第十四章整式的乘法与因式分解（知识归纳+题型突破）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十四章 整式的乘法与因式分解（知识归纳+题型突 破） 1.理解并掌握同底数幂的乘法． 2.理解并掌握乘法公式的基本运算． 3.理解并掌握因式分解． 一、同底数幂的乘法性质 (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的 指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 二、幂的乘方法则 (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： ( 为正整数). （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算 更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 四、单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它 们的指数作为积的一个因式. 要点诠释： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的 乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加” 进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(abc)mambmc 即 . 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之 积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘： xaxb x2 abxab . 七、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又 有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 八、完全平方公式(ab)2  a2 2abb2 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 九、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里 的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正 确. 十、补充公式 ； ； ； . 十一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因 式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运 算. 十二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项 中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 十三、提公因式法m 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 m ，即 ，而 正好是 除以 所得的商， 这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项 式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项 变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 十四、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这 两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 十五、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 即 ， . a2 2abb2 a2 2abb2 形如 ， 的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2倍. 右边是 两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.【考点一 同底数幂相乘】 例题：（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算 的结果是 （ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）计算 的结果是( ) A． B． C． D． 2．（2023·上海·七年级假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示． (1) ； (2) ； (3) ． 【考点二 同底数乘法的逆用】 例题：（2023春·江西吉安·七年级统考期中）若 ，则 ． 【变式训练】 1．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知 ， ，则 ． 2．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）已知 ， ，则 的值为 ． 【考点三 幂的乘方运算】 例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）计算 ． 【变式训练】 1．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）计算： ． 2．（2023春·江苏南京·七年级南京市百家湖中学校考阶段练习）计算 的结果是 ．3．（2023春·七年级单元测试）化简：（1） ；（2） ． 【考点四 幂的乘方的逆用】 例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）如果 ，则 ． 【变式训练】 1．（2023春·广东茂名·七年级统考期中）若 ， ，则 ． 2．（2023春·广东佛山·七年级校联考期中）已知 ，则 ． 【考点五 积的乘方运算】 例题：（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）计算： ． 【变式训练】 1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）计算： ． 2．（2022春·七年级单元测试）计算： ． 【考点六 积的乘方的逆用】 例题：（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）计算 的结果是 ． 【变式训练】 1．（2023春·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）计算： ． 2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）若 ， ，则代数式 的值是 ．【考点七 同底数幂的除法】 例题：（2023·天津河东·统考二模）计算 的结果是 . 【变式训练】 1．（2023·陕西汉中·统考二模）计算： ． 2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【考点八 同底数幂除法的逆用】 例题：（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）若 ， ，则 的值是 ． 【变式训练】 1．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）若 ， ，则 ． 2．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）已知 ， ， ，则 ． 【考点九 计算单项式乘单项式】 例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算： ． 【变式训练】 1．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）计算： ．【考点十 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）已知单项式 与 的积为 ，那么 、 的值为 （ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【变式训练】 1．（2023春·七年级课时练习）若 ，则 的值分别为（ ） A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2 2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若单项式 和3xy的积为 ，则ab的值为（ ） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【考点十一 计算单项式乘多项式】 例题：（2023春·广东河源·七年级统考期末）计算： ． 【变式训练】 1．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）计算： ． 2．（2023春·广西贵港·七年级统考期末）计算： 【考点十二 利用单项式乘多项式求字母的值】 例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 中不含x的二次项，则 ． 【变式训练】 1．（2023春·七年级课时练习）若 的结果中不含 项，则 ． 2．（2023春·七年级课时练习）若 恒成立，则 ．【考点十三 单项式乘多项式的应用】 例题：（2023春·贵州六盘水·七年级校联考阶段练习）如图，大小两个正方形边长分别为 、 ． (1)用含 、 的代数式阴影部分的面积； (2)若 ，求阴影部分面积． 【变式训练】 1．（2023·上海·七年级假期作业）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位： ）．他打算将卧室 铺上木地板，其他地方铺地砖． (1)木地板和地砖分别需要多少平方米？ (2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米 元，那么王老师需要花多少钱？ 2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）如图，将边长为 的小正方形和边长为 的大 正方形放在同一平面上 ．(1)用 、 表示阴影部分的面积______．（写最简结果） (2)计算当 ， 时，阴影部分面积． (3)试着说明：白色部分面积与 的大小无关． 【考点十四 计算多项式乘多项式】 例题：（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）计算： ． 【变式训练】 1．（2023·上海·七年级假期作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 2．（2023秋·八年级课时练习）计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【考点十五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)【变式训练】 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）探索题： (1)计算： ＝ ， ＝ ， ＝ ； (2)发现： ＝ ；并证明你的发现． 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定 会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律． (1)计算后填空： _________； _________； _________； (2)归纳猜想后填空： ______ ______ (3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果： ______． 【考点十六 多项式乘多项式——化简求值】 例题：（2023春·浙江金华·七年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ．【变式训练】 1．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ． 2．（2023·吉林松原·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【类型十七 利用乘法公式进行简便运算】 例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算： ． 2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算： (1) (2) 3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．(1) (2) (3) ； (4) ． 【类型十八 利用乘法公式的变式求值】 例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知： ， ． (1)求 ； (2)求 ． 【变式训练】 1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知： ， ，求下列代数式的值： (1) ； (2) ． 2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知 ， ，求下列代数式 的值． (1) ； (2) ．3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知 ， ，求： (1) (2) 【类型十九 提多项式的公因式的因式分解法】 例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式： ． 【变式训练】 1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式： ． 2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式： ． 3．（2023春·广西桂林·七年级统考期中）因式分解： 【类型二十 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式： (1) ； (2) ． 【变式训练】 1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）把下列各式因式分解： (1) ；(2) ． 2．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解： (1) (2) 3．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解： (1) ； (2) 4．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）因式分解 (1) (2) (3)