文档内容
23
2019年青岛市初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷(共24分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.-√3的相反数是( )
√3
A.-√3 B.- C.±√3 D.√3
3
2.下列四个图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
3.2019年1月3日,我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆,实现人类有史以来首次成功登陆月球背面.已知月球与地球之间的平均距离约为384 000 km,384 000 km用科学记数法可以表示为( )
A.38.4×104 km B.3.84×105 km
C.0.384×106 km D.3.84×106 km
4.计算(-2m)2·(-m·m2+3m3)的结果是( )
A.8m5 B.-8m5 C.8m6 D.-4m4+12m5
5.如图,线段AB经过☉O的圆心,AC,BD分别与☉O相切于点C,D,若AC=BD=4,∠A=45°,则CD的长度为( )
⏜
A.π B.2π C.2√2πD.4π
6.如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°,得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是( )
A.(-4,1)B.(-1,2)C.(4,-1)D.(1,-2)
7.如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F,若∠ABC=35°,∠C=50°,∠CDE的度数为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°ab
8.已知反比例函数y= 的图象如图所示,则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
x
第Ⅱ卷(共96分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
√24+√8
9.计算: -(√3)0= .
√2
10.若关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为 .
11.射击比赛中,某队员10次射击成绩如图所示,则该队员的平均成绩是 环.
12.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,AF是☉O的直径,则∠BDF的度数是 °.
13.如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF,若AD=4 cm,则CF的长为 cm.
14.如图,一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成.现从中取走若干个小立方块,得到一个新的几何体,若新几何体与原正方体的表面积相等,则最多可以取走 个小立方块.
三、作图题(本大题满分4分.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
15.已知:∠α,直线l及l上两点A,B.
求作:Rt△ABC,使点C在直线l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.四、解答题(本大题共9小题,共74分)
16.(本题每小题4分,共8分)
m-n (m2+n2 )
(1)化简: ÷ -2n ;
m m
{ 1 6
1- x≤ ,
(2)解不等式组 5 5 并写出它的正整数解.
3x-1<8,
17.(本小题满分6分)
小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字1、2、3、4的4个小球放入一个不透明的袋子中,这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回,再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜,否则小
刚获胜.这个游戏对两人公平吗?请说明理由.
18.(本小题满分6分)
为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生.调查了他们平均每天的睡眠时间(单位:h).统计结果如下:
9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.
在对这些数据整理后,绘制了如下的统计图表:
睡眠时间分组统计表
组别 睡眠时间分值 人数(频数)
1 7≤t<8 m
2 8≤t<9 11
3 9≤t<10 n
4 10≤t<11 4
睡眠时间分布情况
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ,a= ,b= ;
(2)抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组(填组别);
(3)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于9 h,请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数.19.(本小题满分6分)
如图,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道AB,栈道AB与景区道路CD平行,在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向,在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120 m,BD=80 m,求木栈道AB的长度(结果保留整数).
17 17 5 27 3 9
参考数据:sin 32°≈ ,cos 32°≈ ,tan 32°≈ ,sin 42°≈ ,cos 42°≈ ,tan 42°≈
32 20 8 40 4 10
20.(本小题满分8分)
甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各加工600个这种零件,甲比乙少用5天.
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件;
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元,现有3 000个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成,如果总加工费不超过7 800元,那么甲至少加工了多少天?
21.(本小题满分8分)
如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE到G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.22.(本小题满分10分)
某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式;
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?
23.(本小题满分10分)
问题提出:
如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方格纸指边长分别为a,b的矩形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数).把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个
小正方形,共有多少种不同的放置方法?
问题探究:
为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论.
探究一:
把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?
如图③,对于2×2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有4种不同的放置方法.
探究二:
把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?
如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有2×4=8种不同的放置方法.
探究三:
把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?
如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到 个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 种不同的放置方法.
探究四:
把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?
如图⑥,在a×3的方格纸中,共可以找到 个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 种不同的放置方法.
……
问题解决:
把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?(依照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图)
问题拓展:如图,图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c(a≥2,b≥2,c≥2,且a,b,c是正整数)的长方体,被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体.在图⑧的不同位置共可以找到 个图⑦这样的几何体.
24.(本小题满分12分)
已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,OD垂直平分AC,点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1 cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s.当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.过点P
作PE⊥AB,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(00,即a、b同号.
x
当a<0时,b<0,抛物线y=ax2-2x的对称轴在y轴左侧,直线y=bx+a经过第二、三、四象限,故D错误.
当a>0时,b>0,抛物线的对称轴在y轴右侧,直线y=bx+a经过第一、二、三象限,故B错误,C正确.
二、填空题
9. 答案 2√3+1
2√6+2√2
解析 原式= -1=2√3+2-1=2√3+1.
√2
1
10. 答案
8
1
解析 根据题意可得Δ=b2-4ac=1-4×2m=0,整理得1-8m=0,解得m= .
8
11. 答案 8.5
1
解析 该队员的平均成绩为 ×(1×6+1×7+2×8+4×9+2×10)=8.5(环).
10
12. 答案 54
解析 连接AD,∵AF是☉O的直径,
∴∠ADF=90°,
∵五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,
1
∴∠ABC=∠C=108°,∴∠CBD=∠BDC= ×(180°-108°)=36°,
2
∴∠ABD=72°,
∴∠F=∠ABD=72°,
∴∠FAD=90°-72°=18°,
∴∠CDF=∠DAF=18°,
∴∠BDF=∠BDC+∠CDF=36°+18°=54°.
13. 答案 6-2√5
解析 设BF=x cm,则FG=x cm,CF=(4-x)cm.
在Rt△ADE中,利用勾股定理可得AE= =2 .
√AD2+DE2 √5
根据折叠的性质可知AG=AB=4,所以GE=2√5-4.
在Rt△FCE中,利用勾股定理可得EF2=(4-x)2+22,
在Rt△GEF中,利用勾股定理可得EF2=(2√5-4)2+x2,
则(2√5-4)2+x2=(4-x)2+22,
解得x=2√5-2.
则CF=4-x=(6-2√5)cm.
14. 答案 16
解析 最多取走16个,剩余27-16=11个,
11个小立方块搭建如下:
①先用5个小立方块搭底层,四个角和正中间各放一个,
此时所有小立方块的面全部都露在外面,设小立方块的棱长为1,则此时的表面积是30;
②剩余6个小立方块往底层的5个小立方块上堆砌,
每增加1个立方块增加6个面,贴合部分抵消2个面,所以净增4个面,4×6=24,30+24=54,与原几何体表面积相等.如图为其中的一种情况.三、作图题
15. 解析 如图,Rt△ABC即为所求.
四、解答题
m-n m2+n2-2mn
16. 解析 (1)原式= ÷
m m
m-n m 1
= · = .
m (m-n)2 m-n
{ 1 6
(2) 1- x≤ ①,
5 5
3x-1<8②,
解不等式①,得x≥-1,
解不等式②,得x<3.
所以该不等式组的解集为-1≤x<3.
所以满足条件的正整数解为1、2.
17. 解析 这个游戏对双方不公平.
理由如下:列表
1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
在16种所有等可能的情况中,其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1,1),(2,1),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4),共10种,
10 5
所以小明获胜的概率为 = ,
16 8
6 3
则小刚获胜的概率为 = ,
16 8
5 3
因为 ≠ ,所以这个游戏对两人不公平,对小明有利.
8 8
18. 解析 (1)7;18;17.5%;45%.
(2)3.
18+4
(3)该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800× =440.
40
答:估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440.
19. 解析 过C作CE⊥AB于E,过D作DF⊥AB交AB的延长线于F,
则CE∥DF,∵AB∥CD,
∴四边形CDFE是矩形,
∴EF=CD=120 m,DF=CE,
在Rt△BDF中,∵∠BDF=32°,BD=80 m,17
∴DF=BD·cos 32°≈80× =68 m,
20
17 85
BF=BD·sin 32°≈80× = m,
32 2
155
∴BE=EF-BF= m,
2
在Rt△ACE中,∵∠ACE=42°,CE=DF=68 m,
9 306
∴AE=CE·tan 42°≈68× = m,
10 5
306 155
∴AB=AE+BE= + ≈139 m,
5 2
答:木栈道AB的长度约为139 m.
20. 解析 (1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,
600 600
由题意得 = +5,
x 1.5x
化简得600×1.5=600+5×1.5x,
解得x=40,则1.5x=60.
经检验,x=40是分式方程的解且符合实际意义.
答:甲每天加工60个零件,乙每天加工40个零件.
(2)设甲加工了m天,乙加工了n天,则由题意得,
{ 60m+40n=3 000①,
150m+120n≤7 800②,
由①得n=75-1.5m③,
将③代入②得150m+120(75-1.5m)≤7 800,
解得m≥40.
答:甲至少加工了40天.
21. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF,
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
1 1
∴BE= OB,DF= OD,
2 2
∴BE=DF,
{
AB=CD,
在△ABE和△CDF中, ∠ABE=∠CDF,
BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.
理由如下:∵AC=2OA,AC=2AB,
∴AB=OA,
∵E是OB的中点,∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°,
同理CF⊥OD,
∴AG∥CF,
∴EG∥CF,
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线,
∴OE∥CG,∴EF∥CG,
∴四边形EGCF是平行四边形,
∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形.
22. 解析 (1)设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
{100=30k+b,
将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得
70=45k+b,
{k=-2,
解得
b=160,
故函数表达式为y=-2x+160.
(2)由题意得w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1 250,
∵-2<0,故当x<55时,w随x的增大而增大,又30≤x≤50,
∴当x=50时,w取得最大值,此时,w=1 200.
故销售单价定为50元时,该商店每天获得的利润最大,最大利润为1 200元.
(3)由题意得(x-30)(-2x+160)≥800,
解得40≤x≤70.又y=-2x+160,k=-2<0,
∴当x=70时,每天的销售量最少,此时y=-2×70+160=20(件).
答:要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少为20件.
23. 解析 探究三:(a-1);(4a-4).
详解:根据探究二,知a×2的方格纸中,共可以找到(a-1)个位置不同的 2×2方格.
根据探究一的结论可知,每个2×2方格中有4种放置方法,所以在a×2的方格纸中,共可以找到(a-1)×4=(4a-4)种不同的放置方法.
探究四:(2a-2);(8a-8).
详解:与探究三相比,探究四中的矩形的宽改变了,边长为a,有(a-1)条边长为2的线段,
同理,边长为3,则有3-1=2条边长为2的线段,
所以在a×3的方格中,可以找到2(a-1)=(2a-2)个位置不同的2×2方格,
根据探究一,在a×3的方格纸中,共有(2a-2)×4=(8a-8)种不同的放置方法.
问题解决:
在a×b的方格纸中,共可以找到(a-1)(b-1)个位置不同的2×2方格,
依照探究一的结论可知,把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a-1)(b-1)种不同的放置方法.
问题拓展:8(a-1)(b-1)(c-1).
发现题图⑦所示的几何体是棱长为2的正方体中的一部分,利用前面的思路,
这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则分别可以找到(a-1)、(b-1)、(c-1)条棱长为2的线段,
所以在a×b×c的长方体中共可以找到(a-1)(b-1)(c-1)个位置不同的2×2×2的正方体,
再根据探究一类比发现,每个2×2×2的正方体有8种放置方法,
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8(a-1)(b-1)(c-1)个题图⑦这样的几何体.
24. 解析 (1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,
∴AC= =6 cm,
√102-82
∵OD垂直平分线段AC,
∴OC=OA=3 cm,∠DOC=90°,
∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCO,
∵∠DOC=∠ACB=90°,
∴△DOC∽△BCA,
AC AB CB 6 10 8
∴ = = ,∴ = = ,
OC CD OD 3 CD OD
∴CD=5 cm,OD=4 cm,
3 5
∵PB=t,PE⊥AB,∴PE= t,BE= t,
4 4
当点E在∠BAC的平分线上时,
3 5
∵EP⊥AB,EC⊥AC,∴PE=EC,∴ t=8- t,
4 4
∴t=4.
∴当t为4时,点E在∠BAC的平分线上.
(2)如图,连接OE,PC.
S=S +S
△POE △EOG
=S -S -S -S +S
△ABC △BPE △EOC △APO △EOG
=1×6×8-1·t·3t-1×3×( 5 )-1×3×4(10-t)+1×( 4 )×3
8- t 4- t
2 2 4 2 4 2 5 2 5
3 15
=- t2+ t+6(0
