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第十四章 整式的乘法与因式分解（压轴题专练）
目录
【类型一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】..........................................................................................1
【类型二 多项式乘多项式与图形面积】..........................................................................................................2
【类型三 多项式乘法中的规律性问题】..........................................................................................................5
【类型四 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】................................................................................8
【类型五 平方差公式在几何图形中的应用】................................................................................................13
【类型六 完全平方公式在几何图形中的应用】............................................................................................19
【类型七 十字相乘法因式分解】....................................................................................................................25
【类型八 分组分解法因式分解】....................................................................................................................31
【类型一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若 去括号后不含 的一次项，则 的值为
．
【答案】
【分析】根据去括号后不含x的一次项，可知去括号、合并同类项后，含x的一次项的系数为0，据此即可
求得m的值．
【详解】解： ，
去括号后不含x的一次项，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘法结果中不含某项问题，熟练掌握和运用不含某项求参数的方法是解决本题
的关键．
【变式训练】1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式 的结果中不含字母x的一次项，则a的值
是 ．
【答案】 /0.5
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算原式，再根据结果中不含字母 x 的一次项可得关于m的方
程，解方程即得答案．
【详解】解： ，因为计算结果中不含字母 x 的一次项，
所以 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的法则是
解题关键．
2．（2023春·浙江·七年级期末）已知 的展开式中不含 项和 项，那么
， ．
【答案】 3 7
【分析】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令含 和 的项的系数之和为0，从而列方程求
解．
【详解】解：原式 ，
原式的展开式中不含 和 的项，
， ，
解得： ， ，
故答案为：3，7．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则，理解展开式中不含 和 的项，即含 和 的项的系数之和为0是解题关键．
【类型二 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用
平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：
就可以用图①的面积来表示．
(1)请写出图②所表示的代数恒等式．
(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式 ．
【答案】(1) ；
(2)见解析．
【分析】（1）根据数据表示出长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每
一小部分的长方形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形．
【详解】（1）解：由题意得 ；
（2）解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【变式训练】1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长 米，宽 米的长方
形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长 米，宽 米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休
息区．（结果需要化简）
(1)求长方形游泳池的面积；
(2)求休息区的面积；
(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？
【答案】(1) 平方米
(2) 平方米
(3) 平方米
【分析】（1）根据长方形的面积公式和单项式乘以多项式的法则解答即可；
（2）用大长方形的面积减去小长方形的面积求解即可；
（3）由（2）求得的结果与（1）求得的结果作差求解即可．
【详解】（1）长方形游泳池的面积 平方米；
（2）
；
即休息区的面积是 平方米；
（3）
；即休息区比游泳池的面积大 平方米．
【点睛】本题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意、熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键．
2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为 ，宽为 的长方形
空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行
通道．
(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
(3)当 ， 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据长方形的面积列式并计算即可；
（2）根据“长为 ，宽为 的长方形空地，两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道”列
式计算即可；
（3）把 ， 代入（2）中得到结果计算即可．
【详解】（1）解： ，
答：该长方形空地的面积为 ．
（2） ．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为 ．
（3）当 ， 时，这两个长方形喷泉池的总面积为
．
即这两个长方形喷泉池的总面积为 ．
【点睛】此题考查了列代数式、多项式乘法的应用、代数式的值等知识，根据题意正确列出代数式是解题
的关键．【类型三 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．
…
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 ______；（其中 为正整数）
(2)计算： ．（结果保留幂的形式）
(3)计算： ．（结果保留幂的形式）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边 的指数比等号左边 的最高指数大 ，然后写出即可；
（2）根据所给式子的规律，把x换为3即可，
（3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果；
【详解】（1）解：观察已知可得 ，故答案为： ；
（2）解：根据（1）可知， ；
（3）解：原式变形为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律题，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子
的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
【变式训练】
1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律可得： ________．
(2)根据上面各式的规律可得： ________．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）分析数据的规律直接求解即可．
（2）分析数据的规律直接求解即可．
（3）分析数据的规律直接求解即可．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解： ；
故答案为： ．（3）解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查多项式乘法中的规律性问题，解题关键是将推论出来的规律用来直接求解．
2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ___________；
第2个： ___________；
第3个： ___________；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ___________．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ___________．
（4）扩展与应用： ___________．
【答案】（1） ； ； ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算即可得；
（2）利用（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，即可得；
（3）将原式变为 ，即可得；
（4）将原式变形为 ，在根据所得规律进行计算即可得．
【详解】解：（1）第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；故答案为： ； ； ；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，则 ，
故答案为： ；
（3）
，
故答案为： ；
（4）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式，根据等式发现规律．
【类型四 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】
例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式 的最小值时，
利用公式： ，对式子作如下变形： ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
因此 有最小值 ，即 的最小值为 ．通过阅读，解下列问题：
(1)代数式 的最小值为___________，此时 的值为___________
(2)试比较代数式 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，见解析
【分析】（1）根据材料提示，运用配方法配成完全平方公式，即可求解；
（2）运用作差法化简两个代数式，运用配方法配成完全平方公式，比较结果的正负，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值为 ，
故答案为： ， ．
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查乘法公式，作差法比较两个多项式的大小的综合，掌握配方法配成完全平方公式判
定代数式的最值，运用作差法比较结果的正负判断代数式的大小等知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式
或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中
的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式 的最小值．解：原式 ．
， ． 当 时， 的最小值是 ．
(1)请仿照上面的方法求代数式 的最小值．
(2)代数式 的最大值为______．
【答案】(1)当 时，原式有最小值
(2)
【分析】（1）直接将代数式化成 的形式，然后求解即可；
（2）先把负号提出来，再将代数式化成 的形式，然后求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
当 时原式有最小值 ；
（2）
，
，
，
代数式 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握利用完全平方公式对多项式变形是解答本题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“ ”的应用后，王老师提出问题：求代数式 的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：
解： ，
∵ ，∴ ，
当 时， 的值最小，最小值为1．
∴ 的最小值是1，
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最小值；
(3)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（3）由 ，可得 ，代入 中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小
值即可．
【详解】（1）解： ，
，
．
的最小值是2．
（2） ，
，．
的最小值是 ．
（3） ，
，
，
，
．
的最小值 ．
【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的
非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广
泛的应用.如利用配方法求最小值，求 的最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总是非负数，即 ．
所以 ，所以当 时， 有最小值 ．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： _____________；
(2)将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
(3)若代数式 ，试求N的最大值．
【答案】(1)
(2) ，2
(3)17【分析】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值；
（3）先对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
其中， ，
的最小值是2；
故答案为：2．
（3）解：
，
的最大值是17．
【点睛】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键.
【类型五 平方差公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图 ），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图 ）(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（ ）选出的等式，完成下面习题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算
【答案】(1)B
(2)① ；②
【分析】（1）根据图形可知，图 中阴影部分的面积为： ，图 的面积为长方形的长 乘以长
方形的宽 ，即可；
（2） 由（1）得， ，则 ，再根据 ，即可；
根据 ，则 变形为
，根据第二项的分子和第三项的分母约分，第
二项的分母与第三项的分子约分，最后得 ，进行计算，即可．【详解】（1）∵大正方形的边长为： ，小正方形的边长为： ，
∴阴影部分的面积为： ；
由图 可知，长方形的长为： ，长方形的宽为： ，
∴组成的长方形的面积为： ，
∴ ，
故选：B．
（2） 由（1）得， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景与应用，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部
分的面积，可以得到整式乘法公式_________；
【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：
①若 ， ，求 的值；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2）①3；②9996；（3）
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）①由（1）可知 ，进而代入相对于的值即可求解；
②将 变形为 ，再应用平方差公式进行计算即可；
（3）根据平方差公式将每个括号变形，即可求出答案．
【详解】解：（1）大的正方形边长为 ，面积为 ，小正方形边长为 ，面积为 ，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积 ，
图2阴影部分面积 ，
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴ ，
故答案为： ；（2）①∵ ， ，
即： ，
∴ ；
②
；
（3）
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，灵活运用平方差公式是解题的关键．
2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，
将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为 ，宽为
的长方形面积；
（2）易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；
（3）各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．
【详解】（1）在图①中，
∵大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ，
在图②中，
∵阴影部分为长方形，长为 ，宽为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为： , ；
（2）∵两图的阴影部分面积相等，
∴可以得到乘法公式 ；
（3）应用乘法公式得：．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练
掌握平方差公式．
3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方
形 ，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积 阴影部分的面积 ，可以验证的等式是______ ； 请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．
②计算：
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2） 由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：，
再运用平方差公式，解决问题．
【详解】（1）解：左图中，阴影部分为正方形，面积为： ，
右图阴影是拼成的长方形，长是： ，宽是： ，
所以右图阴影部分面积为： ，
由于左右两图面积相等，
所以有： ，
故答案为：B．
（2）解： 由（1）中规律，利用平方差公式可得：
，
， ，
．
故答案为： ．
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平
方差公式将代数式变形是关键．【类型六 完全平方公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为________________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若 为实数，且 ， ，试求 的值．
(3)如图3，点C是线段 上的一点，以 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由阴影部分的面积可得面积为 或 ，从而可得答案；
（2）把 ， 代入 ，再利用平方根的含义可得答案；
（3）设 ， ，而 ， ，可得 ， ，可得 ，
从而可得答案．
【详解】（1）解：由阴影部分的面积可得： ，
或 ，
∴ ；（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）设 ， ，而 ， ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的表示求解代数式的
值，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
(3)观察图②，请写出代数式 ， ， 之间的等量关系： ．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知： ， ，求： 的值；
【答案】(1)(2) ，
(3)
(4)13
【分析】（1）由图可知，图②中阴影部分的正方形的边长是小长方形长与宽的差；
（2）用正方形面积公式可表示阴影部分面积，根据阴影部分面积等于大正方形面积减去四个小长方形面
积可表示阴影部分面积；
（3）根据（2）中两种方法表示的阴影部分面积相等，即可得出等量关系；
（4）由（3）可得 ，将 ， 代入即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：
图②中阴影部分的正方形的边长是： ，
故答案为： ；
（2）解：方法一：阴影部分面积 ，
方法二：阴影部分面积 ，
故答案为： ， ；
（3）解：由（2）可得：阴影部分面积 ，
∴ ，
故答案为： ；
（4）解：由（3）可得： ，
把 ， 代入得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，用不同的方法表示图形面积，以及熟知完全
平方公式是解题的关键．2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段 上的一点，以 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连结 ．
若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)C
(3)
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出 ，
再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出 ，
利用（2）的结论直接代入即可 ，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是 ；
故答案为：（2） 之间的等量关系是： ，
故选：C.
（3）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y
∴ ，
解得 ，
；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成
四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．
(2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是___________；
(3)若 ， ，求 的值；
(4)拓展：若 ，求 的值．【答案】(1)
(2)
(3) ；
(4)
【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数
式表示可得出答案；
（3）由（1）可得出 ，整体代入数据即可得出答案；
（4）设 ， ，则 ， ，利用完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的正方形的边长为 ；
故答案为： ；
（2）解：大正方形的边长为 ，阴影部分的正方形的边长为 ，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，小长方形的面积为 ，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即 ．
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ；
（4）解：设 ， ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
【类型七 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式； ．
第一步：二次项系数2可以写成 ，常数项 可以写成 或 ；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将 、3或1、 写在“×”号的右边，共有如下图
的四种情形：
第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为 ；②的系数为 ；
③的系数为 ；④的系数为 ．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有： ．像这样，通
过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：
(1)分解因式： ；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；②分解因式： _______；
(2)分解因式： ．
①完善横线上的数字；
②分解因式： ________．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①见解析；②
【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，
仿照材料分解即可．
【详解】（1）解：① ；
② ；
（2）① ；
② ．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．
【变式训练】
1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如： 求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系
数即可求解；
（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求
解．
【详解】（1）解：如图，
∴
（2）解：如图，
∴ ．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．
2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘
法公式运算来进行因式分解，基本式子为： ，
例如：分解因式 ， ， ，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于 ，
得到 ，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)先分解因式，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)
(2) ，45
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解： ；
（2）
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 的方法（如
图）．
第一步：二次项 ；
第二步：常数项 ，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项 ．
即 ．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式 进行因式分解，可以表示为 _______________；
(2)若 可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数 的所有可能值．
【答案】(1)
(2)图见解析， ， ， ，16
【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；
（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．
【详解】（1）解： ，常数项 ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，常数项 ，
画“十字图”如下：， ， ，16．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．
4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如 的二次三项式因式分解时，
如果能满足 且 ，则可以把 因式分解成 ．
例如：（1） ；（2） ．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据 进行解答即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．
5．（2023春·七年级单元测试）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
； ．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子 分解因式．这
个式子的二次项系数是 ，常数项 ，一次项系数 ，可以用下图十字相乘的形式
表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上
角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：
．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可；
（3）用十字相乘法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（4）解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握十字相乘法，准确计算．
【类型八 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能
力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学
题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法
——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式 ；
(3)分解因式： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；
（2）根据例题用拆项补项法分解因；
（3）根据例题用拆项补项法分解因；
【详解】（1）解：
；
（2）（3）
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法
直接使用上述方法分解，如 ，我们可以把它先分组再分解：
，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知a，b，c是 的三边，且满足 ，请判断 的形状，并说明理由，
【答案】(1)(2) 是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）利用分组法分解因式，然后得出 ，即可判断三角形的形状．
【详解】（1）
；
（2） 是等腰三角形．理由如下：
，
，
， ， 是 的三边，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深
刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
2．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提
公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如： ．
②拆项法：
例如： ．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
① （分组分解法）；
② （拆项法）；
(2)已知：a、b、c为 的三条边， ，求 的周长．
【答案】(1)① ；②(2)14
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）先把所给式子进行分组分解因式，然后根据方非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形周长公
式进行求解即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的周长为14．
【点睛】本题主要考查了分组分解因式，分解因式的应用，数量掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
3．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用
公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”
分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)分解因式： ．
【答案】(1) ）；
(2) ；
(3) ．
【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
= ；
（2）解：
；（3）解：
．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
4．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1） （2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式 ，后两项有公因式 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式
，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式 ，第一项和第三项含有公因式 ，把 ， 提出来，
剩下的是相同因式 ，可以继续用提公因式法分解．
解：
探究2：分解因式：（2）
分析：甲发现先将 看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出
因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”
继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
【拓展提升】：
（3）分解因式： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式 后再利用平方差公式继续分解；
（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；
（3）把15分解成 ，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）．
【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．
