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第十四章 整式的乘法与因式分解压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1． 有一个因式是 ，则另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先因式分解，再确定另一因式．
【详解】解： ，
∴另一个因式为D．
【点睛】本题考查多项式因式分解，掌握因式分解方法是解题关键．
2． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.
【详解】
=（2-1）
=24n-1.
故选A.
【点睛】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.
3．已知 ， ， ，则
的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据 ， ， 分别求出a-b、a-c、b-
c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.
【详解】∵ ， ， ，
∴故选D
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
4．已知当 时，代数式 值为6，那么当 时，代数式 值
为（ ）
A．2 B．3 C．-4 D．-6
【答案】A
【分析】：把 代入代数式，得出关于a,b的关系式，再把 代入，求出代数式的值.
【详解】解：把 代入代数式得， 把 代入得，
=
故选A.
【点睛】本题主要考查整体代入的思想，关键是代入 和代入 是得到的代数式的
关系，利用整体带入的思想解决问题.
5．已知(x－2015 2＋(x－2017 2＝34，则(x－2016 2的值是( )
A．4 ) B．8 ) C． )12 D．16
【答案】D
【详解】(x－2 015)2＋(x－2 017)2
=(x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2
=
= =34
∴
故选D．
点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x－2 015)2＋(x－2 017)2化为 (x－2 016+1)2
＋(x－2 016-1)2，利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x－2 016)2的值，注意要把
x-2016当作一个整体．
6．如果 ， 表示 的整数部分，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】设 ，则 ，
，即
，由 ，可得 ，则答案可得．
【详解】解：设 ，
则 ，
∴ ，
∴
，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方和公式，关键是进行合理的变形，难度较大．
7．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11
【答案】B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，
最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+
（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成
为解答本题的关键．
评卷人 得分
二、填空题
8．已知 ，则 的值为 ．
【答案】2017．
【分析】把 化成同底数幂的除法算式 得出 的值，然后整
体代入算式即可求解．
【详解】∵
∴ ，
∴
．
故答案为：2017．
【点睛】此题考查了同底数幂的除法的逆运算，然后用到整体代入的思想求解．要熟练同
底数幂的除法的法则是解题的关键．
9．分解因式： ．
【答案】
【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=
= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是
正确解答本题的关键．
10．用4张长为 宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正
方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若 ，则 之间存在的数量关系是 ．
【答案】a=2b
【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用 ，可得
出a、b之间的关系．
【详解】如下图
则空白部分的面积 +
化简得：
∵
∴
化简得： =0
∴a=2b
故答案为：a=2b．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出 和 的面积．11．计算 的结果
是 ．
【答案】
【分析】设 ，把原式化简为关于x的代数式，再运算求解
【详解】设 ，
则原式
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，关键是灵活运用整体法求解．
12．已知 ，且 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】利用完全平方公式 ，得
，利用这个公式变形即可得出答案．
【详解】解：由 ，去分母，得
，
则
∵
∴原式
故答案为：
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题13．分解因式： .
【答案】
【分析】首先去括号，再重新分组为m2n2+2mn+1与（n2+m2-2mn），再利用公式法分解因
式即可．
【详解】解：原式=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）
=（mn+1）2-（m-n）2
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）.
【点睛】此题考查了分组分解法分解因式以及二次三项式的分解因式，本题没有公因式可
提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中
一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，
14．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与 的
取值无关，求 的值，”通常的解题方法是把 看作未知数， 看作已知数合并同类项，
因为代数式的值与 的取值无关，所以含 项的系数为0，即原式 ，所以
.则 .
【理解应用】
(1)若关于 的代数式 的值与 的取值无关，试求 的值；
(2)6张如图1的长为 ，宽为 的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形
内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积
的差为 ，如果当 的长度变化时， 始终保持不变，则 应满足的关系是什么？
【能力提升】
(3)在(2)的条件下，用6张长为 ，宽为 的矩形纸片，再加上 张边长为 的正方形纸片，
张边长为 的正方形纸片( 都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙，
无重叠拼接)，则当 的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少(用含 的代数式表示)？
并求出此时的 的值.
【答案】(1) ；(2) ；(3)边长为 ，当 ， 时， 的值最小.
【分析】（1）根据仿例进行运算即可；
（2）当 的长度变化时， 始终保持不变，说明S的取值与BC的长度无关，求出S与C
的关系，按照仿例计算即；（3）先表示出拼成的大正方形的面积，根据（2）中a、b的关系进行变形，求出面积是b
的 倍，因为 都是正整数，故 为平方数，最小值为25，据此可求解.
【详解】（1）
∵此代数式的值与 无关，则 ，解得：
（2）设
令左上角矩形面积为 ，右下角矩形面积为 ，
∵当 的长度变化时， 的值不变
∴ 的取值与 无关
∴
即
（3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积
由(2)知：
∴
因为大正方形的边长一定是 的整数倍
∴ 是平方数
∵ 都是正整数
∴ 最小是25，即
∴ ， 或 ， 或 ，
此时
则当 的值最小时，拼成的大的正方形的边长为 ，此时 ， .
【点睛】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值，解答本题的关键是理解题目中字
母x的取值无关的意思．
15．一个四位正整数J，将千位上的数字和十位上的数字交换，百位上的数字和个位上的
数字交换，得到 ，我们称这个数P为原数的“披荆数”，并规定
；将千位上的数字和个位上的数字交换，百位上的数字和十位上的
数字交换，得到 ，我们称这个数Z为原数的“斩棘数”，规定
，且 （分母为0时舍去）．如：2147的“披荆数”为 ， ，2147的“斩棘数”为
， ．
(1)2937的“披荆数”是______，3587的“斩棘数”是______；
(2)证明任意一个四位数的“披荆数”与“斩棘数”的差能被9整除；
(3)设四位正整数 （ ，且x，y均为正整数），交换
其十位和个位的数字得到N，若 为完全平方数且M能被3整除，则称M为“乘风破
浪数”，请求出所有“乘风破浪数”M中 的最大值．
【答案】(1)3729，7853；
(2)见解析；
(3) 的最大值为 ．
【分析】（1）利用“披荆数”， “斩棘数”的定义解答即可；
（2）设任意四位正整数为 ，则其“披荆数”为 ，“斩棘数”为 ，直接计算
，即计算 可得
得证结论；
（3）根据题意得 ，计算 ，得 ，易知 为正整数，
且 ， 为整数，可得 或 ，由 为3的倍数，知 应
为3的倍数，且 ，可得当 时， 或 ；当 时， 或 ；由定
义得 ，将 ， 所对应得值代入即可求得 ，再找出最大值即可．
【详解】（1）解：2937的“披荆数”是3729，3587的“斩棘数”是7853，
故答案为：3729，7853；
（2）证明：设任意四位正整数为 ，
则其“披荆数”为 ，“斩棘数”为 ，
∴
∴“披荆数”与“斩棘数”的差能被9整除；
（3）∵ （ ，且x，y均为正整数），
∴ ，∴
，
∵ 为完全平方数，
∴ 为正整数，且 ， 为整数，
则：当 时， ；
当 时， （舍去）；
当 时， （舍去）；
当 时， ；
当 时， （舍去）；
故 或 ，
又∵ 为3的倍数，
∴ 应为3的倍数，且 ，
当 时， 或 ；当 时， 或 ；
则当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
故： 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，因式分解得应用，数字变化的规律，本题是新定义
型，准确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
16．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习
“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图
形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若 ， ，则
；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b
的长方形纸片拼出一个面积为 长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长
为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成
一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
【答案】(1)
(2)155
(3)①见解析；②9
(4)
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出
结论；
（2）利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）①根据 ，得到大长方形是由2张
边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，画
图即可；②根据①可知 的值，代入求解即可；
（4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求
解即可．
【详解】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积 ，大长方形的面积 3个小正方形的面积+3个小长方形的面积
，
∴ ；
由图3知，∵大正方形的面积 ，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方
形的面积 ，
∴ ；
故答案为： ， ．
（2）∵由（1）知： ，
∴ ，
，
把 代入，
．
故答案为：155．
（3）①∵ ，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为
a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：
②由①知： ，∴ ．故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为 ，4张边长分别为 的长方形纸片的面积为
，5张边长为b的正方形纸片的面积为 ，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形
（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为 的长方形纸片、1张边长为b
的正方形纸片，此时围成的正方形面积为 ，此时正方形的边长 ，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为 的长方形纸片、4张边长为b的
正方形纸片，此时围成的正方形面积为 ，此时正方形的边长，
∴拼成的正方形的边长最长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练
掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
17．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量
关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，
甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x
的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）图2中的大正方形的边长为______________；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这
个等式_____________________________________；
【拓展应用】
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知 ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】（1）x+y；（2）（x+y）2=x2+y2+2xy；（3）①13；②4044
【分析】（1）直接根据图形可得结论；
（2）方法一是直接求出大正方形的面积（x+y）2，方法二是将各部分的面积相加得到大正
方形面积，即x2+y2+2xy为边的正方形面积，可得等式；
（3）①将a2+b2=10，a+b=6代入上题所得的等量关系式求值；
②可以将2021-a看作A，将a-2019看作B，代入（2）题的等量关系式求值即可．
【详解】解：（1）由题意得：
图2中的大正方形的边长为：x+y；
（2）根据大正方形的面积可得：
这个等式为：（x+y）2=x2+y2+2xy；（3）①由题意得：ab= ，
把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，
ab= =13，
答：ab的值是13．
②由题意得：
（2021-a）2+（a-2019）2
=（2021-a+a-2019）2-2（2021-a）（a-2019）
=22-2×（-2020）
=4044
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常
考查的题型，难度不大，熟练掌握完全平方公式并能够灵活应用是解决此题的关键．
