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第十四章 整式的乘法与因式分解 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·北京海淀·八年级北京市八一中学校考期中）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”，合并同类项法则“同类项的系数相加，所得
的结果作为系数，字母和指数不变”，同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”，积的乘方法则“先
把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘”，逐项判断即可．掌握各项运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，故A选项运算正确；
，故B选项运算正确；
，故C选项运算正确；
，故D选项运算错误；
故选D．
2．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）下列各式能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式 时，关键要找相同项和相反项，
其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】解：A、 不符合平方差公式，故本选项不合题意；
B、 不符合平方差公式，故本选项不合题意；C、 不符合平方差公式，故本选项不合题意；
D、 符合平方差公式，故本选项合题意；
故选：D．
3．（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）如果 ，那么 的值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．2
【答案】C
【分析】本题考查幂的乘方运算． ，据此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C
4．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方
时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为 ，则中间一项的系数是
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，根据 ，直接作答即可．
【详解】解：依题意， ，
则中间一项的系数是 或 ，能使左右两边相等，
即 ，
或 ，
故选：C
5．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如果 与 的乘积中不含x的一次项，则 的值为
（ ）
A． B． C．0 D．3【答案】A
【分析】根据 与 的乘积中不含 的一次项，可得 ，进一步求解即可．
【详解】解： ，
∵ 与 的乘积中不含 的一次项，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．
6．（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）已知 ， ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的乘法，将代数式展开，将已知式子的值代入即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
7．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，现有 三种类型卡片， 卡片是边长为 的正方形，
卡片是边长为 的正方形， 卡片是两边长分别为 和 的长方形，若想拼出一个边长为 的正方
形，则需 三种类型卡片的数量分别为（ ）
A．2，3，6 B．4，9，0 C．4，9，6 D．4，9，12
【答案】D
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，求出边长为 的正方形的面积即可求解．
【详解】解：∵，
∴需 三种类型卡片的数量分别为4，9，12．
故选D．
8．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）将多项式 进行因式分解得到 ，则
的值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把 运用多项式乘多项式的法则
展开，再与 进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，
因为多项式 进行因式分解得到 ，
所以
那么 ， ，
故 ， ，
所以 ，
故选：D
9．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）已知 ，则
的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解是解题关键．将 变形
为 ，可得 ，再将 代入所求式子中即可求解．
【详解】解： ，
，，
，
，
，
原式
，
故选：B．
10．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知 ， ， ，
则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意得 ，把
溱成两个数的差的平方形式即可求解；灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得 ，
则
，
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（江苏省南京市联合体2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）若 ，则 ．
【答案】64
【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，理解 是解本题的关键．【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：
12．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）计算
．
【答案】
【分析】利用积的乘方的计算法则的逆运算计算即可；
【详解】解：
【点睛】本题考查了积的乘方运算法则的逆运算，熟练掌握计算法则是解决本题的关键．
13．（2023上·四川眉山·八年级校考阶段练习）如果 是一个完全平方式，则m的值是
．
【答案】6或0
【分析】运用完全平方式的特征进行求解．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
解得： 或0．
故答案为：6或0．
【点睛】此题考查了完全平方式概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，点C是线段 上的一点，以 为边向两
边作正方形，面积分别是 和 ，两正方形的面积和 ，已知 ，则图中阴影部分面积为
．【答案】6
【分析】由完全平方公式，求出 与 的积，即可求解；
【详解】设
∵四边形 是正方形,
故答案为：6．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，关键是应用此公式求出 与 的乘积．
15．（2023上·河北承德·八年级统考期中）已知 ，则 的值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了完全平方公式，根据 ，直接作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ，故答案为：7
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）利用完全平方公式，将多项式 变形为
的形式，然后由 ，就可求出多项式 的最小值．例如：求多项式 的最小值．
解： ．因为 ，所以 ，即当 时，
，因此 有最小值，最小值为1，即 的最小值为1，若代数式
，则代数式A的最小值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式将 变形为 ，即可得解．
【详解】解：∵
，
∴A的最小值为1，
故答案为：1．
17．（2023上·宁夏石嘴山·九年级校考阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算
法》，书中记载的图表给出了 展开式的系数规律．
代数式 的值为1时，则 的值为 ．
【答案】4或2【分析】根据系数规律得出 ，令 ， ，由代数式
的值为1得出 ，进而求出x的值．
【详解】解：由系数规律可得： ，
令 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为：4或2．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，整式的乘法，熟练掌握 展开式的系数规律是解题的关键．
18．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）下列说法：
①已知 ， ， 满足 ，则 ；
②已知 ， ， 是正整数， ，且 ，则 ， ， ；
③实数 ， ， 满足 ， ，则代数式 的值可以是6；其中正确的是
（请在横线上填写序号）．
【答案】 /
【分析】①①利②用②完①全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的
整数解即可，③两方程相减得 ，根据x，y得取值判断即可．
【详解】解：① ，
，
，，
，
，
故①正确，
②
，
， ， 是正整数，
， 都是整数，
，
，
，
而5只能分解成1和5的乘积，
，
解得： ， ， ，
或 ，
， ，
，
，不符合题意舍去，
故②正确，
③实数 ， ， 满足 ， ，
两方程相减得： ，
当x，y均大于或等于0时，
即 ，
，则 ，故不成立，
当x，y有一个大于0有一个小于0时，
，故不成立，
当x，y都小于0时， ，不符合题意，
故③错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，方程组的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023上·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）化简：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算．
（1）利用合并同类项法则计算即可；
（2）先去括号，利用单项式乘多项式展开，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）
．20．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解．
（1）利用提公因式法进行因式分解；
（2）先提取公因式 ，再利用平方差公式法分解．
【详解】（1） ；
（2）
．
21．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握“
”和“ ”是解题的关键．
【详解】解：原式当 ， 时，
原式
．
22．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知 ， ，
(1)求代数式 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）利用完全平方公式计算即可；
（2）先因式分解，再代入求值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解：，
， ，
原式
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，代入求值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在现今“互联网+”的时代：密码与我们的生活已经密不可分．
而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码
就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式．如多
项式： 分解因式的结果为 ，当 ， 时， ，
， ，此时可以得到6个6位数的数字密码141812，141218，181412，181214，
121418，121814．
(1)根据上述方法，当 ， 时，对于多项式 分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三
个）
(2)小敏同学设计的多项式 ，根据上述方法，当 ， 时，写出多项式
分解因式后形成的八位数的数字密码．（写出一个）
【答案】(1)可得数字密码是251931，253119，192531（答案不唯一）
(2)八位数的密码为18181010（答案不唯一）【分析】本题主要考查了因式分解的应用；
（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，求出 ， ，然后写出数字密码即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式即可．
解题的关键是熟练掌握平方差公式 和完全平方公式 ．
【详解】（1）解： ，
当 ， 时， ， ，
∴可得数字密码是251931，253119，192531．（答案不唯一）
（2）解： ，
当 ， 时， ， ，
即八位数的密码为18181010．（答案不唯一）
24．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）图 是由边长分别为 ， 的两个正方形拼成的图形，其
面积为 ，图 是长、宽分别为 ， 的长方形，其面积为 ．
(1)图 是由图 中的图形补成的大正方形，其面积为 ，则 ， ， 的数量关系是______；
(2)对于图 ，通过两种不同方法计算它的面积，可以得到一个代数恒等式是：_______；
(3)在图 边长为 的正方形中放入两个边长为 的小正方形，得到图 所示的图形，若 ， ，
求图 中阴影部分的面积．
【答案】(1) ；(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）因为整体图形的面积等于各部分面积之和，所以
，故 ；
（ ） ；
（ ）因为 ，所以 ，由 ， ，
，可得 ；
此题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．
【详解】（1）由题意知： ， ．
∵ ，
，
，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
故答案为： ；（3）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴
，
，
．
25．（2023上·全国·八年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个
图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：
．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形，试用不同的形式表
示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）
(2)利用（1）中所得到的结论，填空：
已知 ， ，则 ；
(3)如图3，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， ， ， 三点在同一直线上，连接 和 ．
①用含 ， 的式子表示阴影部分的面积 ；
②若 ， ，则阴影部分的面积 ．
【答案】(1)用不同的形式表示这个大正方形的面积为 ， ，(2)45
(3)① ，②20
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合，利用面积法正确写出相关图形的面积．
（1）图2大正方形边长为 ，其面积为 ，分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，
其面积和为 ，二者面积相等，从而可得要求得等式；
（2）将 ， 代入（1）中等式，变形可得答案；
（3）①利用 等于直角三角形 的面积加上正方形 的面积，再减去三角形 的面积，化简
即可得答案；
②将①中结论配方，然后将 ， 代入计算即可．
【详解】（1）解：图2大正方形边长为 ，其面积为 ，
分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为
二者面积相等
由此得等式： ．
（2）解： ，
故答案为：45．
（3）解：①
故答案为： ．
②由①知阴影部分面积为
，故答案为：20．
26．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）我们定义：如果两个多项式 与 的和为常数，则称 与
互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如 与 互为“对
消多项式”，它们的“对消值”为 ．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与 ； 与 ； 与
(2)多项式 与多项式 （ ， 为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消
值”；
(3)关于 的多项式 与 互为“对消多项式”，“对消值”为 ．若
， ，求代数式 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)它们的“对消值”为 ；
(3)代数式 的最小值是 ．
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
( )运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
( )先运用题目中的定义求得 ， 的值，再代入求解；
( )先求得 ，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【详解】（1）∵ ，
,
，
∴ 组多项式不是互为“对消多项式”， 组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为： ；（2） ， ，
∵ 与 互为“对消多项式”，
， ，
， ，
∴它们的“对消值”为 ；
（3） ， ，
，
∵ 与 互为“对消多项式”且“对消值”为 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式 的最小值是 ．
