青岛市二○一六年初中学业水平考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的.每小
题选对得分;不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1.- 的绝对值是( )
√5
1
A.- B.-√5 C.√5 D.5
√5
2.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧130 000 000
kg的煤所产生的能量.把130 000 000 kg用科学记数法可表示为( )
A.13×107kg B.0.13×108kg
C.1.3×107kg D.1.3×108kg
3.下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4.计算a·a5-(2a3)2的结果为( )
A.a6-2a5 B.-a6 C.a6-4a5 D.-3a6
5.如图,线段AB经过平移得到线段A'B',其中点A,B的对应点分别为点A',B',
这四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在A'B'上的对应点
P'的坐标为( )A.(a-2,b+3) B.(a-2,b-3)
C.(a+2,b+3) D.(a+2,b-3)
6.A,B两地相距180 km,新修的高速公路开通后,在A,B两地间行驶的长途客车平
均车速提高了50%,而从A地到B地的时间缩短了1 h.若设原来的平均车速为x
km/h,则根据题意可列方程为( )
180 180 180 180
A. - =1 B. - =1
x (1+50%)x (1+50%)x x
180 180 180 180
C. - =1 D. - =1
x (1-50%)x (1-50%)x x
7.如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB长为25
cm,贴纸部分的宽BD为15 cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为( )
800
A.175π cm2 B.350π cm2 C. π cm2 D.150π cm2
3
8.输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21
分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为( )
A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7C.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9
第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分)
√32-√8
9.计算: = .
√2
10.“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者,为此,调查了部分
参与者,以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量.根据得到
的调查数据,绘制成如图所示的扇形统计图.若本次活动共有12 000名参与者,
则估计其中选择红色运动衫的约有 名.
11.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD=
°.
12.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,则c的值为
.
13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F
为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为 .
14.如图,以边长为20 cm的正三角形纸板的各顶点为端点,在各边上分别截取4 cm长的六条线段,过截得的六个端点作所在边的垂线,形成三个有两个直角的
四边形.把它们沿图中虚线剪掉,用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱
形盒子,则它的容积为 cm3.
三、作图题(本题满分4分)
用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
15.已知:线段a及∠ACB.
求作:☉O,使☉O在∠ACB的内部,CO=a,且☉O与∠ACB的两边分别相切.
四、解答题(本题满分74分,共有9道小题)
16.(本小题满分8分,每题4分)
x+1 4x
(1)化简: - ;
x-1 x2-1
{
x+1
(2)解不等式组 ≤1,① 并写出它的整数解.
2
5x-8<9x,②17.(本小题满分6分)
小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的
几个扇形.转动两个转盘各一次,若两次数字之积大于2,则小明胜,否则小亮胜.
这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
18.(本小题满分6分)
如图,AB是长为10 m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶
梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果
保留整数).
3 3 9 15
参考数据:sin 37°≈ ,tan 37°≈ ,sin 65°≈ ,tan 65°≈
5 4 10 7
19.(本小题满分6分)甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成
中位数/环 众数/环 方差
绩/环
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用上表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派
其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
20.(本小题满分8分)
如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左
边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均
3 1 3
为 m,到墙边OA的距离分别为 m, m.
4 2 2
(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案?21.(本小题满分8分)
已知:如图,在▱ ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA
的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.
22.(本小题满分10分)
某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够
全部售出.据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个.若销售
单价每降低1元,每月可多售出2个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产
销量y(个)满足如下关系:
月产销量y(个) … 160 200 240 300 …
每个玩具的固定成
… 60 48 40 32 …
本Q(元)(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式;
(3)若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几?
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多
少元?销售单价最低为多少元?
23.(本小题满分10分)
问题提出:如何将边长为n(n≥5,且n为整数)的正方形分割为一些1×5或2×3
的矩形(a×b的矩形指边长分别为a,b的矩形)?
问题探究:我们先从简单的问题开始研究解决,再把复杂问题转化为已解决的问
题.
探究一:
如图①,当n=5时,可将正方形分割为五个1×5的矩形.
如图②,当n=6时,可将正方形分割为六个2×3的矩形.
如图③,当n=7时,可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形.
如图④,当n=8时,可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形.
如图⑤,当n=9时,可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形.
探究二:
当n=10,11,12,13,14时,分别将正方形按下列方式分割:所以,当n=10,11,12,13,14时,均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个
(n-5)×(n-5)的正方形和两个5×(n-5)的矩形.显然,5×5的正方形和5×(n-5)
的矩形均可分割为1×5的矩形,而(n-5)×(n-5)的正方形是边长分别为
5,6,7,8,9的正方形,用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形.
探究三:
当n=15,16,17,18,19时,分别将正方形按下列方式分割:
请按照上面的方法,分别画出边长为18,19的正方形分割示意图.
所以,当n=15,16,17,18,19时,均可将正方形分割为一个10×10的正方形、一
个(n-10)×(n-10)的正方形和两个10×(n-10)的矩形.显然,10×10的正方形和
10×(n-10)的矩形均可分割为1×5的矩形,而(n-10)×(n-10)的正方形又是边
长分别为5,6,7,8,9的正方形,用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩
形.
问题解决:如何将边长为n(n≥5,且n为整数)的正方形分割为一些1×5或2×3
的矩形?请按照上面的方法画出分割示意图,并加以说明.
实际应用:如何将边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形?(只需按
照探究三的方法画出分割示意图即可)24.(本小题满分12分)
已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A
出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速
运动,速度为1 cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,
交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下
列问题:
(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S ∶S =9∶16?若存在,求出t
五边形OECQF △ACD
的值;若不存在,请说明理由;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若
不存在,请说明理由.
答案全解全析：
一、选择题
1.C 根据一个负数的绝对值是它的相反数知,|-√5|=√5,故选C.
2.D 130 000 000 kg=1.3×100 000 000 kg=1.3×108 kg,故选D.3.B 选项A中的图形是中心对称图形,不是轴对称图形;选项B中的图形是中心对称图形,
也是轴对称图形;选项C中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形;选项D中的图形既不是
中心对称图形,也不是轴对称图形.所以选B.
4.D a·a5-(2a3)2=a6-4a6=-3a6,故选D.
5.A 线段AB向左平移2个长度单位,再向上平移3个长度单位得到线段A'B',由此可知线
段AB上的点P(a,b)的对应点P'的坐标为(a-2,b+3),故选A.
评析 在平面直角坐标系中,点的平移与其坐标变化的关系是:“上加下减,右加左减”,即
点向上(或下)平移a个单位长度,则纵坐标加a(或减a);点向右(或左)平移b个单位长度,
则横坐标加b(或减b).
6.A 原来的平均车速为x km/h,则新修的高速公路开通后的车速为(1+50%)x km/h,原来的
180 180 180 180
行驶时间为 h,现在的行驶时间为 h,则有 - =1,故选A.
x (1+50%)x x (1+50%)x
120π×252 625π
7.B ∵AB=25 cm,BD=15 cm,∴AD=25-15=10 cm,∵S = = (cm2),S =
扇形BAC
360 3
扇形DAE
120π×102=100π(cm2),∴贴纸的面积为2×(625π 100π)=350π(cm2),故选B.
-
360 3 3 3
8.C 根据程序及输出结果可知当x=20.7时,(x+8)2-826=-2.31<0,当x=20.8时,(x+8)2-
826=3.44>0,∴(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为20.7<x<20.8,故选C.
二、填空题
9.答案 2
4√2-2√2 2√2
解析 原式= = =2,故答案为2.
√2 √2
10.答案 2 400
解析 ∵选择红色运动衫的参与者占总体的百分比为100%-40%-22%-18%=20%,∴估计其中选
择红色运动衫的约有12 000×20%=2 400名.
11.答案 62
解析 ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,
∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.
4
12.答案
3
解析 ∵二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,∴一元二次方程
4
3x2+c=4x,即3x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则有(-4)2-4×3c=0,解得c= .
3
7
13.答案
2
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE的中点,
1
∴CF= DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18,又∵CE=5,∴CF+EF=18-
2
5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC= =12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的
√132-52
1 7
中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF= BE= .
2 2
14.答案 1441 √3 4√3
解析 如图,在Rt△ABC中,AC=4,∠BAC= ×60°=30°,∴BC=AC·tan 30°=4× = ,易
2 3 3
得CD=20-2×4=12,四边形BCDE是矩形,∴BE=12,又△BEF为等边三角形,
√3
∴S = ×122=36√3,
△BEF
4
4√3
∴盒子的容积为36√3× =144 cm3.
3
三、作图题
15.解析 如图所示.(3分)
☉O即为所求.(4分)
四、解答题
16.解析 (1)原式=(x+1)2- 4x =(x-1)2 =x-1.(4分)
x2-1 x2-1 (x+1)(x-1) x+1
(2)由①,得x≤1,
由②,得x>-2,
∴-2<x≤1,
∴不等式组的整数解为x=-1,0,1.(8分)
17.解析 这个游戏对双方公平.理由:
B
盘 1 2 3
A盘
1 1 2 3
2 2 4 6
3 1 3 1
∴P(小明胜)= = ,P(小亮胜)= = .
6 2 6 2
∴P(小明胜)=P(小亮胜),
∴游戏对双方公平.(6分)
18.解析 过B作BF⊥AE于F,BF
在Rt△ABF中,sin 37°= ,
AB
BF 3
∴ ≈ ,∴BF≈6.
10 5
∵∠BFE=∠BDE=∠DEF=90°,
∴四边形BFED是矩形.
∴BF=DE=6.
CD
在Rt△BCD中,tan 65°= ,
BD
CD 15 150
∴ ≈ ,∴CD≈ .
10 7 7
150
∴CE=CD+DE= +6≈27.
7
答:楼高CE约为27米.(6分)
19.解析 (1)a=7,b=7.5,c=4.2.(3分)
(2)根据题表中数据可知,甲和乙的平均成绩相等,乙的中位数大于甲的中位数,乙的众数大
于甲的众数,说明乙的成绩好于甲的成绩,虽然乙的方差大于甲的方差,但乙的成绩呈上升趋
势,故应选乙队员.(合理即可,答案不唯一)(6分)
20.解析 (1)由题意可知,B(1 3),C(3 3),
, ,
2 4 2 4
1 1 3
{ a+ b= ,
代入y=ax2+bx得: 4 2 4 解得{a=-1,
9 3 3 b=2.
a+ b= ,
4 2 4
∴y=-x2+2x=-(x-1)2+1.
答:该抛物线的函数关系式是y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是1 m.(5分)
(2)当y=0时,-x2+2x=0,
∴x=0,x=2,
1 2
∴10÷2=5(个).
答:最多可以连续绘制5个抛物线型图案.(8分)
21.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠BAD=∠DCB.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.(4分)
(2)菱形.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,即ED=BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴OB=OD.
又∵DG=BG,∴OG⊥BD.
∴▱ BEDF是菱形.(8分)
22.解析 (1)y=300+2(280-x)=-2x+860.
答:函数关系式为y=-2x+860.(2分)
k
(2)根据题意猜想函数关系式为Q= (k≠0),
y
k
把y=200,Q=48代入函数关系式,得 =48,
200
9 600
∴k=9 600,∴Q= .
y
经验证:(160,60),(240,40),(300,32)均在函数图象上,
9 600
∴函数关系式为Q= .(5分)
y
9 600
(3)∵Q= ,y=-2x+860,
y
9 600
∴Q= .
-2x+860
9 600
当Q=30时, =30,
-2x+860
解得x=270,
经检验,x=270是原方程的根.
Q 30 1
∴ = = .
x 270 9
1
答:每个玩具的固定成本占销售单价的 .(7分)
9
9 600
(4)当y=400时,Q= =24.
400
∵k=9 600>0,
∴Q随y的增大而减小.
∴当y≤400时,Q≥24.
又∵y≤400,即-2x+860≤400,
∴x≥230.
答:每个玩具的固定成本至少为24元,销售单价最低为230元.(10分)
23.解析 探究三:(2分)
问题解决:
当正方形的边长为n(n≥5,且n为整数)时,按下图方式,均可将正方形分割为一个5m×5m的
正方形、一个(n-5m)×(n-5m)的正方形和两个5m×(n-5m)的矩形.显然,5m×5m的正方形和
5m×(n-5m)的矩形均可分割为1×5的矩形,而(n-5m)×(n-5m)的正方形又是边长分别为
5,6,7,8,9的正方形,用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形.(8分)
实际应用:
(10分)
评析 本题属于实验操作题,解题的关键是认真阅读所给材料,从中发现规律,并能利用所学
知识对其进行解释和说明,然后应用规律解决实际问题.
24.解析 (1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC= =10.
√62+82
1
∴OA= AC=5.
2
当△AOP是等腰三角形时,
①若AP=AO,则t=5;
②若AO=PO,则P与D重合,∴t=8;
③若AP=PO,如图,
1 5
过P作PG⊥AO于G,则AG= AO= .
2 2
∵∠AGP=∠ADC=90°,∠PAG=∠CAD,∴△APG∽△ACD,
5
AP AG t 25
∴ = ,即 =2,∴t= .
AC AD 10 8
8
∵0<t<6,
25
∴t= 或5.
8
25
即当t= s或5 s时,△AOP是等腰三角形.(3分)
8(2)如图,过O作OH⊥BC于H,过O作OI⊥DC于I.
∵OB=OC,OH⊥BC,∴BH=CH,
又∵OB=OD,
∴OH是△BDC的中位线,
1
∴OH= DC=3,
2
同理,OI=4.
易证△POA≌△EOC,∴AP=CE=t,
∴BE=8-t.
易证△DFQ∽△DOC,∴ S
△DFQ
=(DQ) 2,
S DC
△DOC
S
△DFQ (t ) 2 1
即1 = ,∴S = t2.
×6×4 6
△DFQ
3
2
∴S=S -S -S
△BDC △BOE △DFQ
1 1 1
= ×6×8- (8-t)×3- t2
2 2 3
1 3
=- t2+ t+12.
3 2
1 3
答:S与t的函数关系式是S=- t2+ t+12.(6分)
3 2
1 3 9 1
(3)存在.若S ∶S =9∶16,则- t2+ t+12= × ×6×8.
五边形OECQF △ACD
3 2 16 2
3
即2t2-9t+9=0,解得t=3,t= .
1 2
2
3
∴当t= s或3 s时,S ∶S =9∶16.(9分)
2
五边形OECQF △ACD
(4)存在.若OD平分∠COP,
如图,过D作DJ⊥OC于J,作DK⊥OP于K,过P作PL⊥BC于L,
则DJ=DK.
1 1
∵S = DC·AD= AC·DJ,
△ACD
2 26×8 24
∴DJ= = ,
10 5
24
即DK=DJ= .
5
DK DP
易证△PDK∽△EPL,∴ = ,
PL PE
24
8-t 5
即 5 = ,∴PE=10- t,
PE 4
6
在Rt△PLE中,PE2=PL2+LE2,
∴( 5 ) 2=62+(8-2t)2,
10- t
4
即39t2-112t=0,
112
∴t=0(舍去),t= .
1 2
39
112
∴当t= s时,OD平分∠COP.(12分)
39
评析 1.对于动点问题,往往存在多种可能的情形,故需要分类求解;
2.对于不规则图形的面积问题,往往转化为规则图形面积的和或差求解;
3.存在性问题的求解思路:先对结论作出肯定的假设,然后由这个假设出发,结合已有条件或
挖掘隐含条件,利用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等进行正确地计算、推理,再
对得出的结果进行分析,检验其是否与题设、公理、定理等矛盾.若无矛盾,说明结论正确,
由此得出符合条件的数学对象存在;否则,说明符合条件的数学对象不存在.
