃犅犆的三边长，关于狓的方程 狓２＋槡犫狓＋犮－ 犪＝０的 ２ ２ 解集中只有一个元素，方程３犮狓＋２犫＝２犪的根为狓＝０． （１）判断△犃犅犆的形状； （２）若犪，犫为关于狓的方程狓２＋犿狓－３犿＝０的两个实数根，求实数犿的值． ２已知关于狓的方程狓２－犿狓＋２犿－１＝０的两个实数根的平方和为７，求犿的值． ３已知α和 β 是方程狓２＋２狓－５＝０的两根，求α２＋αβ＋２α的值． ４求下列方程组的解集： 烄４狓２－９狔２＝１５， 烄狓２＋４狔２＝５， （１） 烅 （２） 烅 烆２狓－３狔 ＝５； 烆狓狔 ＝２． ５判断犪＞犫是犪犮２＞犫犮２ 的什么条件． －２狓２＋狓－３ ６已知狓∈（０，＋∞），求狔＝ 的最大值，以及狔取得最大值时狓的值． 狓 ７已知点犘是以犃犅为直径的圆上任意一点，求犘犃＋犘犅的最大值． ８求下列不等式的解集： １－狓 （１） ≥０； （２）（狓＋３）（狓２－４）≤０． 狓＋２ 本章小结 ８５９已知集合犃＝｛狓｜犪＜狓＜犪２－２｝，犅＝（１，５）． （１）若犃犅，求实数犪的取值范围； （２）若犅犃，求实数犪的取值范围． １０为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓 ２０狋 度犆（单位：ｍｇ／Ｌ）随时间狋（单位：ｈ）的变化关系为犆＝ ，则经过多少小 狋２＋４ 时后池水中药品浓度达到最大？ １１已知点犘（狓，狔）在一次函数狔＝－２狓＋４的图象上运动，求它的横、纵坐 标之积的最大值，以及此时点犘的坐标． １２已知狓∈［０，１］，求狔＝狓槡１－狓２ 的最大值． １３某工厂准备建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为４８００ｍ３，深度为３ｍ． 如果池底造价为１５０元／ｍ２，池壁造价为１２０元／ｍ２，怎样设计水池能使总造价最 低？最低造价是多少元？ １４有一支队伍长犔ｍ，以速率狏ｍ／ｈ匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶 赴排头，到达排头后立即返回，往返速率不变．回答下列问题： （１）如果传令兵行进的速率为整个队伍行进速率的２倍，求传令兵回到排尾时 所走的路程； （２）如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了犔ｍ，求传令兵行走的路程． 犆组 犮 犮 １已知犪＞犫＞犮，犪＋犫＋犮＝０，求证： ＞ ． 犪－犮犫－犮 ２求证：狓＞狓 是狓３＞狓３ 的充要条件． １ ２ １ ２ ３某电话号码可以看成一个八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数 相加得１４７４１，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得５９４５３，求此电话 号码对应的八位数． ４求关于狓的不等式组的解集： 烄狓 １ １ 烄狓＋１＞０， － ≥ ， （１） 烅 （２） 烅 ３ ４ ６ 烆狓－犪≤０； 烆２狓＜犫． ５求下列关于狓的不等式的解集： （１）犪狓＞犫； （２）犪狓≤犫． ８ ６ 第二章 等式与不等式

                       
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 书书书0A 我们在初中已经学习过一些函数的知识，比如一次函数、二次函 数、反比例函数等，并了解了函数的一些简单应用． 但是，仅以初中的函数知识解决不了比较复杂的函数问题． 例如，如果向如图１所示的容器中倒水，且任意相等的时间间隔 内所倒的水体积相等，则容器内水面的高度狔是时间狋的函数．而 且，也容易看出狔随着狋的增大而增大．那么，这个函数的图象到底 是什么样子的呢？是如图２所示还是如图３所示？ y y O t O t 图１ 图２ 图３ 再例如，在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投 资、消费的内容．比如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的 若干意见》（国发 〔２０１６〕５３号）指出：“近年来，我国创业投资快 速发展，不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产 业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动 了民间投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长．” 从这个文件中可以看出，投资能够促进经济的发展，那么能否用 函数来描述两者之间的关系呢？ 这一章我们将用前面的集合、逻辑等知识来进一步学习函数，掌 握更多的函数实例与应用，理解研究一般函数的方法，了解数学建模 的一般步骤等．． ! "!"#$%&’() 3.1.1    
+  我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程 中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量狓 与狔，并且对于狓的每一个确定的值，狔都有唯一确定的值与其对应，那么 就称狔是狓的函数． 再例如，我们知道狔＝２狓是正比例函数，狔＝－３狓－１是一次函数， ２ 狔＝－ 是反比例函数，狔＝狓２＋２狓－３是二次函数，等等． 狓  （１）国家统计局的课题组公布，如果将２００５年中国创新指数记为１００，近些年 来中国创新指数的情况如下表所示． 年度 ２００８ ２００９ ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ２０１５ 中国创新指数 １１６．５ １２５．５ １３１．８ １３９．６ １４８．２ １５２．６ １５８．２ １７１．５ 以狔表示年度值，犻表示中国创新指数的取值，则犻是狔的函数吗？如果是， 这个函数用数学符号可以怎样表示？ （２）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出 心电图，如图３１１所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断 结果 （如根据两个峰值的间距来得出心率等）． 图３１１ ３．１ 函数的概念与性质 ８９如果用狋表示测量的时间，狏表示测量的指标值，则狏是狋的函数吗？如果是， 这个函数用数学符号可以怎样表示？ 初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中 的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的犻是狔的函 数，狏是狋的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用 一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等． 一般地，给定两个非空实数集犃与犅，以及对应关系犳，如果对于集合 犃中的每一个实数狓，在集合犅中都有唯一确定的实数狔与狓对应，则称犳 为定义在集合犃上的一个函数，记作 狔＝犳（狓），狓∈犃， 其中狓称为自变量，狔称为因变量，自变量取值的范围 （即数集犃）称为这 个函数的定义域． 如果自变量取值犪，则由对应关系犳确定的值狔称为函数在犪处的函数 值，记作 狔＝犳（犪）或狔｜ ． 狓＝犪 所有函数值组成的集合 ｛狔｜狔＝犳（狓），狓∈犃｝ 称为函数的值域． 函数的这种定义强调的是 “对应关系”，对应关系也可用其他小写英文 字母如犵，犺等表示． 一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同 （即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两 个函数表达式表示的就是同一个函数．例如 狔＝槡狓２，狓∈犚与犵（狓）＝｜狓｜，狓∈犚 表示同一个函数． KA 函数定义的演变过程简介 在现代数学以及其他相关学科中，函数 “函数”一词是莱布尼茨创造的，他用 都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重 这个词表示与曲线上的点有关的线段长度， 要数学概念一样，函数定义的发展与完善也 并使用这个词表示变量之间的依赖关系． 经历了比较长的一段时间． ９ ０ 第三章 函 数欧拉于１７３４年首先使用字母犳表示函 等价的函数关系确定同一个函数．人们通常 数，欧拉在他的著作 《微分学》中给出的函 称这样的定义为 “关系说”． 数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖 后来，有些学者把布尔巴基学派的定义 于另一些变量，即当后面这些变量变化时， 进一步符号化：设犉是定义在集合犡和犢 前者也随之变化，则称前面的变量是后面变 上的一个二元关系，称这个关系为函数，如 量的函数． 果对于每一个狓∈犡，都存在唯一的狔∈犢， １８５１年，德国数学家黎曼给出的函数 使得 （狓，狔）∈犉．这样，函数的定义就完 定义是：假定狕是一个变量，它可以逐次取 全用数学的符号形式化了． 所有可能的实数值．如果对它的每一个值， 可以看出，上述函数的定义越来越严格， 都有未知量狑的唯一的一个值与之对应， 抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱． 则狑称为狕的函数．人们通常称这样的定义 在数学学习过程中，如果我们能借助直 为函数的 “对应说”，因为定义中采用了 观来理解有关概念和结论，可能会有事半功 “唯一的一个值与之对应”的说法． 倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有 １９３９年，法国布尔巴基学派在集合论 人提议将函数类比成对每一个允许的输入指 的基础上给出了如下函数的定义：设犈和犉 定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合 是两个集合，它们可以不同，也可以相同． 是函数的定义域，所有输出的集合是函数的 犈中的变元狓和犉中的变元狔之间的一个关 值域，如下图所示． 系称为一个函数关系，如果对于每一个 x f (x) 狓∈犈，都存在唯一的狔∈犉，它满足与狓给 f E E 定的关系．称这样的运算为函数，它以上述    方式将与狓有给定关系的元素狔∈犉与每一 你觉得这种提议有助于进一步理解函数 个元素狓∈犈相联系．称狔是函数在元素狓 的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多 处的值，函数值由给定的关系所确定．两个 的有关资料吧！ 在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时 就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合． 在上述约定下，以下表达式都可以表示函数犳（狓）＝２狓＋１，狓∈犚： 犳（狓）＝２狓＋１， 狔＝２狓＋１． 求下列函数的定义域： 
 １ １ １ （１）犳（狓）＝ ； （２）犵（狓）＝ ＋ ． 狓 狓＋２ 槡狓＋１ （１）因为函数有意义当且仅当  烄狓＋１≥０， 烅 烆槡狓＋１≠０， ３．１ 函数的概念与性质 ９１解得狓＞－１，所以函数的定义域为 （－１，＋∞）． （２）因为函数有意义当且仅当 烄狓≠０， 烅 烆狓＋２≠０， 解得狓≠０且狓≠－２，因此函数的定义域为 （－∞，－２）∪（－２，０）∪（０，＋∞）． 以下都是求函数定义域常用的依据： （１）分式中分母不能为零； （２）二次根式中的被开方数要大于或等于零． 设函数犵（狓）＝槡狓＋１的值域为犛，分别判断－槡２和３是否是犛 
 中的元素． 由于槡狓＋１≥０恒成立，所以槡狓＋１＝－槡２无解，因此－槡２犛．  当槡狓＋１＝３时，可解得狓＝８，即犵（８）＝３，所以３∈犛． 例２的解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域． １ 已知犳（狓）＝ ： 
 狓２＋１ （１）求犳（－１），犳（０）和犳（２）； （２）求函数犳（狓）的值域． A( １ 判断方程 ＝３是否有解，由此给出求函数犳（狓）值域的一种方法． 狓２＋１ （１）由已知可得  １ １ 犳（－１）＝ ＝ ， （－１）２＋１ ２ １ 犳（０）＝ ＝１， ０２＋１ １ １ 犳（２）＝ ＝ ． ２２＋１ ５ （２）（方法一）因为狓２≥０，所以狓２＋１≥１恒成立，从而可知 １ ≤１． 狓２＋１ 又因为当狓的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于０，但不会等于０， 因此所求函数的值域为 （０，１］． ９ ２ 第三章 函 数１ （方法二）假设狋是所求值域中的元素，则关于狓的方程 ＝狋应 狓２＋１ １ 该有解，即狓２＝ －１应该有解，从而 狋 １ －１≥０， 狋 １－狋 即 ≥０，解得０＜狋≤１．因此所求值域为 （０，１］． 狋 例３ （２）中的方法一实质上用的是不等式的性质． 
+=." 前面我们所接触到的函数狔＝犳（狓）中，绝大多数犳（狓）都是用代数式 （或解析式）来表示的，例如犳（狓）＝２狓＋１，这种表示函数的方法称为解 析法． 前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函 数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．如果将这个函数记为犻＝ 犳（狔），则从表格中可以看出 犳（２０１３）＝１５２．６，犳（２０１５）＝ ． 另外，如果将这个函数的定义域记为犇，值域记为犛，则有 犇＝｛２００８，２００９，２０１０，２０１１，２０１２，２０１３，２０１４，２０１５｝， 犛＝ ． 前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对 应关系． 一般地，将函数狔＝犳（狓），狓∈犃中的自变量狓和对应的函数值狔，分 别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点 （狓，狔） 组成的集合犉称为函数的图象，即 犉＝｛（狓，狔）｜狔＝犳（狓），狓∈犃｝． 这就是说，如果犉是函数狔＝犳（狓）的图象，则图象上任意一点的坐标 （狓，狔）都满足函数关系狔＝犳（狓）；反之，满足函数关系狔＝犳（狓）的点 （狓，狔） 都在函数的图象犉上． 用函数的图象表示函数的方法称为图象法． 从理论上来说，要作出一个函数的图象，只需描出所有点即可．但是， 很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实．因此，实际作 图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出 函数图象，这称为描点作图法． ３．１ 函数的概念与性质 ９３例如，我们知道，一次函数狔＝－狓＋１ 的图象是一条直线，又易知图象过点 （０，１） y 和 （１，０），所以容易作出其图象，如图３１２ 所示． 北京市自２０１４年５月１日起， 1 1 
 O x 居民用水实行阶梯水价．其中年用水量不 超过１８０ｍ３ 的部分，综合用水单价为 ５元／ｍ３；超过１８０ｍ３ 但不超过２６０ｍ３ 图３１２ 的部分，综合用水单价为７元／ｍ３．如果 北京市一居民年用水量为狓ｍ３，其要缴纳的水费为犳（狓）元．假设０≤狓≤２６０， 试写出犳（狓）的解析式，并作出犳（狓）的图象． 如果狓∈［０，１８０］，则犳（狓）＝５狓；  如果狓∈（１８０，２６０］，按照题意有 犳（狓）＝５×１８０＋７（狓－１８０）＝７狓－３６０． 因此 烄５狓，狓∈［０，１８０］， 犳（狓）＝烅 烆７狓－３６０，狓∈（１８０，２６０］． 注意到犳（狓）在不同的区间 上，解析式都是一次函数的形式， y 1 600 因此狔＝犳（狓）在每个区间上的图 1 200 象都是直线的一部分，又因为 800 犳（１８０）＝５×１８０＝９００， 400 犳（２６０）＝７×２６０－３６０＝１４６０， 由此可作出函数的图象，如图 O 40 80 120 160 200 240 280 x ３１３所示． 图３１３ 如果一个函数，在其定义域 内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． A( 烄１，狓∈犙， 函数犇（狓）＝烅 被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、 烆０，狓犙 值域吗？你能作出这个函数的图象吗？ 可以看出，狄利克雷函数的定义域为犚，值域为 ｛０，１｝，但它的图象 不能形象地展示出来． ９ ４ 第三章 函 数设狓为任意一个实数，狔是不超过狓的最大整数，判断这种对应 
 关系是否是函数．如果是，作出这个函数的图象；如果不是，说明理由． A( 依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数． 狓 ６．８９ ５ π －１．５ －２ 狔 ６ 因为当狀∈犣且狓∈［狀，狀＋１）时，有  狔＝狀， 又因为任何一个实数狓，都必定在 某个形如 ［狀，狀＋１）的区间内． y 因此，给定一个狓，有唯一的狔与 之对应，所以这种对应关系是函数． 由上可看出，在每一个区间 1 ［狀，狀＋１）内，函数的图象是直 O 1 x 线的一部分，由此可作出这个函数 的图象，如图３１４所示． 例５中的函数通常称为取整函 数，记作 狔＝［狓］， 图３１４ 其定义域是 ，值域是 ．这个函数早在１８世纪就被 “数学王子” 高斯提出，因此也被称为高斯取整函数． 在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通 常称为常数函数．也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等． 例如犳（狓）＝７，狓∈犚是一个常数函数，它的值域是 ，图象是一条 垂直于狔轴的直线． 已知函数狔＝槡狓，指出这个函数的定 
 y 义域、值域，并作出这个函数的图象． 函数的定义域为 ［０，＋∞）．由狔＝槡狓 1  在狔≥０时有解可知，函数的值域为 ［０，＋∞）． O 1 x 通过描点作图法，可以作出这个函数的图 图３１５ 象，如图３１５所示． 由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有 ３．１ 函数的概念与性质 ９５多种形式．在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待 定系数法完成，如例７所示． 已知二次函数的图象过点 （－１，４），（０，１），（１，２），求这个 
 二次函数的解析式． 设函数解析式为狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０），则  烄犪－犫＋犮＝４， 烅犮＝１， 烆犪＋犫＋犮＝２． 由此可解得犪＝２，犫＝－１，犮＝１，因此所求函数解析式为 狔＝２狓２－狓＋１． 已知犳（狓）＝狓２，求犳（狓－１）． 
 A( 求出犳（０），犳（１），犳（２）的值，再求出犳（犪），犳（犪－１）． 由已知可得  犳（狓－１）＝（狓－１）２＝狓２－２狓＋１． 例８中，如果设犵（狓）＝犳（狓－１），则有犵（狓）＝狓２－２狓＋１，因此 犵（狓）与犳（狓）是不同的函数． 已知犳（狓－１）＝狓２，你能求出犳（狓）的解析式吗？试总结犳（狓）与犳（狓－１） 的关系． 
*  A 利用计算机软件可以迅速作出函数的图象，从而可以观察函数的性质等． 在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图象．例 如，依次输入以下各行内容 （每输完一行之后按回车键）： ｆ（ｘ）＝１／（ｘ＾２＋１） ｇ（ｘ）＝ｓｑｒｔ（ｘ） ｈ（ｘ）＝ｘ＾２ ｉ（ｘ）＝ｈ（ｘ－１） ｊ（ｘ）＝ｉｆ［０＜＝ｘ＜＝１，ｘ，ｉｆ［１＜ｘ＜＝２，２－ｘ］］ ９ ６ 第三章 函 数即可得到如图３１６所示的函数解析式和函数图象 （最后的命令实际上是作 出了分段函数的图象）． 图３１６ " ? 已知集合犃＝［０，＋∞），犅＝［０，＋∞），对应关系犳为 “求倒数”，判断犳是 否为犃上的一个函数． ? 以下是中国人民银行２０１５年１０月２４日公布的部分人民币定期存款基准年利率 表①，设银行定期存款的年利率为狉％，存期为狋年，判断狉是否为狋的函数． 如果是，写出这个函数的定义域和值域；如果不是，说明理由． 狋 ０．５ １ ２ ３ 狉 １．３ １．５ ２．１ ２．７５ （ １） ? 已知犳（狓）＝狓２＋狓，狓∈犚，求犳（－１），犳－ ，犳（３）． ２ ? 设函数犵（狓）＝狓２－２的值域为犃，判断－５和７是否为犃中的元素． ? 求下列各函数的定义域： １ １ 槡狓＋３ （１）犳（狓）＝ ； （２）犳（狓）＝ ； （３）犳（狓）＝ ． 狓－５ 狓 槡狓＋２ ? 下列各图中，哪些可能是函数的图象？哪些一定不是函数的图象？为什么？ y y y y O x O x O x O x ① 数据来自中国人民银行网站． ３．１ 函数的概念与性质 ９７? 写出常数函数犳（狓）＝－１的定义域、值域，并作出它的图象． ? 把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域，并作出函数图象： （１）当狓＜０时，犳（狓）＝１；当狓≥０时，犳（狓）＝２． （２）当狓＜０时，犳（狓）＝－１；当狓＝０时，犳（狓）＝０；当狓＞０时，犳（狓）＝１． # ? 分别判断犳是否为犃上的一个函数 （函数值均为犚中的元素）： （１）犃＝犚，犳为 “加１”； （２）犃＝［０，＋∞），犳为 “求非负平方根”； （３）犃＝犚，犳为 “求倒数”； （４）犃＝［０，＋∞），犳为 “求平方根”． ? 已知下列表格表示的是函数狑＝犵（狌），写出犵（－１），犵（０），犵（２），并判断２ 是否为这个函数值域中的元素． 狌 －２ －１ ０ １ ２ 狑 ３ ４ ５ ６ ７ 烄１－狓，狓＜２， ? 已知函数犳（狓）＝烅 求这个函数的定义域与值域． 烆狓，狓≥２， ? 判断下列各组函数是否为同一个函数： 狓２ 狓４－１ （１）犳（狓）＝ ，犵（狓）＝狓； （２）犳（狓）＝ ，犵（狓）＝狓２－１； 狓 狓２＋１ （３）犳（狓）＝槡狓２，犵（狓）＝狓． ? 求下列函数的值域： ８ （１）犳（狓）＝ ，１≤狓≤２； （２）犳（狓）＝－槡狓，狓∈［０，＋∞）． 狓２ ? 已知犵（狓）＝狓－［狓］，狓∈犚，求犵（－５．３），犵（－２．３），犵（２．１），犵（槡３）． ? 已知函数犳（狓）＝－２狓２＋狓，求犳（－狓），犳（狓＋１）． ? 已知函数犳（狓＋１）＝２狓－３，求犳（４），犳（狓）． 烄－狓，－１＜狓＜０， ? 作出函数犳（狓）＝烅２狓，０≤狓＜１， 的图象． 烆狓，１≤狓≤２ ﹣ 学校宿舍与办公室相距犪ｍ．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发， 先匀速跑步３ｍｉｎ来到办公室，停留２ｍｉｎ，然后匀速步行１０ｍｉｎ返回宿舍． 在这个过程中，这位同学行进的速率和行走的路程都是时间的函数，作出速率 函数和路程函数的示意图． ９ ８ 第三章 函 数  ? 在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，任意作出一个函数犳（狓）的图象： （１）作出函数犺（狓）＝犳（狓－１）的图象，观察犳（狓）与犺（狓）图象之间的关系； （２）新建一个参数犪∈［－５，５］，作出函数犵（狓）＝犳（狓－犪）的图象，启动动 画，观察犳（狓）与犵（狓）图象之间的关系； （３）总结出一般情况下，函数犳（狓）与犳（狓－犪）的图象之间的关系． ? 在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，任意作出一个函数犳（狓）的图象： （１）作出函数犺（狓）＝犳（２狓）的图象，观察犳（狓）与犺（狓）图象之间的关系； （２）新建一个参数犪∈［－５，５］，作出函数犵（狓）＝犳（犪狓）的图象，启动动画， 观察犳（狓）与犵（狓）图象之间的关系； （３）总结出一般情况下，函数犳（狓）与犳（犪狓）的图象之间的关系． １７１．５  ｛１１６．５，１２５．５，１３１．８，１３９．６，１４８．２，１５２．６，１５８．２，１７１．５｝ 犚 犣  ｛７｝ 3.1.2   
A+@  我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆 的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了 系统的实验研究，并给出了类似图３１７所示的记忆规律． AG 100% 80% 60% 40% 20% LLL/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图３１７ ３．１ 函数的概念与性质 ９９如果我们以狓表示时间间隔 （单位：ｈ），狔表示记忆保持量，则不难看出，图 ３１７中，狔是狓的函数，记这个函数为狔＝犳（狓）． 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 情境与问题中的函数狔＝犳（狓）反 映出记忆的如下规律：随着时间间隔狓 y 的增大，记忆保持量狔将减小． y = 2 x 给定一个函数，人们有时候关心的 1 1 y= 是，函数值会随着自变量增大而怎样变 x 化，类似的内容我们在初中曾经接触过． O 1 x 如图３１８，从正比例函数狔＝２狓 的图象可以看出，当自变量由小变大 时，这个函数的函数值逐渐变大，即狔 随着狓的增大而增大；从反比例函数 图３１８ １ 狔＝ 的图象可以看出，在 （－∞，０）和 （０，＋∞）内，这个函数的函数 狓 值狔都随着狓的增大而减小． A( 怎样用不等式符号表示 “狔随着狓的增大而增大”“狔随着狓的增大而减小”？ 一般地，设函数狔＝犳（狓）的定义域为犇，且犐犇： （１）如果对任意狓，狓∈犐，当狓＜狓 时，都有犳（狓）＜犳（狓），则称 １ ２ １ ２ １ ２ 狔＝犳（狓）在犐上是增函数 （也称在犐上单调递增），如图３１９（１）所示； （２）如果对任意狓，狓∈犐，当狓＜狓 时，都有犳（狓）＞犳（狓），则称 １ ２ １ ２ １ ２ 狔＝犳（狓）在犐上是减函数 （也称在犐上单调递减），如图３１９（２）所示． y y f(x ) 2 f(x ) 1 f(x ) 1 f(x ) 2 O x x x O x x x 1 2 1 2   图３１９ １ ００ 第三章 函 数两种情况下，都称函数在犐上具有单调性 （当犐为区间时，称犐为函数 的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）． 由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，狔＝２狓 １ １ 能否说狔＝ 在犚上是增函数；狔＝ 在 （－∞，０）上是减函数，在 （０，＋∞） 狓 狓 在定义域内是减函 上也是减函数． 数？为什么？ A( 如图３１１０所示的函数狔＝犳（狓），在 ［－６，－４］上是增函数，在 ［－４， －２］上是减函数，在 ［－２，１］上是 函数，在 ［１，３］上是 函 数，在 ［３，６］上是 函数． y −6 −2 3 −4 O 1 6 x 图３１１０ 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性．但一般 情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因 此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性．这可以利用函数单 调性的定义和不等式的证明方法． 求证：函数犳（狓）＝－２狓在犚上是减函数． 
 任取狓，狓∈犚且狓＜狓，则狓－狓＜０，那么  １ ２ １ ２ １ ２ 犳（狓）－犳（狓）＝（－２狓）－（－２狓）＝２（狓－狓）＞０， １ ２ １ ２ ２ １ 从而犳（狓）＞犳（狓）． １ ２ 因此，函数犳（狓）＝－２狓在犚上是减函数． 一般地，设函数犳（狓）的定义域为犇，且狓∈犇：如果对任意狓∈犇，都 ０ 有犳（狓）≤犳（狓），则称犳（狓）的最大值为犳（狓），而狓 称为犳（狓）的最大 ０ ０ ０ 值点；如果对任意狓∈犇，都有犳（狓）≥犳（狓），则称犳（狓）的最小值为 ０ 犳（狓），而狓 称为犳（狓）的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大 ０ ０ 值点和最小值点统称为最值点． 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数 的单调性求出函数的最值点和最值． 判断函数犳（狓）＝３狓＋５，狓∈［－１，６］的单调性，并求这个函 
 数的最值． ３．１ 函数的概念与性质 １０１任取狓，狓∈［－１，６］且狓＜狓，则狓－狓＜０，那么  １ ２ １ ２ １ ２ 犳（狓）－犳（狓）＝（３狓＋５）－（３狓＋５）＝３（狓－狓）＜０， １ ２ １ ２ １ ２ 所以这个函数是 函数． 因此，当－１≤狓≤６时，有 犳（－１）≤犳（狓）≤犳（６）， 从而这个函数的最小值为犳（－１）＝ ，最大值为犳（６）＝ ． 例２的结论也可由不等式的知识得到：因为－１≤狓≤６，所以 －３≤３狓≤１８，２≤３狓＋５≤２３， 即犳（－１）≤犳（狓）≤犳（６），其余同上． 
+ ( 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当 然也成立．一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点犃（狓，狔），犅（狓， １ １ ２ 狔），当狓≠狓 时，称 ２ １ ２ 狔－狔 ２ １ 狓－狓 ２ １ 为直线犃犅的斜率；当狓＝狓 时，称直线犃犅的斜率不存在． １ ２ 直线犃犅的斜率反映了直线相对于狓轴的倾斜程度． 若记Δ狓＝狓－狓，相应的Δ狔＝狔－狔，则当Δ狓≠０时，斜率可记 ２ １ ２ １ Δ狔 为 ． Δ狓 如图３１１１所示，直线犃犅的斜率即为 Ｒｔ△犃犆犅中犅犆与犃犆的比．另外，图３１１１中， y B y 直线犃犅的斜率大于零，而直线犃犇的斜率小 2 于零． ∆y D 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线， A y 1 ∆x C 当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等 或都不存在．下面我们用直线的斜率来研究函数 O x 1 x 2 x 的单调性． 图３１１１ 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的 两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在． １ ０２ 第三章 函 数A( 如图３１１２所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性 之间的关系，并总结出一般规律． y y B y A 2 y 1 ∆y A y 1 ∆x C ∆y B y 2 C ∆x O x x x O x x x 1 2 1 2 （１） （２） 图３１１２ 可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于 ０，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于０． 一般地，若犐是函数狔＝犳（狓）的定义域的子集，对任意狓，狓∈犐且 （ １ ２） Δ狔 狔－狔 Δ狔 犳（狓）－犳（狓） 狓≠狓，记狔＝犳（狓），狔＝犳（狓）， ＝ ２ １ 即 ＝ ２ １ ，则： １ ２ １ １ ２ ２ Δ狓狓－狓 Δ狓 狓－狓 ２ １ ２ １ Δ狔 （１）狔＝犳（狓）在犐上是增函数的充要条件是 ＞０在犐上恒成立； Δ狓 Δ狔 （２）狔＝犳（狓）在犐上是减函数的充要条件是 ＜０在犐上恒成立． Δ狓 一般地，当狓≠狓 时，称 １ ２ Δ狔 犳（狓）－犳（狓） ＝ ２ １ Δ狓 狓－狓 ２ １ 为函数狔＝犳（狓）在区间 ［狓，狓］ （狓＜狓 时）或 ［狓，狓］ （狓＞狓 １ ２ １ ２ ２ １ １ ２ 时）上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． 例如，对于函数狔＝－２狓来说，对任意狓，狓∈犚且狓≠狓，有 １ ２ １ ２ Δ狔 （－２狓）－（－２狓） －２狓＋２狓 ＝ ２ １ ＝ ２ １＝－２＜０， Δ狓 狓－狓 狓－狓 ２ １ ２ １ 因此狔＝－２狓在犚上是 函数． ３．１ 函数的概念与性质 １０３KA v +  O ∆t t １ ０４ 第三章 函 数 { 物理中的变化率 我们在物理中已经学习过：变化率是描 图象都是直线，则由图中的信息可以看出， 述变化快慢的量． Δ狋相等时，Δ狏 ＞Δ狏 ，从而甲的速度变化 甲 乙 例如，速度是用来衡量物体运动快慢 更快，即变化率更大，因此甲的加速度 的，速度等于位移的变化量与发生这一变化 更大． 所用时间的比值，即 Δ狓 狏＝ ； Δ狋 加速度是用来衡量速度变化快慢的，加速度 ∆v + 等于速度的变化量与发生这一变化所用时间 的比值，即 Δ狏 ∆v  犪＝ ． Δ狋 而且，从物理中我们还知道，由物体的 你注意到了吗？物理中的这个变化率与 速度 时间图象，可看出加速度的有关信息． 如图所示，如果甲、乙两物体的速度 时间 我们所说的函数的平均变化率其实是一回事． １ 求证：函数狔＝ 在区间 （－∞，０）和 （０，＋∞）上都是减函数． 狓 
 设狓≠狓，那么  １ ２ １ １ － Δ狔 狓 狓 １ ＝ ２ １＝－ ． Δ狓 狓－狓 狓狓 ２ １ １ ２ Δ狔 如果狓，狓∈（－∞，０），则狓狓＞０，此时 ＜０，所以函数在 １ ２ １ ２ Δ狓 （－∞，０）上是减函数．同理，函数在 （０，＋∞）上也是减函数． 判断一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的单调性． 
 设狓≠狓，那么  １ ２ Δ狔 犽狓＋犫－（犽狓＋犫） ＝ ２ １ ＝犽． Δ狓 狓－狓 ２ １ 因此，一次函数的单调性取决于犽的符号：当犽＞０时，一次函数在 犚上是增函数；当犽＜０时，一次函数在犚上是减函数． 例４说明，一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图象上任意两点确定的直线 斜率均为犽，这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线．不仅如此，此 Δ狔 时从 ＝犽还可以看出，Δ狔＝犽Δ狓，这就意味着在一次函数中，Δ狔与Δ狓 Δ狓成正比，且比例系数为犽．特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增 大犽个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质．事实上，如果 Δ狔＝犽Δ狓，设狓＝０时函数值为狔，则 ０ 狔－狔＝犽（狓－０）， ０ 即狔＝犽狓＋狔，因此一定是一次函数．正因为如此，一次函数也经常被称 ０ 为线性函数． 例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体 积相等，那么容器内水面的高度狔是时间狋的函数． 当容器是如图３１１３ （１）所示的圆柱时，在固定的Δ狋时间内，Δ狔应 该是常数，因此函数的图象是如图３１１３ （２）所示的一条线段． y O t （１） （２） 图３１１３ 当容器是如图３１１４ （１）所示的圆台时，由容器的形状可知，在固定 的Δ狋时间内，随着狋的增加，Δ狔应该越大，因此函数的图象如图３１１４ （２）所示． y O t （１） （２） 图３１１４ 证明函数犳（狓）＝狓２＋２狓在 （－∞，－１］上是减函数，在 ［－１， 
 ＋∞）上是增函数，并求这个函数的最值． 设狓≠狓，则  １ ２ Δ狔 犳（狓）－犳（狓） （狓２＋２狓）－（狓２＋２狓） ＝ ２ １ ＝ ２ ２ １ １ ＝狓＋狓＋２． Δ狓 狓－狓 狓－狓 １ ２ ２ １ ２ １ 因此： Δ狔 当狓，狓∈（－∞，－１］时，有狓＋狓＜－２，从而 ＜０，因此 １ ２ １ ２ Δ狓 ３．１ 函数的概念与性质 １０５犳（狓）在 （－∞，－１］上是减函数； Δ狔 当狓，狓∈［－１，＋∞）时，有狓＋狓＞－２，从而 ＞０，因此 １ ２ １ ２ Δ狓 犳（狓）在 ［－１，＋∞）上是增函数． 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当狓∈（－∞，－１］ 时，有 犳（狓）≥犳（－１）， 当狓∈［－１，＋∞）时，不等式也成立，因此犳（－１）＝－１是函数的最小值． 用类似的方法可以证明，二次函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的单调 性为： ］ ［ （ 犫 犫 ） （１）当犪＞０时，犳（狓）在 －∞，－ 上单调递减，在 － ，＋∞ ２犪 ２犪 （ 犫） ４犪犮－犫２ 上单调递增，函数没有最大值，但有最小值犳－ ＝ ； ２犪 ４犪 ］ （ 犫 （２）当犪＜０时，犳（狓）在 －∞，－ 上单调递 ，在 ２犪 ［ 犫 ） － ，＋∞ 上单调递 ，函数没有最▉ 值，但有最▉ ２犪 值▉〇 ． 犫 当然，这一结论也可以从二次函数的图象是关于狓＝－ 对称的抛物线 ２犪 与开口方向看出来． KA 付出与收获的关系 俗话说， “一分耕耘，一分收获”．那 得到的收获不一定相等，那么收获就是付出 么，在实际生活中，如果把收获看成付出的 的非线性函数．例如，在我们学习新的知识 函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？ 时，可能一开始效率会比较高，单位时间的 如果同样多的付出所得到的收获总是相 付出得到的收获会比较大，但随着付出的时 等，那么收获是付出的线性函数，其图象可 间越来越多，单位时间的付出得到的收获会 以用图１表示．例如，当以匀速的方式驾驶 变少，如图２所示． 汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关 有时还有可能付出增加会导致收获减 系就是如此． 少，想想家长过分溺爱孩子的后果吧！这种 如果随着付出的增长，同样多的付出所 情况可用图３表示． １ ０６ 第三章 函 数9 9 9    图１ 图２ 图３ 你能说出收获与付出的其他关系吗？ 有关原理，你体会到了吗？日常生活中这样 另外，从这里也可看出，利用图形的形 的例子还有很多，尝试去发现一下吧！ 象与直观，能够帮助我们更好地描述和理解 " ? 判断下列命题的真假： （１）如果狔＝犳（狓）在区间犐上是增函数，那么在该区间上，自变量减小时， 函数值也减小； （２）如果狔＝犳（狓）在区间犐上，随着自变量的减小，函数值反而增大，那么 狔＝犳（狓）在犐上是减函数． ? 如图，已知函数狔＝犳（狓），狔＝犵（狓）的图象 （包括端点），根据图象写出函数 的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数． y y y= f(x) y=g(x) −1 −1.5 −2 O 1 2 x −3 O 1.5 3 x （１） （２） （第２题） ? 判断函数犳（狓）＝５狓＋１，狓∈［－２，７］的单调性，并求这个函数的最值． １ ? 依据函数单调性的定义，证明函数犳（狓）＝狓＋ ，狓∈［２，＋∞）是递增的． 狓 ? 判断函数狔＝槡狓的单调性，并证明． ? 证明函数犳（狓）＝－狓２＋２狓在 （－∞，１］上是增函数，在 ［１，＋∞）上是减 函数，并求这个函数的最值． # ? 已知函数犳（狓）在区间 ［－１，２］上单调递增，在区间 ［２，５］上单调递减， 那么下列说法中，一定正确的是 ． ３．１ 函数的概念与性质 １０７（１）犳（０）＜犳（２）； （２）犳（３）＞犳（２）； （３）犳（狓）在区间 ［－１，５］上有最大值，而且犳（２）是最大值； （４）犳（０）与犳（３）的大小关系不确定； （５）犳（狓）在区间 ［－１，５］上有最小值； （６）犳（狓）在区间 ［－１，５］上的最小值是犳（５）． ? 判断下列命题的真假： （１）如果狔＝犳（狓）在犐上是增函数，且狓，狓∈犐，那么当犳（狓）＞犳（狓） １ ２ １ ２ 时，狓＜狓； １ ２ （２）如果狔＝犳（狓）在犐上具有单调性，且狓，狓∈犐，那么当犳（狓）＝犳（狓） １ ２ １ ２ 时，狓＝狓． １ ２ ? 已知函数犳（狓）＝－狓－１的定义域为犇，值域为 ［－６，２］，求犇． ? 向一个圆台形的容器 （如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒 的水体积相等，记容器内水面的高度狔随时间狋变化的函数为狔＝犳（狋）， 则以下函数图象中，可能是狔＝犳狋（）的图象的是 （ ）①． （第４题） y y y y O t O t O t O t （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） ? 求犳（狓）＝２狓２＋６狓，狓∈［－５，３］的单调区间，并求这个函数的最值． ? 求证：（－∞，２）不是函数犳（狓）＝狓２的单调区间． ? 已知函数狔＝犳（狓）是犚上的增函数，犽＞０，且犵（狓）＝犽犳（狓），求证：犵（狓） 在犚上也是增函数． ? 是否存在函数犳（狓），其在定义域上既不是增函数，也不是减函数？如果不存 在，说明理由；如果存在，举出实例．  增  减  增  增 ２ ２３  减  增  减 （ 犫） ４犪犮－犫２ ▉ 小 ▉ 大 ▉〇犳－ ＝ ２犪 ４犪 ① 本章导语中向容器中倒水的问题的答案与此题的答案类似． １ ０８ 第三章 函 数3.1.3   
+ 初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平 面直角坐标系中，点 （狓，狔）关于狔轴的对称点为 （－狓，狔），关于原点 的对称点为 （－狓，－狔）．例如，（－２，３）关于狔轴的对称点为 ， 关于原点的对称点为 ． A( 填写下表，观察指定函数的自变量狓互为相反数时，函数值之间具有什么关 系，并分别说出函数图象应具有的特征． 狓 －３ －２ －１ １ ２ ３ 犳（狓）＝狓２ １ 犵（狓）＝ 狓 不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值狓和－狓 时，对应的函数值相等，即 犳（－狓）＝（－狓）２＝狓２＝犳（狓）， １ １ 犵（－狓）＝ ＝ ＝犵（狓）． ｜－狓｜ ｜狓｜ 一般地，设函数狔＝犳（狓）的定义域为犇，如果对犇内的任意一个狓，都有 －狓∈犇，且 犳（－狓）＝犳（狓）， 则称狔＝犳（狓）为偶函数． 如果狔＝犳（狓）是偶函数，其图象具有什么特征呢？ 我们知道，点犘（狓，犳（狓））与犙（－狓，犳（－狓））都是函数狔＝犳（狓） 图象上的点，按照偶函数的定义，点犙又可以写成犙（－狓，犳（狓）），因此 点犘和点犙关于狔轴对称，所以偶函数的图象关于狔轴对称；反之，结论 也成立，即图象关于狔轴对称的函数一定是偶函数．如图３１１５所示是尝 ３．１ 函数的概念与性质 １０９试与发现中两个函数的图象． y y (−x,g(x)) ( x, g(x)) (−x,f(x)) 1 ( x, f(x)) 1 O 1 x O 1 x （１） （２） 图３１１５ A( 按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图象的特征： 一般地，设函数狔＝犳（狓）的定义域为犇，如果对犇内的任意一个狓，都有  ，且  ， 则称狔＝犳（狓）为奇函数． 奇函数的图象关于 对称． 奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点犘（狓，犳（狓））与犙（－狓， 犳（－狓））都是函数狔＝犳（狓）图象上的点，如果狔＝犳（狓）是奇函数，则点犙 又可以写成犙（－狓，－犳（狓）），因此点犘和点犙关于原点对称，所以奇函数 的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定 １ 是奇函数．如图３１１６所示是奇函数犳（狓）＝狓３ 和犵（狓）＝ 的图象． 狓 y y (x,g(x)) 1 1 (x, f(x)) O 1 x O 1 x (−x,−f(x)) (−x,−g(x)) （１） （２） 图３１１６ 如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性．可以看 １ １０ 第三章 函 数出，当狀是正整数时，函数犳（狓）＝狓２狀 是偶函数，函数犵（狓）＝狓２狀－１ 是奇 函数． 判断下列函数是否具有奇偶性： 
 （１）犳（狓）＝狓＋狓３＋狓５； （２）犳（狓）＝狓２＋１； （３）犳（狓）＝狓＋１； （４）犳（狓）＝狓２，狓∈［－１，３］． （１）因为函数的定义域为犚，所以狓∈犚时，－狓∈犚．  又因为 犳（－狓）＝（－狓）＋（－狓）３＋（－狓）５＝－（狓＋狓３＋狓５）＝－犳（狓）， 所以函数犳（狓）＝狓＋狓３＋狓５ 是 函数． （２）因为函数的定义域为犚，所以狓∈犚时，－狓∈犚． 又因为 犳（－狓）＝（－狓）２＋１＝狓２＋１＝犳（狓）， 所以函数犳（狓）＝狓２＋１是 函数． （３）因为函数的定义域为犚，所以狓∈犚时，－狓∈犚． 又因为犳（－１）＝０，犳（１）＝２，所以 犳（－１）≠－犳（１）且犳（－１）≠犳（１）， 因此函数犳（狓）＝狓＋１既不是奇函数也不是偶函数 （也可说成犳（狓）是非 奇非偶函数）． （４）因为函数的定义域为 ［－１，３］，而３∈［－１，３］，但－３ ［－１，３］，所以函数犳（狓）＝狓２，狓∈［－１，３］是非奇非偶函数． 例１ （４）说明，设函数犳（狓）的定义域为犇，如果存在狓∈犇，但 ０ －狓犇，即函数犳（狓）的定义域不关于原点对称，则犳（狓）既不是奇函 ０ 数也不是偶函数． 已知奇函数犳（狓）的定义域为犇，且０∈犇，求证：犳（０）＝０． 
 因为犳（狓）是奇函数，所以  犳（－０）＝－犳（０）， 即犳（０）＝－犳（０），所以２犳（０）＝０，因此犳（０）＝０． 
+* 因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶 性能简化函数性质的研究．如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其 定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图 象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象． ３．１ 函数的概念与性质 １１１A( 已知函数犳（狓）满足犳（５）＝－３，分别在条件 “犳（狓）是偶函数”与 “犳（狓） 是奇函数”下求出犳（－５）的值． 显然，如果犳（狓）是偶函数，则犳（－５）＝犳（５）＝－３；如果犳（狓）是奇 函数，则犳（－５）＝－犳（５）＝３． 已知函数犳（狓）满足犳（５）＜犳（３），分别在下列各条件下比较 
 犳（－５）与犳（－３）的大小： （１）犳（狓）是偶函数； （２）犳（狓）是奇函数． （１）因为犳（狓）是偶函数，所以犳（－狓）＝犳（狓），因此  犳（－５）＝犳（５），犳（－３）＝犳（３）， 从而由条件可知犳（－５）＜犳（－３）． （２）因为犳（狓）是奇函数，所以犳（－狓）＝－犳（狓），因此 犳（－５）＝－犳（５），犳（－３）＝－犳（３）， 又由条件可知－犳（５）＞－犳（３），从而犳（－５）＞犳（－３）． 例３说明，当犳（狓）具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律． A( 已知函数狔＝犳（狓）是偶函数，狔＝犵（狓）是奇函数，且它们的部分图象如图 ３１１７所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律． y y=g(x) y O x y= f(x) O x （１） （２） 图３１１７ 不难看出，如果狔＝犳（狓）是偶函数，那么其在狓＞０与狓＜０时的单调 性相反；如果狔＝犳（狓）是奇函数，那么其在狓＞０与狓＜０时的单调性相同． １ 研究函数狔＝ 的性质，并作出函数图象． 
 狓２ 要使函数表达式有意义，需有狓≠０，因此函数的定义域为  １ １２ 第三章 函 数犇＝｛狓∈犚狓≠０｝， 从而可知函数的图象有左右两部分． １ 设犳（狓）＝ ，则对任意狓∈犇，都有－狓∈犇，而且 狓２ １ １ 犳（－狓）＝ ＝ ＝犳（狓）， （－狓）２ 狓２ １ 所以函数狔＝ 是偶函数，函数的两部分图象关于狔轴对称． 狓２ 下面研究函数在区间 （０，＋∞）上的性质及图象． 因为狓，狓∈（０，＋∞）时，有 １ ２ １ １ － Δ狔 狓２ 狓２ 狓＋狓 ＝ ２ １＝－ １ ２＜０， Δ狓 狓－狓 狓２狓２ ２ １ １ ２ １ 所以狔＝ 在 （０，＋∞）上是减函数． 狓２ １ 又因为狓∈（０，＋∞）时，狔＝ ＞０，所以函数图象在右边的部分 狓２ 一定在第一象限．列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图． １ 狓 １ ２ ３ ２ １ １ １ 狔＝ ４ １ 狓２ ４ ９ 再根据函数是偶函数，可以得出函 数的图象，如图３１１８所示，而且函数 y 的定义域为｛狓∈犚狓≠０｝，函数是偶函 数，在 （－∞，０）上单调递增，在 （０，＋∞）上单调递减，函数的值域是 1 （０，＋∞）． O 1 x 利用研究奇偶函数的类似方法还可以 研究更一般的函数图象的对称性． 图３１１８ 求证：二次函数犳（狓）＝狓２＋ 
 ４狓＋６的图象关于狓＝－２对称． A( 初中时，我们就在观察图象的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严 格的证明．为了证明函数的图象关于狓＝０ （即狔轴）对称，只需证明狓轴上关于 ３．１ 函数的概念与性质 １１３原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图象关于狓＝－２对 称呢？ 如图３１１９所示，已知数轴上的犃，犅两点关于－２对应的点对称，而且点犃 的坐标是－２＋犺，则点犅的坐标是 ． B A x −2 −2+ h 图３１１９ 任取犺∈犚，因为  犳（－２＋犺）＝（－２＋犺）２＋４（－２＋犺）＋６ ＝犺２＋２， 犳（－２－犺）＝（－２－犺）２＋４（－２－犺）＋６ ＝犺２＋２， 所以犳（－２＋犺）＝犳（－２－犺），这就说明函数的图象关于狓＝－２对称． 由例５可知，要证明函数图象关于垂直于狓轴的直线对称并不难，但 怎样才能找到对应的对称轴呢？以例５所示的二次函数为例，注意到 犳（狓）＝狓２＋４狓＋６＝（狓＋２）２＋２， 由此就容易得到犳（－２＋犺）＝犳（－２－犺），从而可知犳（狓）图象的对称轴为 狓＝－２． （１）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ （２）怎样才能证明函数的图象关于点 （３，０）对称？一般地，怎样证明函数的 图象关于点 （犪，犫）对称？ " ? 判断下列命题的真假： （１）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数； （２）如果一个函数为奇函数，则它的定义域关于坐标原点对称； （３）如果一个函数的图象关于狔轴对称，则这个函数为偶函数． ? 判断下列函数是否具有奇偶性： （１）犳（狓）＝狓＋狓３； （２）犳（狓）＝－狓２； １ １４ 第三章 函 数１ （３）犳（狓）＝狓３＋１； （４）犳（狓）＝ ，狓∈［－１，２］． 狓２＋１ ? 已知函数犳（狓）满足犳（－３）＞犳（－１），分别在下列各条件下比较犳（３）与 犳（１）的大小． （１）犳（狓）是偶函数； （２）犳（狓）是奇函数． ? 如果定义域为犚的函数犳（狓）满足犳（０）≠０，函数犳（狓）可能是奇函数吗？可 能是偶函数吗？说明理由． # ? 求证：二次函数犳（狓）＝狓２－６狓的图象关于狓＝３对称． ? 已知函数犳（狓）＝狓５＋犪狓３＋犫狓－８，且犳（－２）＝１０，求犳（２）的值． ? 已知函数狔＝犳（狓）的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性： （１）犺（狓）＝犳（狓）＋犳（－狓）； （２）犺（狓）＝犳（狓）－犳（－狓）； （３）犺（狓）＝犳（狓）犳（－狓）． ? 如果函数犳（狓）和犵（狓）的定义域相同，且犳（狓）为偶函数，犵（狓）为奇函数， 判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （１）犺（狓）＝犳（狓）犵（狓）； （２）犺（狓）＝犳（狓）＋犵（狓）． ? 已知函数犳（狓）的定义域为犚，且函数图象关于狓＝３对称，犳（狓）在区间 （－∞，３］上是增函数，判断犳（狓）在 ［３，＋∞）上的单调性． ? 是否存在函数犳（狓），其既是奇函数，又是偶函数？如果不存在，说明理由；如 果存在，举出实例． ９ ? 研究函数犳（狓）＝狓＋ 的性质，并作出函数图象． 狓  （２，３）  （２，－３）  －狓∈犇 犳（－狓）＝－犳（狓）  原点  奇  偶  －２－犺 " ? 已知下列表格表示的是函数狊＝犵（狋），写出犵（－２），犵（０），犵（槡３）． 狋 （－∞，０） ０ （０，＋∞） 狊 －１ ０ １ ３．１ 函数的概念与性质 １１５? 已知函数犳（狓）＝狓３＋２狓，求犳（０）与犳（－３）． １ ? 求函数犳（狓）＝ ＋槡狓＋１的定义域． １－狓 ? 已知犳（狓）＝１－狓２，求犳（－２），犳（０）和犳（１５），并求函数犳（狓）的值域． ? 函数的图象与狔轴的公共点个数有多少种不同的情况？举例说明． ? 已知函数狔＝犳（狓），狔＝犵（狓）都是犚上的增函数，求证：犳（狓）＋犵（狓）在 犚上也是增函数． ? 已知奇函数犳（狓）在区间 ［１，６］上是增函数，且最大值为１０，最小值为４， 判断犳（狓）在 ［－６，－１］上的单调性，并求犳（狓）在 ［－６，－１］上的最值． ? 分别求函数犳（狓）＝狓２＋６狓的定义域为下列区间时的最值： （１）［－６，７］； （２）［１，３］； （３）［－６，－４］． ? 判断下列函数是否具有奇偶性： （１）犳（狓）＝（狓＋１）（狓－１）； （２）犳（狓）＝狓（狓＋１）； １ （３）犳（狓）＝狓＋３槡狓； （４）犳（狓）＝ ． 狓２－１ # ? 已知集合犃＝［犪，＋∞），对应关系犳为 “求倒数”，而且犳为犃上的函数， 求实数犪的取值范围． 烄狓２，狓≤１， １ ? 已知函数犳（狓）＝烅 若犳（狓）＝ ，求狓的值． 烆８狓，狓＞１， ４ ２ ? 已知函数犳（狓）＝ ，求这个函数的定义域与值域． 槡狓 ? 已知函数犳（狓）＝３狓－４的定义域为犇，值域为 ［－１０，５］，求犇． ? 已知函数 烄狓－１，狓∈（－∞，０］， 犳（狓）＝烅 烆２狓－３，狓∈（０，＋∞）． 作出函数的图象，并求不等式犳（狓）＞０的解集． ? 写出下列函数的单调性，并证明： １ １ （１）狔＝ ； （２）狔＝ ． 狓－２ 槡狓 ? 已知函数犳（狓）＝犪狓２－２犪狓－３，其中犪＞０，运用函数的性质，比较犳（－２） 与犳（４），犳（－３）与犳（３）的大小． １ １６ 第三章 函 数? 已知函数犳（狓）＝（狓－１）２＋犪狓＋２是偶函数，求实数犪的值． 烄狓－１，狓≥０， ? 求证：犳（狓）＝烅 是偶函数． 烆－狓－１，狓＜０ ﹣ 研究函数犳（狓）＝狓２－２狓－１的性质，并作出函数图象． $ ? 对于每个实数狓，设犳（狓）取狔＝４狓＋１，狔＝狓＋２，狔＝－２狓＋４三个函数值 中的最小值，用分段函数的形式写出犳（狓）的解析式，并求犳（狓）的最大值． ? 若函数犳（狓）是定义在犚上的偶函数，且犳（狓）在 （－∞，０］上是减函数， 犳（２）＝０，求不等式犳（狓）＜０的解集． １ ? 求证：函数犳（狓）＝ 的图象关于点 （１，０）对称． 狓－１ ? 求函数犳（狓）＝狓２＋２犪狓，狓∈［１，３］的最值． ３．１ 函数的概念与性质 １１７． ! #!"#’*+,-./01$23 
+L% A( 已知函数犳（狓）＝狓－１，我们知道，这个函数的定义域为 y  ，而且可以求出，方程犳（狓）＝０的解集为 ，不等式 犳（狓）＞０的解集为 ，不等式犳（狓）＜０的解集为 ． 1 O 1 x 在图３２１中作出函数犳（狓）＝狓－１的图象，总结上述方程、 不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系． 图３２１ 由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义 域分为几个不相交的集合．具体来说，假设函数犳（狓）的定义域为犇，若 犃＝｛狓∈犇｜犳（狓）＜０｝， 犅＝｛狓∈犇｜犳（狓）＝０｝， 犆＝｛狓∈犇｜犳（狓）＞０｝， 显然，犃，犅，犆两两的交集都为空集，且犇＝犃∪犅∪犆． 一般地，如果函数狔＝犳（狓）在实数α处的函数值等于零，即犳（α）＝０， 则称α为函数狔＝犳（狓）的零点．上述集合犅就是函数所有零点组成的集合． 不难看出，α是函数犳（狓）零点的充分必要条件是，（α，０）是函数图 象与狓轴的公共点．因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于０的 方程的解集，以及函数值与０比较相对大小的不等式的解集． 如图３２２所示是函数狔＝犳（狓）的图象，分别写出犳（狓）＝０， 
 犳（狓）＞０，犳（狓）≤０的解集． y y= f(x) −6 −3 −1 −5 −4 −2 O 1 2 3 4 5 6 x 图３２２ １ １８ 第三章 函 数由图可知，犳（狓）＝０的解集为  ｛－５，－３，－１，２，４，６｝． 犳（狓）＞０的解集为 （－５，－３）∪（２，４）∪（４，６）． 犳（狓）≤０的解集为  ． 依照零点的定义可知，求函数狔＝犳（狓）的零点，实质上就是要解方程 犳（狓）＝０，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图象与狓轴的 交点，再根据函数的性质等，就能得到类似犳（狓）＞０等不等式的解集． 
 +L%/0?KK+2 我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图象是抛 物线，因此可以借助二次函数的图象得到一元二次不等式的解集． 利用函数求下列不等式的解集： 
 （１）狓２－狓－６＜０； （２）狓２－狓－６≥０． 设犳（狓）＝狓２－狓－６，令犳（狓）＝０，得  狓２－狓－６＝０， 即 （狓－３）（狓＋２）＝０，从而狓＝３或狓＝－２． y 1 因此，３和－２都是函数犳（狓）的零点， O 1 x 从而犳（狓）的图象与狓轴相交于 （３，０）和 （－２，０），又因为函数图象是开口向上的抛物 线，所以可以作出函数图象的示意图，如图 ３２３所示． 由图可知： （１）所求解集为 （－２，３）； 图３２３ （２）所求解集为 （－ ∞，－２］∪ ［３， ＋∞）． y 1 利用函数求下列不等式的解集： 
 O 1 x （１）－狓２－２狓－３≥０； （２）－狓２－２狓－３＜０． 设犳（狓）＝－狓２－２狓－３，令犳（狓）＝０，  得 狓２＋２狓＋３＝０， 即 （狓＋１）２＝－２，该方程无解． 图３２４ ３．２ 函数与方程、不等式之间的关系 １１９因此函数犳（狓）无零点，从而犳（狓）的图象与狓轴没有交点，又因 为函数图象是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图 ３２４所示． 由图可知： （１）所求解集为； （２）所求解集为犚． 利用函数求下列不等式的解集： 
 （１）狓２－４狓＋４＞０； （２）狓２－４狓＋４≤０． 设犳（狓）＝狓２－４狓＋４，令犳（狓）＝０，得  狓２－４狓＋４＝０， 即 （狓－２）２＝０，从而狓＝２． 因此，函数犳（狓）的零点为２，从而犳（狓）的图象与狓轴相交于 （２，０），又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可知： （１）所求解集为 （－∞，２）∪（２，＋∞）； （２）所求解集为 ｛２｝． 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数犳（狓）＝犪狓２＋ 犫狓＋犮（犪≠０）： （１）当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的解集中有两个元素 狓，狓，且狓，狓 是犳（狓）的两个零点，犳（狓）的图象与狓轴有两个公共 １ ２ １ ２ 点 （狓，０），（狓，０）； １ ２ （２）当Δ＝犫２－４犪犮＝０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的解集中只有一个元素 狓，且狓 是犳（狓）唯一的零点，犳（狓）的图象与狓轴有一个公共点 （狓，０）； ０ ０ ０ （３）当Δ＝犫２－４犪犮＜０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０没有实数根，此时 犳（狓）无零点，犳（狓）的图象与狓轴没有公共点． 更进一步，可以由二次函数的图象得到对应的不等式的解集，有关内容 留作练习． 求函数犳（狓）＝（狓＋２）（狓＋１）（狓－１）的零点，并作出函数图象 
 的示意图，写出不等式犳（狓）＞０和犳（狓）≤０的解集． 函数零点为－２，－１，１．  函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如 下表所示． 狓 （－∞，－２） （－２，－１） （－１，１） （１，＋∞） 犳（狓） － ＋ － ＋ １ ２０ 第三章 函 数由此可以作出函数图象的示意图，如图３２５ 所示． 由图可知犳（狓）＞０的解集为 −2 −1 1 x （－２，－１）∪（１，＋∞）； 犳（狓）≤０的解集为 图３２５ （－∞，－２］∪［－１，１］． 
L%+ D+!" A( 关于狓的一元一次方程犽狓＋犫＝０ （犽≠０）的求根公式为 ． 一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次 方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且 有实数根的时候，都能够写出求根公式． 但是，对于次数大于或等于３的多项式函数 （例如犳（狓）＝犪狓３＋犫狓２＋ 犮狓＋犱，其中犪≠０），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存 在以及求零点，都不是容易的事 （事实上，数学家们已经证明：次数大于４ 的多项式方程，不存在通用的求根公式）．因此，我们有必要探讨什么情况 下一个函数一定存在零点． A( 如图３２６所示，已知犃，犅都是函数狔＝犳（狓）图 y 象上的点，而且函数图象是连接犃，犅两点的连续不断 f(b) B 的线，作出３种狔＝犳（狓）的可能的图象． a 判断犳（狓）是否一定存在零点，总结出一般规律． O b x f(a) A 图３２６ 可以看出，尝试与发现中的函数犳（狓）在区间 （犪，犫）中一定存在零点． 函数零点存在定理 如果函数狔＝犳（狓）在区间 ［犪，犫］上的图象是连 续不断的，并且犳（犪）犳（犫）＜０（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数 狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）中至少有一个零点，即狓∈（犪，犫），犳（狓）＝０． ０ ０ ３．２ 函数与方程、不等式之间的关系 １２１一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的．需要注意的 １ 是，反比例函数狔＝ 的图象不是连续不断的． 狓 求证：函数犳（狓）＝狓３－２狓＋２至少有一个零点． 
 因为  犳（０）＝２＞０，犳（－２）＝－８＋４＋２＝－２＜０， 所以犳（－２）犳（０）＜０，因此狓∈（－２，０），犳（狓）＝０，即结论成立． ０ ０ 例６中的函数在区间 （－２，０）中存在零点狓，但是不难看出，求出 ０ 狓 的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比 ０ １ 如，能否求出一个狓，使得｜狓－狓｜＜ ？ １ １ ０ ８ A( 如果在区间 （－２，０）中任取一个数作为狓 的近似值，那么误差小于多少？ ０ 如果取区间 （－２，０）的中点作为狓 的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不 ０ 断缩小误差？ 如果在区间 （－２，０）中任取一个数作为狓 的近似值，误差小于２； ０ 如果取区间 （－２，０）的中点作为狓 的近似值，误差小于１． ０ 一般地，求狓 的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩 ０ 小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示． 取中点作为近似值时 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 误差小于的值 －２＋０ （－２，０） ＝－１ 犳（－１）＝－１＋２＋２＝３＞０ １ ２ （ ） －２－１ ３ ３ ２７ １３ １ （－２，－１） ＝－ 犳－ ＝－ ＋３＋２＝ ＞０ ２ ２ ２ ８ ８ ２ ３ （ ） －２－ （ ） ３ ２ ７ ７ ３４３ ７ ９ １ －２，－ ＝－ 犳－ ＝－ ＋ ＋２＝ ＞０ ２ ２ ４ ４ ６４ ２ ６４ ４ ７ （ ） －２－ ７ ４ １５ １ －２，－ ＝－ ４ ２ ８ ８ 其中第２行的区间是 （－２，－１），这是因为犳（－２）犳（－１）＜０，其他 区间都是用类似方式得到的．最后一行的函数值没有计算，是因为不管 ］ ［ （ １５ １５ ７） １５ 狓∈ －２，－ ，还是狓∈ － ，－ ，我们都可以将－ 看成狓 的 ０ ８ ０ ８ ４ ８ ０ １ ２２ 第三章 函 数１ 近似值，而且误差小于 ． ８ 当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值． 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法． 在函数零点存在定理的条件满足时 （即犳（狓）在区间 ［犪，犫］上的图 象是连续不断的，且犳（犪）犳（犫）＜０），给定近似的精确度ε，用二分法求零点 狓 的近似值狓，使得｜狓－狓｜＜ε的一般步骤如下： ０ １ １ ０ 犪＋犫 第一步 检查｜犫－犪｜≤２ε是否成立，如果成立，取狓＝ ，计算 １ ２ 结束；如果不成立，转到第二步． 犪＋犫 （犪＋犫） 第二步 计算区间 （犪，犫）的中点 对应的函数值，若犳 ＝ ２ ２ 犪＋犫 （犪＋犫） ０，取狓＝ ，计算结束；若犳 ≠０，转到第三步． １ ２ ２ （犪＋犫） 犪＋犫 犪＋犫 第三步 若犳（犪）犳 ＜０，将 的值赋给犫（用 →犫表示，下 ２ ２ ２ （犪＋犫） 犪＋犫 同），回到第一步；否则必有犳 犳（犫）＜０，将 的值赋给犪，回到第 ２ ２ 一步． 这些步骤可用如图３２７所示的框图表示．  Ea b |b−a|
2ε  a+b f( )=0 2 a+b a+b →x f(a)f( )<0 2 1 2 a+b a+b →b →a 2 2 Ex 1  图３２７ 已知函数犳（狓）＝狓２＋犪狓＋１有两个零点，在区间 （－１，１）上 
 是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数犪的取值范围． ３．２ 函数与方程、不等式之间的关系 １２３因为函数犳（狓）的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函  数图象的示意图如图３２８ （１）（２）所示． −1 1 x −1 1 x （１） （２） 图３２８ 犪 不管哪种情况，都可以归结为犳（－１）犳（１）＜０且 － ≥１，因此 ２ （２－犪）（犪＋２）＜０且｜犪｜≥２， 解得犪＜－２或犪＞２． KA 二分法在搜索中的应用 日常生活中，我们经常要利用计算机、 的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可 网络来搜索信息．你知道吗？二分法在搜索 能的位置范围．例如，狓＝１３时的查找过程 的过程中扮演着非常重要的角色． 可用下图表示． 下图中的１５个数是按从小到大排列的． 2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77 2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77 如果随机给出一个不大于１００的自然数 2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77 狓，要让计算机查找狓是否在上面这列数 2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77 中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给 出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结 2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77 果呢？ 由此不难看出，不管给出的是什么数， 如果让计算机将狓逐一与图中的数去比 最多４次就能完成任务． 较，那么在有些情况下，只要比较１次就可 计算机中的很多搜索程序都是用类似方 以了 （例如狓＝１），但在有些情况下，却要 法编写的，而且二分法在故障排除、实验设 比较１５次才能完成任务 （例如狓＝８０）． 计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关 如果我们用二分法的思想来查找，情况 书籍和网站吧！ 就不一样了：每一次都让狓与序列中正中间 １ ２４ 第三章 函 数
* !L% 用ＧｅｏＧｅｂｒａ中的ｒｏｏｔ命令，可以方便地求得多项式函数的图象与狓轴 的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息． 例如，在 “输入”对话框中输入 “ｒｏｏｔ［ｘ＾２－ｘ－６］”后按回车键，将得 到函数犳（狓）＝狓２－狓－６的图象与狓轴的两个交点犃，犅的坐标； 输入 “ｒｏｏｔ［ｘ＾３－２ｘ＋２］”后按回车键，将得到函数犳（狓）＝狓３－２狓＋２ 的图象与狓轴的交点犆的坐标； 输入 “ｒｏｏｔ［ｘ＾３－２ｘ＋２，１，２］”后按回车键，将得到函数犳（狓）＝ 狓３－２狓＋２，狓∈［１，２］的图象与狓轴的交点的信息． 显示结果如图３２９所示，其中的 “未定义”表示没有交点． 图３２９ " ? 求下列函数的零点： （１）犳（狓）＝－３狓＋２； （２）犳（狓）＝（狓－１）２（狓２－２）． ? 如图所示是函数狔＝犳（狓）的图象，分别写出犳（狓）＝０，犳（狓）＞０，犳（狓）≤０ 的解集． y y= f(x) −6 −5 −3 −1 −4 −2 O 1 2 3 4 5 6 x （第２题） ? 利用函数求下列不等式的解集： （１）狓２－２狓－３＞０； （２）狓２－８狓＋１６≥０； （３）狓２＋４狓＋５＞０． ? 判断下列命题的真假： （１）若函数犳（狓）的图象是连续不断的，且在区间 ［１，４］上有犳（１）犳（４）＜０， 则函数犳（狓）在区间 （１，４）中至少有一个零点； ３．２ 函数与方程、不等式之间的关系 １２５（２）若函数犳（狓）的图象是连续不断的，且在区间 ［１，４］上有犳（１）犳（４）＞０， 则函数犳（狓）在区间 （１，４）中一定没有零点． ? 判断一次函数犳（狓）＝犽狓＋犫（犽≠０）是否一定存在零点，并说明理由． ? 已知犳（狓）＝狓２＋犪狓＋犫，且犳（狓）＜０的解集是 （－３，－１），求实数犪，犫 的值． ? 当犿是什么实数时，函数犳（狓）＝犿狓２－（１－犿）狓＋犿没有零点？ ? 写出一个同时满足下列两个条件的函数犳（狓）： （１）犳（１）犳（－１）＜０； （２）犳（狓）无零点． ? 定义域为犚的奇函数可能没有零点吗？为什么？ ﹣ 已知函数狔＝犳（狓）是偶函数，其图象与狓轴有四个交点，试求方程犳（狓）＝０ 的所有实根的和． # ? 求下列函数的零点： （１）犳（狓）＝狓３－８狓； （２）犳（狓）＝－狓４＋２狓２； 烄狓＋１，狓≤１， （３）犳（狓）＝烅 烆狓２－４狓＋１，狓＞１． ? 已知犳（狓）＝犿狓２－（犿＋３）狓－１，且犳（狓）＜０对任意实数狓均成立，求实数 犿取值的集合． ? 若函数犳（狓）＝狓３＋犪狓２＋犫狓＋犮有三个零点－１，１，狓，且狓∈（２，３），求 ０ ０ 实数犮的取值范围． ? 判断命题 “已知函数犳（狓）的图象是连续不断的，且函数犳（狓）的两个相邻 的零点是１，２，若狓∈（１，２），犳（狓）＞０，则狓∈（１，２），犳（狓）＞０” ０ ０ 的真假． ６ ? 已知函数犳（狓）＝ －狓２，在下列区间中，一定包含犳（狓）零点的区间 狓 是 （ ）． （Ａ）（－２，－１） （Ｂ）（０，１） （Ｃ）（１，２） （Ｄ）（２，＋∞） ? 求证：函数犳（狓）＝狓３＋狓－１只有一个零点狓，且狓∈（０，１）． ０ ０ ? 证明函数犳（狓）＝狓３－狓２＋５，狓∈［－２，－１］有零点，并指出用二分法求零 点的近似值 （精确度小于０．１）时，至少需要进行多少次函数值的计算． ? 求下列函数的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式犳（狓）≥０和 犳（狓）＜０的解集： １ ２６ 第三章 函 数（１）犳（狓）＝（狓－１）（狓－２）（狓＋３）； （２）犳（狓）＝（狓＋２）狓２． ? 作出二次函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的图象的示意图，并得出各种情况 下不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０和犪狓２＋犫狓＋犮≤０的解集． $ ? 求证：方程狓４－４狓－２＝０在 ［－１，２］上至少有两个实根． ? 已知犳（狓）＝（狓－１）（狓－犿），不等式犳（狓）＜０的解集是犃，且 （１，２）犃， 求实数犿的取值范围． ３狓２＋２狓＋２ ? 设函数犳（狓）＝ ，已知犳（狓）≥犿恒成立，求自然数犿的值． 狓２＋狓＋１ ? 已知关于狓的方程狓２－（犿＋３）狓＋犿＋３＝０有两个不相等的正实数根，求实 数犿的取值组成的集合． ? 已知函数犳（狓）＝２（犿＋１）狓２＋４犿狓＋２犿－１有一个零点在区间 （０，１）内， 求实数犿的取值范围． 犚  ｛１｝  （１，＋∞）  （－∞，１） 犫  ［－６，－５］∪［－３，２］∪｛４，６｝ 狓＝－ 犽 ３．２ 函数与方程、不等式之间的关系 １２７． ! !!"#$45678 因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，所以函 数的知识在实际生活中有着广泛的应用，下面我们通过例子来说明． 为了鼓励大家节约用水，自２０１３年以后，上海市实行了阶梯水 
 价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量／ｍ３ 综合用水单价／（元·ｍ－３） 第一阶梯 ０～２２０（含） ３．４５ 第二阶梯 ２２０～３００（含） ４．８３ 第三阶梯 ３００以上 ５．８３ 记户年用水量为狓ｍ３ 时应缴纳的水费为犳（狓）元． （１）写出犳（狓）的解析式； （２）假设居住在上海的张明一家２０１５年共用水２６０ｍ３，则张明一家 ２０１５年应缴纳水费多少元？ （１）不难看出，犳（狓）是一个分段函数，而且：  当０＜狓≤２２０时，有犳（狓）＝３．４５狓； 当２２０＜狓≤３００时，有 犳（狓）＝２２０×３．４５＋（狓－２２０）×４．８３ ＝４．８３狓－３０３．６； 当狓＞３００时，有 犳（狓）＝２２０×３．４５＋（３００－２２０）×４．８３＋（狓－３００）×５．８３ ＝５．８３狓－６０３．６． 因此 烄３．４５狓，０＜狓≤２２０， 犳（狓）＝烅４．８３狓－３０３．６，２２０＜狓≤３００， 烆５．８３狓－６０３．６，狓＞３００． （２）因为２２０＜２６０≤３００，所以 犳（２６０）＝４．８３×２６０－３０３．６＝９５２．２， 因此张明一家２０１５年应缴纳水费９５２．２元． 由例１可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容． １ ２８ 第三章 函 数城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，１９７８—２０１３ 
 年，我国城镇常住人口从１．７亿增加到７．３亿．假设每一年城镇常住人口的 增加量都相等，记１９７８年后第狋（限定狋＜４０）年的城镇常住人口为犳狋（） 亿．写出犳狋（）的解析式，并由此估算出我国２０１７年的城镇常住人口数． 因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以犳（狋）是一次函  数，设犳（狋）＝犽狋＋犫，其中犽，犫是常数． 注意到２０１３年是１９７８年后的第２０１３－１９７８＝３５年，因此 烄犳（０）＝１．７， 烄犫＝１．７， 即 烅 烅 烆犳（３５）＝７．３， 烆３５犽＋犫＝７．３， 解得犽＝０．１６，犫＝１．７．因此 犳（狋）＝０．１６狋＋１．７，狋∈犖且狋＜４０． 又因为２０１７年是１９７８年后的第２０１７－１９７８＝３９年，而且 犳（３９）＝０．１６×３９＋１．７＝７．９４， 所以由此可估算出我国２０１７年的城镇常住人口为７．９４亿． 例２中２０１７年城镇人口的估算还有其他算法，请读者自己尝试． 某农家旅游公司有客房１６０间，每间房单价为２００元时，每天都 
 客满．已知每间房单价每提高２０元，则客房出租数就会减少１０间．若不 考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收 入最高？ 可以通过试算来理解题意，如下表所示．  提价／元 每间房单价／元 客房出租数 租金总收入／元 ０ ２００ １６０ ３２０００ ２０ ２２０ １５０ ３３０００ ４０ ２４０ １４０ ３３６００ ６０ ２６０ １３０ ３３８００ ８０ ２８０ １２０ ３３６００ １００ ３００ １１０ ３３０００ １２０ ３２０ １００ ３２０００ 设每间房单价提高狓个２０元时，每天客房的租金总收入为狔元．  因为此时每间房单价为２００＋２０狓元，而客房出租数将减少１０狓间， 即为１６０－１０狓间，所以 狔＝（２００＋２０狓）（１６０－１０狓） ＝２００（１０＋狓）（１６－狓） ＝２００（－狓２＋６狓＋１６０） ＝２００［－（狓－３）２＋１６９］ ＝－２００（狓－３）２＋３３８００． ３．３ 函数的应用 （一） １２９从而可知，当狓＝３时，狔的最大值为３３８００． 因此每间房单价提到２００＋２０×３＝２６０元时，每天客房的租金总收入 最高． 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度 
 为犾，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 设矩形的长为狓时，场地的面积为犛．  １ 因为矩形的周长要为犾，所以矩形的宽为 （犾－２狓），由 ２ 烄狓＞０， 烅１ （犾－２狓）＞０ 烆２ 犾 可解得０＜狓＜ ． ２ 又因为 １ 犾 （ 犾） ２ 犾２ 犛＝ （犾－２狓）狓＝－狓２＋ 狓＝－狓－ ＋ ， ２ ２ ４ １６ 犾 犾２ 你能用均值不 所以当狓＝ 时，犛的最大值为 ．此时矩形的宽为 ４ １６ 等式求得犛的最 １（ 犾） 犾 大值吗？ 犾－２× ＝ ． ２ ４ ４ 犾 即所围矩形是长、宽都为 的正方形时，场地面积最大． ４ 已知某产品的总成本犆与年产量犙之间的关系为犆＝犪犙２＋ 
 ３０００，且当年产量是１００时，总成本是６０００．设该产品年产量为犙时的 平均成本为犳（犙）． （１）求犳（犙）的解析式； （２）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值． （１）将犙＝１００，犆＝６０００代入犆＝犪犙２＋３０００中，可得  １００２犪＋３０００＝６０００， ３ ３犙２ 从而犪＝ ，于是犆＝ ＋３０００． １０ １０ 因此 犆 ３ ３０００ 犳（犙）＝ ＝ 犙＋ ，犙＞０． 犙 １０ 犙 （２）因为 ３ ３０００ ３ ３０００ 槡 犳（犙）＝ 犙＋ ≥２ 犙× ＝６０， １０ 犙 １０ 犙 １ ３０ 第三章 函 数３ ３０００ 且 犙＝ ，即犙＝１００时，上述等号成立． １０ 犙 因此，当年产量为１００时，平均成本最小，且最小值为６０． " ? 一种商品的售价上涨２％后，又下降了２％，求商品的最终售价狔与原来的 售价狓之间的关系． ? 某村２００６年年底共有２０００人，全年工农业总产值为４３２０万元，若从 ２００７年起，该村工农业总产值每年增加１６０万元，人口每年增加２０人，设 ２００６年后的第狓年该村人均工农业产值为狔万元，写出狔与狓之间的关系式． ? 加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为 p “可食用率”．在特定条件下，可食用率狆与加工 0.8 0.7 时间狋（单位：ｍｉｎ）满足函数关系狆＝犪狋２＋犫狋＋犮 0.5 （犪，犫，犮是常数），图中记录了三次实验的数据． 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加 工时间为 （ ）． O 3 4 5 t （第３题） （Ａ）３．５０ｍｉｎ （Ｂ）３．７５ｍｉｎ （Ｃ）４．００ｍｉｎ （Ｄ）４．２５ｍｉｎ # ? 在经济学中，函数犳（狓）的边际函数犕犳（狓）定义为犕犳（狓）＝犳（狓＋１）－ 犳（狓）．某公司每月最多生产１００台报警系统装置，生产狓台 （狓∈犖 ）的 收入函数为犚（狓）＝３０００狓－２０狓２ （单位：元），其成本函数犆（狓）＝５００狓＋ ４０００ （单位：元），利润是收入与成本之差． （１）求利润函数犘（狓）及边际利润函数犕犘（狓）； （２）利润函数犘（狓）与边际利润函数犕犘（狓）是否具有相同的最大值？ ? 某公司最近４年对某种产品投入的宣传费狓万元与年销售量狔ｔ之间的关系 如下表所示． 狓 １ ４ ９ １６ 狔 １６８．６ ２３６．６ ３０４．６ ３７２．６ （１）根据以上表格中的数据判断：狔＝犪狓＋犫与狔＝犮槡狓＋犱哪一个更适宜 作为狔与狓的函数模型？ （２）已知这种产品的年利润狕万元与狓，狔的关系为狕＝２狔－１０狓，则年宣 传费狓为多少时年利润最大？ ３．３ 函数的应用 （一） １３１． ! $!#9:;<=> ?@AB$CDEFG1H 数学建模是连接数学和现实世界的桥梁．下面我们用实例来介绍，怎样 从现实世界中发现问题，如何通过数学建模来求解特定的问题，并探讨怎样 整理数学建模的结果． 俗话说，“物以稀为贵”．一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多 时，这种商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高． 例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果利 用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升 之后再出售，则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入．不过，需要 注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大． 针对上述这种日常生活中的现象，我们可以提出一些什么问题呢？ 当然，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么 情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保 鲜存储的成本最低？等等．类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所 以如果只用数学手段研究，将是十分困难的． 不过，上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号 和语言进行描述． 仍以苹果为例，设市面上苹果的量为狓万吨，苹果的单价为狔元．上述 现象说明，狔会随着狓的增大而减少，且狔也会随着狓的减少而增大———也 就是说，如果狔是狓的函数并记作狔＝犳（狓）的话，犳（狓）是减函数． 同样地，如果设保鲜存储的时间为狋天，单位数量的保鲜存储成本为犆 元，且犆是狋的函数并记作犆＝犵（狋）的话，犵（狋）是一个增函数． 由于市面上苹果的量狓会随着时间狋的变化而变化，因此可以认为狓是 狋的函数，并记作狓＝犺（狋）． 从上面这些描述不难看出，在第狋天出售苹果时，单位数量的苹果所获 得的收益狕元可以用狋表示出来，即 １ ３２ 第三章 函 数狕＝狔－犆＝犳（狓）－犵（狋）＝犳（犺（狋））－犵（狋）． 此时，如果犳（狓），犵（狋），犺（狋）都是已知的，则能得到狕与狋的具体关 系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：狕是否有最大值？如果狕有最 大值，那么狋为多少时狕取最大值？ 怎样才能确定上述犳（狓），犵（狋），犺（狋）呢？这可以通过合理假设以及 收集数据、确定参数来完成． 例如，为了简单起见，我们可以假设犳（狓）和犵（狋）都是一次函数，且 犳（狓）＝犽狓＋犾，犵（狋）＝犽狋＋犾； １ １ ２ ２ 并假设犺（狋）是一个二次函数，且 犺（狋）＝犪狋２＋犫狋＋犮． 则有 狕＝犳（犺（狋））－犵（狋）＝犽犪狋２＋（犽犫－犽）狋＋犽犮＋犾－犾， １ １ ２ １ １ ２ 其中犽＜０，犽＞０，犪≠０． １ ２ 上述各参数可以通过收集实际数据来确定．例如，如果我们收集到了如 下实际数据． 狓／万吨 ８．４ ７．６ 狋／天 １ ２ 狋／天 １ ２ ３ 狔／元 ０．８ １．２ 犆／元 ０．１１０．１２ 狓／万吨 ９．４６２ ９．３２８ ９．１９８ 利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出 狔＝犳（狓）＝－０．５狓＋５， 犆＝犵（狋）＝０．０１狋＋０．１， 狓＝犺（狋）＝０．００２狋２－０．１４狋＋９．６， 因此 狕＝－０．００１狋２＋０．０６狋＋０．１． 注意到上式可以改写成狕＝－０．００１（狋－３０）２＋１，所以此时在狋＝３０时， 狕取最大值１．也就是说，在上述情况下，保鲜存储３０天时，单位商品所获 得的利润最大，为１元． 这样一来，我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型，并通 过有关数据进行了说明． 当然，实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差．因为我们假设 犳（狓）和犵（狋）都是一次函数等就已经把问题进行了简化，如果条件容许的 话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对 数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化我们最终建立的模型． 以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．由 此可以看出，对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法 ３．４ 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 １３３构建模型解决问题就是数学建模．数学建模过程主要包括：在实际情境中从 数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求 解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题． 在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提 供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式． 一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定．例如，图 ３４１、图３４２、图３４３所示都可以是数学建模论文的主体结构．     

 
  
 
  
  

  

  
 图３４１ 图３４２   
  
  
 
  
  
 
 图３４３ 当然，数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附 录等信息． 需要提醒的是，对于一些综合性比较强的问题而言，数学建模的过程中 需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、 将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程 中，往往采用分工合作的方式进行．一般来说，一个数学建模小组由３～５ 人组成．理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计 算机的同学，还要有写作表达能力强的同学． １ ３４ 第三章 函 数!"#$%&’()*+,- １发现问题、提出问题 在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容． 例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》 （国发 〔２０１６〕５３号） 指出：“近年来，我国创业投资快速发展，不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济 结构调整和产业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动了民间 投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长．” ２０１６年１１月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领 域消费的意见》（国办发 〔２０１６〕８５号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为 经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领 域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转 型升级、培育经济发展新动能．” 习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者经济发展，通常指 的是收入增加． 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长有利于经济发展 呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ ２分析问题、建立模型 要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入 （简 称为收入，用犢表示）、国民投资 （简称为投资，用犐表示）、国民消费 （简称为消费， 用犆表示）之间的关系． 为了简单起见，可以做出以下假设： （１）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位； （２）收入只用于投资和消费； （３）消费可以分为两部分，一部分为基本消费 （用犆 表示），另一部分与收入成正 ０ 比，比例系数为犪． 值得注意的是，以上假设都是合理的．例如一个家庭的收入，一般而言，不是用于投 资 （比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费 （比如家庭成员的生活支出等）；一个家 庭的消费，一部分用于满足基本生活需求 （比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入 的多少 （比如家庭成员的旅游支出等）． 由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为 犢＝犆＋犐，犆＝犆＋犪犢． ０ ３．４ 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 １３５在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先提 出的． 一些经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现．例如，如果不存在 透支消费，那就意味着消费不大于收入，即犆≤犢，因此犪犢＜犆＋犪犢≤犢，从而有犪＜１． ０ 另外，如果将消费看成收入的函数，则这个函数在任意区间 ［犢，犢］内的平均变 １ ２ 化率均为 Δ犆 犆＋犪犢－（犆＋犪犢） ＝ ０ ２ ０ １ ＝犪， Δ犢 犢－犢 ２ １ 这表示收入每增加一个单位，消费将增加犪个单位．因此，犪通常称为边际消费倾向． ３确定参数、计算求解 （１）收入与消费的关系 为了探讨经济增长 （即收入）与消费的关系，可以将收入看成消费的函数，即犢＝ １ 犆 犆－ ０，其中犆 与犪均为参数．可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为 犪 犪 ０ Δ犢 １ １ ＝ ，这表示消费每增加一个单位，收入将增加 个单位． Δ犆 犪 犪 ４ ５ ２５ 例如，当犆＝１０，犪＝ 时，有犢＝ 犆－ ，因此： ０ ５ ４ ２ ５ ２５ 如果消费犆＝３０，那么犢＝ ×３０－ ＝２５； ４ ２ ５ ２５ 如果消费犆＝３５，那么犢＝ ×３５－ ＝３１．２５． ４ ２ 可以看到，消费增长５个单位时，收入增加了６．２５个单位． （２）收入与投资的关系 为了探讨经济增长 （即收入）与投资的关系，可以将收入看成投资的函数．通过消去 １ 犆 犆求解犢可得犢＝ 犐＋ ０ ，此时，犆 与犪均为参数．可以算出，这个函数在任意 １－犪 １－犪 ０ Δ犢 １ １ 区间内的平均变化率均为 ＝ ，这表示投资每增加１个单位，收入将增加 个 Δ犐 １－犪 １－犪 单位． ４ 例如，当犆＝１０，犪＝ 时，有犢＝５犐＋５０，因此： ０ ５ 如果投资犐＝１０，那么犢＝５×１０＋５０＝１００； 如果投资犐＝１５，那么犢＝５×１５＋５０＝１２５． 可以看到，投资增长５个单位时，收入增加了２５个单位． ４验证结果、改进模型 从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加 （这样一 １ ３６ 第三章 函 数来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答）．而且，一般情况 １ １ 下，收入增加比消费增长或投资增长快．事实上，当０＜犪＜１时，可知 ＞１且 ＞１． 犪 １－犪 １ １ 这就是说，平均变化率 和 都大于１．经济学上将这种现象称为乘数效应． 犪 １－犪 可以看出，凯恩斯静态模型能够较好地描述收入、投资与消费的关系． 这个模型中，为了简单起见，假设了基本消费以外的消费与收入成正比，但实际的情 况可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面入手． １与其他同学一起讨论如下问题： （１）从现实世界中发现问题并进行建模时，所发现的问题要具有什么特 征时才方便使用数学知识加以解决？ （２）对同一个现象甚至同一组数据进行数学建模时，能否使用不同的数 学对象进行描述？ ２参考数学建模论文示例，以 “决定苹果的最佳出售时间点”为题， 将 “建模过程描述与介绍”中的有关内容整理成一篇数学建模论文．（提示： 论文的主体结构可以不同于示例．） ３按照优势互补的原则，跟其他同学组成一个数学建模小组，在以下 两个题目中，任选一个进行数学建模实践． （１）经济生活中，商品的需求量与供给量都与商品的价格有关．一般来 说，商品的价格越低，想购买这种商品的人就越多，因此需求量越大，但此 时因为销售的利润低，因此卖的人就会越少，从而供给量越小．与其他同学 一起分工合作，查阅有关资料，按照数学建模的步骤与方法，给出商品的需 求量与供给量模型，并探讨它们之间的关系． （２）不管是驾驶汽车还是骑自行车，当发现路况有变化需要紧急停车 时，停车距离会与很多因素有关．例如，人的反应时间、车的速度、车与人 的质量等都会影响停车距离．与其他同学一起分工合作，查阅有关数据或者 自行设计试验收集数据，建立有关停车距离的数学模型． ３．４ 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 １３７    本章我们学习了函数的知识，首先在复习初中知识的基础上更新了函数的概念， 总结了函数的表示方法，学习了函数的单调性及其证明方法，然后学习了函数的奇 偶性，最后得到了函数零点以及函数与方程、不等式的关系等． 依照各知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图．              
    上述知识结构图还可以细化． 结合自己的学习心得，发挥你的想象力和创造力，为本章的知识设计出一份独 特的知识结构图，然后和同学交流制作的心得吧！   （１）函数是现代数学中最重要的概念之一，它几乎已经渗透到每一个数学分支 中．但是，函数概念的发展与完善，经历了几百年才完成． 函数是在利用数学研究运动的过程中引入的，最初函数是用文字和语言来表述 的，后来人们逐步使用符号语言来描述函数，现代数学中还有人用有序数对来定义 函数 （例如，函数是指满足下述条件的有序数对的集合犈：如果 （狓，狔）∈犈， １ １ （狓，狔）∈犈，且狓＝狓，那么狔＝狔）．在函数概念的发展过程中，伽利略、牛 ２ ２ １ ２ １ ２ 顿、欧拉、柯西、狄利克雷等都做出了贡献，推动了函数概念的完善． 搜集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，梳理函数发展的过程、重 要结果、主要人物、关键事件及函数对人类文明的贡献，并尝试给出学习函数内容 的建议． １ ３８ 第三章 函 数（２）试根据本章内容，总结为什么要强调函数是实数集合之间的对应关系．   犃组 １已知犳（狓）＝３狓２＋狓，狓∈犣，且犳（狋）＝２，求狋的值． ２把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域，并作出函数图象： （１）狔＝｜狓－１｜； （２）狔＝｜２狓＋３｜－１． ３如图，函数犳（狓）的图象为折线犃犆犅，求函数的解析式． y C 1 B A O 1 x （第３题） ４已知奇函数犳（狓）在区间 ［３，６］上是增函数，且在区间 ［３，６］上的最大值 为８，最小值为－１，求２犳（－６）＋犳（－３）的值． ５判断下列函数是否具有奇偶性： （１）犳（狓）＝５狓＋３； （２）犳（狓）＝５狓； （３）犳（狓）＝２狓２＋１； （４）犳（狓）＝狓２＋６狓＋９； １ １ （５）犳（狓）＝ ＋２狓４； （６）犳（狓）＝狓＋ ． 狓２ 狓３ ６已知犳（狓）是区间 （－∞，＋∞）上的奇函数，犳（１）＝－２，犳（３）＝１，比较 犳（－３）与犳（－１）的大小． ７求下列函数的零点： （１）犳（狓）＝－狓２－狓＋２０； （２）犳（狓）＝（狓２－２）（狓２－３狓＋２）． ８如果二次函数狔＝犪狓２＋犫狓的图象的对称轴是狓＝１，并且通过点犃（－１，７）， 求犪，犫的值． １＋狓２ ９已知犳（狓）＝ ，求证： １－狓２ （１） （１）犳（狓）是偶函数； （２）犳 ＝－犳（狓）． 狓 ２狓－５ １０求证：函数犳（狓）＝ 在区间 （２，３）上至少有一个零点． 狓２＋１ 本章小结 １３９犅组 １如图，已知函数狔＝犳（狓）的图象由三条线段组成，求： y y= f(x) 1 O 1 x （第１题） （１）犳（０），犳（１），犳（２．５）； （２）犳（－２），犳（０．５），犳（－０．５），犳（２．２）； （３）犳（狓）的定义域和值域． ２求下列函数的值域： ４ （１）狔＝ ，狓∈［－２，０）； （２）狔＝槡－狓，狓∈（－∞，０］． 狓２ ３已知函数狔＝犳（狓）是犚上的增函数，狔＝犵（狓）是犚上的减函数，求证： 犳（狓）－犵（狓）在犚上是增函数． ４已知犳（狓）＝狓２＋２（犪－１）狓＋２在 （－∞，４］上是减函数，求犪的取值范围． ５已知犳（狓）是定义域为犚的奇函数，且狓≥０时，犳（狓）＝狓２＋２狓，求狓＜０ 时犳（狓）的解析式． ６已知函数犳（狓）的定义域为犚，且函数图象关于点 （－２，１）对称，犳（狓） 在区间 ［－２，＋∞）上是增函数，判断犳（狓）在区间 （－∞，－２］上的单调性． ７求函数犳（狓）＝（狓＋１）（狓－１）２（狓－３）的零点，并作出函数图象的示意图， 写出不等式犳（狓）＞０和犳（狓）≤０的解集． ８已知函数狔＝犳（狓）是二次函数，狔＝犵（狓）是一次函数，它们的部分图象如 图所示． y y= f(x) y=g(x) 1 O 1 x （第８题） （１）分别写出犳（狓）＝４，犳（狓）≥４的解集； （２）分别写出犳（狓）＝犵（狓），犳（狓）＞犵（狓），犳（狓）≤犵（狓）的解集． １ ４０ 第三章 函 数９已知偶函数犳（狓）在 ［０，＋∞）上单调递减，且２是它的一个零点，求不等 式犳（狓－１）＞０的解集． １０设函数犳（狓）在犚上是偶函数，且在 （－∞，０）上是增函数，比较犳（－２） 与犳（犪２－２犪＋４）（犪∈犚）的大小． １ １１求证：函数犳（狓）＝狓＋ －４有且只有两个零点． 狓 １２已知狀是大于１的正整数，求证： （１）当狀是奇数且犪是实数时，方程狓狀＝犪的解集中只有一个元素； （２）当狀是偶数且犪是正数时，方程狓狀＝犪的解集中只有两个元素． 犆组 １已知二次函数犳（狓）满足犳（－２＋犽）＝犳（－２－犽）（犽∈犚），且该函数的图象 与狔轴交于点 （０，１），在狓轴上截得的线段长为２槡２，求该二次函数的解析式． ２ （１）已知函数犳（狓）的定义域为 （１，２］，值域为 ［－５，＋∞），设犵（狓）＝ 犳（２狓－１），求犵（狓）的定义域和值域； （２）已知犵（狓）＝犳（２狓－１）＋１，且犵（狓）的定义域为 （１，２］，值域为 ［－５， ＋∞），求函数犳（狓）的定义域和值域． ３如果关于狓的方程７狓２－（犪＋１３）狓＋犪２－犪－２＝０的两根分别在区间 （０，１） 和 （１，２）内，求实数犪的取值范围． 本章小结 １４１后 记 本套教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学教材实验研究组依据教育部 《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会专家委员会2019年审核 通过． 本套教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004 年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的 教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集 体智慧． 我们衷心感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的所有编写 人员，尤其是因为种种原因未能参加此次教材修订的专家、学者：丁尔陞、江守礼、房艮 孙、张润琦、高尚华、万庆炎、魏榕彬、邱万作、陈研、段发善、李冱岸、陈亦飞、刘长 明、郭鸿、王池富…… 本套教科书在编写过程中，得到了《普通高中数学课程标准（2017年版）》制定组、 国家教材委员会专家委员会等的大力支持．借此机会，向所有制定组成员、专家委员会成 员以及其他为我们教材编写提供过帮助的专家表示衷心的感谢！ 我们感谢对本套教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的所有同仁和社会 各界朋友：王跃飞、胡细宝、邵丽云、王晓声、曹付生、侯立伟、王中华、王光图、王秀 梅、卞文、邓艳强、田媛、史洪波、付一博、吕希、吕晶、朱明鲜、刘超、闫旭、池洪 清、阮征、孙国华、牟柏林、李刚、李广勤、李洪岩、何艳国、张伟、张羽、张明、张文 刚、张春青、张晶强、金永涛、郑继平、常丽艳、潘戈、薛达志、郑海军、赵争鸣、吴晖 湘、戴莉、金盈、舒凤杰、李祥广、胡文亮、王玉洁、杨长智、徐会吉、尹玉柱、尹燕 花…… 本套教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作 者进行了联系，得到了他们的大力支持．对此，我们表示衷心的感谢！同时也向为本书提 供照片的单位表示感谢！ 后记 01我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本套教科书的过程中提出宝贵意见．我 们将集思广益，不断修订，以使教科书日臻完善． 本书责任编辑：龙正武；美术编辑：史越；插图绘制：郑海军． 联系方式 电话：010-58758532，010-58758866 电子邮箱：mathb@pep.com.cn，jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 2019年4月普 通 高 中 教 科 书 数学 必 修 PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU 必 SHUXUE 第一册 普 ® 通 高 中 教 科 书 数 学 修 第 一 册 绿色印刷产品 B 版 定价： 元 未命名-3 1 19-8-9 下午3:47