文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为 ， ，的周期为4，当 时，函数值分别是 ，则 ，
因此 ,
所以集合 的真子集个数为 个.
故选：C
2．设复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ，于是 ，
所以 .
故选：D
3．设非零向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，则 ，解得 ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
故选：B.
4．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
故选：B
5．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动
人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一
句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，
这2个节气恰好在一个季节的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为 .
故选：C.
6．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： ，其中 为时间（单位： 为环
境温度， 为物体初始温度， 为冷却后温度.假设在室内温度为 的情况下，一杯饮料由 降低到需要 ，则此饮料从 降低到 需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得， ， ， ， 代入 ，
，解得 ，
故 ，解得 ．
故当 ， ， ， 时，
将其代入 得 ，解得 ，
故选：B
7．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数的性质，可得：
， ， ，
又由 ，所以 ，故 ．
又 ，所以 ，所以 ．
故选：A．
8．已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线l交双曲线于A、B两点，
线段AB的中垂线交x轴于点D. 若 ，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为 ，则直线 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则可得 ，
则 ，
设线段 的中点 ，则 ，
即 ，
且 ，线段 的中垂线的斜率为 ，
则线段 的中垂线所在直线方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，
由题意可得： ，即 ，
整理得 ，则 ，
注意到双曲线的离心率 ，
∴双曲线的离心率取值范围是 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：
月份 二月 三月 四月 五月 六月
月份代码x l 2 3 4 5
月借阅量y（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为 ，则（ ）
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数
D．七月的借阅量一定不少于6. 12万册
【答案】ABC
【解析】对于A：因为 ， ，
所以 ，得 ，所以A正确；
对于B：因为5×75%=3.75，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以B正确；
对于C：因为 ，所以y与x的线性相关系数 ，所以C正确；
对于D：由选项A可知线性回归方程为 ，
当 ，则 ，
所以七月的借阅量约为6. 12百册，所以D错误；
故选：ABC.
10．已知 ，函数 ，下列选项正确的有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是【答案】ACD
【解析】解：由余弦函数图象与性质，可得 ，得 ，所以A正确；
当 时，可得 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得
，所以B错误；
若 在区间 上单调递增，则 ，
解得 ，
又因为 ，所以只有当 时，此不等式有解，即 ，所以C正确；
若 在区间 上只有一个零点，则 ，解得 ，所以D正确．
故选：ACD．
11．已知同底面的两个正三棱锥 和 均内接于球O，且正三棱锥 的侧面与底面所
成角的大小为 ，则下列说法正确的是（ ）.
A． 平面QBC
B．设三棱锥 和 的体积分别为 和 ，则
C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的 倍
D．二面角 的正切值为
【答案】BCD
【解析】∵同底面的两个正三棱锥 和 均内接于球O，∴PQ为球O的直径，
取AB的中点M，连接PM、QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠PMC为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC为侧面QAB与底面ABC所成二面角的平面
角，又正三棱锥 的侧面与底面所成角的大小为 ，
设底面的中心为N，P到底面的距离为h，球的半径为R，则PN=h，OP=R，ON=R－h，MN=h，CN=2h，
∴ ，
∴ ，QN=4h，PN=h，
∴P、C、Q、M四点共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，
∴PA与QM不平行，故PA与平面QBC不平行，故A错误；
由QN=4PN，可得 ，故B正确；
∵平面ABC截球O所得的截面面积为 ，球O表面积为 ，
∴平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的 倍，故C正确；
∵ ，
∴ ， ，∴ ，即二面角 的正切值为 ，故D正确.
故选：BCD.
12．已知函数 的定义域均为 ， 为偶函数， ，且当 时，
，则（ ）
A． 的图象关于点对称
B．
C．
D．方程 在区间 上的所有实根之和为144
【答案】AC
【解析】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
又 ，
可得 ，
故 的图象关于点 对称，故A正确；
，
故 是以4为周期的周期函数，
根据题意， ，
故 ，故B错误；
，其中 ，
故 ，故C正确；
是周期函数，最小正周期是8，由 得其对称轴为 ，显然 与的图象有公共的对称轴 ，
方程 的实根是 与 的图象的公共点的横坐标，
在同一坐标系内作出 与 在 上的大致图象，如图，
可知 ，所以 ，
由图易知 在 上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，
故 在区间 上的所有实根之和为 ，故D错误．
故选：AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中 的系数为12，则 ．
【答案】
【解析】由 的展开式通项为 ，
所以，含 项为 ，
故 ，可得 .
故答案为：
14．若两个正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数m的取值范围是
．
【答案】【解析】∵正实数x，y满足 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
由 恒成立，可得 ，
解得
故答案为：
15．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， 为偶函数，若 在
上恰好有4个不同的实数根 ，则 .
【答案】24
【解析】由 为偶函数，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故 ，即有 ，
综上， 的周期为8，且关于 对称的奇函数，
由 在 上单调递减，结合上述分析知：在 上递增， 上递减， 上递增，
所以 在 的大致草图如下：
要使 在 上恰好有4个不同的实数根，即 与 有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于 对称，则 .故答案为：24
16．已知四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，现将 沿直线BD翻折，得到
三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 .
【答案】
【解析】在 中， ，
故 ，即 ，
则折成的三棱锥 中， ， ， ，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c
则 ，解得 ，
此长方体的外接球是三棱锥 的外接球，
设外接球的直径 ，即 ，
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角，
故三棱锥 ，
三棱锥 四个侧面是全等的，
，
设内切球半径为 ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故 ，
则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
整理得 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（2）在 中，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
18．（12分）已知数列 的首项 ，且满足 ，设 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最小正整数 .
【答案】(1)证明见解析
(2)140
【解析】（1）
，
，所以数列 为首项为 ，公比为 等比数列.
（2）由（1）可得，
即
∴
而 随着 的增大而增大
要使 ，即 ，则 ，
∴ 的最小值为140.
19．（12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一
个生产周期中的100件产品的关键指标（单位： ），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均数估计值 作为
的估计值 ，用直方图的标准差估计值s作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个
生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在 之外的零件
个数，求 及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差 ，其中 为各区间的中点， 为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则 ， ，
， ， ．
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii） ，
【解析】（1）由频率分布直方图，得 ．
．
（2）（i）由（1）可知 ， ，
所以 ， ，
显然抽查中的零件指标 ，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在 之内的概率为 ，
所以抽测一个零件关键指标在 之外的概率为 ，
故 ，所以 ，X的数学期望 ．
20．（12分）如图，在四棱锥 中，已知 ， ， ， ， ，
， 为 中点， 为 中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）连接 ，∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，又 面 ， 面 ，
∴ 面 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，在 中， ， ，∴ ， ，
在 中， ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵F为AB中点，∴ ， ，
∴ ，又∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ，又∵ ，CF， 面 ，
∴平面 平面 ；
（2）解法一：延长 与 交于 ，连 ，则面 面 ，
在 中， ， ， ，所以 ，
又 ， ， ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴面 面 ，
在面 内过 作 ，则 面 ，
∵ 面 ，∴ ，
过 作 ，连 ，∵ ， 面 ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴ ，
∴ 即为面 与面 所成二面角的平面角，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，又 ，
∴ ， ， ，
∴ .
解法二：在 中， ， ， ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又∵ ， ，
∴ ，
以 为 轴， 为 轴，过 且垂直于面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，设平面 的法向量 ， ， ，
，令 ，则 ，∴ ，
设平面 的法向量 ， ，
令 ，则 ， ，
∴ ，
所以 ，
∴平面 与平面 所成角的余弦值为 .
21．（12分）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆E的离心率为 ，过 且
不与坐标轴垂直的直线 与椭圆E交于A，B两点， 的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过 且与 垂直的直线 与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1）解：由题意，椭圆 的离心率为 ，可得 ，又由椭圆的定义，可知 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以椭圆E的标准方程为 ．
（2）解：设 ，直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，
则有 ， ，
故 ，
又由直线 的方程为 ，设 ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
则有 ， ，
则 ，
所以四边形 的面积：
，因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
综上，四边形ACBD面积的最小值为 ．
22．（12分）已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）∵ ，则 ，
若 是增函数，则 ，
且 ，可得 ，
故原题意等价于 对 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；则 在 上递增，在 递减，故 ，
∴ 的取值范围为 .
（2）（i）由（1）可知：当 时， 单调递增，
∵ ，则 ，即 ，
整理得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递减，在 递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，可得 ，
故 ；
（ii）∵ ，则 ，
可知 有两个不同实数根 ，由（1）知 ，
可得 ，
同理可得 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；且 ，故 对 恒成立，
故 在 上单调递减，
∵ ，则 ，即 ，
且 ，则 ，故 ，
可得 ；
又∵ ，由（i）可得 ，即 ，
则 ，
且 ，则 ，
可得 ；
综上所述： .
可得 ，则
故 .
