文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义即可得解.
【详解】 ，
则 .
故选：B.
2．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接对已知式子化简计算即可求出复数
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A
3．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.【详解】 ，函数有意义，则有 ，得 或 ，
设 ，则当 时，u关于x单调递减，当 时，u关于x单调递增，
又因为函数 在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知 的单调递减区间为 ．
故选：A
4．已知 ， ，若 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据 求出 ，再根据投影向量计算公式计算可得.
【详解】 ， ， ，
， ，
解得 ， ，
向量 在 上的投影向量为 ．
故选：B．
5．已知 为锐角，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 为锐角， ，得到 ，再利用二倍角公式得到 ，
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试卷第2页，共3页，然后再由 求解.
【详解】 为锐角， ，
，
，且 ．
故 ，
，
，
故选：D．
6．将自然数1，2，3，4，5，…按照下图排列，我们将2，4，7，11，16，…都称为“拐角数”，则第
100个“拐角数”为（ ）
A．5050 B．5051 C．10100 D．10101
【答案】B
【分析】找出拐角数的规律：第1个“拐角数”为 ，第2个“拐角数”为 ，第3个“拐
角数”为 ，按此规律即可求.
【详解】第1个“拐角数”为 ，
第2个“拐角数”为 ，
第3个“拐角数”为 ，
……故第100个“拐角数”为 ，
故选：B
7．椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜
率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将
用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
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试卷第4页，共3页设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
8．已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到
平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的性质可知所
求距离 .
【详解】
设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明
确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运
动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与
“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（ ）
A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600
B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200
【答案】ABD
【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项
；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项 ；根据
图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项 ；
把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算 ，故第二个数为所求，即可判断选项 .
【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：
11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600；
由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位数为12600，
故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600， 正确；
这一星期内甲的日步数的平均数为： ，
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试卷第6页，共3页这一星期内乙的日步数的平均数为：
，
因为 ，故 正确；
由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故 错误；
乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，
，故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200，故 正确；
故选：
10．已知 ，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据已知得 判断C，根据指数运算判断A，根据对数运算性质判断BD.
【详解】依题意， ，即 ，则 且a， ，故C正确；
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于D， ，故D正确.
故选：BCD.
11．已知函数 则（ ）
A． 是奇函数
B． 在 上单调递减C． 是偶函数
D． 为 的极小值点
【答案】BCD
【分析】根据函数的解析式，确定函数的奇偶性从而判断A，C；求导，利用导数得函数的单调性与极值，
从而可判断B，D.
【详解】由题可得函数 的定义域为 ，当 时， ，
又 ，所以 为偶函数，故A错误，C正确.
当 时， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
作出函数 的大致图像，如图.
显然， 是 的极小值点，故B D正确.
故选：BCD.
12．如图，直三棱柱 中， 为 的中点， 为线段 上的动
点，则下列说法正确的有（ ）
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试卷第8页，共3页A．不存在点 ，使得
B． 周长的最小值为
C．当 时，三棱锥 外接球的表面积为
D．平面 截三棱柱 所得截面面积的最大值为
【答案】BC
【分析】由线面垂直即可判断A，将 绕 旋转，使得点 到达点 的位置，结合平面几何的知识，
即可判断B，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断C,分情况讨论代入计算，即可判断
D
【详解】
选项A：连接 ，因为 ， 平面 ，且 平面 ，
所以 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 为正方形，则 ， ，且 平面 ，所以 平面 ，当 为 的中点时，
平面 ，所以 ，故A错误．
选项B：将 绕 旋转，使得点 到达点 的位置，且 四点共面，连接 ，由平面几
何知识可知，四边形 是矩形， ，则
，所以 周长的最小值为 B正确．
选项C：以点 为坐标原点， 的方向分别作为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则
， ，则
，所以 ，显然三棱锥外接球的球心
在平面 内且在线段 的垂直平分线上，设 ，连接 ，因为 ，所以
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试卷第10页，共3页，解得 ，所以 ，所以三棱锥
外接球的表面积为 ，C正确．
选项D：分如下三种情况，①如图1，延长 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，连接
，则四边形 为所求截面；②如图2，延长 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点
，连接 ，则四边形 为所求截面；③如图3，延长 交 于点 ，连接 ，则三角形
为所求截面．
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，
故只需考虑情况①即可．在①中，易知 ，设 ，则
，所以所求截面面积
，易知函数 在 上单调递增，故 ，故D错误．
故选：BC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某学校选拔了小珠等5名同学参加省技能大赛，每所学校最终只能派2人上场参赛，则小珠同学被选
中上场参赛的概率是 .
【答案】 /0.4
【分析】求出5名同学参加省技能大赛，派2人上场参赛的情况数，再求出小珠同学被选中上场的情况数，
计算出概率.
【详解】5名同学参加省技能大赛，派2人上场参赛，共有 种情况，
其中小珠同学被选中上场，再从剩余的4人中选出1人，共有 种情况，
故小珠同学被选中上场参赛的概率为 .
故答案为：
14．在正方体 中，点 为侧棱 上一点，且 ，平面 将该正方体分成
两部分，其体积分别为 ，则 ．
【答案】
【分析】平面 延展开后即为平面 ，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台 ，
另一部分是剩余的部分，结合三棱台的体积公式求解即可.
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试卷第12页，共3页【详解】
由题意，延长线段 与 的延长线交于点 ，连接 交 于 ，连接 ，
故平面 延展开后即为平面 ，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台 ，另一部
分是剩余的部分.
由于 ，故 ，不妨设正方体棱长为3，
，
，
即 .
故答案为： .
15．已知函数 在 上单调递减，在 上恰有3个零点，则 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】先通过有3个零点列不等式求 的取值范围，再通过在 上单调递减列不等式求 的取值范围，综合可得 的取值范围.
【详解】设 ，当 时， ，
因为函数 在 上恰有3个零点，
则 ，解得 .
当 时， ，
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ， ，
取 ，则 .
综上， .
故答案为： .
16．已知双曲线C： 的右焦点为F，过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，
Q，若 ， （O为坐标原点），则 .
【答案】1
【分析】解法一：不妨设 ， ，点P在x轴上方，过点F作 交OP于点M，易得
，再根据 ，求出 的关系，结合 的关系即可得解.
解法二：记 ， ，设直线PQ的方程为 ，不妨设点P在x轴上方，则点Q在x轴下
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试卷第14页，共3页方，分别联立直线 和直线 的方程，求出 的坐标，再根据 得 ，结合
即可得出答案.
【详解】解法一：不妨设 ， ，点P在x轴上方，则直线OP的方程为 ，
过点F作 交OP于点M，则 ，
又 ，由双曲线的对称性可得 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
解法二：记 ， ，
由题可知，直线PQ的斜率存在且不为0，故设直线PQ的方程为 ，
不妨设点P在x轴上方，
则点Q在x轴下方，直线OP的方程为 ，直线OQ的方程为 ，由 得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 得 ，即 ，
所以 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，得 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中 ，且 ．
(1)求B的大小；
(2)求 面积的最大值．
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试卷第16页，共3页【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及倍角公式计算即可；
（2）利用余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式计算即可.
【详解】（1）∵在 中， ，且 ，
∴ ，
由正弦定理得 ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）由（1）知 ，且 ，
∴由余弦定理得 ，整理得 ．
又∵ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，即 ，当且仅当 时，等号成立．
∴ ，
∴ 面积的最大值为 ．
18．如图，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ， ， ，平面 平面 ，Q在线段上移动，P为棱 的中点.
(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证： 平面 ；
(2)若二面角 的平面角的余弦值为 ，求点P到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用中位线定理以及平行四边形的性质，根据线面平行判定以及面面平行判定，结合面面
平行的性质，可得答案.
（2）由题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的余弦公式以及点到平面距离公式，
可得答案.
【详解】（1）如图，取 中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则 .
在平行四边形 中，P、E分别为 ， 的中点，则 ，
由 面 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，又 ， 面 ，
所以面 面 ，而 面 ， 面 .
18
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试卷第18页，共3页（2）连接 ， ，由四边形 为菱形，则 .
又 ，则 为正三角形，P为 的中点，即 .
因为面 面 ，面 面 ， 面 ，
面 ，在面 内过P作 交 于点R.
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
，
设 ， ，则 ，
， ， ，则 ，
.设面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设面 的法向量为 ，二面角 的平面角为 ，
则 ，解得 或 （舍），
∴ 且 ，又 ，
∴ ，故 ， ，故 .
所以 ，即 ，
连接BP，设P到平面 的距离为h，则 ，
∴ ，即点P到平面 的距离为 .
19．已知函数 ， ．
(1)若函数 在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数 的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求定义域，求导，根据 求出 ，验证后得到答案；
（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分 ， ， 与 分类讨论，得到函数
20
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试卷第20页，共3页的单调区间.
【详解】（1） 定义域为 ，
，因为 在x＝1处取得极值，
所以 ，解得： ，
经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故 ；
（2） ，
当 时， 恒成立，令 得： ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，故令 得： 或 ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 恒成立，故 的单调递增区间为 ；
当 时， ，令 得： 或 ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
20．已知公差不为0的等差数列 和等比数列 中， ， ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 为数列 的前n项和，求使 成立的n的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列等比数列求解公差 与公比 ，求解通项公式；
（2）裂项相消法求和 ，利用 ，求出 范围.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由题意可得 即
又因为 ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 .
22
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试卷第22页，共3页因为 ，所以 ，又 ，所以 .
所以满足题意的 的取值范围为 .
21．一只蚂蚁位于数轴 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率
为 ，向左移动的概率为 .
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在 处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为 ，求 的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件 ，记2秒后这只蚂蚁在 处的概率
为事件 ，则由题意可知事件 包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件 为2秒
内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出 ，再利用条件概率公式可求
得结果；
（2）由题意知 可能的取值为 ，然后求出相应的概率，从而可求出 的分布列与期望.
【详解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件 ，记2秒后这只蚂蚁在 处的概率
为事件 ，
则
故所求的概率为 .
（2）由题意知 可能的取值为 ，
则 ，则 的分布列为
0 2 4
22．已知动圆M经过点 ，且动圆M被y轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点M的横坐标为 ，A，B为圆M与曲线C的公共点，若直线AB的斜率 ，且 ，求 的
值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，则点M到y轴的距离为 ，再根据圆M被y轴截得的弦长，即可得出答案；
（2）设 ， ，直线AB的方程为 ，联立方程，利用韦达定理求出 ， ，
设线段AB的中点为T，点M的纵坐标为 ，则 ，由此可求出 ，再根据圆M经过点 ，
即可得解.
【详解】（1）设 ，则点M到y轴的距离为 ，
因为圆M被y轴截得的弦长为4，所以 ，
又 ，所以 ，化简可得 ，
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试卷第24页，共3页所以曲线C的标准方程为 ；
（2）设 ， ，
因为直线AB的斜率 ，所以可设直线AB的方程为 ，
由 及 ，消去x可得 ，
则 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
设线段AB的中点为T，点M的纵坐标为 ，则 ， ，
所以直线MT的斜率为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
易得圆心M到直线AB的距离 ，
由圆M经过点 ，可得 ，
所以 ，
整理可得 ，解得 或 ，
所以 或 ，
又 ，所以 ．26
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试卷第26页，共3页
