24
2020年青岛市初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷(共24分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1.-4的绝对值是( )
1 1
A.4 B.-4 C. D.-
4 4
2.下列四个图形中,中心对称图形是 ( )
3.2020年6月23日,中国第55颗北斗导航卫星成功发射,顺利完成全球组网.其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片,已实现规模化应用.22纳米=0.000 000 022米,将0.000 000 022用科学记数法表示为( )
A.2.2×108 B.2.2×10-8
C.0.22×10-7 D.22×10-9
4.如图所示的几何体,其俯视图是( )
第4题图
第5题图
5.如图,将△ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是 ( )
A.(0,4) B.(2,-2) C.(3,-2) D.(-1,4)
6.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上, AB=AD ,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为 ( )
⏜ ⏜
A.99° B.108° C.110° D.117°
第6题图第7题图
7.如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为 ( )
3
A.√5 B. √5C.2√5 D.4√5
2
c c
8.已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= 的图象如图所示,则一次函数y= x-b的图象可能是 ( )
x a
第Ⅱ卷(共96分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
9.计算:( √4)× = .
√12- √3
3
10.某公司要招聘一名职员,根据实际需要,从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试,测试成绩如下表所示.如果将学历、经验和工作态度三项得分按2∶1∶3的比例确定两人的最终得分,并以此为依据确定录用者,那么
将被录用(填甲或乙).
应聘者
甲 乙
项目
学历 9 8
经验 7 6
工作态度 5 7
k
11.如图,点A是反比例函数y= (x>0)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,△OAB的面积为6.若点P(a,7)也在此函数的图象上,则a= .
x
第11题图
第13题图第14题图
12.抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是 .
13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AD于点G.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为 .
14.如图,在△ABC中,O为BC边上的一点,以O为圆心的半圆分别与AB,AC相切于点M,N.已知∠BAC=120°,AB+AC=16, 的长为π,则图中阴影部分的面积为 .
MN
⏜
三、作图题(本大题满分4分)
请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
15.已知:△ABC.
求作:☉O,使它经过点B和点C,并且圆心O在∠A的平分线上.
四、解答题(本大题共9小题,共74分)
16.(本题每小题4分,共8分)
(1)计算:(1 1)÷(a b);
+ -
a b b a
{2x-3≥-5,
(2)解不等式组:
1
x+2<x.
3
17.(本小题满分6分)
小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出,但只有一张入场券,于是他们设计了一个“配紫色”游戏:A,B是两个可以自由转动的转盘,每个转盘都被分成面积相等的几个扇形,同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出
了蓝色,那么可以配成紫色.若配成紫色,则小颖去观看,否则小亮去观看.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
18.(本小题满分6分)
如图,在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B,D,某海岛上的观测塔A距离海岸5海里,在A处测得B位于南偏西22°方向,一艘渔船从D出发,沿正北方向航行至C处,此时在A处测得C位于南偏东67°方向,求此时观测塔A与渔船C之间的
距离(结果精确到0.1海里).
3 15 2 12 5 12
参考数据:sin 22°≈ ,cos 22°≈ ,tan 22°≈ ,sin 67°≈ ,cos 67°≈ ,tan 67°≈
8 16 5 13 13 519.(本小题满分6分)
某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况,从全校学生中随机抽取n名学生进行测试,测试成绩进行整理后分成五组,并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)补全频数直方图;
(2)在扇形统计图中,“70~80”这组的百分比m= ;
(3)已知“80~90”这组的数据如下:81,83,84,85,85,86,86,86,87,88,88,89,抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分;
(4)若成绩达到80分以上(含80分)为优秀,请你估计全校1 200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数.
20.(本小题满分8分)
为让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,该游泳池有甲、乙两个进水口,注水时每个进水口各自的注水速度保持不变,同时打开甲、乙两个进水口注水,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图
象如图所示.
(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式,并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度;
4
(2)现将游泳池的水全部排空,对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍,求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时.
3
21.(本小题满分8分)
如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.22.(本小题满分10分)
某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,长方形的长AD=4 m,宽AB=3 m,抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.
(1)按如图①所示的直角坐标系,抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示,求该抛物线的函数表达式;
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房,如图②,在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM=2 m,求每个B型活动板房的成本是多少;(每个B型活动板房的成
本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户 FGMN的成本)
(3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n(元)定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润
w(元)最大?最大利润是多少?
23.(本小题满分10分)
实际问题:
某商场为鼓励消费,设计了抽奖活动,方案如下:根据不同的消费金额,每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券,奖券的面值金额之和即为优惠金额.某
顾客获得了一次抽取5张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额?
问题建模:
从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数,这a个整数之和共有多少种不同的结果?
模型探究:
我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法.
探究一:
(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果?
所取的2个整数 1,2 1,3 2,3
2个整数之和 3 4 5
表①
如表①,所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数,其中最小是3,最大是5,所以共有3种不同的结果.
(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果?
所取的2个整数 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
表②
如表②,所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数,其中最小是3,最大是7,所以共有5种不同的结果.
(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有 种不同的结果.
(4)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有 种不同的结果.
探究二:
(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有 种不同的结果.
(2)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥4)这n个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有 种不同的结果.
探究三:
从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥5)这n个整数中任取4个整数,这4个整数之和共有 种不同的结果.归纳结论:
从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数,这a个整数之和共有 种不同的结果.
问题解决:
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有 种不同的优惠金额.
拓展延伸:
(1)从1,2,3,…,36这36个整数中任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果?(写出解答过程)
(2)从3,4,5,…,n+3(n为整数,且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数,这a个整数之和共有 种不同的结果.
24.(本小题满分12分)
已知:如图,在四边形ABCD和Rt△EBF中,AB∥CD,CD>AB,点C在EB上,∠ABC=∠EBF=90°,AB=BE=8 cm,BC=BF=6 cm,延长DC交EF于点M,点P从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度
为1 cm/s.过点P作GH⊥AB于点H,交CD于点G.设运动时间为t(s)(0<t<5).
解答下列问题:
(1)当t为何值时,点M在线段CQ的垂直平分线上?
(2)连接PQ,作QN⊥AF于点N,当四边形PQNH为矩形时,求t的值;
(3)连接QC,QH,设四边形QCGH的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(4)点P在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点P在∠AFE的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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2020年青岛市初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
A D B A D B C B
1.A 负数的绝对值等于它的相反数,即|-4|=-(-4)=4.
2.D 只有选项D中图形绕着某个点旋转180°后,能够与本身完全重合,是中心对称图形.
3.B 用科学记数法表示绝对值小于1的数,将原数的小数点移动到左边第一个不是0的数字后面,小数点移动了几位,10的指数就是负几.即0.000 000 022=2.2×10-8.
4.A 从上向下观察这个几何体,看得见的线画成实线,看不见的线画成虚线,故选A.
5.D 由题图可知点A的坐标为(4,2),向上平移一个单位后对应点的坐标为(4,3),再绕点P按逆时针方向旋转90°后对应点的坐标为(-1,4),如图所示.
6.B ∵BD是☉O的直径,
∴∠BAD=90°.
∵ = ,∴∠ADB=∠ABD=45°.
AB AD
⏜ ⏜∵∠COD=126°,
1 1
∴∠CAD= ∠COD= ×126°=63°.
2 2
∴∠AGB=∠ADB+∠CAD=45°+63°=108°.
7.C 由折叠的性质知EF垂直平分AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC,∴∠EAO=∠FCO,易证△OAE≌△OCF,∴AE=CF,则DE=D'E=BF=3,AD=8,∴CD=AD'= = =4.
√AE2-D'E2 √52-32
又∵∠D=90°,∴AC= = =4 ,
√AD2+CD2 √82+42 √5
1 1
∴AO= AC= ×4√5=2√5.
2 2
c c
8.B 由二次函数的图象可知a<0,b>0,由反比例函数的图象可知c>0,∴ <0,-b<0,∴一次函数y= x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.
a a
二、填空题
9. 答案 4
√4 √4
解析 原式=√12×√3- ×√3=√12×3- ×3=√36-√4=6-2=4.
3 3
10. 答案 乙
9×2+7×1+5×3 20 8×2+6×1+7×3 43 20 40 43
解析 ∵x = = ,x = = ,且 = < ,
甲 2+1+3 3 乙 2+1+3 6 3 6 6
∴x <x ,∴乙将被录取.
甲 乙
12
11. 答案
7
|k| 12
解析 由题图得k>0.由△OAB的面积为6,得 =6,∴k=12(舍去负值),∴反比例函数的解析式为y= .
2 x
12 12
∵点P(a,7)也在此函数的图象上,∴7= ,∴a= .
a 7
12. 答案 2
解析 令y=0,则2x2+2(k-1)x-k=0,此时根的判别式为Δ=[2(k-1)]2-4×2·(-k)=4(k-1)2+8k=4k2-8k+4+8k=4k2+4>0,∴一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,对应的抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是2.
4√5
13. 答案
5
1
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD,OD=OA= AC,∠ADE=∠ADC=90°.
2
∵点F是AE的中点,
1
∴DF=AF=EF= AE,OF是△ACE的中位线,FG是△ADE的中位线,
2
1 1 1
∴GF= DE= ×2=1,OF= CE,
2 2 2
∴CE=6,∴AD=CD=4,AG=2.
在Rt△AFG中,AF= = = ,∴DF= .
√AG2+GF2 √22+12 √5 √5
设点A到DF的距离为x,
1 1
根据面积公式可得 DF·x= AD·GF,
2 2
4√5
∴√5x=4×1,∴x= .
5
14. 答案 24-3√3-3π
解析 如图,连接OM,ON,OA,设BC与半圆O交于点D,E.∵以O为圆心的半圆分别与AB,AC相切于点M,N,
1 1
∴OM⊥AB,ON⊥AC,∠MAO=∠NAO= ∠BAC= ×120°=60°,AN=AM,∴∠MON=180°-120°=60°,
2 2
∴∠BOM+∠CON=180°-∠MON=120°.
60π·OM
∵ 的长为π,∴ =π,∴OM=ON=3.
MN
180
⏜
OM
在Rt△AOM中,AM= =√3,∴AN=AM=√3.
√3
∴S =S -S -S -S
阴影 △ABC 四边形AMON 扇形DOM 扇形NOE
=S +S -2S -(S +S )
△ABO △ACO △AOM 扇形DOM 扇形NOE
1 1 1 120π·OM2
= AB·OM+ AC·ON-2× AM·OM-
2 2 2 360
1 π·OM2
= (AB+AC)·OM-AM·OM-
2 3
1 π·32
= ×16×3-3√3-
2 3
=24-3√3-3π.
三、作图题
15. 解析 如图所示:
四、解答题
16. 解析 (1)原式=( b a )÷(a2 b2 )=a+b÷a2-b2 =a+b· ab
+ -
ab ab ab ab ab ab ab a2-b2
a+b ab 1
= · = .
ab (a+b)(a-b) a-b
{2x-3≥-5,①
(2)
1
x+2<x.②
3
解不等式①得,x≥-1,
解不等式②得,x>3.
∴原不等式组的解集为x>3.
17. 解析 这个游戏对双方公平.理由如下:
画树状图如下:由树状图可知,所有等可能出现的结果共有6种,其中能配成紫色的结果数为3,
3 1 3 1
∴P(小颖去)= = ,P(小亮去)= = .
6 2 6 2
∵P(小颖去)=P(小亮去),
∴这个游戏对双方公平.
18. 解析 如图所示,作AE⊥BD于E,CF⊥AE于F.
根据题意知AE=5,BD=6,∠BAE=22°,∠CAF=67°,∠AED=∠AEB=∠CFA=∠CFE=∠CDE=90°.
∴四边形CDEF是矩形,∴CF=DE=BD-BE=6-BE.
BE 2
在Rt△ABE中,∵tan∠BAE= ,∴BE=tan 22°×5≈ ×5=2.
AE 5
∴CF=6-BE=6-2=4.
CF CF 13
在Rt△ACF中,∵sin∠CAE= ,∴AC= ≈ ≈4.3.
AC sin∠CAE 3
答:此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里.
19. 解析 (1)由统计图可知“60~70”这组的人数为8,所占的百分比为16%,
∴n=8÷16%=50,
∴“90~100”这组的人数为50-4-8-10-12=16.
补全频数直方图如下:
(2)∵n=50,“70~80”这组的人数为10,
10
∴“70~80”这组的百分比为 ×100%=20%,即m=20%.
50
(3)由(1)知n=50,故这50名学生测试成绩的中位数是排序后第25,26个数据的平均数,结合频数直方图及题意可知第25,26个数据分别为84,85,
84+85
∴抽取的n名学生测试成绩的中位数是 =84.5(分).
2
12+16
(4)∵成绩达到80分以上(含80分)的百分比为 ×100%=56%,∴估计全校1 200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数为1 200×56%=672.
50
{ b=100, {k=140,
20. 解析 (1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据图象过点(0,100),(2,380),得 解得
2k+b=380, b=100,
∴游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式为y=140x+100.
380-100
同时打开甲、乙两个进水口的注水速度为 =140(m3/h).
2
4 3
(2)设单独打开甲进水口注满游泳池需m小时,则单独打开乙进水口注满游泳池需m÷ = m(小时).
3 4480
480
由题意得 +3 =140,解得m=8,
m m
4
经检验,m=8是原方程的解,且符合题意.
答:单独打开甲进水口注满游泳池需8小时.
21. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ADE=∠CBF.
{
AD=CB,
在△ADE和△CBF中, ∠ADE=∠CBF,
DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)四边形AFCE是菱形.理由如下:如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
由(1)知△ADE≌△CBF,∴AE=CF,∠AED=∠CFB,
∴AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.
22. 解析 (1)由题意知AD=4,AB=3,EH=4,
1 1
∴OA=OD= AD= ×4=2,OE=EH-OH=EH-AB=4-3=1,
2 2
∴A(-2,0),E(0,1).
将A,E两点的坐标代入y=kx2+m,得
{0=k·(-2)2+m,解得 { k=- 1 ,
4
1=k·02+m,
m=1,
1
∴该抛物线的函数表达式为y=- x2+1.
4
1 1
(2)由题意得OM= GM= ×2=1.
2 2
1 3 3
当x=1时,y=- ×12+1= ,∴MN= .
4 4 4
3
∴每个B型活动板房的成本是425+50×2× =500(元).
4
(3)由题意得w=(n-500)( 650-n)=-2n2+2 400n-700 000,
100+20×
10
{
500≤n≤650,
由 得620≤n≤650.
650-n
100+20× ≤160,
102 400
∵w=-2n2+2 400n-700 000的图象的对称轴为直线n=- =600,不在620≤n≤650之内,且a=-2<0,∴620≤n≤650时,w随n的增大而减小,
2×(-2)
∴当n=620时,w有最大值,为19 200.
∴当公司将销售单价定为620元时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大,最大利润是19 200元.
23. 解析 探究一:(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,所取的2个整数之和可以为3(最小值),4,5,6,7,8,9(最大值),也就是从3到9的连续整数,所以共有7种不同的结果.
(4)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取2个整数,所取的2个整数之和可以为3(最小值),4,5,…,n+n-1=2n-1(最大值),也就是从3到2n-1的连续整数,所以共有2n-1-2=2n-3(种)不同的结果.
探究二:(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,所取的3个整数之和可以为6(最小值),7,8,9(最大值),也就是从6到9的连续整数,所以共有4种不同的结果.
(2)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥4)这n个整数中任取3个整数,所取的3个整数之和可以为6(最小值),7,8,…,n+n-1+n-2=3n-3(最大值),也就是从6到3n-3的连续整数,所以共有3n-3-5=3n-8(种)不同的结果.
探究三:从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥5)这n个整数中任取4个整数,所取的4个整数之和可以为10(最小值),11,12,…,n+n-1+n-2+n-3=4n-6(最大值),也就是从10到4n-6的连续整数,所以共有4n-6-9=4n-15(种)不同的结果.
归纳结论:从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数,所取的a个整数之和最小是1+2+3+…+a=a(a+1),最大是n+n-1+n-2+…+n-(a-1)=an-a(a-1),所以不同的结果数为an-a(a-1)-[a(a+1) ]=an-a2-a-a2+a
-1
2 2 2 2 2 2
a2-a+a2+a
+1=an- +1=an-a2+1.
2
问题解决:从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有5×100-52+1=476(种)不同的优惠金额.
拓展延伸:(1)设从1,2,3,…,36这36个整数中任取a个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果,则36a-a2+1=204,即a2-36a+203=0,∴a=7或29.
答:从1,2,3,…,36这36个整数中任取7个或29个整数,可以使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果.
a(a+5) (4-a)(3-a) (4-a)(3-a)
(2)从3,4,5,…,n+3(n为整数,且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数,所取的a个整数之和最小是3+4+5+…+(3+a-1)= ,最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-(a-1)]=an+6- ,所以不同的结果数为an+6- -
2 2 2
[a(a+5) ]=an+6-12-7a+a2-a2+5a+1=an+7-12-7a+a2+a2+5a=an+7-2a2-2a+12=an+7-(a2-a+6)=an+7-a2+a-6=an-a2+a+1.
-1
2 2 2 2 2
CM CE
24. 解析 (1)∵AB∥CD,∴ = .
BF BE
CM 8-6 3
又∵AB=BE=8,BC=BF=6,∴ = ,∴CM= .
6 8 2
3 3 3
∵点M在线段CQ的垂直平分线上,∴MQ=CM= ,∴t= .∴当t= 时,点M在线段CQ的垂直平分线上.
2 2 2
(2)如图所示,
∵∠ABC=∠EBF=90°,AB=BE=8,BC=BF=6,∴AC=EF=10.
EM EC 5
∵AB∥CD,∴ = ,∴EM= .
EF EB 2
∵GH⊥AB于点H,QN⊥AF于点N,
PH CB QN BE
∴PH∥BC∥QN,∴ = , = ,
AP AC QF EF
PH 6 QN 8 6 4
∴ = , = ,∴PH= t,QN=6- t.
2t 10 10-t-EM 10 5 5
6 4
∵四边形PQNH为矩形,∴PH=QN,即 t=6- t,解得t=3.
5 5
(3)如图所示,作QN⊥AF于点N,交DM的延长线于点I.4 5 4
由(2)得QN=6- t,EM= ,则QI= t.
5 2 5
∵GH⊥AB,∠ABC=90°,
BH CP
∴GH∥BC,∴ = ,
AB AC
BH 10-2t 8
∴ = ,∴CG=BH=8- t,
8 10 5
∴S =S -S -S
四边形QCGH 梯形GMFH △QCM △QHF
1 1 1
= (CG+CM+BH+BF)·BC- CM·QI- (BH+BF)·QN
2 2 2
=1( 8 3 8 )×6-1×3×4t-1·( 8 )( 4 )=-16t2+1t+57(0<t<5).
8- t+ +8- t+6 8- t+6 6- t
2 5 2 5 2 2 5 2 5 5 25 5 2
7
(4)存在t= ,使点P在∠AFE的平分线上.理由如下:
2
连接FP,并延长交DC于点K,如图所示.
∵AB∥CD,点P在∠AFE的平分线上,
CK PC
∴ = ,∠MKF=∠AFK=∠MFK,
AF AP
5 3
∴MK=MF,∴CK=MK-CM=MF-CM=EF-EM-CM=10- - =6.
2 2
又∵AF=AB+BF=8+6=14,AP=2t,PC=10-2t,
6 10-2t 7
∴ = ,∴t= .
14 2t 2
7
经检验,t= 是分式方程的解,且符合题意.
2
7
∴点P在运动过程中,存在t= ,使点P在∠AFE的平分线上.
2
