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青岛市二一八年初中学业水平考试
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.观察下列四个图形,中心对称图形是( )
2.斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.000 000 5克.将0.000 000 5用科学记数法表示为( )
A.5×107B.5×10-7 C.0.5×10-6 D.5×10-6
3.如图,点A所表示的数的绝对值是( )
1 1
A.3 B.-3 C. D.-
3 3
4.计算(a2)3-5a3·a3的结果是( )
A.a5-5a6B.a6-5a9C.-4a6 D.4a6
5.如图,点A、B、C、D在☉O上,∠AOC=140°,点B是 的中点,则∠D的度数是( )
AC
⏜
A.70° B.55° C.35.5° D.35°
3
6.如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F,已知EF= ,则BC的长是( )
2
3√2
A. B.3√2 C.3 D.3√3
2
7.如图,将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°,得到线段A'B',其中点A、B的对应点分别是点A'、B',则点A'的坐标是( )
A.(-1,3)B.(4,0) C.(3,-3)D.(5,-1)
b
8.已知一次函数y= x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )
a第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
9.已知甲、乙两组数据的折线图如图,设甲、乙两组数据的方差分别为S2 、S2 ,则S2 S2
(填“>”“=”或“<”).
甲 乙 甲 乙
10.计算:2-1×√12+2cos 30°= .
11.5月份,甲、乙两个工厂用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后,两工厂积极响应国家号召,采取节水措施.6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共为174吨,求两个工厂5月份的用水
量各是多少.设甲工厂5月份用水量为x吨,乙工厂5月份用水量为y吨,根据题意列关于x,y的方程组为 .
12.已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 .
13.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,以OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是 .
14.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体,其最下面一层摆放了9个小立方块,它的主视图和左视图如图所示,那么这个几何体的搭法共有 种.
三、作图题(本大题满分4分.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
15.已知:如图,∠ABC,射线BC上一点D.
求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.四、解答题(本大题共9小题,共74分)
16.(本题每小题4分,共8分)
{
x-2
<1,
(1)解不等式组: 3
2x+16>14;
(x2+1 ) x
(2)化简: -2 · .
x x2-1
17.(本小题满分6分)
小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字,一人先从三张卡
片中随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字,若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动,若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这
个游戏公平吗?请说明理由.
18.(本小题满分6分)
八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况,在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查,统计同学们一个月阅读课外书的数量,并绘制了以下统计图.
请根据图中信息解决下列问题:
(1)共有 名同学参与问卷调查;
(2)补全条形统计图和扇形统计图;
(3)全校共有学生1 500人,请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少.19.(本小题满分6分)
某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840 m,BC=500 m.请求出点O到BC的距离.
( 24 7 24)
参考数据:sin73.7°≈ ,cos73.7°≈ ,tan73.7°≈
25 25 7
20.(本小题满分8分)
已知反比例函数的图象经过三个点A(-4,-3)、B(2m,y )、C(6m,y ),其中m>0.
1 2
(1)当y-y=4时,求m的值;
1 2
(2)如图,过点B、C分别作x轴、y轴的垂线,两垂线相交于点D,点P在x轴上,若三角形PBD的面积是8,请写出点P的坐标(不需要写解答过程).
21.(本小题满分8分)
已知:如图,▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
22.(本小题满分10分)
某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-x+26.
(1)求这种产品第一年的利润W(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式;
1
(2)该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少?
(3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利
润W 至少为多少万元.
223.(本小题满分10分)
问题提出:用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照下图方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律.
问题探究:
我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法.
探究一
用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数.
如图①,当m=1,n=1时,横放木棒为1×(1+1)条,纵放木棒为(1+1)×1条,共需4条;
如图②,当m=2,n=1时,横放木棒为2×(1+1)条,纵放木棒为(2+1)×1条,共需7条;
如图③,当m=2,n=2时,横放木棒为2×(2+1)条,纵放木棒为(2+1)×2条,共需12条;
如图④,当m=3,n=1时,横放木棒为3×(1+1)条,纵放木棒为(3+1)×1条,共需10条;
如图⑤,当m=3,n=2时,横放木棒为3×(2+1)条,纵放木棒为(3+1)×2条,共需17条.
问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒 条.
问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为 条,纵放的木棒为 条.
探究二
用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木棒的条数.
如图⑥,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×1=12条,共需46条;
如图⑦,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(2+1)=51条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×2=24条,共需75条;
如图⑧,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×3=36条,共需104条.
问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为 条,竖放木棒条数为 条.
实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是 .
拓展应用:若按照下图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒 条.24.(本小题满分12分)
已知:如图,四边形ABCD中,AB∥DC,CB⊥AB,AB=16 cm,BC=6 cm,CD=8 cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发,以QA、QP为边作平行四边形AQPE,设运动的
时间为t(s),00.对于二次函数y=ax2+bx+c,由c>0,- >0,可知它的图象与y轴的交点在x轴上方,对称轴在y轴右侧,故只有选项A符合题意.
a a 2a
二、填空题
9. 答案 >解析 观察甲、乙两组数据的折线图可知,甲组数据比乙组数据波动大,即 > .
S2 S2
甲 乙
10. 答案 2√3
1 √3
解析 原式= ×2√3+2× =√3+√3=2√3.
2 2
{ x+ y=200
11. 答案
(1-15%)x+(1-10%)y=174
解析 根据“5月份甲、乙两个工厂用水量共为200吨”可列方程为x+y=200,根据“6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共为174吨”可列方程为(1-15%)x+(1-10%)y=174,
{ x+ y=200,
综上,关于x,y的方程组为
(1-15%)x+(1-10%)y=174.
√34
12. 答案
2
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=90°,AB=AD.
又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠ABE=∠DAF.
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-90°=90°,
1 √34
∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠AGE=∠BGF=90°.在Rt△BGF中,∵点H为BF的中点,∴GH= BF.在Rt△BFC中,BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得BF=√52+32=√34,∴GH= .
2 2
7√3 4
13. 答案 - π
2 3
解析 在Rt△ABC中,易知∠A=60°.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴∠AOF=60°,∴∠COF=120°.∵BC与☉O相切于点E,
1 √3 √3
∴∠OEC=90°,又∠C=30°,OE=OA=2,∴OC=4.在Rt△ABC中,∠C=30°,AC=AO+OC=2+4=6,∴AB= AC=3,BC=AC·cos C=6× =3√3.设☉O与AC的另一个交点为D,过O作OG⊥AF于点G,如图所示,则OG=OA·sin A=2× =√3.
2 2 2
1 1 9√3 1 1 120π×22 4
∵S = ×AB×BC= ×3×3√3= ,S = ×AF×OG= ×2×√3=√3,S = = π,
△ABC 2 2 2 △AOF 2 2 扇形DOF 360 3
9√3 4 7√3 4
∴S =S -S -S = -√3- π= - π.
阴影部分 △ABC △AOF 扇形DOF 2 3 2 3
14. 答案 10
解析 设俯视图有9个位置,如图:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
由主视图和左视图知:①第1个位置一定有4个小立方块,第6个位置一定有3个小立方块;
②一定有2个位置有2个小立方块,其余5个位置有1个小立方块;
③俯视图最下面一行至少有1个位置有2个小立方块,俯视图中间列至少有1个位置有2个小立方块.
则这个几何体的搭法共有10种,如下图所示:
4 2 1
1 1 3
2 1 1
图1
4 2 1
1 1 3
1 2 1
图2
4 2 1
1 1 3
1 1 2图3
4 1 2
1 1 3
1 2 1
图4
4 1 1
1 2 3
2 1 1
图5
4 1 1
1 2 3
1 2 1
图6
4 1 1
1 2 3
1 1 2
图7
4 1 1
1 1 3
2 2 1
图8
4 1 1
1 1 3
1 2 2
图9
4 1 1
2 1 3
1 2 1
图10
故答案为10.
三、作图题
15. 解析 如图所示:
等腰△PBD即为所求.
四、解答题
x-2
16. 解析 (1)解 <1,得x<5,
3
解2x+16>14,得x>-1,
在数轴上表示两个不等式的解集如下图:
故不等式组的解集为-1 ,∴这个游戏不公平.
9 9 9 9
18. 解析 (1)100.
(2)一个月阅读4本课外书的女生人数为100×15%-10=5,
20+18
一个月阅读2本课外书的学生人数所占百分比为 ×100%=38%,补全统计图如下:
100
(3)该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1 500×38%=570.
19. 解析 如图,作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,则四边形ONCM为矩形,
∴ON=MC,OM=NC.设OM=x m,则NC=x m,AN=(840-x)m.
在Rt△ANO中,∠OAN=45°,∴ON=AN=(840-x)m,则MC=ON=(840-x)m,
OM 7
在Rt△BOM中,BM= ≈ x m,
tan∠OBM 24
7
由题意得840-x+ x=500,解得x=480.
24
答:点O到BC的距离为480 m.
k 12 12 12 12 12
20. 解析 (1)设反比例函数的解析式为y= (k≠0),将A(-4,-3)代入得k=12,∴y= ,∴y = ,y= ,∴y -y= - =4,解得m=1.
1 2 1 2
x x 2m 6m 2m 6m
经检验,m=1是原分式方程的解,∴m=1.
(2)点P的坐标为(-2m,0)或(6m,0).
提示:设BD与x轴交于点E.
∵点B( 6),C( 2),
2m, 6m,
m m
∴D( 2),∴BD=6-2=4.
2m,
m m m m
1
∵三角形PBD的面积是8,∴ BD·PE=8,
2
1 4
∴ · ·PE=8,∴PE=4m.
2 m
∵E(2m,0),点P在x轴上,∴点P的坐标为(-2m,0)或(6m,0).
21. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFC=∠DCF,
又∵GA=GD,∠AGF=∠DGC,
∴△AGF≌△DGC,∴AF=CD.∴AB=AF.
(2)四边形ACDF是矩形.
证明如下:∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°,
∵AB=AG=AF,∴△AGF是等边三角形,∴AG=GF,
易得AD=CF,∴四边形ACDF是矩形.
22. 解析 (1)根据题意,得W=xy-6y-80=(-x+26)x-6(-x+26)-80
1
=-x2+26x+6x-156-80=-x2+32x-236.
所以这种产品第一年的利润W(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式为W=-x2+32x-236.
1 1
(2)∵该产品第一年的利润为20万元,∴W =20,
1
即-x2+32x-236=20,∴x2-32x+256=0,
∴(x-16)2=0,∴x =x=16.
1 2
答:该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是16元/件.
(3)依题意得,W=yx-5y-20=(-x+26)x-5(-x+26)-20,
2
∴W=-x2+31x-150.
2
∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,∴x≤16,
∵受产能限制,销售量无法超过12万件,∴-x+26≤12,
解得x≥14,∴W =-x2+31x-150(14≤x≤16),
2
31
∵-1<0,其图象的对称轴为直线x= ,
2
∴x=14时,W 有最小值,为88.
2
答:该公司第二年的利润W 至少为88万元.
2
23. 解析 问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒4×(2+1)+(4+1)×2=12+10=22条.
问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为m(n+1)条,纵放的木棒为n(m+1)条.
问题(三):由题图⑥⑦⑧探索发现:横放与纵放木棒条数之和为[m(n+1)+(m+1)n](s+1)条,竖放木棒条数为s(m+1)(n+1)条.
实际应用:按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,设这个长方体框架的横长是x,根据规律可得[2(x+1)+x(2+1)](4+1)+4(2+1)(x+1)=170,解得x=4,
所以这个长方体框架的横长是4.
拓展应用:若按照如题图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,每层三角形从左到右的个数=1+2+3+4+5+…+10,有两个腰,腰的总个数=2×(1+2+3+4+5+…+10),共有6层,则需要横放与纵放木棒条数之和=6×(1+2)×(1+2+3+4+5+…+10)=990
条,竖放木棒条数=5×(1+2+3+4+5+…+10+11)=330条,故总共需要木棒990+330=1 320条.
24. 解析 (1)如图,作DH⊥AB于H,则四边形DHBC是矩形,∴CD=BH=8 cm,DH=BC=6 cm,
∴AH=AB-BH=8 cm,AD= =10 cm,
√DH2+AH2
∴AP=AD-DP=(10-2t)cm.
(2)如图,作PN⊥AB于N,连接PB,在Rt△APN中,PA=10-2t,
3 4
∴PN=PA·sin∠DAH= (10-2t),AN=PA·cos∠DAH= (10-2t),
5 5
4
∴BN=16-AN=16- (10-2t),
5
S=S +S =1·(16-2t)·3(10-2t)+1×6×[ 4 ]=6t2-54t+72.
△PQB △BCP 16- (10-2t)
2 5 2 5 5 5
(3)当PQ⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°,又∠QPN+∠PQN=90°,
QN 3
∴∠QPN=∠DBA,∴tan∠QPN= = ,
PN 4
4
(10-2t)-2t
5 3 35
∴ = ,解得t= ,
3 4 27
(10-2t)
5
35 35
经检验,t= 是分式方程的解,∴当t= 时,PQ⊥BD.
27 27
(4)存在.
理由:连接BE,交DH于K,作KM⊥BD于M,
当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,∴KH=KM,BH=BM=8,
8
设KH=KM=x,在Rt△DKM中,(6-x)2=22+x2,解得x= ,
33 4
作EF⊥AB于F,则△AEF≌△QPN,∴EF=PN= (10-2t),AF=QN= (10-2t)-2t,
5 5
∴BF=16-[4 ],∵KH∥EF,∴KH=BH,
(10-2t)-2t
5 EF BF
8
8
3
即 = [4 ],
3 16- (10-2t)-2t
(10-2t) 5
5
25 25
解得t= ,经检验,t= 是分式方程的解,
18 18
25
∴当t= 时,点E在∠ABD的平分线上.
18
